Corrigé des 48 exercices sur les nombres relatifs en 4ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Tout d’abord, regardons la méthode.

Situation 1. Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.

1. \((+2)-(+8)-(-4)-(-3) = 2-8+4+3\). Puis la bonne forme simplifiée est la réponse c (et le résultat vaut \(1\)).

2. \((-7)-(-3)+(+5)-(+4) = -7+3+5-4\). De plus, la bonne forme simplifiée est la réponse a (et le résultat vaut \(-3\)).

Situation 2.

a. \((+2)+(-5) = 2-5 = \mathbf{-3}\)
b. \((-3)+(+7)+(+3) = -3+7+3 = \mathbf{7}\)
c. \((-7)+(-2)+(+4)+(-1) = -7-2+4-1 = -10+4 = \mathbf{-6}\)
d. \((-3)-(-4) = -3+4 = \mathbf{1}\)
e. \((+7)-(-2)+(+4) = 7+2+4 = \mathbf{13}\)
f. \((+5)+(-4)-(+7) = 5-4-7 = \mathbf{-6}\)

Situation 3. Deux facteurs de même signe donnent un produit positif, de signes contraires un produit négatif.

a. \((-2)\times 3 = \mathbf{-6}\)
b. \((-4)\times(-3) = \mathbf{12}\)
c. \((+2{,}5)\times(-5) = \mathbf{-12{,}5}\)
d. \((-2{,}4)\times(-1{,}5) = \mathbf{3{,}6}\)
e. \(2\times(-1)\times(-3) = \mathbf{6}\)

Situation 4. Un produit est positif s’il contient un nombre pair de facteurs négatifs, négatif sinon.

Suite de la correction

• \(A\) contient 3 facteurs \((-1)\) : 3 est impair, donc \(A\) est négatif (\(A=-1\)).
• \(B\) contient 6 facteurs \((-1)\) (les 2e, 5e, 6e, 8e, 9e et 12e) : 6 est pair, donc \(B\) est positif (\(B=1\)).
• \(C\) contient 303 facteurs \((-1)\) : 303 est impair, donc \(C\) est négatif (\(C=-1\)).

Situation 5. On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses et des crochets.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} A &= (-3)\times[3-(+5)] = (-3)\times(-2) = 6 \\ B &= 4-[5\times(-2)+(-2)] = 4-[-10-2] = 4-(-12) = 16 \\ C &= -4\times[(3+(-4))\times(-2-(-3))] = -4\times[(-1)\times 1] = -4\times(-1) = 4 \end{aligned} \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

On effectue en priorité les calculs entre crochets, et dans les crochets les multiplications avant les additions.

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} A &= (-5)+[(-4)\times(-2)+(+7)] \\ &= (-5)+[8+7] \\ &= -5+15 \\ &= 10 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-4)\times(-2)\times(-3)-(-3)\times(-2) \\ &= (-24)-(+6) \\ &= -24-6 \\ &= -30 \end{aligned} \]

Pour \(B\) : le premier produit contient trois facteurs négatifs, il est donc négatif ; le second en contient deux, il est positif.

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} C &= (+6)-(-9)+(-3)\times[(-5)\times(-2)-3] \\ &= 6+9+(-3)\times[10-3] \\ &= 15+(-3)\times 7 \\ &= 15-21 \\ &= -6 \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

Pour un produit, on détermine d’abord le signe (nombre de facteurs négatifs), puis on multiplie les distances à zéro.

\(A=(+3)\times(-2)\times(+4)\times(-1)\times(-2)\) : trois facteurs négatifs, donc \(A\) est négatif. \(3\times2\times4\times1\times2=48\), d’où \(A=-48\).

\(B=(-2)\times(+5)\times(-1)\times(-5)\times(-2)\) : quatre facteurs négatifs, donc \(B\) est positif. \(2\times5\times1\times5\times2=100\), d’où \(B=100\).

On a donc :

\[ \begin{aligned} C &= (-8)-4\times(+5) \\ &= -8-20 \\ &= -28 \end{aligned} \qquad \begin{aligned} D &= 5\times(-7+10)-12 \\ &= 5\times 3-12 \\ &= 15-12 = 3 \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

Le quotient de deux nombres de même signe est positif, de signes contraires il est négatif. Ensuite, les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} A &= (+3)-(-7)+(+24):(-6) \\ &= 3+7+(-4) \\ &= 6 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-3)+(-4)\times(-6)+(-21):(-7) \\ &= -3+24+3 \\ &= 24 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= (-36):(-9)-[(-4)\times(-3)+(-21):(-3)] \\ &= 4-[12+7] \\ &= 4-19 \\ &= -15 \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

On regroupe les facteurs pour calculer plus facilement.

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} A &= 2\times 3\times(-4)\times 0{,}5 = (2\times 0{,}5)\times 3\times(-4) = 1\times(-12) = -12 \\ B &= 2\times(-1)\times 5\times(-5) = (-2)\times(-25) = 50 \\ C &= (-3)\times(-5)\times(-2)\times 5 = 15\times(-10) = -150 \\ D &= (-1)\times(-8)\times(-6)\times(-5) = 8\times 30 = 240 \end{aligned} \]

Contrôle des signes : \(A\) a un facteur négatif (négatif), \(B\) deux (positif), \(C\) trois (négatif), \(D\) quatre (positif).

