Corrigé des 35 exercices sur les équations de droites en seconde à télécharger en PDF

Le point \(C(3\,;7)\) appartient à une droite d’équation \(y=mx+p\) si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation : on remplace \(x\) par 3 et on compare le résultat à 7.

• 1) \(3\times3+2=11\neq7\) : \(C\) n’appartient pas à la droite.
• Donc, 2) \(3\times3-2=7\) : \(C\) appartient à la droite.
• 3) \(-2\times3-2=-8\neq7\) : \(C\) n’appartient pas à la droite.
• 4) \(-2\times3+13=7\) : \(C\) appartient à la droite.

1) On note \(a\) et \(b\) les deux nombres, avec \(a-b=7\) et \(a^2-b^2=21\). D’après l’identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

\[ 7(a+b)=21 \quad\text{donc}\quad a+b=3 \]

On résout le système \(\begin{cases} a-b=7 \\ a+b=3 \end{cases}\) : en additionnant, \(2a=10\), donc \(a=5\) ; puis \(b=3-5=-2\).

Vérification : \(5-(-2)=7\) et \(25-4=21\).

2) Si la différence vaut \(d\neq0\) et la différence des carrés vaut \(D\), alors \(a+b=\frac{D}{d}\), puis \(a=\frac{1}{2}\left(\frac{D}{d}+d\right)\) et \(b=\frac{1}{2}\left(\frac{D}{d}-d\right)\). Puis en Python :

def deux_nombres(d, D):
    s = D / d    # somme a + b
    a = (s + d) / 2
    b = (s – d) / 2
    return a, b

Par exemple, deux_nombres(7, 21) renvoie (5.0, -2.0). Si \(d=0\), les deux nombres sont égaux et le problème n’a de solution que si \(D=0\) (il y en a alors une infinité).

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) et inscrit dans le cercle : son hypoténuse \([AB]\) est un diamètre, donc \(AB=2\times3=6\) cm. Ensuite, on note \(a=AC\) et \(b=BC\).

1) L’aire vaut \(\frac{a\times b}{2}=8{,}64\), donc \(ab=17{,}28\).

2) Théorème de Pythagore dans \(ABC\) rectangle en \(C\) : \(a^2+b^2=AB^2=36\).

3) Identités remarquables :

\[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=36+34{,}56=70{,}56 \qquad (b-a)^2=a^2+b^2-2ab=36-34{,}56=1{,}44 \]

4) \(a+b\) et \(b-a\) sont positifs (en prenant \(b\geqslant a\)), donc \(a+b=\sqrt{70{,}56}=8{,}4\) et \(b-a=\sqrt{1{,}44}=1{,}2\).

5) On résout \(\begin{cases} a+b=8{,}4 \\ b-a=1{,}2 \end{cases}\) : par addition \(2b=9{,}6\), donc \(b=4{,}8\), puis \(a=8{,}4-4{,}8=3{,}6\).

6) Vérification : \(3{,}6\times4{,}8\div2=8{,}64\) et \(3{,}6^2+4{,}8^2=12{,}96+23{,}04=36\).

Les six droites. On calcule les équations :

• \((B_1C_2)\) : coefficient directeur \(\frac{-3-1}{7-1}=-\frac{2}{3}\), d’où \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\) ;
• \((B_2C_1)\) : \(B_2\) et \(C_1\) ont la même abscisse 4, donc \(x=4\) ;
• \((A_1C_2)\) : passe par l’origine, \(y=-\frac{3}{7}x\) ;
• \((A_2C_1)\) : coefficient \(\frac{4-(-3)}{4-1}=\frac{7}{3}\), d’où \(y=\frac{7}{3}x-\frac{16}{3}\) ;
• \((A_1B_2)\) : \(y=-\frac{3}{4}x\) ;
• \((A_2B_1)\) : \(A_2\) et \(B_1\) ont la même abscisse 1, donc \(x=1\).

Cependant, Point \(A\). Avec \(x=4\) : \(y=-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}=-1\). Donc \(A(4\,;-1)\).

