Corrigé des 23 exercices sur la proportionnalité en 4ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Ensuite, la masse d’un tube de cet acier est proportionnelle à sa longueur. Ensuite, on présente les données dans un tableau :

De plus, on obtient 1. Par produit en croix :

\[ m = \frac{41{,}7\times 5}{3{,}4} \approx 61{,}3 \text{ kg} \]

De même, arrondie à l’unité, la masse d’un tube de 5 m est d’environ 61 kg.

Ensuite, on a 2. De même :

\[ \ell = \frac{8{,}34\times 3{,}4}{41{,}7} = 0{,}68 \text{ m} \]

De plus, on remarque que \(8{,}34 = 41{,}7\div 5\) : la masse est divisée par 5, donc la longueur aussi, et \(3{,}4\div 5 = 0{,}68\).

De même, on suppose que le panda mange la même quantité chaque jour. Puis en un jour, il mange :

\[ 45{,}6\div 2 = 22{,}8 \text{ kg} \]

Ainsi, on trouve 1. De plus, en 13 jours : \(22{,}8\times 13 = 296{,}4\) kg.

Par conséquent, on obtient 2. \(1 \text{ t} = 1\,000 \text{ kg}\), et :

\[ 1\,000\div 22{,}8 \approx 43{,}9 \]

Ainsi, il lui faut environ 44 jours pour manger une tonne de bambous.

Par conséquent, dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux.

De plus, premier tableau : \(16\times x = 125\times 24\), donc

\[ x = \frac{125\times 24}{16} = \frac{3\,000}{16} = 187{,}5 \]

Ainsi, deuxième tableau : \(80\times x = 54\times 15\), donc

\[ x = \frac{54\times 15}{80} = \frac{810}{80} = 10{,}125 \]

Enfin, troisième tableau : \(12\times x = 625\times 42\), donc

\[ x = \frac{625\times 42}{12} = \frac{26\,250}{12} = 2\,187{,}5 \]

De plus, la pompe débite 3 000 L en 1 h = 60 min, soit \(3\,000\div 60 = 50\) L par minute. Ensuite, le volume d’eau est proportionnel à la durée.

Ensuite, on a 1. Arrosoir de 10 L : \(10\div 50 = 0{,}2\) min \(= 0{,}2\times 60 = 12\) s.

Ainsi, on trouve 2. Citerne de 1 440 L : \(1\,440\div 50 = 28{,}8\) min, soit environ 29 min (28 min 48 s).

Par conséquent, on obtient 3. Par ailleurs, en 12 min : \(50\times 12 = 600\) L.

De plus, on obtient 4. 2 jours \(= 48\) h, donc \(3\,000\times 48 = 144\,000\) L, soit 144 m³.

Enfin, À 100 m/s, l’objet parcourt 100 m en 1 s. Puis en 1 h = 3 600 s, il parcourt :

\[ 100\times 3\,600 = 360\,000 \text{ m} = 360 \text{ km} \]

Donc \(100 \text{ m/s} = 360 \text{ km/h}\). Plus généralement, pour passer des m/s aux km/h, on multiplie par 3,6.

Par ailleurs, on convertit la vitesse de Noah en km/h : en 1 h = 3 600 s, il parcourt \(2\times 3\,600 = 7\,200\) m \(= 7{,}2\) km.

\[ 2 \text{ m/s} = 7{,}2 \text{ km/h} \lt 90 \text{ km/h} \]

De même, on peut aussi convertir la vitesse d’Emma : \(90 \text{ km/h} = 90\,000 \text{ m} \div 3\,600 \text{ s} = 25\) m/s, bien plus que 2 m/s.

Ainsi, on a donc 1. a. \(250 \text{ m} = 0{,}25 \text{ km}\).

Par ailleurs, b. Ensuite, la girafe parcourt 50 km en 60 min. Puis la durée est proportionnelle à la distance :

\[ t = \frac{0{,}25}{50} \text{ h} = 0{,}005 \text{ h} = 0{,}005\times 3\,600 \text{ s} = 18 \text{ s} \]

Ainsi, on trouve 2. \(3 \text{ min} = \frac{3}{60} \text{ h} = 0{,}05\) h, donc

\[ d = 50\times 0{,}05 = 2{,}5 \text{ km} \]

Ensuite, la lumière de l’éclair arrive presque instantanément ; le son met 8 s à parcourir la distance. À 340 m/s, la distance est proportionnelle à la durée :

\[ d = 340\times 8 = 2\,720 \text{ m} \]

Ainsi, L’aire d’un secteur de disque est proportionnelle à son angle : 360° correspondent au disque entier, d’aire \(\pi\times 4^2 = 16\pi\) cm².