Avant tout, voici la correction détaillée.

\[ \begin{aligned} A &= 5\times 6-16\div(-4)-(15-8{,}1) \\ &= 30-(-4)-6{,}9 \\ &= 30+4-6{,}9 \\ &= 27{,}1 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (23-37)\times(14{,}2-16{,}7) \\ &= (-14)\times(-2{,}5) \\ &= 35 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= -11{,}6-4{,}2\div(-3)-(7{,}6-14{,}1) \\ &= -11{,}6-(-1{,}4)-(-6{,}5) \\ &= -11{,}6+1{,}4+6{,}5 \\ &= -3{,}7 \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} A &= 6+\frac{24-66}{3-9} = 6+\frac{-42}{-6} = 6+7 = 13 \\ B &= \frac{(-7)\times 8+6}{-21-(-2)\times 13} = \frac{-56+6}{-21-(-26)} = \frac{-50}{5} = -10 \\ C &= \frac{12\times(1-5)}{-3-3} = \frac{12\times(-4)}{-6} = \frac{-48}{-6} = 8 \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

On représente une perte par un nombre négatif : il y a deux ans le résultat était \(-80\,000\) €, l’année dernière \(-15\,000\) €.

1. Par ailleurs, L’amélioration est la différence entre le résultat le plus récent et le plus ancien :

\[ (-15\,000)-(-80\,000) = -15\,000+80\,000 = 65\,000 \text{ €} \]

L’entreprise a amélioré ses résultats de 65 000 €.

2. Si le résultat augmente encore de 65 000 € :

\[ -15\,000+65\,000 = 50\,000 \text{ €} \]

Le résultat devient positif : l’entreprise fera un profit de 50 000 € l’année prochaine.

Tout d’abord, regardons la méthode.

On repère les altitudes par rapport au niveau de la mer (altitude 0) : le cormoran part de \(+11\) m et arrive à \(-10\) m.

La distance parcourue vers le bas est la différence entre l’altitude de départ et l’altitude d’arrivée :

\[ 11-(-10) = 11+10 = 21 \text{ m} \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

Pour prouver qu’une phrase générale est fausse, un seul exemple qui ne la vérifie pas suffit : c’est un contre-exemple.

a) \(2\div 0{,}1 = 20\) et \(20 \gt 2\) : le résultat est plus grand que le nombre de départ. Puis la phrase est fausse.

b) L’inverse de \(0{,}5\) est \(\dfrac{1}{0{,}5} = 2\) et \(0{,}5 \lt 2\) : le nombre est plus petit que son inverse. Ensuite, la phrase est fausse.

c) \((-3)\times(-1) = 3\) et \(3 \gt -3\) : le résultat est plus grand que le nombre de départ. Puis la phrase est fausse.

d) \((-1)\times 4 = -4\) et \(-4 \lt -1\) : le résultat est plus petit que le nombre de départ. De plus, la phrase est fausse.

D’abord, décomposons le calcul.

On applique les priorités opératoires : d’abord les parenthèses et crochets (en commençant par les plus intérieurs), puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions de gauche à droite.

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} U &= 16-5\times 4 = 16-20 = -4 \\ V &= 8\times 4-5\times 6 = 32-30 = 2 \\ W &= 9-3:3 = 9-1 = 8 \end{aligned} \]

Pour \(W\), la division est prioritaire : on ne calcule surtout pas \(9-3\) d’abord.

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} X &= -7\times(3+6) = -7\times 9 = -63 \\ Y &= (-2-4)\times(6-8) = (-6)\times(-2) = 12 \\ Z &= 7-[6-(3-8)] = 7-[6-(-5)] = 7-[6+5] = 7-11 = -4 \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

On remplace chaque lettre par sa valeur entre parenthèses : \(a=-6\), \(b=2\) et \(c=-4\). Rappel : \(bc\) signifie \(b\times c\).

1. \[ a+bc = (-6)+2\times(-4) = (-6)+(-8) = -14 \]

2. \[ (a+b)\times c = \big((-6)+2\big)\times(-4) = (-4)\times(-4) = 16 \]

3. La division est prioritaire sur l’addition : \[ a+\frac{b}{c} = (-6)+\frac{2}{-4} = (-6)+(-0{,}5) = -6{,}5 \]

4. Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses autour du numérateur : \[ \frac{a+b}{c} = \frac{(-6)+2}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

On simplifie l’écriture (soustraire un nombre revient à ajouter son opposé), puis on calcule en respectant les priorités.

On a donc :

\[ \begin{aligned} A &= (-14)-(-13)+(-7) = -14+13-7 = -8 \\ B &= (-4)-[(-3)-(-8)+(+7)] = -4-[-3+8+7] = -4-12 = -16 \\ C &= (-2)+(-3)\times(+5) = -2+(-15) = -17 \\ D &= (-9)-(-5)+[(-3)-(+2)\times(-3)] = -9+5+[-3-(-6)] = -4+3 = -1 \\ E &= (-4)-(3-7)+(-8) = -4-(-4)-8 = -4+4-8 = -8 \end{aligned} \]

Dans \(C\) et \(D\), la multiplication passe avant l’addition et la soustraction : \((+2)\times(-3)=-6\) se calcule avant de soustraire.

Avant tout, voici la correction détaillée.

\(a\) et \(b\) sont deux nombres négatifs non nuls, donc \(a \lt 0\) et \(b \lt 0\).

• Signe du numérateur \(ab\) : c’est le produit de deux nombres négatifs, donc il est positif (règle des signes).
• Signe du dénominateur \(a+b\) : la somme de deux nombres négatifs est négative (on ajoute deux « dettes »). Elle n’est pas nulle, donc le quotient existe.
• Le quotient d’un nombre positif par un nombre négatif est négatif.

