Corrigé des 20 exercices sur les fractions en CM2 : solutions détaillées à télécharger en PDF

Figures où l’on a colorié le quart. Il faut que la figure soit partagée en 4 parts égales et qu’une seule soit coloriée.

• a. Disque partagé en 4 quarts égaux, 1 colorié : oui.
• b. Triangle partagé en 4 petits triangles identiques, 1 colorié : oui.
• c. Disque coupé par des traits horizontaux : les bandes n’ont pas la même aire, la bande du haut est plus petite : non.
• d. Carré partagé en 4 carrés égaux, 1 colorié : oui.
• e. Les bandes verticales n’ont pas la même largeur (la bande coloriée est très étroite) : non.
• f. Rectangle partagé en 4 bandes égales, 1 coloriée : oui.
• g. Le petit triangle du sommet est bien plus petit que les bandes du bas : non.

Fraction de chaque rectangle. On compte les cases coloriées (numérateur) et le nombre total de cases (dénominateur).

On vérifie d’abord que le dénominateur est bien le nombre de parts de la figure, puis on colorie autant de parts que le numérateur. Ensuite, les parts coloriées peuvent être choisies n’importe où.

• Rectangles : a. 3 cases sur 8 ; b. 8 cases sur 8 (tout le rectangle, car \( \frac{8}{8} = 1 \)) ; c. 7 cases sur 20 ; d. 18 cases sur 20 (il reste 2 cases blanches) ; e. 1 case sur 12 ; f. 9 cases sur 12 ; g. 8 cases sur 16 (la moitié).
• Disques : a. les 2 moitiés (tout le disque) ; b. 3 secteurs sur 5 ; c. 5 secteurs sur 12 ; d. 7 secteurs sur 8 ; e. 6 secteurs sur 10 ; f. 4 secteurs sur 6 ; g. 3 quarts.

1. a. 3 cases sur 15 ; b. 13 cases sur 18 ; c. le triangle est partagé en 3 triangles égaux, on en colorie 1 ; d. la bande compte 14 triangles égaux, on en colorie 7, c’est-à-dire la moitié car \( \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \).

2. Chaque figure doit être coupée en 5 parts superposables, puis on colorie 2 parts :

• a. le carré en 5 bandes de même largeur ;
• b. le peigne a 5 dents : chaque part est une dent avec le morceau de base qui est dessous ;
• c. la croix est formée de 5 carrés identiques ;
• d. la rosace de 5 cercles se partage en 5 parts identiques par 5 traits partant du centre, espacés régulièrement.

Le rectangle mesure 12 carreaux sur 5, il contient donc \( 12\times5 = 60 \) carreaux.

• a. Bleu : le quart de 60, soit \( 60 \div 4 = 15 \) carreaux. Il reste \( 60-15 = 45 \) carreaux.
• b. Vert : le cinquième de 45, soit \( 45 \div 5 = 9 \) carreaux. Il reste \( 45-9 = 36 \) carreaux.
• c. Rouge : le tiers de 36, soit \( 36 \div 3 = 12 \) carreaux. Il reste \( 36-12 = 24 \) carreaux.
• d. Orange : la moitié de 24, soit 12 carreaux. Il reste 12 carreaux.
• e. Il reste 12 carreaux blancs sur 60 : \( \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \).

Segments. Le segment u mesure 12 carreaux. Donc \( \frac{1}{2}u \) = 6 carreaux ; \( \frac{1}{4}u \) = 3 carreaux ; \( \frac{2}{3}u \) = 8 carreaux (un tiers vaut 4 carreaux) ; \( \frac{5}{6}u \) = 10 carreaux (un sixième vaut 2 carreaux) ; \( \frac{3}{2}u \) = 18 carreaux.

On compte en combien de parts égales l’unité (de 0 à 1) est partagée : c’est le dénominateur. Puis on compte ensuite le nombre de parts entre 0 et le point : c’est le numérateur.

• a. unité partagée en 4 : A(2/4) et B(3/4) ;
• b. unité partagée en 6 : C(1/6) et D(4/6) ;
• c. unité partagée en 8 : E(3/8) et F(5/8) ;
• d. unité partagée en 7 : G(4/7) et H(6/7).