Enfin, la zone grisée est le disque privé du secteur BAC de 40° : son angle est \(360^\circ-40^\circ = 320^\circ\).

\[ \mathcal{A} = \frac{320}{360}\times 16\pi = \frac{8}{9}\times 16\pi = \frac{128\pi}{9} \approx 44{,}68 \text{ cm}^2 \]

De plus, sur le graphique, les graduations vont de 1 en 1 sur les deux axes. De plus, le segment part de l’origine et passe par le point de coordonnées (10 ; 11).

Ensuite, on a 1. Ensuite, on part de 6 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’au segment, puis on lit sur l’axe vertical : 6 L de liquide donnent environ 6,6 L de glace (traits de lecture en vert sur la copie, en bleu sur la figure).

Ainsi, on trouve 2. Par ailleurs, on part de 10 sur l’axe vertical, on va jusqu’au segment, puis on descend sur l’axe horizontal : il faut environ 9,1 L d’eau liquide (traits de lecture en rouge).

Par conséquent, on obtient 3. Puis le graphique est une droite qui passe par l’origine : le volume de glace est donc proportionnel au volume d’eau liquide. Ensuite, le coefficient de proportionnalité se lit avec le point (10 ; 11) :

\[ \frac{11}{10} = 1{,}1 \]

Par ailleurs, le volume de glace s’obtient en multipliant le volume de liquide par 1,1 (l’eau gagne 10 % de volume en gelant). Vérification : \(6\times 1{,}1 = 6{,}6\) et \(10\div 1{,}1 \approx 9{,}1\).

Enfin, un tableau est un tableau de proportionnalité si l’on passe de la première ligne à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre. Puis on calcule donc, colonne par colonne, le quotient « deuxième ligne ÷ première ligne ».

a.

\[ \frac{102{,}5}{1{,}025} = 100 \qquad \frac{30{,}6}{3{,}06} = 10 \]

De plus, les quotients sont différents (100 et 10) : ce n’est pas un tableau de proportionnalité. Inutile de calculer le troisième quotient.

b.

\[ \frac{9}{12} = 0{,}75 \qquad \frac{4}{5} = 0{,}8 \]

Ensuite, on a \(0{,}75 \neq 0{,}8\) : le prix n’est pas proportionnel au nombre d’entrées (5 entrées coûtent proportionnellement plus cher que 12).

c.

\[ \frac{300}{90} = \frac{400}{120} = \frac{500}{150} = \frac{10}{3} \]

Ensuite, les trois quotients sont égaux (environ 3,33) : c’est bien une situation de proportionnalité, de coefficient \(\frac{10}{3}\).

Ainsi, on compare les quotients « deuxième ligne ÷ première ligne » dans chaque tableau.

a. Ensuite, on a donc \(\frac{0{,}8}{5} = 0{,}16\) et \(\frac{1{,}2}{10} = 0{,}12\). De plus, les quotients sont différents : la taille n’est pas proportionnelle à l’âge. D’ailleurs, à 10 ans, Laurent ne mesure pas deux fois plus qu’à 5 ans : la croissance ralentit avec l’âge.

b.

\[ \frac{1{,}8}{2} = \frac{5{,}4}{6} = \frac{9}{10} = 0{,}9 \]

De plus, C’est une situation de proportionnalité : chaque baguette coûte 0,90 €.

c.

\[ \frac{25}{1} = \frac{5}{0{,}2} = \frac{20}{0{,}8} = 25 \]

De même, C’est une situation de proportionnalité : on prépare 25 crêpes par litre de pâte.

Ensuite, si le prix était proportionnel au nombre de yaourts, le prix d’un yaourt serait le même dans les deux packs. Ensuite, on le calcule :

• pack de 6 : \(1{,}50 \div 6 = 0{,}25\) €, soit 25 centimes le yaourt ;
• pack de 10 : \(2 \div 10 = 0{,}20\) €, soit 20 centimes le yaourt.

Par ailleurs, les prix unitaires sont différents : le yaourt est moins cher dans le grand pack. Autre façon de voir : avec 25 centimes le yaourt, 10 yaourts coûteraient \(10\times 0{,}25 = 2{,}50\) €, et non 2 €.