Exemple de contrôle : avec \(a=-2\) et \(b=-3\), \(\dfrac{ab}{a+b} = \dfrac{6}{-5} = -1{,}2\), qui est bien négatif.

D’abord, décomposons le calcul.

\[ \begin{aligned} A &= (5-8)\times(-2-4) \\ &= (-3)\times(-6) \\ &= 18 \end{aligned} \]

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} B &= (-4)\times(-5)\times(-2)\times(-6+7) \\ &= (-4)\times(-5)\times(-2)\times 1 \\ &= 20\times(-2) \\ &= -40 \end{aligned} \]

Contrôle du signe de \(B\) : trois facteurs négatifs, nombre impair, donc le produit est bien négatif.

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} C &= [9+2\times(-12)]\div[3-(16-18)] \\ &= [9+(-24)]\div[3-(-2)] \\ &= (-15)\div 5 \\ &= -3 \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

Deux nombres de même signe : on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun. Deux nombres de signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

En e., \(+1\) et \(-1\) sont opposés : leur somme est nulle.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé, puis on termine comme une addition.

a. \((-6)-(-9) = (-6)+(+9) = \mathbf{3}\)
b. \((-3)-(-5) = (-3)+(+5) = \mathbf{2}\)
c. \((+15)-(-15) = 15+15 = \mathbf{30}\)
d. \((-15)-(+17) = (-15)+(-17) = \mathbf{-32}\)
e. \((-0{,}1)-(-2) = (-0{,}1)+(+2) = \mathbf{1{,}9}\)
f. \((+6{,}5)-(+1) = 6{,}5-1 = \mathbf{5{,}5}\)
g. \((-1)-(+9{,}5) = (-1)+(-9{,}5) = \mathbf{-10{,}5}\)
h. \((+0{,}3)-(-6) = 0{,}3+6 = \mathbf{6{,}3}\)

Avant tout, voici la correction détaillée.

Les écritures sont déjà simplifiées : chaque signe devant un nombre est le signe de ce nombre. Ensuite, on lit \(4-19\) comme « \(+4\) et \(-19\) ».

a. \(4-19 = \mathbf{-15}\)
b. \(-18+13 = \mathbf{-5}\)
c. \(-8-3 = \mathbf{-11}\)
d. \(-11+11 = \mathbf{0}\) (deux nombres opposés)
e. \(-2{,}5-2{,}5 = \mathbf{-5}\)
f. \(-0{,}1+100 = \mathbf{99{,}9}\)
g. \(0{,}3-7{,}3 = \mathbf{-7}\)
h. \(-0{,}5-19{,}5 = \mathbf{-20}\)

D’abord, décomposons le calcul.

Méthode : on transforme les soustractions en additions de l’opposé (ou on supprime les parenthèses), puis on regroupe les positifs et les négatifs.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} A &= (-14)+(+16)+(-3) \\ &= -14+16-3 \\ &= -1 \end{aligned} \]

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} B &= (+4{,}5)+(-16)+(-3{,}5)+(-3)+(+2{,}5) \\ &= (4{,}5+2{,}5)-(16+3{,}5+3) \\ &= 7-22{,}5 \\ &= -15{,}5 \end{aligned} \]

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} C &= (-7)-(+11)-(-1) \\ &= -7-11+1 \\ &= -18+1 \\ &= -17 \end{aligned} \]

Puis, \[ \begin{aligned} D &= (+2)-(-6)+(-3)-(-7)+(+12)-(+9) \\ &= 2+6-3+7+12-9 \\ &= (2+6+7+12)-(3+9) \\ &= 27-12 \\ &= 15 \end{aligned} \]

On a donc :

\[ \begin{aligned} E &= (-2)-(-1)-5+4+77 \\ &= -2+1-5+4+77 \\ &= (1+4+77)-(2+5) \\ &= 82-7 \\ &= 75 \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

On calcule chaque expression, puis on relie celles qui ont la même valeur.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Pour \(x-y\), on remplace \(y\) par sa valeur entre parenthèses et on ajoute son opposé ; puis on ajoute \(z\) au résultat.

• a. \(4{,}5-(-1) = 4{,}5+1 = \mathbf{5{,}5}\) puis \(5{,}5+2 = \mathbf{7{,}5}\)
• b. \(-6-(-5) = -6+5 = \mathbf{-1}\) puis \(-1+3{,}5 = \mathbf{2{,}5}\)
• c. \(7-(-5) = 7+5 = \mathbf{12}\) puis \(12+(-4) = \mathbf{8}\)
• d. \(1{,}5-(-9) = 1{,}5+9 = \mathbf{10{,}5}\) puis \(10{,}5+(-8) = \mathbf{2{,}5}\)
• e. \(7-(-6) = 7+6 = \mathbf{13}\) puis \(13+9{,}5 = \mathbf{22{,}5}\)

Avant tout, voici la correction détaillée.

On calcule d’abord l’intérieur de chaque parenthèse, puis on enchaîne les additions et soustractions.

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} A &= (-5+1)+(6-11)+(-3-17) \\ &= (-4)+(-5)+(-20) \\ &= -9+(-20) \\ &= -29 \end{aligned} \]

De même, \[ \begin{aligned} B &= (15-12)-(-1-8)+(5+7)-(-1-5) \\ &= 3-(-9)+12-(-6) \\ &= 3+9+12+6 \\ &= 30 \end{aligned} \]

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} C &= (-3+1-9)-(6-11+3)+(-5-11-10) \\ &= (-11)-(-2)+(-26) \\ &= -11+2-26 \\ &= -35 \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

On applique les étapes dans l’ordre. « Ajouter −4 » revient à retirer 4 ; « retirer −2,5 » revient à ajouter 2,5 ; l’opposé d’un nombre change son signe.

