La translation en 4ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Tous les motifs de la frise se déduisent les uns des autres en glissant horizontalement, sans tourner ni se retourner : ce sont des translations. Chaque motif est repéré par le point marqué sous sa pointe (A sous le motif 1, B sous le motif 2, etc.).

• a. Le motif 1 a pour image le motif 2 par la translation qui transforme A en B.
• b. Le motif 1 a pour image le motif 4 par la translation qui transforme A en D.
• c. Le motif 3 est l’image du motif 5 par la translation qui transforme E en C (on part du motif 5, vers la gauche).
• d. Le motif 4 est l’image du motif 2 par la translation qui transforme B en D.

On repère les points sur le quadrillage. Les points d’une même ligne sont espacés de 5 carreaux, et chaque ligne est décalée de 2 carreaux vers la droite par rapport à celle du dessous. On applique à chaque sommet le même déplacement que celui qui envoie le point initial sur le point obtenu.

• ① E → F : 5 carreaux vers la droite. B → C, C → D, G → H : l’image de BCG est CDH.
• ② L → G : 3 carreaux vers la gauche et 2 vers le haut. K → F, G → B, H → C, L → G : l’image de KGHL est FBCG.
• ③ H → K : 7 carreaux vers la gauche et 2 vers le bas. Pour retrouver la figure initiale, on fait le déplacement inverse sur EIJF : E ← B, I ← F, J ← G, F ← C. La figure initiale est BFGC.
• ④ La figure ABF a pour image CDH : A → C, soit 10 carreaux vers la droite. Donc I a pour image K.

On compte les petits carreaux sur la figure :

• M → N : 43 carreaux vers la droite et 8 vers le bas ;
• J → K : 10 carreaux vers la droite et 10 vers le haut ;
• L → O : 10 carreaux vers la droite.

On peut construire l’image par la première translation, puis l’image de cette image par la deuxième, puis par la troisième. Les trois glissements s’enchaînent : au total, chaque point se déplace de \(43+10+10 = 63\) carreaux vers la droite et de \(8-10 = -2\) carreaux vers le bas, c’est-à-dire 2 carreaux vers le haut. Le polygone final est donc l’image de ABCDEFGHI par une seule translation : 63 carreaux à droite et 2 carreaux en haut.

On place ainsi A′, B′, …, I′ en partant de chaque sommet, puis on relie les points dans le même ordre. Le polygone obtenu est superposable au polygone de départ (mêmes longueurs, mêmes angles, même orientation).

a. On trace trois droites parallèles, on place A et A′ sur \((d_1)\), B sur \((d_2)\) et C sur \((d_3)\).

b. Par la translation qui transforme A en A′, l’image B′ de B est telle que ABB′A′ est un parallélogramme : \((BB^{\prime})\) est parallèle à \((AA^{\prime})\) et \(BB^{\prime} = AA^{\prime}\), dans le même sens.

Comme \((AA^{\prime})\) est la droite \((d_1)\), la droite passant par B et parallèle à \((d_1)\) est \((d_2)\) : B′ est sur \((d_2)\), à la distance AA′ de B, du même côté que A′ par rapport à A. De même, C′ est sur \((d_3)\) avec \(CC^{\prime} = AA^{\prime}\).

Construction au compas : on reporte la longueur AA′ à partir de B sur \((d_2)\) et à partir de C sur \((d_3)\), dans le sens de A vers A′. Le triangle A′B′C′ est superposable à ABC.

1. On reproduit la figure en comptant les carreaux. Le « poisson » \(\mathcal{P}\) a 8 sommets ; le point O est à 1 carreau à droite de la pointe du poisson.

2. a. Symétrie centrale de centre O : chaque sommet M a pour image le point M₁ tel que O est le milieu de [MM₁]. On compte les carreaux de M à O, et on les reporte de l’autre côté de O. Le poisson \(\mathcal{P}_1\) est retourné « tête-bêche » à droite de O.

b. Symétrie axiale d’axe (EF) : la droite (EF) suit une diagonale des carreaux (1 carreau à droite pour 1 carreau en haut). L’image d’un point s’obtient en traçant la perpendiculaire à (EF), qui suit l’autre diagonale des carreaux, et en reportant la même distance de l’autre côté. Le poisson \(\mathcal{P}_2\) se retrouve sous la droite (EF), tourné vers le bas.

c. Translation qui transforme A en B : de A à B, on se déplace de 2 carreaux vers la droite et 4 carreaux vers le haut. On applique ce déplacement à chaque sommet : \(\mathcal{P}_3\) a la même orientation que \(\mathcal{P}\), simplement « glissé ».

On remarque que seule la translation conserve l’orientation de la figure : le poisson \(\mathcal{P}_3\) regarde toujours vers la droite.