Point \(B\). On résout \(-\frac{3}{7}x=\frac{7}{3}x-\frac{16}{3}\). Puis en multipliant par 21 : \(-9x=49x-112\), soit \(58x=112\) et \(x=\frac{56}{29}\) ; puis \(y=-\frac{3}{7}\times\frac{56}{29}=-\frac{24}{29}\). Donc \(B\left(\frac{56}{29}\,;-\frac{24}{29}\right)\).

Point \(C\). Avec \(x=1\) : \(y=-\frac{3}{4}\). Donc \(C\left(1\,;-\frac{3}{4}\right)\).

Alignement. La droite \((AC)\) a pour coefficient directeur \(\frac{-\frac{3}{4}-(-1)}{1-4}=\frac{\frac{1}{4}}{-3}=-\frac{1}{12}\), et en passant par \(A\) : \(-1=-\frac{4}{12}+p\), donc \(p=-\frac{2}{3}\). Équation : \(y=-\frac{1}{12}x-\frac{2}{3}\). De plus, on teste \(B\) :

\[ -\frac{1}{12}\times\frac{56}{29}-\frac{2}{3}=-\frac{56}{348}-\frac{232}{348}=-\frac{288}{348}=-\frac{24}{29}=y_B \]

Cependant, \(B\) appartient à \((AC)\) : les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Partie A

1) \(x\) pièces à 14 € et \(y\) films à 8 € coûtent \(14x+8y\) euros. Ainsi, Si Emma dépense tout son bon : \(14x+8y=400\), soit en divisant par 2, \(7x+4y=200\).

2) Si \(x=y\), alors \(11x=200\), donc \(x=\frac{200}{11}\approx18{,}2\), qui n’est pas un entier. Or \(x\) est un nombre de pièces : \(x\) ne peut pas être égal à \(y\).

3) \(7x+4y=200\iff y=-\frac{7}{4}x+50\). C’est une droite de coefficient directeur \(-\frac{7}{4}\) et d’ordonnée à l’origine 50 ; on ne garde que la partie \(0\leqslant x\leqslant20\) (20 pièces au programme) et \(0\leqslant y\leqslant40\) (40 films).

4) \(y=50-\frac{7x}{4}\) est entier lorsque \(x\) est un multiple de 4. Ensuite, on obtient \((0\,;50)\), \((4\,;43)\), \((8\,;36)\), \((12\,;29)\), \((16\,;22)\), \((20\,;15)\). Par ailleurs, les deux premiers sont exclus car il n’y a que 40 films. Puis les points possibles sont \((8\,;36)\), \((12\,;29)\), \((16\,;22)\) et \((20\,;15)\).

Car 5) On cherche le point le plus proche de la droite \(y=x\) : les écarts \(|x-y|\) valent 28, 17, 6 et 5. Ensuite, le plus petit écart est pour 20 pièces et 15 films (écart 5) ; la combinaison 16 pièces et 22 films (écart 6) est presque aussi équilibrée.

Partie B

1) « Deux fois plus de films que de pièces » se traduit par \(y=2x\) : on trace la droite d’équation \(y=2x\) et on cherche son intersection avec la droite budget.

2) \(7x+4\times2x=200\) donne \(15x=200\), soit \(x=\frac{40}{3}\approx13{,}3\) : pas de solution entière qui utilise tout le bon. Ensuite, Si Emma accepte de ne pas tout dépenser, il faut \(y=2x\) et \(14x+8\times2x\leqslant400\), soit \(30x\leqslant400\) et \(x\leqslant13\). Puis la meilleure solution est 13 pièces et 26 films, pour \(182+208=390\) € (il reste 10 €).

1) a) Milieux : \(A^{\prime}\left(\frac{-5+7}{2}\,;\frac{-5-1}{2}\right)=(1\,;-3)\), \(B^{\prime}\left(\frac{1+7}{2}\,;\frac{7-1}{2}\right)=(4\,;3)\), \(C^{\prime}\left(\frac{1-5}{2}\,;\frac{7-5}{2}\right)=(-2\,;1)\).

