Corrigé des 30 exercices sur les opérations et les calculs en CM2 : solutions à télécharger en PDF

On arrondit chaque nombre pour calculer de tête, puis on choisit la proposition la plus proche.

• Ainsi, a. \( 3\,723+4\,093 \approx 3\,700+4\,100 = 7\,800 \) → 7 800 (résultat exact : 7 816).
• Donc, b. \( 122\,826-6\,727 \approx 123\,000-7\,000 = 116\,000 \) → 116 000 (exact : 116 099).
• Par ailleurs, c. \( 10\,076+389+45 \approx 10\,100+400 = 10\,500 \) → 10 500 (exact : 10 510).
• Par conséquent, d. \( 19\,325-6\,412 \approx 19\,000-6\,000 = 13\,000 \) → 13 000 (exact : 12 913).

Également, en b, 11 600 et 122 000 sont impossibles : on enlève environ 7 000 à 123 000. Puis en d, 1 300 est dix fois trop petit.

Également, on aligne les unités sous les unités et on n’oublie pas les retenues.

Ensuite, a. \[ \begin{array}{r} 756 \\ +\ 563 \\ \hline 1\,319 \end{array} \] 6 + 3 = 9 ; 5 + 6 = 11, on écrit 1 et on retient 1 ; 7 + 5 + 1 = 13.

Ensuite, b. \[ \begin{array}{r} 2\,563 \\ +\ 749 \\ \hline 3\,312 \end{array} \] 3 + 9 = 12 (retenue 1) ; 6 + 4 + 1 = 11 (retenue 1) ; 5 + 7 + 1 = 13 (retenue 1) ; 2 + 1 = 3.

Ainsi, c. \[ \begin{array}{r} 82 \\ +\ 191 \\ +\ 78 \\ \hline 351 \end{array} \] 2 + 1 + 8 = 11 (retenue 1) ; 8 + 9 + 7 + 1 = 25 (retenue 2) ; 1 + 2 = 3.

Donc, d. \[ \begin{array}{r} 534 \\ -\ 413 \\ \hline 121 \end{array} \] Aucune retenue : 4 − 3 = 1 ; 3 − 1 = 2 ; 5 − 4 = 1.

Par conséquent, e. \[ \begin{array}{r} 458 \\ -\ 285 \\ \hline 173 \end{array} \] 8 − 5 = 3 ; 5 − 8 impossible : 15 − 8 = 7 et on ajoute 1 à 2 ; 4 − 3 = 1.

Également, f. \[ \begin{array}{r} 1\,505 \\ -\ 614 \\ \hline 891 \end{array} \] 5 − 4 = 1 ; 10 − 1 = 9 (retenue) ; 15 − (6 + 1) = 8 (retenue) ; 1 − 1 = 0.

Par ailleurs, on regroupe les nombres dont la somme est « ronde ».

\[ \begin{aligned} A &= 1\,004+223+96+7 \\ &= (1\,004+96)+(223+7) \\ &= 1\,100+230 \\ &= 1\,330 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} B &= 12+13+14+15+16+17+18 \\ &= (12+18)+(13+17)+(14+16)+15 \\ &= 30+30+30+15 \\ &= 105 \end{aligned} \]

On calcule d’abord un ordre de grandeur (ODG), puis on pose l’opération ; le résultat exact doit être proche de l’ODG.

a. De plus, ODG : \( 144\,000+800 = 144\,800 \). \[ \begin{array}{r} 144\,145 \\ +\ 812 \\ \hline 144\,957 \end{array} \]

b. Donc, ODG : \( 35\,000+800+4\,000 = 39\,800 \). \[ \begin{array}{r} 35\,077 \\ +\ 840 \\ +\ 4\,021 \\ \hline 39\,938 \end{array} \]

c. Ainsi, ODG : \( 6\,500-300 = 6\,200 \). \[ \begin{array}{r} 6\,480 \\ -\ 304 \\ \hline 6\,176 \end{array} \]

d. Également, ODG : \( 72\,000-6\,000 = 66\,000 \). \[ \begin{array}{r} 71\,704 \\ -\ 6\,047 \\ \hline 65\,657 \end{array} \]

Donc, on cherche le nombre manquant avec l’opération inverse.