1. a. On construit ABCD avec \(AB = 4\) cm et \(BC = 3\) cm ; on vérifie que la diagonale mesure bien \(AC = 5\) cm (\(4^2+3^2 = 25 = 5^2\)).

b. La translation qui transforme D en B envoie A sur A′, B sur B′ et C sur C′ (on construit les parallélogrammes DBA′A, DBB′B et DBC′C). Le rectangle DABC a pour image le rectangle BA′B′C′.

2. Une translation conserve les longueurs : l’image d’un segment est un segment de même longueur.

• a. [BA′] est l’image de [DA], donc \(BA^{\prime} = DA = BC = 3\) cm.
• b. [A′C′] est l’image de [AC], donc \(A^{\prime}C^{\prime} = AC = 5\) cm.
• c. [BC′] est l’image de [DC], donc \(BC^{\prime} = DC = AB = 4\) cm.
• d. [A′B′] est l’image de [AB], donc \(A^{\prime}B^{\prime} = AB = 4\) cm.

a. Tous les bateaux sont dessinés dans le même sens (proue à droite, fumée vers la gauche). Une symétrie axiale retournerait le bateau comme dans un miroir, et une symétrie centrale le mettrait à l’envers (demi-tour). Aucun couple de bateaux ne se correspond par une symétrie axiale ni par une symétrie centrale : ils se correspondent uniquement par des translations.

b. De A4 à B3 : une colonne vers la droite et une ligne vers le haut. A5 a pour image B4, et B4 a pour image C3.

c. De C3 à B2 : une colonne vers la gauche et une ligne vers le haut. B4 a pour image A3, et B2 a pour image A1.

d. De A4 à A2 : deux lignes vers le haut. Le bateau qui a pour image B2 est B4, et celui qui a pour image A3 est A5.

Pour aller de A à H, on descend d’une rangée de pièces et on se décale de deux numéros vers la droite. Dans le pavage, une rangée compte 10 pièces : la translation qui transforme A en H envoie donc la pièce \(n\) sur la pièce \(n+10+2 = n+12\) (même forme, même orientation ; seule la couleur peut changer).

a. Translation qui transforme A en H :

• pièce 13 → pièce 25 ;
• pièce 6 → pièce 18 ;
• pièce 15 → pièce 27 ;
• pièce 1 → pièce 13.

b. La translation qui transforme H en A est la translation « inverse » : la pièce \(n\) a pour image la pièce \(n-12\).

• pièce 25 → pièce 13 ;
• pièce 18 → pièce 6 ;
• pièce 23 → pièce 11 ;
• pièce 20 → pièce 8.

Méthode : on compte le déplacement (carreaux horizontaux puis verticaux) entre le point de départ et le point d’arrivée, puis on applique ce déplacement aux trois sommets du triangle.

a. De A à B : 2 carreaux à droite et 1 vers le bas. Image rouge : on décale les trois sommets de ce déplacement (le sommet A arrive en B). De C à D : 4 carreaux vers le bas. Image verte : le triangle descend de 4 carreaux.

b. De A à B : 1 carreau à droite et 2 vers le bas (le sommet A arrive en B). De C à D : 2 carreaux à gauche et 1 vers le haut. On décale les trois sommets de ces déplacements.

Les trois triangles de chaque cas sont superposables : une translation conserve les longueurs et les angles.

Le point D est l’image de C par la translation qui transforme A en B : on applique à C le déplacement de A vers B, et ABDC est un parallélogramme. Le point E est l’image de A par la translation qui transforme B en C : on applique à A le déplacement de B vers C, et BCEA est un parallélogramme.

• a. A → B : 3 carreaux à droite, donc D est 3 carreaux à droite de C. B → C : 1 carreau à gauche et 2 vers le haut, donc E est 1 carreau à gauche et 2 au-dessus de A.
• b. A → B : 2 pas à droite et 2 vers le haut, donc D est 2 pas à droite et 2 au-dessus de C. B → C : 2 pas à gauche et 2 vers le haut, donc E est 2 pas à gauche et 2 au-dessus de A.
• c. Sur ce réseau à rangées décalées, on compte les rangées et les points : A → B : on monte de 3 rangées en se décalant d’un point et demi vers la gauche (3 pas obliques vers le haut à gauche) ; on reproduit ce chemin à partir de C pour obtenir D. B → C : on descend d’une rangée en se décalant de deux points et demi vers la droite ; on reproduit ce chemin à partir de A pour obtenir E.
• d. Sur le réseau triangulaire, on suit les côtés des triangles : A → B : deux côtés obliques vers le bas à gauche puis un côté horizontal vers la gauche ; on refait ce chemin à partir de C pour placer D. B → C : deux côtés obliques vers le bas à droite puis un côté horizontal vers la droite ; on refait ce chemin à partir de A pour placer E.