Enfin, on travaille dans la même unité : 35 centimes = 0,35 €.

Ensuite, la boîte de 500 clous contient 5 fois plus de clous que celle de 100 (\(500 = 5\times 100\)). S’il y avait proportionnalité, elle coûterait 5 fois plus cher :

\[ 5\times 0{,}35 = 1{,}75 \text{ €} \]

Or elle coûte 1,50 €, et \(1{,}50 \neq 1{,}75\). Autrement dit, 100 clous reviennent à 0,35 € dans la petite boîte mais à \(1{,}50\div 5 = 0{,}30\) € dans la grande.

De même, propriété utilisée : dans un tableau de proportionnalité, si l’on additionne (ou soustrait) deux colonnes, on obtient encore une colonne du tableau.

a. Ensuite, on a \(1 = 7 – 6\), donc on soustrait les colonnes : \(10{,}5 – 9 = \mathbf{1{,}5}\).
\(13 = 6 + 7\), donc on additionne : \(9 + 10{,}5 = \mathbf{19{,}5}\).

b. Ainsi, on trouve \(5 = 8 – 3\), donc \(3{,}2 – 1{,}2 = \mathbf{2}\).
\(13 = 8 + 5\), donc \(3{,}2 + 2 = \mathbf{5{,}2}\) (on peut réutiliser la colonne que l’on vient de trouver).

c. Par conséquent, on obtient \(3 = 14 – 11\), donc \(18{,}2 – 14{,}3 = \mathbf{3{,}9}\).
\(17 = 14 + 3\), donc \(18{,}2 + 3{,}9 = \mathbf{22{,}1}\).

Enfin, vérification avec les coefficients : \(1{,}5\times 13 = 19{,}5\) ; \(0{,}4\times 13 = 5{,}2\) ; \(1{,}3\times 17 = 22{,}1\).

De plus, on cherche d’abord le coefficient de proportionnalité (la flèche « … » : on multiplie la première ligne par ce nombre pour obtenir la deuxième), grâce à une colonne complète. Par ailleurs, pour remonter de la deuxième ligne à la première, on divise par ce coefficient.

a. Ainsi, colonne complète : 6 et 7, donc le coefficient est \(\frac{7}{6}\).

\[ 18\times \frac{7}{6} = 21 \qquad 5\times \frac{7}{6} = \frac{35}{6} \approx 5{,}83 \]

b. Enfin, colonne complète : 8 et 5, donc le coefficient est \(\frac{5}{8} = 0{,}625\).

\[ 1\div 0{,}625 = 1{,}6 \qquad 20\times 0{,}625 = 12{,}5 \]

c. Ensuite, colonne complète : 3 et 4, donc le coefficient est \(\frac{4}{3}\).

\[ 120\div \frac{4}{3} = 120\times \frac{3}{4} = 90 \qquad 10{,}5\times \frac{4}{3} = 14 \]

d. Par ailleurs, colonne complète : 200 et 250, donc le coefficient est \(\frac{250}{200} = 1{,}25\).

\[ 5\div 1{,}25 = 4 \qquad 2\times 1{,}25 = 2{,}5 \]

De même, au a, la valeur exacte \(\frac{35}{6}\) est préférable à l’arrondi 5,83, car la division \(35 \div 6\) ne tombe pas juste.

Ensuite, on repère comment la valeur connue de la dernière colonne s’obtient à partir des deux autres colonnes, puis on fait la même opération sur l’autre ligne.

a. Par conséquent, on obtient \(14 = 3 + 11\) paquets, donc on additionne les colonnes :

\[ 36 + 132 = 168 \text{ gâteaux} \]

De même, contrôle : il y a 12 gâteaux par paquet (\(36\div 3 = 132\div 11 = 12\)) et \(14\times 12 = 168\).

b. Par ailleurs, on a donc \(5 = 9 – 4\) étagères, donc on soustrait les colonnes :

\[ 117 – 52 = 65 \text{ livres} \]

De plus, contrôle : 13 livres par étagère et \(5\times 13 = 65\).

c. Ainsi, on utilise la colonne 1,1 L → 27,5 g : on extrait \(27{,}5\div 1{,}1 = 25\) g de sel par litre. Puis la masse 67,5 g correspond à

\[ 67{,}5\div 25 = 2{,}7 \text{ L} \]