Chaque demi-droite est graduée selon le dénominateur des fractions à placer : on compte les graduations à partir de 0.

• a. en quarts : \( \frac{1}{4} \) à la 1re graduation, \( \frac{4}{4} \) tombe sur 1 ;
• b. en sixièmes : \( \frac{2}{6} \) à la 2e graduation, \( \frac{5}{6} \) à la 5e ;
• c. en huitièmes : \( \frac{2}{8} \) à la 2e graduation, \( \frac{7}{8} \) à la 7e ;
• d. en septièmes : \( \frac{3}{7} \) à la 3e graduation, \( \frac{5}{7} \) à la 5e.

Complète. Une unité, c’est 4 quarts, 6 sixièmes… :

\[ 1 = \frac{4}{4} \quad 3 = \frac{18}{6} \quad 7 = \frac{56}{8} \quad 8 = \frac{24}{3} \quad 10 = \frac{100}{10} \quad 35 = \frac{70}{2} \]

a. Sur la demi-droite, chaque unité est partagée en 3 : on compte les tiers depuis 0.

\[ A = \frac{2}{3} \quad B = \frac{4}{3} \quad C = \frac{8}{3} \quad D = \frac{11}{3} \quad E = \frac{13}{3} \]

b. On transforme en tiers : \( 4+\frac{2}{3} = \frac{14}{3} \) ; \( 2-\frac{1}{3} = \frac{5}{3} \) ; \( \frac{9}{3} = 3 \) ; \( \frac{16}{3} = 5+\frac{1}{3} \).

a. La demi-droite commence à 3 et chaque unité est partagée en 5 : une graduation vaut \( \frac{1}{5} \), et 3 = \( \frac{15}{5} \).

\[ F = \frac{17}{5} \quad G = \frac{23}{5} \quad H = \frac{29}{5} \quad J = \frac{34}{5} \quad K = \frac{44}{5} \]

b. \( 4+\frac{2}{5} = \frac{22}{5} \) ; \( 7-\frac{4}{5} = \frac{31}{5} \) ; \( \frac{18}{5} = 3+\frac{3}{5} \) ; \( \frac{41}{5} = 8+\frac{1}{5} \) ; \( \frac{32}{5} = 6+\frac{2}{5} \).

Partage de l’unité. La demi-droite a est partagée en quarts, b en tiers, c en cinquièmes. De plus, on place donc \( \frac{5}{4} \) et \( \frac{6}{4} \) sur a, \( \frac{5}{3} \) et \( \frac{6}{3} \) (= 2) sur b, \( \frac{5}{5} \) (= 1) et \( \frac{6}{5} \) sur c.

Une fraction est inférieure à 1 si le numérateur est plus petit que le dénominateur, égale à 1 s’ils sont égaux, supérieure à 1 si le numérateur est plus grand.

Comparaisons :

• a. \( \frac{15}{7} \gt 1 \) car 15 est plus grand que 7.
• b. \( \frac{17}{18} \lt 1 \) car 17 est plus petit que 18.
• c. \( \frac{105}{105} = 1 \).
• d. \( \frac{54}{49} \gt \frac{49}{54} \) car la première est plus grande que 1 et la seconde plus petite que 1.

Chaque unité est partagée en 6 : une graduation vaut \( \frac{1}{6} \). Ensuite, on compte les graduations depuis 0 (6 graduations = 1 unité).

• \( \frac{1}{6} \) et \( \frac{3}{6} \) sont avant 1 ; \( \frac{7}{6} = 1+\frac{1}{6} \) ;
• \( \frac{19}{6} = 3+\frac{1}{6} \) ; \( \frac{28}{6} = 4+\frac{4}{6} \) ; \( \frac{30}{6} = 5 \) ; \( \frac{35}{6} = 5+\frac{5}{6} \).

Sur la droite graduée, le nombre le plus à droite est le plus grand :

• a. \( \frac{7}{6} \gt \frac{3}{6} \)
• b. \( \frac{19}{6} \lt \frac{28}{6} \)
• c. \( \frac{1}{6} \lt \frac{35}{6} \)
• d. \( \frac{30}{6} = 5 \)

Règle : quand deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur (on prend plus de parts de même taille).