Cependant, b) \(A\) et \(A^{\prime}\) ont la même abscisse 1 : la droite \((AA^{\prime})\) est parallèle à l’axe des ordonnées, elle n’a pas d’équation réduite de la forme \(y=mx+p\) ; son équation est \(x=1\). De plus, pour \((BB^{\prime})\) : \(m=\frac{3-(-5)}{4-(-5)}=\frac{8}{9}\) et \(3=\frac{8}{9}\times4+p\) donne \(p=\frac{27-32}{9}=-\frac{5}{9}\) : \(y=\frac{8}{9}x-\frac{5}{9}\).

c) Avec \(x=1\) : \(y=\frac{8}{9}-\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). Donc \(K\left(1\,;\frac{1}{3}\right)\).

Ainsi, d) \((CC^{\prime})\) : \(m=\frac{1-(-1)}{-2-7}=-\frac{2}{9}\) et \(-1=-\frac{2}{9}\times7+p\) donne \(p=\frac{5}{9}\), soit \(y=-\frac{2}{9}x+\frac{5}{9}\). Ensuite, pour \(x=1\) : \(y=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) : \(K\in(CC^{\prime})\).

e) \((AA^{\prime})\), \((BB^{\prime})\), \((CC^{\prime})\) sont les trois médianes du triangle : elles sont concourantes en son centre de gravité.

f) On compare les vecteurs :

\[ \overrightarrow{AK}\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{20}{3} \end{pmatrix},\ \overrightarrow{AA^{\prime}}\begin{pmatrix} 0 \\ -10 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BK}\begin{pmatrix} 6 \\ \frac{16}{3} \end{pmatrix},\ \overrightarrow{BB^{\prime}}\begin{pmatrix} 9 \\ 8 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CK}\begin{pmatrix} -6 \\ \frac{4}{3} \end{pmatrix},\ \overrightarrow{CC^{\prime}}\begin{pmatrix} -9 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Par exemple, dans chaque cas, \(\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA^{\prime}}\), \(\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BB^{\prime}}\), \(\overrightarrow{CK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CC^{\prime}}\) : \(K\) est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

2) \(OA=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}\), \(OB=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\), \(OC=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}\). Donc \(OA=OB=OC=5\sqrt{2}\) : \(O\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\) (intersection des médiatrices).

3) a) \(\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AA_1}\begin{pmatrix} 3 \\ -9 \end{pmatrix}\) : \(2\times(-9)-(-6)\times3=0\), les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(H\), \(A_1\) sont alignés.

b) \(\overrightarrow{CH}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CC_1}\begin{pmatrix} -8 \\ 4 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{CH}\) : \(C\), \(H\), \(C_1\) sont alignés.

c) \(AA_1^2=9+81=90\), \(A_1C^2=9+1=10\), \(AC^2=36+64=100\) : \(AA_1^2+A_1C^2=AC^2\), donc \(AA_1C\) est rectangle en \(A_1\) (réciproque de Pythagore). De même \(CC_1^2=64+16=80\), \(C_1A^2=4+16=20\) et \(80+20=100=AC^2\) : \(CC_1A\) est rectangle en \(C_1\).

Cependant, d) \(A_1\) est sur \([BC]\) (la droite \((BC)\) a pour équation \(y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\) et \(\frac{4}{3}-\frac{10}{3}=-2\)) et \((AA_1)\perp(BC)\) : \((AH)\) est la hauteur issue de \(A\). De même \(C_1\) est sur \((AB)\), d’équation \(y=2x+5\) (car \(2\times(-1)+5=3\)), et \((CH)\) est la hauteur issue de \(C\). \(H\) est l’orthocentre du triangle \(ABC\).

4) \(\overrightarrow{OK}\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{OH}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=3\,\overrightarrow{OK}\) : les points \(O\), \(K\), \(H\) sont alignés (c’est la droite d’Euler, d’équation \(y=\frac{1}{3}x\)).

Toutefois, 1) Pour \(p=3\) : \((d_3)\colon y=-2x+3\) et \((d^{\prime}_3)\colon y=-x+6\). Par ailleurs, pour \(p=-1\) : \((d_{-1})\colon y=2x+3\) et \((d^{\prime}_{-1})\colon y=-x-2\). Puis on trace chaque droite à l’aide de deux points (par exemple l’ordonnée à l’origine et un second point).

2) Deux droites d’équations réduites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : \(1-p=-1\iff p=2\).