Enfin, C’est aussi la colonne « différence » : \(3{,}8 – 1{,}1 = 2{,}7\) L. Remarque : avec 25 g par litre, 3,8 L donneraient \(3{,}8\times 25 = 95\) g et non 96 g ; la valeur 96 de l’énoncé est sans doute une coquille pour 95 (et \(95 – 27{,}5 = 67{,}5\), ce qui confirme le calcul par soustraction).

a. De plus, une baguette coûte deux demi-baguettes : \(2\times 0{,}45 = 0{,}90\) €. Trois baguettes coûtent donc

\[ 3\times 0{,}90 = 2{,}70 \text{ €} \]

b. Par conséquent, on obtient 1 km = 1 000 m parcourus en 4 min. Ensuite, en 1 min (4 fois moins de temps), il parcourt 4 fois moins de distance :

\[ 1\,000\div 4 = 250 \text{ m} \]

c. De plus, on obtient 2 kg = 5 kg − 3 kg, donc on soustrait les prix :

\[ 7{,}20 – 4{,}32 = 2{,}88 \text{ €} \]

Ensuite, contrôle : le kilo coûte \(7{,}20\div 5 = 1{,}44\) € et \(2\times 1{,}44 = 2{,}88\) €.

d. Par ailleurs, chaque disque dur stocke \(690\div 3 = 230\) Go (et \(1\,610\div 7 = 230\) Go aussi). Puis il faut donc

\[ 4\,600\div 230 = 20 \text{ disques durs} \]

De même, autre méthode : \(3 + 7 = 10\) disques stockent \(690 + 1\,610 = 2\,300\) Go, et \(4\,600 = 2\times 2\,300\), donc il en faut \(2\times 10 = 20\).

Ensuite, À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée. De plus, la voiture parcourt 45 km en 1 h = 60 min, donc en 1 min :

\[ 45\div 60 = 0{,}75 \text{ km} \]

Par ailleurs, on convertit d’abord toutes les durées dans la même unité : 1 h 25 min = 60 + 25 = 85 min, 0,8 h = \(0{,}8\times 60 = 48\) min et 1,5 h = 90 min.

De même, détail des calculs (on multiplie la durée en minutes par 0,75, ou la durée en heures par 45) :

• a. \(10\times 0{,}75 = 7{,}5\) km ;
• b. \(25\times 0{,}75 = 18{,}75\) km ;
• c. \(35\times 0{,}75 = 26{,}25\) km ;
• d. \(0{,}8\times 45 = 36\) km ;
• e. \(1{,}5\times 45 = 67{,}5\) km ;
• f. \(85\times 0{,}75 = 63{,}75\) km.

a. Ensuite, prendre 12 % d’une quantité, c’est la multiplier par \(\frac{12}{100}\) :

\[ 25\times \frac{12}{100} = \frac{300}{100} = 3 \text{ kg} \]

Par ailleurs, le maraîcher a jeté 3 kg de fraises.

b. Ensuite, on cherche la part que représentent 6 kg sur 30 kg, ramenée à 100 :

\[ \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = \frac{20}{100} \]

Par ailleurs, tableau de proportionnalité équivalent : 30 kg → 6 kg, donc 100 kg → \(6\times 100\div 30 = 20\) kg.

Enfin, on calcule 39 % de 28 :

\[ 28\times \frac{39}{100} = 10{,}92 \]

Ensuite, le nombre d’élèves est un nombre entier, et il y a « un peu plus » de 39 % des élèves : c’est donc le premier entier au-dessus de 10,92, soit 11 élèves.

Par ailleurs, vérification : \(\frac{11}{28} \approx 0{,}393\), soit environ 39,3 %, un peu plus de 39 %. Avec 10 élèves, on n’aurait que \(\frac{10}{28} \approx 35{,}7\) %.

a. Enfin, on passe de la première ligne (dimensions réelles) à la deuxième (dimensions sur le dessin) en multipliant par :

\[ \frac{5}{300} = \frac{1}{60} \]

Ensuite, on vérifie sur les autres colonnes : \(450\div 60 = 7{,}5\) ; \(150\div 60 = 2{,}5\) ; \(612\div 60 = 10{,}2\) ; \(90\div 60 = 1{,}5\). Ensuite, le coefficient de proportionnalité est donc \(\frac{1}{60}\) (environ 0,0167). Par ailleurs, dans l’autre sens, on passe du dessin à la réalité en multipliant par 60.

b. Par ailleurs, L’échelle d’un dessin est le coefficient qui permet de passer des dimensions réelles aux dimensions sur le dessin, exprimées dans la même unité. Ici, 1 cm sur le dessin représente 60 cm dans la réalité.