En c., l’opposé de 0 est 0 lui-même.

D’abord, voici la démarche.

Règle des signes : le produit de deux nombres de même signe est positif, de deux nombres de signes contraires est négatif. Pas besoin de calculer le produit !

• Signes contraires, donc négatif : a. \((-7)\times 37\) ; c. \(2\times(-3{,}2)\) ; g. \(7{,}5\times(-37)\) ; k. \(4\times(-4)\).
• Même signe, donc positif : b. \(7{,}5\times 3\) ; d. \((-1)\times(-5{,}3)\) ; e. \((-2)\times(-0{,}1)\) ; f. \((-0{,}2)\times(-7)\) ; h. \((-7{,}5)\times(-37)\) ; j. \(0{,}23\times 5\).
• i. \((-4)\times 0\) et l. \(0\times 5{,}54\) valent 0, car un facteur est nul. Or 0 est à la fois positif et négatif : on coche les deux cases.

Tout d’abord, regardons la méthode.

On multiplie les distances à zéro, puis on applique la règle des signes.

a. \((-10)\times(-10) = \mathbf{100}\) (même signe)
b. \(10\times 10 = \mathbf{100}\)
c. \(10\times(-10) = \mathbf{-100}\) (signes contraires)
d. \((-25)\times 4 = \mathbf{-100}\)
e. \((-100)\times 2 = \mathbf{-200}\)
f. \((-50)\times(-4) = \mathbf{200}\)
g. \(237\times(-1) = \mathbf{-237}\)
h. \((-250)\times(-1) = \mathbf{250}\)

Remarque sur g. et h. : multiplier par \(-1\) donne l’opposé du nombre.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Pour un produit de plusieurs facteurs non nuls, on compte les facteurs négatifs : un nombre pair donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif.

• a. Facteurs négatifs : \(-1\), \(-3\), \(-4\), \(-5\), soit 4 (pair) : positif.
• b. \(-1\), \(-3\), \(-5\), soit 3 (impair) : négatif.
• c. \(-10\), \(-7\), \(-2\), soit 3 (impair) : négatif.
• d. \(-4\), \(-3{,}8\), \(-4{,}5\), \(-1{,}5\), soit 4 (pair) : positif.
• e. \(-3\), \(-9\), \(-1{,}2\), \(-2\), \(-1\), soit 5 (impair) : négatif.
• f. Un des facteurs est 0 : le produit est nul. 0 étant à la fois positif et négatif, on coche les deux cases.

D’abord, décomposons le calcul.

a. Il faut d’abord retrouver la valeur manquante de \(a\) ou de \(b\) sur chaque ligne.

• Ligne 1 : \(a=-2\), \(b=6\). \(ab = -12\) ; \((-a)b = 2\times 6 = 12\) ; \(-(ab) = 12\) ; \(a(-b) = (-2)\times(-6) = 12\) ; \((-a)(-b) = 2\times(-6) = -12\).
• Ligne 2 : \(a=3\) et \(ab=-7{,}5\), donc \(b = -7{,}5 \div 3 = \mathbf{-2{,}5}\). Puis \((-a)b = (-3)\times(-2{,}5) = 7{,}5\) ; \(-(ab) = 7{,}5\) ; \(a(-b) = 3\times 2{,}5 = 7{,}5\) ; \((-a)(-b) = (-3)\times 2{,}5 = -7{,}5\).
• Ligne 3 : \(b=-5\) et \((-a)b = -10\), donc \(-a = -10 \div (-5) = 2\), d’où \(a = \mathbf{-2}\). Puis \(ab = (-2)\times(-5) = 10\) ; \(-(ab) = -10\) ; \(a(-b) = (-2)\times 5 = -10\) ; \((-a)(-b) = 2\times 5 = 10\).
• Ligne 4 : \(a=8\) et \((-a)(-b) = 40\), soit \((-8)\times(-b) = 40\), donc \(-b = -5\) et \(b = \mathbf{5}\). Puis \(ab = 40\) ; \((-a)b = -40\) ; \(-(ab) = -40\) ; \(a(-b) = 8\times(-5) = -40\).

b. Sur chaque ligne, les colonnes \((-a)b\), \(-(ab)\) et \(a(-b)\) sont égales, et \((-a)(-b)\) est égal à \(ab\).

Justification : \(-a = (-1)\times a\). Donc \((-a)b = (-1)\times a\times b = -(ab)\), et de même \(a(-b) = a\times(-1)\times b = -(ab)\). Enfin \((-a)(-b) = (-1)\times(-1)\times a\times b = 1\times ab = ab\), car \((-1)\times(-1) = 1\).

D’abord, voici la démarche.

a. Sur 275 facteurs non nuls, 82 sont positifs, donc \(275-82 = 193\) sont négatifs. 193 est un nombre impair : le produit est négatif.

b. Appelons \(n\) le nombre de facteurs négatifs. Par ailleurs, il y a \(2n\) facteurs positifs, donc \(n+2n = 162\), soit \(3n = 162\) et \(n = 162 \div 3 = 54\). Puis il y a donc 54 facteurs négatifs (et 108 positifs). 54 est pair : le produit est positif.

c. \((-2)\) et \((-7{,}56)\) sont deux facteurs négatifs, leur produit est positif. Ensuite, pour que le produit total \((-2)\times(-a)\times(-7{,}56)\) soit positif, il faut que \(-a\) soit positif (non nul, sinon le produit vaudrait 0). Si \(-a\) est positif, alors \(a\) est négatif.