3) Pour \(p\neq2\), on résout \((1-p)x+3=-x+2p\) :

\[ (1-p)x+x=2p-3 \iff (2-p)x=2p-3 \iff x=\frac{2p-3}{2-p} \]
\[ y=-x+2p=\frac{-(2p-3)+2p(2-p)}{2-p}=\frac{-2p^2+2p+3}{2-p} \]

Donc \(K_p\left(\frac{2p-3}{2-p}\,;\frac{-2p^2+2p+3}{2-p}\right)\).

4) Pour \(p=3\) : \(x=\frac{3}{-1}=-3\) et \(y=\frac{-18+6+3}{-1}=9\), donc \(K_3(-3\,;9)\). Ensuite, pour \(p=-1\) : \(x=\frac{-5}{3}\) et \(y=\frac{-2-2+3}{3}=-\frac{1}{3}\), donc \(K_{-1}\left(-\frac{5}{3}\,;-\frac{1}{3}\right)\). Par ailleurs, sur le graphique, les droites rouges se coupent bien en \((-3\,;9)\) et les bleues vers \((-1{,}7\,;-0{,}3)\).

a) \(x_A\neq x_B\), donc \((AB)\) a une équation \(y=mx+p\) avec :

\[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-(-2)}{-3-1}=-\frac{3}{4} \]

\(A\) est sur la droite : \(-2=-\frac{3}{4}\times1+p\), donc \(p=-2+\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}\). \((AB)\colon y=-\frac{3}{4}x-\frac{5}{4}\).

b) On remplace \(x\) par l’abscisse du point et on compare avec son ordonnée :

• Cependant, \(C(10\,;-8{,}75)\) : \(-\frac{3}{4}\times10-\frac{5}{4}=-7{,}5-1{,}25=-8{,}75\) : \(C\in(AB)\).
• \(D(-20\,;13{,}5)\) : \(-\frac{3}{4}\times(-20)-\frac{5}{4}=15-1{,}25=13{,}75\neq13{,}5\) : \(D\notin(AB)\).
• \(E(41\,;-32)\) : \(-\frac{3}{4}\times41-\frac{5}{4}=-\frac{123+5}{4}=-32\) : \(E\in(AB)\).

a) \(A\) et \(B\) ont la même ordonnée 2 : \((AB)\) est parallèle à l’axe des abscisses. \(B\) et \(C\) ont la même abscisse 2 : \((BC)\) est parallèle à l’axe des ordonnées. \(A\) et \(C\) n’ont ni même abscisse ni même ordonnée : \((AC)\) n’est parallèle à aucun axe.

b) \((AB)\colon y=2\) ; \((BC)\colon x=2\) ; pour \((AC)\), \(m=\frac{-2-2}{2-(-3)}=-\frac{4}{5}\) et \(2=-\frac{4}{5}\times(-3)+p\) donne \(p=2-\frac{12}{5}=-\frac{2}{5}\) : \((AC)\colon y=-\frac{4}{5}x-\frac{2}{5}\).

c) Dans un repère orthonormé, les axes sont perpendiculaires, donc \((AB)\perp(BC)\) : le triangle est rectangle en \(B\). Notamment, de plus \(AB=2-(-3)=5\) et \(BC=2-(-2)=4\) : il n’est pas isocèle.

a) \(x_A=-2\neq x_B=2\) : la droite \((AB)\) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle admet donc une équation réduite \(y=mx+p\).

b) \(A\) et \(B\) appartiennent à la droite, donc leurs coordonnées vérifient l’équation : \(1=m\times(-2)+p\) et \(2=m\times2+p\). Puis trouver \(m\) et \(p\) revient bien à résoudre ce système.

c) En soustrayant la première équation de la seconde : \(2-1=4m\), donc \(m=\frac{1}{4}\) ; puis \(p=2-2\times\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\). \((AB)\colon y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\).

d) \(C(21\,;6)\) et \(D(21\,;2)\) ont la même abscisse : \((CD)\colon x=21\).

e) \(E(21\,;7)\) a pour abscisse 21, il est donc sur \((CD)\) : \(E\), \(C\), \(D\) sont alignés. Mais \(\frac{1}{4}\times21+\frac{3}{2}=5{,}25+1{,}5=6{,}75\neq7\) : \(E\) n’est pas sur \((AB)\). Killian a raison pour \(C\) et \(D\), mais tort pour \(A\) et \(B\) (sur un dessin, l’écart de 0,25 est difficile à voir).