• a. 19 est plus grand que 9, donc \( \frac{19}{20} \gt \frac{9}{20} \).
• b. 35 est plus petit que 53, donc \( \frac{35}{7} \lt \frac{53}{7} \).
• c. \( 35 \div 7 = 5 \), donc \( \frac{35}{7} = 5 \).
• d. 14 est plus petit que 18, donc \( \frac{14}{18} \lt \frac{18}{18} \).
• e. 23 est plus grand que 21, donc \( \frac{23}{27} \gt \frac{21}{27} \).
• f. 32 est plus grand que 30, donc \( \frac{32}{81} \gt \frac{30}{81} \).
• g. Numérateur et dénominateur sont égaux : \( \frac{13}{13} = 1 \) et \( \frac{19}{19} = 1 \), donc \( \frac{13}{13} = \frac{19}{19} \).
• h. 14 est plus petit que 20, donc \( \frac{14}{3} \lt \frac{20}{3} \).

Chaque rectangle représente une unité. Par ailleurs, le dénominateur indique en combien de parts il est partagé, le numérateur le nombre de parts à colorier. Chaque rectangle entièrement colorié vaut 1.

• a. \( \frac{9}{5} \) : rectangles de 5 parts. On colorie 1 rectangle entier (5 parts) puis 4 parts du deuxième : \( 5 + 4 = 9 \). Donc \( \frac{9}{5} = 1 + \frac{4}{5} \).
• b. \( \frac{21}{9} \) : rectangles de 9 parts. On colorie 2 rectangles entiers (18 parts) puis 3 parts du troisième : \( 18 + 3 = 21 \). Donc \( \frac{21}{9} = 2 + \frac{3}{9} \).
• c. \( \frac{15}{4} \) : rectangles de 4 parts. On colorie 3 rectangles entiers (12 parts) puis 3 parts du quatrième : \( 12 + 3 = 15 \). Donc \( \frac{15}{4} = 3 + \frac{3}{4} \).
• d. \( \frac{22}{7} \) : rectangles de 7 parts. On colorie 3 rectangles entiers (21 parts) puis 1 part du quatrième : \( 21 + 1 = 22 \). Donc \( \frac{22}{7} = 3 + \frac{1}{7} \).

Méthode : on cherche combien de fois le dénominateur « rentre » dans le numérateur (c’est la division euclidienne). Puis le quotient donne le nombre entier, le reste donne le numérateur de la fraction plus petite que 1.

Exemple : \( 16 = 9 \times 1 + 7 \), donc \( \frac{16}{9} = \frac{9}{9} + \frac{7}{9} = 1 + \frac{7}{9} \).

• a. \( 16 = 9 \times 1 + 7 \) : \( \frac{16}{9} = 1 + \frac{7}{9} \)
• b. \( 19 = 6 \times 3 + 1 \) : \( \frac{19}{6} = 3 + \frac{1}{6} \)
• c. \( 13 = 5 \times 2 + 3 \) : \( \frac{13}{5} = 2 + \frac{3}{5} \)
• d. \( 25 = 4 \times 6 + 1 \) : \( \frac{25}{4} = 6 + \frac{1}{4} \)
• e. \( 23 = 3 \times 7 + 2 \) : \( \frac{23}{3} = 7 + \frac{2}{3} \)
• f. \( 47 = 8 \times 5 + 7 \) : \( \frac{47}{8} = 5 + \frac{7}{8} \)
• g. \( 32 = 7 \times 4 + 4 \) : \( \frac{32}{7} = 4 + \frac{4}{7} \)
• h. \( 58 = 11 \times 5 + 3 \) : \( \frac{58}{11} = 5 + \frac{3}{11} \)

Sur la demi-droite, chaque unité est partagée en 6 parts égales : chaque petit trait avance de \( \frac{1}{6} \). Ensuite, pour placer les fractions, on les écrit toutes avec le dénominateur 6 : \( \frac{14}{3} = \frac{28}{6} \) et \( \frac{11}{2} = \frac{33}{6} \).