Tout d’abord, regardons la méthode.

On multiplie le nombre choisi par \(-5\), puis on double, c’est-à-dire on multiplie par 2.

On remarque que ce programme revient à multiplier le nombre de départ par \(-10\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Le signe d’un quotient suit la même règle que le produit : deux nombres de même signe donnent un quotient positif, deux nombres de signes contraires donnent un quotient négatif. Puis pour une fraction, on compare le signe du numérateur et celui du dénominateur. De plus, on n’a pas besoin de calculer le quotient.

• a. \((-8)\div 3\) : signes contraires, négatif.
• b. \((-8)\div(-4)\) : même signe, positif (il vaut 2).
• c. \(12\div 1{,}5\) : deux positifs, positif.
• d. \((-8)\div(-4)\) : c’est le même quotient qu’en b, positif.
• e. \(-42\div 7\) : signes contraires, négatif.
• f. \(9\div(-3)\) : signes contraires, négatif.
• g. \(\dfrac{15}{4}\) : deux positifs, positif.
• h. \(\dfrac{11}{-5}\) : signes contraires, négatif.
• i. \(\dfrac{-45}{15}\) : signes contraires, négatif.
• j. \(\dfrac{-9{,}2}{-3{,}5}\) : même signe, positif.
• k. \(\dfrac{-14}{-3}\) : même signe, positif.
• l. \(\dfrac{-2}{3}\) : signes contraires, négatif.

D’abord, décomposons le calcul.

On détermine d’abord le signe du quotient (même signe : positif, signes contraires : négatif), puis on divise les distances à zéro.

a. \((-27)\div(-9) = \mathbf{3}\) (même signe, \(27\div 9=3\))
b. \((-24)\div(+4) = \mathbf{-6}\) (signes contraires, \(24\div 4=6\))
c. \((+8)\div(-8) = \mathbf{-1}\)
d. \((-55)\div(-5) = \mathbf{11}\)
e. \((+15)\div(-10) = \mathbf{-1{,}5}\) (car \(15\div 10=1{,}5\))
f. \((-4)\div(-8) = \mathbf{0{,}5}\) (car \(4\div 8=0{,}5\))

D’abord, voici la démarche.

Un trait de fraction est une division : on applique la règle des signes du quotient au numérateur et au dénominateur.

a. \(\dfrac{-7{,}2}{9} = \mathbf{-0{,}8}\) (car \(7{,}2\div 9=0{,}8\))
b. \(\dfrac{-9}{-18} = \mathbf{0{,}5}\)
c. \(\dfrac{18}{-2} = \mathbf{-9}\)
d. \(\dfrac{-9}{2} = \mathbf{-4{,}5}\)
e. \(\dfrac{-14{,}6}{-2} = \mathbf{7{,}3}\)
f. \(\dfrac{9{,}3}{-3} = \mathbf{-3{,}1}\)
g. \(\dfrac{-21{,}3}{-3} = \mathbf{7{,}1}\)
h. \(\dfrac{7}{-0{,}7} = \mathbf{-10}\) (car \(7\div 0{,}7=70\div 7=10\))

Tout d’abord, regardons la méthode.

Les distances à zéro sont déjà justes (par exemple \(21\div 7=3\)) : il reste à choisir le signe pour que le signe du quotient soit le bon. Si le résultat est positif, les deux nombres ont le même signe ; s’il est négatif, ils sont de signes contraires.

• a. Le résultat 3 est positif et le diviseur \(-7\) est négatif, donc le dividende est négatif : \((\mathbf{-}\,21)\div(-7)=3\).
• b. Le résultat 0,5 est positif et le diviseur est positif : \((\mathbf{+}\,2)\div(+4)=0{,}5\).
• c. Le résultat est négatif et 16 est positif, donc le diviseur est négatif : \(16\div(\mathbf{-}\,8)=-2\).
• d. Le résultat est négatif et \(-63\) est négatif, donc le diviseur est positif : \((-63)\div(\mathbf{+}\,7)=-9\).
• e. Le résultat est positif et 49 est positif : \(49\div(\mathbf{+}\,7)=7\).
• f. Le résultat est négatif et \(-121\) est négatif : \((-121)\div(\mathbf{+}\,11)=-11\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Priorités : d’abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. À chaque ligne, l’opération effectuée est celle qui est prioritaire (mise en évidence ci-dessous).