• De même, a. \( 3\,574+\ldots = 3\,870 \) : \( 3\,870-3\,574 = 296 \). De plus, dans les quatre cases : 0 2 9 6.
• Ensuite, b. \( 264-\ldots = 185 \) : \( 264-185 = 79 \). Par ailleurs, dans les trois cases : 0 7 9.
• De plus, c. \( \ldots-648 = 3\,247 \) : \( 3\,247+648 = 3\,895 \). Par ailleurs, dans les quatre cases : 3 8 9 5.

De plus, Vérification : \( 3\,574+296 = 3\,870 \) ; \( 264-79 = 185 \) ; \( 3\,895-648 = 3\,247 \).

Également, on convertit en nombre de coureurs :

• Ainsi, 343 centaines = \( 343\times100 = 34\,300 \) coureurs en 2012 ;
• Ainsi, 220 dizaines = \( 220\times10 = 2\,200 \) coureurs.

Donc, en 2012, il y avait 2 200 coureurs de plus qu’en 2011. Donc en 2011, il y en avait 2 200 de moins :

\[ 34\,300-2\,200 = 32\,100 \]

De plus, il y avait 32 100 coureurs au marathon de Paris en 2011.

De même, Chaque nombre est un produit de la table ; on cherche la case où il se trouve.

Par conséquent, Décodage mot par mot :

• Ainsi, 56 ’ 81 / 64 / 30 → C’EST ; 40 / 81 → DE ; 64 / 81 → SE ; 35 / 36 / 49 / 63 / 81 → FAIRE
• Donc, 48 / 49 / 72 / 54 / 81 / 63 → PIQUER ; 64 / 36 → SA ; 45 / 25 / 49 / 30 / 49 / 81 → MOITIE ; 48 / 36 / 63 → PAR
• 54 / 42 → UN ; 30 / 49 / 81 / 63 / 64 → TIERS ; 40 / 36 / 42 / 64 → DANS ; 54 / 42 → UN ; 56 / 36 / 63 → CAR

• Ainsi, a. \( 20\times70 = 2\times7\times100 = \) 1 400
• Donc, b. \( 125\times80 = 125\times8\times10 = 1\,000\times10 = \) 10 000
• De même, c. \( 25\times2\times3 = 50\times3 = \) 150
• Par ailleurs, d. \( 9\times40\times5 = 9\times200 = \) 1 800
• Par ailleurs, e. \( 4\times1\,425\times250\times100 = 1\,425\times(4\times250)\times100 = 1\,425\times100\,000 = \) 142 500 000
• De même, f. \( 17\times25\times2\times4\times5\times2 = 17\times(25\times4)\times(2\times5)\times2 = 17\times100\times10\times2 = \) 34 000

L’astuce : on cherche les paires qui donnent 10, 100 ou 1 000 (2 × 5, 25 × 4, 250 × 4, 125 × 8), car on peut multiplier dans n’importe quel ordre.

• a. \( 80\times\ldots = 720 \) : \( 8\times9 = 72 \), donc \( 80\times\mathbf{9} = 720 \).
• b. \( \ldots\times30 = 2\,100 \) : \( 7\times3 = 21 \), donc \( \mathbf{70}\times30 = 2\,100 \).
• c. \( 42\times\ldots = 8\,400 \) : \( 42\times2 = 84 \), donc \( 42\times\mathbf{200} = 8\,400 \).
• d. \( 200\times\ldots = 7\,000 \) : \( 2\times35 = 70 \), donc \( 200\times\mathbf{35} = 7\,000 \).

Par conséquent, on part de \( 19\times56 = 1\,064 \) et on repère ce qui a été multiplié par 10, 100…

• Également, a. \( 190\times56 = 19\times56\times10 = 1\,064\times10 = \) 10 640
• Ensuite, b. \( 560\times1\,900 = 56\times10\times19\times100 = 1\,064\times1\,000 = \) 1 064 000
• Par conséquent, c. \( 56\times2\times19 = (19\times56)\times2 = 1\,064\times2 = \) 2 128
• Également, d. \( 19\times25\times56\times4 = (19\times56)\times(25\times4) = 1\,064\times100 = \) 106 400

Donc, on multiplie en commençant par les unités, sans oublier les retenues. Quand le multiplicateur a plusieurs chiffres, on calcule un produit partiel par chiffre (en décalant d’un rang et en écrivant un 0 pour les dizaines, deux 0 pour les centaines), puis on les additionne.