Enfin, on lit les trois points du graphique : 5 pralinés coûtent 2 €, 10 pralinés coûtent 4 € et 15 pralinés coûtent 6 €.

\[ \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = \frac{6}{15} = 0{,}4 \]

Ensuite, les quotients sont égaux : le prix est proportionnel au nombre de pralinés (on le voit aussi car les points sont alignés avec l’origine). Puis un praliné coûte 0,40 €.

\[ 13\times 0{,}4 = 5{,}2 \]

Par ailleurs, on retrouve ce résultat sur le graphique : on trace la droite qui passe par l’origine et par les trois points, puis on lit l’ordonnée du point d’abscisse 13.

Enfin, une situation est de proportionnalité si et seulement si sa représentation graphique est formée de points alignés avec l’origine du repère. Ensuite, on lit les coordonnées des points sur chaque graphique.

• a. Points (1 ; 1,5), (2 ; 3) et (3 ; 1,5). Quand l’abscisse passe de 2 à 3, l’ordonnée diminue : les points ne sont pas alignés. Ce n’est pas une situation de proportionnalité.
• b. Points (0 ; 1), (1 ; 1), (2 ; 1), (3 ; 1) et (4 ; 1). Ils sont alignés sur une droite horizontale, mais cette droite ne passe pas par l’origine : à 0 correspond 1, et non 0. Ce n’est pas une situation de proportionnalité.
• c. Points (1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3) et (4 ; 4). L’ordonnée est toujours égale à l’abscisse (coefficient 1) : les points sont alignés avec l’origine. C’est une situation de proportionnalité.
• d. Points (1 ; 0,75), (2 ; 1,5), (3 ; 2,25) et (4 ; 3). On a \( \frac{0{,}75}{1} = \frac{1{,}5}{2} = \frac{2{,}25}{3} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \) : l’ordonnée s’obtient toujours en multipliant l’abscisse par 0,75. Les points sont alignés avec l’origine : c’est une situation de proportionnalité.

De plus, chaque tableau est un tableau de proportionnalité : les produits en croix sont égaux. Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \), alors \( a \times x = b \times c \), donc \( x = \frac{b \times c}{a} \). Puis on divise toujours le produit des deux nombres « en diagonale » connus par le troisième nombre.

• a. \( x = \frac{11 \times 6}{5} = \frac{66}{5} = 13{,}2 \)
• b. \( x = \frac{7 \times 10}{3} = \frac{70}{3} \) (valeur exacte, environ 23,33)
• c. \( x = \frac{14 \times 10}{7} = \frac{140}{7} = 20 \) (on peut aussi remarquer que 14 est le double de 7)
• d. \( x = \frac{0{,}5 \times 20}{8} = \frac{10}{8} = 1{,}25 \)
• e. \( x = \frac{2{,}4 \times 5}{7{,}5} = \frac{12}{7{,}5} = 1{,}6 \)
• f. \( x = \frac{3 \times 3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25 \)
• g. \( x = \frac{0{,}5 \times 28}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \) (environ 2,33)
• h. Les deux nombres de la deuxième colonne sont égaux (\( \frac{8}{3} \) et \( \frac{8}{3} \)) : le coefficient vaut 1, donc les deux nombres de la première colonne sont égaux aussi. \( x = \frac{5}{6} \)
• i. \( x = \frac{7 \times \frac{1}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{7}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{21}{8} = 2{,}625 \)
• j. \( x = \frac{20 \times 0{,}18}{2{,}7} = \frac{3{,}6}{2{,}7} = \frac{36}{27} = \frac{4}{3} \) (environ 1,33)

Ainsi, quand la division ne tombe pas juste (b, g, j), on garde la valeur exacte sous forme de fraction.

Par conséquent, on suppose que Tom épluche toujours au même rythme : le nombre de pommes de terre épluchées est proportionnel à la durée. De plus, on convertit d’abord la durée en minutes :

\[ 0{,}2 \text{ h} = 0{,}2 \times 60 \text{ min} = 12 \text{ min} \]

De plus, tom épluche donc 37 pommes de terre en 12 min.