A (la multiplication d’abord) :

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} A &= 15 + 5 \times (-8) \\ &= 15 + (-40) \\ &= -25 \end{aligned} \]

B (la division d’abord) :

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} B &= (-8) \div 4 – 5 \\ &= -2 – 5 \\ &= -7 \end{aligned} \]

C (la division d’abord) :

On a donc :

\[ \begin{aligned} C &= 19 – 12 \div (-4) \\ &= 19 – (-3) \\ &= 19 + 3 = 22 \end{aligned} \]

D (la multiplication d’abord) :

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} D &= -10 + 10 \times (-4) \\ &= -10 + (-40) \\ &= -50 \end{aligned} \]

E (on calcule le numérateur et le dénominateur) :

\[ E = \dfrac{-9 \times 4}{6 \times (-2)} = \dfrac{-36}{-12} = 3 \]

G (la parenthèse d’abord) :

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} G &= (15 + 5) \times (-8) \\ &= 20 \times (-8) \\ &= -160 \end{aligned} \]

H (la parenthèse d’abord) :

Suite du calcul

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} H &= (-8) \div (4 – 5) \\ &= (-8) \div (-1) \\ &= 8 \end{aligned} \]

I (la multiplication et la division d’abord) :

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} I &= 8 \times (-2) – 9 \div (-3) \\ &= -16 – (-3) \\ &= -16 + 3 = -13 \end{aligned} \]

J (la parenthèse d’abord) :

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} J &= (-10 + 10) \times (-4) \\ &= 0 \times (-4) \\ &= 0 \end{aligned} \]

K (la parenthèse d’abord) :

On a donc :

\[ \begin{aligned} K &= (19 – 12) \div (-4) \\ &= 7 \div (-4) \\ &= -1{,}75 \end{aligned} \]

On remarque que A et G, B et H, D et J, C et K utilisent les mêmes nombres : seules les parenthèses changent, et le résultat change complètement.

D’abord, décomposons le calcul.

Le symbole « : » désigne ici la division. Entre multiplications et divisions qui se suivent, on calcule de gauche à droite.

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} A &= (-4) \div 2 – (-4) \times (-9) \div 3 \\ &= -2 – 36 \div 3 \\ &= -2 – 12 = -14 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (8 \div 2) \div 2 \times 3 – 4 \\ &= 4 \div 2 \times 3 – 4 \\ &= 2 \times 3 – 4 = 6 – 4 = 2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= 5 + 3 \times 8 \times 4 \div 2 + 1 \\ &= 5 + 96 \div 2 + 1 \\ &= 5 + 48 + 1 = 54 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= (-4 \div 2) – \big((-4) \times (-9)\big) \div 3 \\ &= -2 – 36 \div 3 \\ &= -2 – 12 = -14 \end{aligned} \]

E s’écrit \(8(2\div 2)\times(3-4)\) : le 8 collé à la parenthèse sous-entend une multiplication.

Fin de la correction

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} E &= 8 \times (2 \div 2) \times (3 – 4) \\ &= 8 \times 1 \times (-1) = -8 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F &= (5 + 3) \times 2 \times (4 \div 2 + 1) \\ &= 8 \times 2 \times (2 + 1) \\ &= 16 \times 3 = 48 \end{aligned} \]

A et D donnent le même résultat : les parenthèses ajoutées dans D ne changent pas l’ordre des calculs.

D’abord, voici la démarche.

On calcule d’abord chaque expression sans parenthèses, puis on cherche où placer une paire de parenthèses pour obtenir le résultat annoncé.

A. Sans parenthèses : \((-4)\times 5+2+(-3)-4 = -20+2-3-4 = -25\), pas \(-35\). Ensuite, il faut multiplier \(-4\) par un nombre plus grand : \((-4)\times(5+2) = -28\).

\[ A = (-4) \times (5 + 2) + (-3) – 4 = -28 – 3 – 4 = -35 \]

B. Sans parenthèses : \(-6+8+4-1 = 5\), pas 4. Par ailleurs, on groupe \(2-1\) :

\[ B = (-2) \times 3 + 8 + 2 \times (2 – 1) = -6 + 8 + 2 = 4 \]

C. Sans parenthèses : \(1+8-6+4 = 7\), pas 10. Puis on groupe \(1+2\) :

\[ C = (1 + 2) \times 4 – 2 \times 3 + 4 = 12 – 6 + 4 = 10 \]

D. Sans parenthèses : \(5+6+2+4-1 = 16\), pas 18. Ensuite, on groupe \(3+2\) :

\[ D = 5 + 2 \times (3 + 2) + 4 – 1 = 5 + 10 + 4 – 1 = 18 \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

On remplace \(a\) par 4 et \(b\) par \(-3\), en mettant \(-3\) entre parenthèses, et on rétablit les signes \(\times\) sous-entendus.

\[ A = 3 \times 4 + 2 \times (-3) = 12 – 6 = 6 \]
\[ B = 6 + 4 \times 4 – 3 \times (-3) = 6 + 16 + 9 = 31 \]
\[ C = -4 – (-3) = -4 + 3 = -1 \]
\[ D = \dfrac{4 + (-3)}{4 – (-3)} = \dfrac{1}{7} \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

On calcule séparément le numérateur et le dénominateur (en respectant les priorités), puis on divise.

C. Numérateur : \(-7+7\times(-3)-3 = -7-21-3 = -31\). Dénominateur : \(-8\times 5-3\times(-3) = -40+9 = -31\).

\[ C = \dfrac{-31}{-31} = 1 \]

D. Numérateur : \(+7\times(-8)-24\div(-4) = -56-(-6) = -56+6 = -50\). Dénominateur : \(-27\div(-3)+(-2)\times(+4) = 9+(-8) = 1\).

\[ D = \dfrac{-50}{1} = -50 \]

D’abord, décomposons le calcul.