Ainsi, a. \( 57 \times 4 \) : \( 7 \times 4 = 28 \), j’écris 8 et je retiens 2 ; \( 5 \times 4 = 20 \), plus 2 de retenue : 22. Donc, Résultat : 228.

Ainsi, b. \( 139 \times 5 \) : \( 9 \times 5 = 45 \), j’écris 5 et je retiens 4 ; \( 3 \times 5 + 4 = 19 \), j’écris 9 et je retiens 1 ; \( 1 \times 5 + 1 = 6 \). Ensuite, Résultat : 695.

Par ailleurs, c. \( 425 \times 35 \) :

Donc, d. \( 728 \times 518 \) :

Par conséquent, pour trouver un ordre de grandeur (ODG), on remplace chaque nombre par un nombre rond proche, facile à multiplier de tête. Ensuite, le résultat exact doit être proche de l’ODG : c’est une vérification.

a. De plus, ODG : \( 700 \times 30 = 21\,000 \).
Calcul posé : \( 708 \times 9 = 6\,372 \) et \( 708 \times 20 = 14\,160 \), donc \( 708 \times 29 = 6\,372 + 14\,160 = \) 20 532.

b. Donc, ODG : \( 240 \times 50 = 12\,000 \).
Calcul posé : \( 238 \times 4 = 952 \) et \( 238 \times 50 = 11\,900 \), donc \( 238 \times 54 = 952 + 11\,900 = \) 12 852.

c. De plus, ODG : \( 160 \times 300 = 48\,000 \) (ou \( 150 \times 300 = 45\,000 \)).
Calcul posé : \( 157 \times 8 = 1\,256 \) et \( 157 \times 200 = 31\,400 \) ; on n’oublie pas le 0 de 280 : \( 157 \times 28 = 1\,256 + 3\,140 = 4\,396 \), donc \( 157 \times 280 = \) 43 960.

d. Ensuite, ODG : \( 430 \times 300 = 129\,000 \).
Calcul posé : \( 429 \times 6 = 2\,574 \), le 0 des dizaines donne une ligne de zéros, et \( 429 \times 300 = 128\,700 \), donc \( 429 \times 306 = 2\,574 + 128\,700 = \) 131 274.

Par ailleurs, Chaque résultat est proche de son ordre de grandeur : les calculs sont vraisemblables.

Nombre de places : 24 rangées de 37 fauteuils, donc \( 24 \times 37 = 888 \) places.

Recette : chaque place rapporte 7 €, donc \( 888 \times 7 = 6\,216 \) €.

Ensuite, on peut vérifier l’ordre de grandeur : \( 900 \times 7 = 6\,300 \), proche de 6 216.

Donc, les multiples d’un nombre sont les résultats de sa table de multiplication : on multiplie ce nombre par 1, 2, 3, 4…

• a. De même, Multiples de 9 : 9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 ; 63 ; 72.
• b. De plus, Multiples de 10 : 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 70 ; 80.
• c. Ainsi, Multiples de 25 : 25 ; 50 ; 75 ; 100 ; 125 ; 150 ; 175 ; 200.

Remarque : 0 est aussi un multiple de chaque nombre (\( 9 \times 0 = 0 \)) ; si ton enseignant le compte, la liste commence par 0 et s’arrête au 7^e multiple non nul.

Ainsi, dans chaque ligne, on avance de 4 en 4. Puis les nombres de 1 à 40 sont rangés colonne par colonne.

a. Également, les multiples de 2 (nombres pairs) sont sur la deuxième ligne (2, 6, 10…) et sur la quatrième ligne (4, 8, 12…).

b. Ensuite, les multiples de 4 sont tous sur la quatrième ligne : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

c. Par ailleurs, en rouge, les multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39. De plus, De plus, en vert, les multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

d. De plus, les nombres entourés des deux couleurs sont à la fois multiples de 3 et de 5 : 15 et 30 (ce sont les multiples de 15).

Également, on utilise les critères de divisibilité, qui ne regardent que le chiffre des unités :

• a. De même, un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 : 52, 98 et 220.
• b. Ainsi, un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 : 95, 1 000 et 555.
• c. Ensuite, un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0. Donc, pour qu’il se termine par 0 après avoir ajouté 1, il doit se terminer par 9 : 69 (69 + 1 = 70) et 999 (999 + 1 = 1 000).

Ainsi, pour chaque question, on teste les nombres de la liste avec les tables de multiplication (ou en posant la division).