On identifie d’abord chaque droite à l’aide de deux points lus sur le graphique :

• la droite orange passe par \((0\,;1)\) et \((1\,;0)\) : c’est \( y=-x+1 \) ;
• la droite rouge passe par \((-2\,;0)\) et \((0\,;-2)\) : c’est \( y=-x-2 \) ;
• Ensuite, la droite verte passe par \((-2\,;0)\) et \((-1\,;2)\) (elle monte de 2 quand on avance de 1) : c’est \( y=2x+4 \).

La solution d’un système de deux équations de droites est le couple de coordonnées du point d’intersection des deux droites.

1) Droites verte et orange : elles se coupent au point \((-1\,;2)\). Vérification par le calcul : \( 2x+4=-x+1 \) donne \( 3x=-3 \), \( x=-1 \), puis \( y=-(-1)+1=2 \).

Puis, 2) Droites orange et rouge : elles ont le même coefficient directeur \(-1\) et des ordonnées à l’origine différentes (1 et −2). De plus, elles sont parallèles (et distinctes) : le système n’a aucune solution. Par le calcul, \( -x+1=-x-2 \) donnerait \( 1=-2 \), ce qui est impossible.

Toutefois, 3) Droites verte et rouge : elles se coupent sur l’axe des abscisses, au point \((-2\,;0)\). Vérification : \( 2x+4=-x-2 \) donne \( 3x=-6 \), \( x=-2 \), puis \( y=-(-2)-2=0 \).

1) L’algorithme demande les coordonnées de deux points \( A(x_1\,;y_1) \) et \( B(x_2\,;y_2) \).

• Si \( x_1\neq x_2 \), il calcule \( m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \) : c’est le coefficient directeur de la droite (AB) (le quotient \( \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) donne la même valeur, car on change le signe du numérateur et du dénominateur).
• Si \( x_1=x_2 \), la droite (AB) est parallèle à l’axe des ordonnées : elle n’a pas de coefficient directeur, d’où le message « m n’existe pas ».

Par exemple, exemple : avec \( A(1\,;2) \) et \( B(3\,;8) \), il affiche \( m=\frac{2-8}{1-3}=3 \).

2) Pour afficher une équation, il faut aussi l’ordonnée à l’origine \(p\). Comme A est sur la droite \( y=mx+p \), on a \( y_1=m x_1+p \), donc \( p=y_1-m x_1 \). Ensuite, dans le cas \( x_1=x_2 \), l’équation est \( x=x_1 \). Algorithme modifié (lignes 8 à 14) :

1. Si x1 ≠ x2 Alors
2.     m prend la valeur (y1 − y2)/(x1 − x2)
3.     p prend la valeur y1 − m × x1
4. Ensuite,     Afficher « y = », m, « x + », p
5. Sinon
6.     Afficher « x = », x1
7. Fin Si

Il faut aussi ajouter p : réel dans la liste des variables. Avec l’exemple précédent : \( p=2-3\times 1=-1 \), l’algorithme affiche \( y=3x-1 \).

(D) a pour équation \( y=2x-5 \) : son coefficient directeur est 2. Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur ; sinon elles sont sécantes. Plusieurs réponses sont possibles, en voici une pour chaque cas.

1) Il suffit d’un coefficient directeur différent de 2 : par exemple \( y=x \) (coefficient 1).

2) Même coefficient directeur 2 et une autre ordonnée à l’origine : par exemple \( y=2x+3 \).

3) On cherche \( y=2x+p \) avec \( A(2\,;1) \) sur la droite : \( 1=2\times 2+p \), donc \( p=-3 \). Équation : \( y=2x-3 \). (Ici la réponse est unique ; elle est bien distincte de (D) car \( -3\neq -5 \).)

4) On choisit un coefficient différent de 2, par exemple \( m=1 \) : \( y=x+p \) et \( 1=2+p \), donc \( p=-1 \). En effet, Équation : \( y=x-1 \). (Autre choix possible : la droite horizontale \( y=1 \), de coefficient 0.)