Attention à l’écriture \(-(3-x)^2\) : on calcule d’abord la parenthèse, puis le carré, et enfin on prend l’opposé du carré.

a. Pour \(x = 5\) :

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} C &= -(3 – 5)^2 + 2 \times 5 + 1 \\ &= -(-2)^2 + 10 + 1 \\ &= -4 + 11 = 7 \end{aligned} \]

b. Pour \(x = -2\) :

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} C &= -(3 – (-2))^2 + 2 \times (-2) + 1 \\ &= -5^2 – 4 + 1 \\ &= -25 – 3 = -28 \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

1. Pour \(x = -2\) : \((-2)^2 = 4\).

\[ A = -2 \times 4 + 2 = -8 + 2 = -6 \]
\[ B = (2 \times 4 – 2)(2 \times (-2) + 3) = 6 \times (-1) = -6 \]

On obtient la même valeur : pour \(x=-2\), \(A = B = -6\), l’égalité est vraie.

2. Pour \(x = 2\) : \(2^2 = 4\).

\[ A = -2 \times 4 + 2 = -6 \]
\[ B = (2 \times 4 – 2)(2 \times 2 + 3) = 6 \times 7 = 42 \]

Cette fois \(A = -6\) et \(B = 42\) : l’égalité est fausse pour \(x = 2\). Puis une égalité vraie pour une valeur n’est donc pas vraie pour toutes : \(x = 2\) est un contre-exemple, et \(A = B\) n’est pas une égalité toujours vraie.

Tout d’abord, regardons la méthode.

\[ \begin{aligned} T &= 1 \times (-2) + 3 \times (-4) – 5 \times (-6) + 7 \times (-8) \\ &= -2 – 12 + 30 – 56 \\ &= -40 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R &= (-0{,}5) \times (-12) – (-0{,}1) \times 8 \\ &= 6 – (-0{,}8) \\ &= 6 + 0{,}8 = 6{,}8 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} U &= 2 \times (-7 – 3) \times (-4) – (1 – 7) \\ &= 2 \times (-10) \times (-4) – (-6) \\ &= 80 + 6 = 86 \end{aligned} \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule en premier le numérateur et le dénominateur.

• D : on entoure \(5-4\). \(D = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\).
• E : on entoure \(5-4\) (le numérateur), avant la soustraction de 5. \(E = \dfrac{1}{2} – 5 = 0{,}5 – 5 = \mathbf{-4{,}5}\).
• F : on entoure \(10-8\) (le dénominateur). \(F = \dfrac{-4}{2} = \mathbf{-2}\).
• G : on entoure \(1-3\) et \(4-5\). \(G = -7 – \dfrac{-2}{-1} = -7 – 2 = \mathbf{-9}\).

D’abord, décomposons le calcul.

S. Numérateur : \(-15+25\times 2 = -15+50 = 35\). Dénominateur : \(2\times(-2)-1 = -4-1 = -5\).

\[ S = \dfrac{35}{-5} = -7 \]

T. Numérateur : \(-7-(-2)\times 2 = -7-(-4) = -7+4 = -3\). Dénominateur : \(-10+5\times(-2) = -10-10 = -20\).

\[ T = \dfrac{-3}{-20} = \dfrac{3}{20} = 0{,}15 \]

D’abord, voici la démarche.

Dans chaque colonne, on remplace \(a\), \(b\), \(c\) par leurs valeurs entre parenthèses et on respecte les priorités. Détail de la première colonne (\(a=1\), \(b=-2\), \(c=3\)) :

• \(a\times b\times c = 1\times(-2)\times 3 = -6\)
• \(a-b-c = 1-(-2)-3 = 1+2-3 = 0\)
• \((-a)+b\times c = -1+(-2)\times 3 = -1-6 = -7\)
• \((-a-b)\times c = (-1+2)\times 3 = 3\)
• \(a-b\times c = 1-(-6) = 7\)

Deuxième colonne (\(a=-2\), \(b=-1\), \(c=-5\)) : \((-2)\times(-1)\times(-5)=-10\) ; \(-2+1+5=4\) ; \(2+5=7\) ; \((2+1)\times(-5)=-15\) ; \(-2-5=-7\).

Troisième colonne (\(a=4\), \(b=-3\), \(c=-2\)) : \(4\times(-3)\times(-2)=24\) ; \(4+3+2=9\) ; \(-4+6=2\) ; \((-4+3)\times(-2)=2\) ; \(4-6=-2\).

Quatrième colonne (\(a=-7\), \(b=3\), \(c=-2\)) : \((-7)\times 3\times(-2)=42\) ; \(-7-3+2=-8\) ; \(7-6=1\) ; \((7-3)\times(-2)=-8\) ; \(-7+6=-1\).

Tout d’abord, regardons la méthode.

1) On part de \(-4\) :

• on soustrait 6 : \(-4-6 = -10\) ;
• on élève au carré : \((-10)^2 = (-10)\times(-10) = 100\).

Le résultat obtenu est bien 100.

2) On part de 15 : \(15-6 = 9\), puis \(9^2 = 81\). De plus, le résultat est 81.

3) On remonte le programme. Ensuite, le résultat 144 est le carré du nombre obtenu après avoir soustrait 6. Or \(12^2 = 144\) et aussi \((-12)^2 = 144\) (un produit de deux négatifs est positif). Après la soustraction, on doit donc obtenir 12 ou \(-12\).

• Si l’on obtient 12, le nombre de départ est \(12+6 = 18\).
• Si l’on obtient \(-12\), le nombre de départ est \(-12+6 = -6\).

Vérification : \((18-6)^2 = 12^2 = 144\) et \((-6-6)^2 = (-12)^2 = 144\).

Avant tout, voici la correction détaillée.