Ainsi, en 48 min : \( 48 = 4 \times 12 \), donc il épluche 4 fois plus de pommes de terre :

\[ 37 \times 4 = 148 \]

Enfin, en 2 h 06 min : \( 2 \text{ h } 06 \text{ min} = 120 + 6 = 126 \text{ min} \). Or \( 126 \div 12 = 10{,}5 \), donc :

\[ 37 \times 10{,}5 = 388{,}5 \]

Ensuite, en 2 h 06 min, Tom a le temps d’éplucher 388 pommes de terre entières (et il a commencé la 389^e, épluchée à moitié).

Ainsi, la vitesse moyenne est donnée par \( v = \frac{d}{t} \). Avec une distance en mètres et une durée en secondes, on obtient une vitesse en m/s.

a. Enfin, sur 100 m :

\[ v_{100} = \frac{100}{9{,}58} \approx 10{,}44 \text{ m/s} \]

Ensuite, sur 200 m :

\[ v_{200} = \frac{200}{19{,}19} \approx 10{,}42 \text{ m/s} \]

Par ailleurs, lors de son 100 m le plus rapide, sa vitesse moyenne est d’environ 10,44 m/s ; lors de son 200 m le plus rapide, d’environ 10,42 m/s.

b. Ensuite, on a \( 10{,}44 \gt 10{,}42 \) : sa vitesse moyenne est la plus élevée sur le 100 m, mais de très peu.

Par conséquent, C’est logique : plus la course est longue, plus le coureur se fatigue et il est difficile de garder sa vitesse maximale. L’écart est pourtant minuscule, car le départ arrêté (la phase où le coureur accélère et va lentement) ne compte qu’une fois : il pèse deux fois moins sur un 200 m que sur un 100 m.

Par ailleurs, augmenter un prix de 25 %, c’est lui ajouter 25 % de sa valeur, donc le multiplier par \( 1 + \frac{25}{100} = 1{,}25 \).

De même, méthode 1, en calculant l’augmentation :

\[ \begin{aligned} \frac{25}{100} \times 1{,}80 &= 0{,}45 \text{ €} \\ 1{,}80 + 0{,}45 &= 2{,}25 \text{ €} \end{aligned} \]

Par conséquent, méthode 2, avec le coefficient multiplicateur :

\[ 1{,}80 \times 1{,}25 = 2{,}25 \text{ €} \]

De plus, le nouveau prix du pot de confiture est de 2,25 €.

De même, attention : la réduction de 20 % porte sur le prix de départ, que l’on ne connaît pas. Ensuite, on ne calcule donc pas 20 % de 224 €.

Par conséquent, réduire un prix de 20 %, c’est le multiplier par \( 1 – \frac{20}{100} = 0{,}8 \). Par ailleurs, en notant \( p \) le prix avant la réduction :

\[ p \times 0{,}8 = 224 \quad \text{donc} \quad p = \frac{224}{0{,}8} = 280 \text{ €} \]

De plus, vérification : 20 % de 280 € font \( 0{,}2 \times 280 = 56 \) €, et \( 280 – 56 = 224 \) €. Puis le résultat est correct.

1) De même, on convertit : \( 350 \text{ km} = 350\,000 \text{ m} \) et \( 1 \text{ h} = 3\,600 \text{ s} \).

\[ 350 \text{ km/h} = \frac{350\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} \approx 97{,}2 \text{ m/s} \]

De même, on a donc (On retrouve la règle pratique : pour passer des km/h aux m/s, on divise par 3,6.) La vitesse vaut environ 97,2 m/s, soit la valeur exacte \( \frac{875}{9} \) m/s.

2) De plus, on utilise \( d = v \times t \). Ensuite, pour éviter l’arrondi, on travaille en km/h : \( 45 \text{ s} = \frac{45}{3\,600} \text{ h} \).

\[ d = 350 \times \frac{45}{3\,600} = 4{,}375 \text{ km} = 4\,375 \text{ m} \]

Ainsi, À 350 km/h, la voiture parcourt 4 375 m en 45 s, soit presque 4,4 km.

1) Ensuite, on a \( 108 \text{ km/h} = \frac{108\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} \), donc :

\[ v = \frac{108\,000}{3\,600} = 30 \text{ m/s} \]

De plus, la vitesse du ballon est v = 30 m/s.

2) Ainsi, on utilise \( t = \frac{d}{v} \), avec la distance en mètres et la vitesse en m/s :

\[ t = \frac{18}{30} = 0{,}6 \text{ s} \]

Enfin, le ballon atteint la ligne de but en 0,6 seconde : le gardien a très peu de temps pour réagir.