Rappels sur les symétriques d’un point \( M(x\,;y) \) :

• par rapport à l’axe des ordonnées : \( (-x\,;y) \) ;
• par rapport à l’axe des abscisses : \( (x\,;-y) \) ;
• par rapport à l’origine : \( (-x\,;-y) \).

En effet, un point \( (x\,;y) \) est sur la droite symétrique si et seulement si son symétrique est sur la droite de départ. Par ailleurs, on remplace donc \(x\) par \(-x\) et/ou \(y\) par \(-y\) dans l’équation, puis on isole \(y\).

1) \( (D_1) : x=2 \) (droite verticale).

• axe des ordonnées : \( -x=2 \), soit \( x=-2 \) ;
• axe des abscisses : l’équation ne contient pas \(y\), elle ne change pas : \( x=2 \) (la droite est sa propre symétrique) ;
• origine : \( x=-2 \).

2) \( (D_2) : y=-4 \) (droite horizontale).

• En effet, axe des ordonnées : \( y=-4 \) (inchangée) ;
• axe des abscisses : \( -y=-4 \), soit \( y=4 \) ;
• origine : \( y=4 \).

3) \( (D_3) : y=2x-1 \).

• axe des ordonnées : \( y=2(-x)-1 \), soit \( y=-2x-1 \) ;
• Toutefois, axe des abscisses : \( -y=2x-1 \), soit \( y=-2x+1 \) ;
• origine : \( -y=-2x-1 \), soit \( y=2x+1 \).

4) \( (D_4) : y=-3x+4 \).

• axe des ordonnées : \( y=-3(-x)+4 \), soit \( y=3x+4 \) ;
• axe des abscisses : \( -y=-3x+4 \), soit \( y=3x-4 \) ;
• origine : \( -y=3x+4 \), soit \( y=-3x-4 \).

Contrôle : la symétrie par rapport à l’origine donne une droite parallèle (même coefficient directeur), les symétries d’axe changent le signe du coefficient directeur.

Chaque équation est celle d’une droite. Puis le système a une seule solution si les coefficients directeurs sont différents (droites sécantes), aucune si les droites sont parallèles et distinctes, une infinité si elles sont confondues.

1) Coefficients directeurs \(-1\) et \(-3\) : différents, donc une unique solution. Par substitution :

\[ -x+2=-3x+4 \iff 2x=2 \iff x=1, \qquad y=-1+2=1 \]

Vérification dans la deuxième équation : \( -3\times 1+4=1 \). Solution : \( (1\,;1) \).

2) Coefficients directeurs \(-2\) et \(0\) (la deuxième droite est horizontale) : différents, donc une unique solution. Ensuite, on remplace \(y\) par \( \frac{1}{5} \) :

\[ -2x+\frac{1}{2}=\frac{1}{5} \iff -2x=\frac{1}{5}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{10} \iff x=\frac{3}{20} \]

Puis, Vérification : \( -2\times\frac{3}{20}+\frac{1}{2}=-\frac{3}{10}+\frac{5}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} \). Donc, Solution : \( \left(\frac{3}{20}\,;\frac{1}{5}\right) \).

Donc, 1) Tous les points de la droite verticale passant par A ont la même abscisse que A : \( x=5 \). Tous les points de la droite horizontale passant par A ont la même ordonnée : \( y=-7 \).

2) On choisit un coefficient directeur non nul, par exemple \( m=1 \) : \( y=x+p \) avec \( -7=5+p \), donc \( p=-12 \). Puis une droite oblique passant par A : \( y=x-12 \) (vérification : \( 5-12=-7 \)).

3) Par exemple \( y=x \) : pour \( x=5 \), on obtient \( y=5\neq -7 \), donc A n’est pas sur cette droite.

4) Une droite a soit une équation \( x=c \) (verticale), soit une équation \( y=mx+p \). Alors, de plus, l’algorithme traite les deux cas et teste si les coordonnées de A vérifient l’équation :

1. Demander si la droite est verticale (réponse « oui » ou « non »)
2. Si la réponse est « oui » Alors
3.     Demander c (équation x = c)
4.     Si c = 5 Alors afficher « A appartient à la droite » Sinon afficher « A n’appartient pas à la droite »
5. Sinon
6. Ensuite,     Demander m et p (équation y = mx + p)
7.     Si m × 5 + p = −7 Alors afficher « A appartient à la droite » Sinon afficher « A n’appartient pas à la droite »
8. Fin Si

Test : avec \( m=1 \) et \( p=-12 \) (question 2), il affiche « A appartient à la droite » ; avec \( m=1 \) et \( p=0 \) (question 3), « A n’appartient pas à la droite ».