A pour \(x = -4\) :

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} A &= -(12 – (-4)) + 15 – 3 \times (-4) \\ &= -16 + 15 + 12 \\ &= 11 \end{aligned} \]

B pour \(a = -5\) :

On a donc :

\[ \begin{aligned} B &= 4 – (-5) – (11 – (-5)) + 3 – 5 \times (-5) \\ &= 4 + 5 – 16 + 3 + 25 \\ &= 21 \end{aligned} \]

C pour \(a = -5\), \(b = 8\), \(c = -7\) :

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} C &= 3 \times (-5 – 8) – 4 \times 8 \times (-7) \\ &= 3 \times (-13) – (-224) \\ &= -39 + 224 = 185 \end{aligned} \]

D pour les mêmes valeurs :

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} D &= (-5) \times 8 – 8 \times (8 – (-7)) \\ &= -40 – 8 \times 15 \\ &= -40 – 120 = -160 \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

Quotients simples (règle des signes) :

\(A = 20\div(-4) = \mathbf{-5}\) ; \(B = \dfrac{-25}{-5} = \mathbf{5}\) ; \(C = -12\div 3 = \mathbf{-4}\) ; \(D = 35\div(-7) = \mathbf{-5}\) ; \(E = -32\div(-8) = \mathbf{4}\) ; \(F = \dfrac{-16}{8} = \mathbf{-2}\).

Avec priorités (multiplications et divisions avant additions et soustractions) :

Reste du calcul

\[ G = -8 + 16 \div (-8) = -8 + (-2) = -10 \]
\[ H = -7 – (-24) \div 6 = -7 – (-4) = -7 + 4 = -3 \]
\[ I = -6 + (-3) \times (-9) = -6 + 27 = 21 \]
\[ J = -7 \div (-2) + (-8) \times (-2) = 3{,}5 + 16 = 19{,}5 \]
\[ \begin{aligned} K &= -3 \times 4 + 8 – 7(-4 + 2) + \dfrac{1 – 13}{4} \\ &= -12 + 8 – 7 \times (-2) + \dfrac{-12}{4} \\ &= -12 + 8 + 14 – 3 = 7 \end{aligned} \]
\[ L = (-3 + 7)\left(4 – \dfrac{7 – 1}{4}\right) = 4 \times (4 – 1{,}5) = 4 \times 2{,}5 = 10 \]
\[ M = \dfrac{3 – 22}{-3 + 5 \times (-7)} = \dfrac{-19}{-3 – 35} = \dfrac{-19}{-38} = 0{,}5 \]
\[ N = -5 \times 2{,}4 + \dfrac{15 – 20}{2 – 4 \times 3} = -12 + \dfrac{-5}{-10} = -12 + 0{,}5 = -11{,}5 \]
\[ O = 5 – 36 \div (-4) – 2 \times (-5) = 5 – (-9) – (-10) = 5 + 9 + 10 = 24 \]
\[ P = -32 \div (-6 – 2) \times (-5) = -32 \div (-8) \times (-5) = 4 \times (-5) = -20 \]
\[ Q = -5 + 18 \div (-2) – (-3) \times (-4) = -5 + (-9) – 12 = -26 \]

Pour R, la division et la multiplication \((-8)\div 2\times(-3)\) s’effectuent de gauche à droite :

Suite de l’exercice

\[ R = 5 – (-9) \times 3 + (-8) \div 2 \times (-3) = 5 + 27 + (-4) \times (-3) = 5 + 27 + 12 = 44 \]
\[ S = -15 \div \big(3 – 12 \div (-2)\big) = -15 \div (3 + 6) = \dfrac{-15}{9} = -\dfrac{5}{3} \]
\[ T = \big(8 – 4 \times (-5)\big) \times \big(30 \div (-6) + 2\big) = (8 + 20) \times (-5 + 2) = 28 \times (-3) = -84 \]
\[ U = \big[-4 + \big(3 + (-9) \div (-3)\big)\big] \div (-5) = [-4 + (3 + 3)] \div (-5) = 2 \div (-5) = -0{,}4 \]

D’abord, voici la démarche.

On remplace les lettres par leurs valeurs entre parenthèses, en respectant les priorités.

Ligne 1 (\(a=-5\), \(b=6\), \(c=2\)) :

• \(a\times b\times c = (-5)\times 6\times 2 = -60\)
• \(a-b-c = -5-6-2 = -13\)
• \((-a)-b\times c = 5-12 = -7\)
• \((-a+b)\times c = (5+6)\times 2 = 22\)
• \(-a+b\times c = 5+12 = 17\)

De même, ligne 2 (\(a=-1\), \(b=4\), \(c=-2\)) :

• \((-1)\times 4\times(-2) = 8\)
• \(-1-4-(-2) = -1-4+2 = -3\)
• \(1-4\times(-2) = 1+8 = 9\)
• \((1+4)\times(-2) = -10\)
• \(1+4\times(-2) = 1-8 = -7\)

Ligne 3 (\(a=3\), \(b=5\), \(c=-1\)) :

• \(3\times 5\times(-1) = -15\)
• \(3-5-(-1) = 3-5+1 = -1\)
• \(-3-5\times(-1) = -3+5 = 2\)
• \((-3+5)\times(-1) = -2\)
• \(-3+5\times(-1) = -3-5 = -8\)

Puis, ligne 4 (\(a=6\), \(b=3\), \(c=-2\)) :

• \(6\times 3\times(-2) = -36\)
• \(6-3-(-2) = 6-3+2 = 5\)
• \(-6-3\times(-2) = -6+6 = 0\)
• \((-6+3)\times(-2) = 6\)
• \(-6+3\times(-2) = -6-6 = -12\)