1) De plus, on compte la durée entre 12 h 55 min et 18 h 25 min :

• de 12 h 55 min à 13 h : 5 min ;
• de 13 h à 18 h : 5 h ;
• de 18 h à 18 h 25 min : 25 min.

Ainsi, au total : 5 h + 5 min + 25 min = 5 h 30 min.

2) Enfin, pour utiliser la formule, la durée doit être écrite en heures décimales : \( 30 \text{ min} = 0{,}5 \text{ h} \), donc \( 5 \text{ h } 30 \text{ min} = 5{,}5 \text{ h} \) (et non 5,30 h).

\[ v = \frac{d}{t} = \frac{715}{5{,}5} = 130 \text{ km/h} \]

1) De plus, distance parcourue : différence des deux indications du compteur.

\[ d = 27\,503 – 26\,783 = 720 \text{ km} \]

Ainsi, durée du trajet : de 8 h à 20 h, \( t = 20 – 8 = 12 \text{ h} \).

\[ v = \frac{720}{12} = 60 \text{ km/h} \]

Enfin, la vitesse moyenne du véhicule sur l’ensemble du trajet est de 60 km/h.

2) Ensuite, pendant les arrêts, la voiture ne roule pas. Puis le temps passé à rouler est :

\[ 12 \text{ h} – 1 \text{ h } 30 \text{ min} = 10 \text{ h } 30 \text{ min} = 10{,}5 \text{ h} \]
\[ v = \frac{720}{10{,}5} \approx 68{,}6 \text{ km/h} \]

Par ailleurs, sa vitesse moyenne réelle (en roulant) est d’environ 68,6 km/h, plus grande que la précédente puisque la même distance est parcourue en moins de temps.

1) Enfin, À 90 km/h, on parcourt 90 km en 60 min, donc 1,5 km par minute (\( 90 \div 60 = 1{,}5 \)).

\[ t = \frac{36}{1{,}5} = 24 \text{ min} \]

Ensuite, autre méthode : \( t = \frac{d}{v} = \frac{36}{90} = 0{,}4 \text{ h} \), et \( 0{,}4 \times 60 = 24 \text{ min} \).

Par ailleurs, il faut 24 minutes pour parcourir 36 km.

2) De même, durée du trajet : de 8 h à 9 h 20 min, soit 1 h 20 min = 80 min.

Par conséquent, À 60 km/h, on parcourt 60 km en 60 min, donc 1 km par minute. De plus, en 80 min :

\[ d = 1 \times 80 = 80 \text{ km} \]

De plus, avec la formule : \( 1 \text{ h } 20 \text{ min} = \frac{4}{3} \text{ h} \) et \( d = 60 \times \frac{4}{3} = 80 \text{ km} \).

1) Par ailleurs, de 9 h 15 min à 9 h 45 min, il s’écoule 30 min.

\[ 30 \text{ min} = \frac{30}{60} \text{ h} = 0{,}5 \text{ h} \qquad 30 \text{ min} = 30 \times 60 \text{ s} = 1\,800 \text{ s} \]

De même, le parcours dure 0,5 h, soit 1 800 s.

2) Par conséquent, en km/h, avec la durée en heures :

\[ v = \frac{25}{0{,}5} = 50 \text{ km/h} \]

De plus, en m/s, avec la distance en mètres (25 km = 25 000 m) et la durée en secondes :

\[ v = \frac{25\,000}{1\,800} \approx 13{,}9 \text{ m/s} \]

Ainsi, on vérifie avec la règle de conversion : \( 50 \div 3{,}6 \approx 13{,}9 \).

1) Par conséquent, le départ est à 14 h et l’arrivée à 16 h 20 min 05 s : la durée du parcours est 2 h 20 min 05 s.

Par ailleurs, en secondes (1 h = 3 600 s et 1 min = 60 s) :

\[ \begin{aligned} t &= 2 \times 3\,600 + 20 \times 60 + 5 \\ &= 7\,200 + 1\,200 + 5 \\ &= 8\,405 \text{ s} \end{aligned} \]

2) De même, la distance en mètres : \( 42{,}195 \text{ km} = 42\,195 \text{ m} \).

\[ v = \frac{42\,195}{8\,405} \approx 5{,}02 \text{ m/s} \]

Arrondie à l’unité, la vitesse moyenne du premier concurrent est de 5 m/s (environ 18 km/h).