• Donc, Divisibles par 3 : 12 (3 × 4), 42 (3 × 14), 84 (3 × 28), 90 (3 × 30), 420 (3 × 140).
• De même, Divisibles par 4 : 12, 56, 64, 84, 100, 140, 420.
• Ainsi, Divisibles par 7 : 42 (7 × 6), 56 (7 × 8), 84 (7 × 12), 140 (7 × 20), 420 (7 × 60).

Donc, on garde les nombres qui sont dans les deux (ou trois) listes :

• Par conséquent, a. par 3 et 4 : 12, 84 et 420 ;
• Également, b. par 4 et 7 : 56, 84, 140 et 420 ;
• De même, c. par 3 et 7 : 42, 84 et 420 ;
• Ainsi, d. par 3, 4 et 7 : 84 et 420.

a. Par conséquent, les bouquets sont identiques et utilisent toutes les fleurs : le nombre de bouquets doit partager exactement les 30 marguerites et les 24 tulipes. Ensuite, il doit donc être un diviseur de 30 et de 24.

• Par conséquent, Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
• De plus, Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• De même, Diviseurs communs : 1, 2, 3 et 6.

Le fleuriste peut donc faire 1 bouquet (avec toutes les fleurs), 2, 3 ou 6 bouquets.

b. Également, le maximum est 6 bouquets. Chaque bouquet contient alors \( 30 \div 6 = 5 \) marguerites et \( 24 \div 6 = 4 \) tulipes.

Donc, on partage 25 billes entre 3 enfants : on cherche combien de fois 3 entre dans 25. Par ailleurs, Or \( 3 \times 8 = 24 \) et \( 3 \times 9 = 27 \), qui dépasse 25.

La division de 25 par 3 donne donc un quotient de 8 et un reste de 1 : \( 25 = 3 \times 8 + 1 \).

Sur le schéma, on peut faire 3 paquets de 8 billes (par exemple une rangée chacun) : il reste une bille toute seule.

Donc, Tables complétées :

a. \( 686 \div 15 \) :

• De plus, on prend 68 : dans la table de 15, \( 15 \times 4 = 60 \) (et \( 15 \times 5 = 75 \) est trop grand). Également, J’écris 4 au quotient ; \( 68 – 60 = 8 \).
• De plus, J’abaisse le 6 : 86. \( 15 \times 5 = 75 \) ; j’écris 5 ; \( 86 – 75 = 11 \).

Quotient 45, reste 11. De même, Vérification : \( 15 \times 45 + 11 = 675 + 11 = 686 \), et le reste 11 est bien plus petit que 15.

Ainsi, b. \( 27\,294 \div 21 \) :

• Ainsi, on prend 27 : \( 21 \times 1 = 21 \) ; j’écris 1 ; \( 27 – 21 = 6 \).
• De même, J’abaisse le 2 : 62. \( 21 \times 2 = 42 \) ; j’écris 2 ; \( 62 – 42 = 20 \).
• Ensuite, J’abaisse le 9 : 209. \( 21 \times 9 = 189 \) ; j’écris 9 ; \( 209 – 189 = 20 \).
• De même, J’abaisse le 4 : 204. \( 21 \times 9 = 189 \) ; j’écris 9 ; \( 204 – 189 = 15 \).

Par conséquent, Quotient 1 299, reste 15. Ainsi, Vérification : \( 21 \times 1\,299 + 15 = 27\,279 + 15 = 27\,294 \).

Une question « peut être résolue » si l’énoncé donne toutes les informations nécessaires.

• Combien d’adultes participent à la sortie ? Oui : l’enseignante et deux parents, donc \( 1 + 2 = 3 \) adultes.
• Combien y a-t-il d’animaux de chaque espèce ? Non : on sait seulement qu’il y a 252 animaux et 36 espèces, mais rien ne dit que chaque espèce a le même nombre d’animaux. (S’ils étaient répartis de façon égale, il y en aurait \( 252 \div 36 = 7 \) par espèce.)
• Quel est le coût total de la visite ? Oui : un enfant paie la moitié de 8 €, soit 4 €. Coût : \( 3 \times 8 + 28 \times 4 = 24 + 112 = 136 \) €.
• À quelle heure se finira la visite ? Non : on connaît la durée (3 heures) mais pas l’heure de début.
• Quel est le prix de l’entrée pour un enfant ? Oui : demi-tarif, \( 8 \div 2 = 4 \) €.
• Quelle est la durée du trajet ? Non : on connaît seulement la distance (30 km), pas la durée.

