La proportionnalité en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

La masse d’un tube de cet acier est proportionnelle à sa longueur. On présente les données dans un tableau :

1. Par produit en croix :

\[ m = \frac{41{,}7\times 5}{3{,}4} \approx 61{,}3 \text{ kg} \]

Arrondie à l’unité, la masse d’un tube de 5 m est d’environ 61 kg.

2. De même :

\[ \ell = \frac{8{,}34\times 3{,}4}{41{,}7} = 0{,}68 \text{ m} \]

On remarque que \(8{,}34 = 41{,}7\div 5\) : la masse est divisée par 5, donc la longueur aussi, et \(3{,}4\div 5 = 0{,}68\).

On suppose que le panda mange la même quantité chaque jour. En un jour, il mange :

\[ 45{,}6\div 2 = 22{,}8 \text{ kg} \]

1. En 13 jours : \(22{,}8\times 13 = 296{,}4\) kg.

2. \(1 \text{ t} = 1\,000 \text{ kg}\), et :

\[ 1\,000\div 22{,}8 \approx 43{,}9 \]

Il lui faut environ 44 jours pour manger une tonne de bambous.

Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.

Premier tableau : \(16\times x = 125\times 24\), donc

\[ x = \frac{125\times 24}{16} = \frac{3\,000}{16} = 187{,}5 \]

Deuxième tableau : \(80\times x = 54\times 15\), donc

\[ x = \frac{54\times 15}{80} = \frac{810}{80} = 10{,}125 \]

Troisième tableau : \(12\times x = 625\times 42\), donc

\[ x = \frac{625\times 42}{12} = \frac{26\,250}{12} = 2\,187{,}5 \]

La pompe débite 3 000 L en 1 h = 60 min, soit \(3\,000\div 60 = 50\) L par minute. Le volume d’eau est proportionnel à la durée.

1. Arrosoir de 10 L : \(10\div 50 = 0{,}2\) min \(= 0{,}2\times 60 = 12\) s.

2. Citerne de 1 440 L : \(1\,440\div 50 = 28{,}8\) min, soit environ 29 min (28 min 48 s).

3. En 12 min : \(50\times 12 = 600\) L.

4. 2 jours \(= 48\) h, donc \(3\,000\times 48 = 144\,000\) L, soit 144 m³.

À 100 m/s, l’objet parcourt 100 m en 1 s. En 1 h = 3 600 s, il parcourt :

\[ 100\times 3\,600 = 360\,000 \text{ m} = 360 \text{ km} \]

Donc \(100 \text{ m/s} = 360 \text{ km/h}\). Plus généralement, pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6.

On convertit la vitesse de Noah en km/h : en 1 h = 3 600 s, il parcourt \(2\times 3\,600 = 7\,200\) m \(= 7{,}2\) km.

\[ 2 \text{ m/s} = 7{,}2 \text{ km/h} \lt 90 \text{ km/h} \]

On peut aussi convertir la vitesse d’Emma : \(90 \text{ km/h} = 90\,000 \text{ m} \div 3\,600 \text{ s} = 25\) m/s, bien plus que 2 m/s.

1. a. \(250 \text{ m} = 0{,}25 \text{ km}\).

b. La girafe parcourt 50 km en 60 min. La durée est proportionnelle à la distance :

\[ t = \frac{0{,}25}{50} \text{ h} = 0{,}005 \text{ h} = 0{,}005\times 3\,600 \text{ s} = 18 \text{ s} \]

2. \(3 \text{ min} = \frac{3}{60} \text{ h} = 0{,}05\) h, donc

\[ d = 50\times 0{,}05 = 2{,}5 \text{ km} \]

La lumière de l’éclair arrive presque instantanément ; le son met 8 s à parcourir la distance. À 340 m/s, la distance est proportionnelle à la durée :

\[ d = 340\times 8 = 2\,720 \text{ m} \]

L’aire d’un secteur de disque est proportionnelle à son angle : 360° correspondent au disque entier, d’aire \(\pi\times 4^2 = 16\pi\) cm².

La zone grisée est le disque privé du secteur BAC de 40° : son angle est \(360^\circ-40^\circ = 320^\circ\).

\[ \mathcal{A} = \frac{320}{360}\times 16\pi = \frac{8}{9}\times 16\pi = \frac{128\pi}{9} \approx 44{,}68 \text{ cm}^2 \]

Sur le graphique, les graduations vont de 1 en 1 sur les deux axes. Le segment part de l’origine et passe par le point de coordonnées (10 ; 11).

1. On part de 6 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’au segment, puis on lit sur l’axe vertical : 6 L de liquide donnent environ 6,6 L de glace (traits de lecture en vert sur la copie, en bleu sur la figure).

2. On part de 10 sur l’axe vertical, on va jusqu’au segment, puis on descend sur l’axe horizontal : il faut environ 9,1 L d’eau liquide (traits de lecture en rouge).

3. Le graphique est une droite qui passe par l’origine : le volume de glace est donc proportionnel au volume d’eau liquide. Le coefficient de proportionnalité se lit avec le point (10 ; 11) :

\[ \frac{11}{10} = 1{,}1 \]

Le volume de glace s’obtient en multipliant le volume de liquide par 1,1 (l’eau gagne 10 % de volume en gelant). Vérification : \(6\times 1{,}1 = 6{,}6\) et \(10\div 1{,}1 \approx 9{,}1\).