On décompose chaque fraction comme à l’exercice précédent, ce qui donne sa position :

• \( \frac{25}{6} = 4 + \frac{1}{6} \) : 1 trait après 4 ;
• \( \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4 + \frac{4}{6} \) : 4 traits après 4 ;
• \( \frac{32}{6} = 5 + \frac{2}{6} \) : 2 traits après 5 ;
• \( \frac{33}{6} = \frac{11}{2} = 5 + \frac{3}{6} \) : 3 traits après 5 (au milieu entre 5 et 6) ;
• \( \frac{40}{6} = 6 + \frac{4}{6} \) : 4 traits après 6 ;
• \( \frac{45}{6} = 7 + \frac{3}{6} \) : 3 traits après 7 (au milieu entre 7 et 8) ;
• \( \frac{53}{6} = 8 + \frac{5}{6} \) : 5 traits après 8 ;
• \( \frac{56}{6} = 9 + \frac{2}{6} \) : 2 traits après 9.

Encadrements (la fraction est entre l’entier qui la précède et le suivant) :

• a. \( 4 \lt \frac{25}{6} \lt 5 \) ; b. \( 7 \lt \frac{45}{6} \lt 8 \) ; c. \( 9 \lt \frac{56}{6} \lt 10 \) ; d. \( 6 \lt \frac{40}{6} \lt 7 \) ;
• e. \( 8 \lt \frac{53}{6} \lt 9 \) ; f. \( 5 \lt \frac{32}{6} \lt 6 \) ; g. \( 4 \lt \frac{14}{3} \lt 5 \) ; h. \( 5 \lt \frac{11}{2} \lt 6 \).

Deuxième partie. Sans demi-droite, on utilise la division euclidienne :

• a. \( 100 = 3 \times 33 + 1 \), donc \( \frac{100}{3} = 33 + \frac{1}{3} \) et \( 33 \lt \frac{100}{3} \lt 34 \).
• b. \( 81 = 11 \times 7 + 4 \), donc \( \frac{81}{11} = 7 + \frac{4}{11} \) et \( 7 \lt \frac{81}{11} \lt 8 \).
• c. \( 252 = 25 \times 10 + 2 \), donc \( \frac{252}{25} = 10 + \frac{2}{25} \) et \( 10 \lt \frac{252}{25} \lt 11 \).
• d. 99 est plus petit que 222, donc \( \frac{99}{222} \) est plus petit que 1 : \( 0 \lt \frac{99}{222} \lt 1 \).

Règle : pour additionner (ou soustraire) deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.

• a. \( \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{6}{4} \) (soit \( \frac{3}{2} \))
• b. \( \frac{3}{7} + \frac{11}{7} = \frac{14}{7} = 2 \)
• c. \( \frac{27}{9} + \frac{3}{9} = \frac{30}{9} \) (soit \( \frac{10}{3} \))
• d. \( \frac{11}{12} + \frac{11}{12} = \frac{22}{12} \) (soit \( \frac{11}{6} \))
• e. \( \frac{20}{25} + \frac{30}{25} = \frac{50}{25} = 2 \)
• f. \( \frac{5}{4} – \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• g. \( \frac{7}{5} – \frac{3}{5} = \frac{4}{5} \)
• h. \( \frac{20}{11} – \frac{6}{11} = \frac{14}{11} \)
• i. \( \frac{111}{2} – \frac{11}{2} = \frac{100}{2} = 50 \)
• j. \( \frac{3}{24} – \frac{2}{24} = \frac{1}{24} \)

Attention à l’erreur fréquente : on n’additionne jamais les dénominateurs. \( \frac{1}{4} + \frac{5}{4} \) ne fait pas \( \frac{6}{8} \) : un quart plus cinq quarts font six quarts.

On compte le nombre de parts égales du disque (dénominateur), puis le nombre de parts coloriées (numérateur).

• a. 1 part coloriée sur 2 : \( \frac{1}{2} \).
• b. 2 parts coloriées sur 4 : \( \frac{2}{4} \) (c’est aussi \( \frac{1}{2} \)).
• c. 2 parts coloriées sur 6 : \( \frac{2}{6} \) (c’est aussi \( \frac{1}{3} \)).
• d. 3 parts coloriées sur 8 : \( \frac{3}{8} \).
• e. 11 parts coloriées sur 12 (une seule part est blanche) : \( \frac{11}{12} \).
• f. 2 parts coloriées sur 12 : \( \frac{2}{12} \) (c’est aussi \( \frac{1}{6} \)).
• g. 8 parts coloriées sur 12 (4 parts blanches en haut) : \( \frac{8}{12} \) (c’est aussi \( \frac{2}{3} \)).