Le cumul est le total des entrées depuis la sortie du film : chaque semaine, on ajoute les entrées de la semaine au cumul précédent.

• 3 129 485 + 1 426 486 = 4 555 971
• 4 555 971 + 765 952 = 5 321 923
• 5 321 923 + 537 708 = 5 859 631
• 5 859 631 + 264 579 = 6 124 210
• 6 124 210 + 165 322 = 6 289 532
• 6 289 532 + 116 077 = 6 405 609
• 6 405 609 + 66 296 = 6 471 905

a. On additionne d’abord la production des trois régions citées :

\[ 107\,412 + 92\,461 + 66\,665 = 266\,538 \text{ tonnes} \]

Puis on soustrait ce total de la production de la France :

\[ 267\,712 – 266\,538 = 1\,174 \text{ tonnes} \]

b. Chaque personne consomme 4 kg par an, et il y a 60 millions de consommateurs :

\[ 4 \times 60\,000\,000 = 240\,000\,000 \text{ kg} \]

Comme 1 tonne = 1 000 kg : \( 240\,000\,000 \div 1\,000 = 240\,000 \) tonnes.

Nombre de mots sur une page : \( 10 \times 22 = 220 \) mots.

• Livre de 300 pages : \( 220 \times 300 = 66\,000 \) mots.
• Livre de 250 pages : \( 220 \times 250 = 55\,000 \) mots.
• Livre de 200 pages : \( 220 \times 200 = 44\,000 \) mots.

Après l’achat de la console, il reste à Freesper : \( 157 – 79 = 78 \) €.

On cherche combien de fois 15 € entre dans 78 € : \( 15 \times 5 = 75 \) et \( 15 \times 6 = 90 \), qui dépasse 78. Donc \( 78 = 15 \times 5 + 3 \).

Il peut acheter 5 jeux (75 €), et il lui restera 3 €. Par ailleurs, le vendeur propose 7 jeux, donc il y en a assez.

a. \( 18 \times 9 = 162 \) € : l’achat des 18 livres coûte 162 €.

b. \( 230 – 162 = 68 \) € : il lui reste 68 € pour les posters.

Pour aller plus loin : un poster coûte 8 € et \( 68 = 8 \times 8 + 4 \), elle pourra donc acheter 8 posters et il lui restera 4 €.

a. La masse des 15 caisses est la différence entre la camionnette chargée et la camionnette vide. Puis on divise ensuite par 15. Calcul en ligne :

\[ (3\,000 – 1\,815) \div 15 \]

b. \( 3\,000 – 1\,815 = 1\,185 \) kg pour les 15 caisses, puis \( 1\,185 \div 15 = 79 \) kg.

Vérification : \( 15 \times 79 = 1\,185 \) et \( 1\,815 + 1\,185 = 3\,000 \).

a. Prix total payé :

• première option : \( 60 \times 144 = 8\,640 \) € ;
• deuxième option : \( 36 \times 231 = 8\,316 \) €.

b. Le coût du crédit est ce que l’on paie en plus du prix de la voiture :

• première option : \( 8\,640 – 7\,800 = 840 \) € ;
• deuxième option : \( 8\,316 – 7\,800 = 516 \) €.

La deuxième option coûte moins cher au total, mais les mensualités sont plus élevées.

a. Une brouette contient 85 L de terre (indiqué sur le dessin). Ensuite, pour 520 brouettes :

\[ 520 \times 85 = 44\,200 \text{ L} \]

Détail : \( 520 \times 80 = 41\,600 \) et \( 520 \times 5 = 2\,600 \), total \( 41\,600 + 2\,600 = 44\,200 \).

La ligne « Bourgogne » est le total des quatre départements.

• Bénévoles en Bourgogne : \( 587 + 367 + 661 + 278 = 1\,893 \).
• Personnes accueillies dans l’Yonne : on additionne les trois départements connus, \( 8\,847 + 4\,594 + 7\,920 = 21\,361 \), puis \( 27\,764 – 21\,361 = 6\,403 \).
• Repas distribués dans la Nièvre : \( 1\,166\,193 + 1\,014\,320 + 715\,241 = 2\,895\,754 \), puis \( 3\,454\,063 – 2\,895\,754 = 558\,309 \).