Deuxième partie. La fraction blanche est ce qui manque pour faire l’unité : les deux fractions ont pour somme 1.

• a. \( 3 \times 5 = 15 \) carreaux, dont 8 coloriés (3 + 2 + 3) : colorée \( \frac{8}{15} \), blanche \( \frac{7}{15} \).
• b. \( 3 \times 6 = 18 \) carreaux, dont 10 coloriés (2 + 6 + 2) : colorée \( \frac{10}{18} \), blanche \( \frac{8}{18} \) (soit \( \frac{5}{9} \) et \( \frac{4}{9} \)).
• c. Le triangle est partagé en 3 parts égales depuis son centre, 2 sont coloriées : colorée \( \frac{2}{3} \), blanche \( \frac{1}{3} \).
• d. La bande compte 14 petits triangles égaux (7 en haut, 7 en bas), dont 8 coloriés : colorée \( \frac{8}{14} \), blanche \( \frac{6}{14} \) (soit \( \frac{4}{7} \) et \( \frac{3}{7} \)).

La pizza est coupée en 8 parts égales : chaque part est \(\dfrac{1}{8}\) de la pizza.

1. Lina : \(\dfrac{3}{8}\) ; son frère : \(\dfrac{2}{8}\).
2. \[\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{8}\]
3. Il reste \(8-5=3\) parts : \[\dfrac{8}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}\]

Lina : \(\dfrac{3}{8}\) ; son frère : \(\dfrac{2}{8}\) ; ensemble : \(\dfrac{5}{8}\) ; il reste \(\dfrac{3}{8}\).

Chaque graduation vaut \(\dfrac{1}{4}\) : un point situé à \(n\) graduations de l’origine a pour abscisse \(\dfrac{n}{4}\).

1. A : \(\dfrac{5}{4}\) ; B : \(\dfrac{9}{4}\) ; C : \(\dfrac{14}{4}\).
2. \[\dfrac{5}{4}=1+\dfrac{1}{4}\qquad \dfrac{9}{4}=2+\dfrac{1}{4}\qquad \dfrac{14}{4}=3+\dfrac{2}{4}\]

A : \(1+\dfrac{1}{4}\) ; B : \(2+\dfrac{1}{4}\) ; C : \(3+\dfrac{2}{4}\).

Le jardin compte 12 carreaux : chaque carreau est \(\dfrac{1}{12}\) du jardin.

1. Tulipes : \(\dfrac{3}{12}\) ; roses : \(\dfrac{5}{12}\).
2. \[\dfrac{3}{12}+\dfrac{5}{12}=\dfrac{8}{12}\]
3. Marguerites : \(12-8=4\) carreaux, donc \[\dfrac{12}{12}-\dfrac{8}{12}=\dfrac{4}{12}\]

Tulipes : \(\dfrac{3}{12}\) ; roses : \(\dfrac{5}{12}\) ; tulipes ou roses : \(\dfrac{8}{12}\) ; marguerites : \(\dfrac{4}{12}\).

Toutes les fractions ont le même dénominateur 5 : on compare leurs numérateurs.

1. \(\dfrac{5}{5}=1\) : c’est Sara qui a parcouru exactement 1 km.
2. Chaque graduation vaut \(\dfrac{1}{5}\) : on place les points à 5, 7, 9 et 12 graduations de l’origine (voir la figure).
3. \[5\lt 7\lt 9\lt 12\quad\text{donc}\quad\dfrac{5}{5}\lt\dfrac{7}{5}\lt\dfrac{9}{5}\lt\dfrac{12}{5}\] Ordre : Sara, Léo, Tom, Inès.
4. \[\dfrac{12}{5}=2+\dfrac{2}{5}\qquad 2\lt\dfrac{12}{5}\lt 3\]

Sara \(\lt\) Léo \(\lt\) Tom \(\lt\) Inès ; \(\dfrac{12}{5}=2+\dfrac{2}{5}\), compris entre 2 et 3.