Notamment, un point \( M(x\,;y) \) appartient à (D) si et seulement si \( y=-3x+7 \).

1) a) On choisit une abscisse et on calcule l’ordonnée : pour \( x=0 \), \( y=7 \) ; pour \( x=1 \), \( y=-3+7=4 \). Ensuite, les points \( (0\,;7) \) et \( (1\,;4) \) appartiennent à (D).

b) On garde une abscisse et on change l’ordonnée : \( (0\,;0) \) n’est pas sur (D) car \( -3\times 0+7=7\neq 0 \) ; \( (1\,;1) \) non plus car \( -3\times 1+7=4\neq 1 \). Par ailleurs, les points \( (0\,;0) \) et \( (1\,;1) \) n’appartiennent pas à (D).

2) Algorithme :

1. Demander x et y (coordonnées du point)
2. Si y = −3 × x + 7 Alors
3. Cependant,     Afficher « le point est sur (D) »
4. Sinon
5.     Afficher « le point n’est pas sur (D) »
6. Fin Si

En Python, le test s’écrit if y == -3*x + 7: (double signe égal pour une comparaison). Également, Test : \( (1\,;4) \) donne « sur (D) », \( (1\,;1) \) donne « pas sur (D) ».

Pour tracer la droite d’équation \( y=mx+p \), on calcule les coordonnées de deux points (souvent pour \( x=0 \), qui donne l’ordonnée à l’origine \(p\), et pour \( x=1 \)) puis on les relie.

Pour la droite (4), on prend \( x=2 \) plutôt que \( x=1 \) pour éviter une ordonnée décimale. Remarques utiles pour contrôler le tracé : les droites (1), (2) et (3) passent toutes par le point \( (1\,;1) \) ; les droites (5) et (6) se coupent en \( (0\,;-3) \) sur l’axe des ordonnées ; une droite monte si son coefficient directeur est positif, descend s’il est négatif.

Une droite d’équation \( x=c \) est parallèle à l’axe des ordonnées (verticale) ; une droite d’équation \( y=c \) est parallèle à l’axe des abscisses (horizontale). Puis une équation \( y=mx+p \) avec \( m\neq 0 \) est celle d’une droite oblique, parallèle à aucun axe.

• 1) \( y=5x-17 \) : \( m=5\neq 0 \), droite oblique, non parallèle à un axe.
• Donc, 2) \( x=2{,}5 \) : droite parallèle à l’axe des ordonnées.
• 3) \( y=-3x-12 \) : \( m=-3\neq 0 \), non parallèle à un axe.
• 4) \( y=5 \) : droite parallèle à l’axe des abscisses.
• Alors, 5) \( y=-\frac{1}{2}x+7 \) : \( m=-\frac{1}{2}\neq 0 \), non parallèle à un axe.
• 6) \( y=2x \) : \( m=2\neq 0 \), non parallèle à un axe (elle passe par l’origine).

Par ailleurs, \( (D_1) \) est horizontale et coupe l’axe des ordonnées en \(-1\) : \( y=-1 \).

\( (D_2) \) est verticale et coupe l’axe des abscisses en 3 : \( x=3 \).

\( (D_3) \) coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;1)\), donc \( p=1 \). Ensuite, elle passe aussi par \((-1\,;-1)\) (sur la droite \(D_1\)). Coefficient directeur :

\[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-(-1)}{0-(-1)}=\frac{2}{1}=2 \]

Donc \( y=2x+1 \).

\( (D_4) \) coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;2)\), donc \( p=2 \). Puis elle passe aussi par \((1\,;-1)\). Coefficient directeur :

\[ m=\frac{-1-2}{1-0}=-3 \]

Donc \( y=-3x+2 \).

Enfin, on remplace \(x\) par \(-4\) dans chaque équation et on compare le résultat à l’ordonnée de D, qui vaut 1.

• 1) \( 2\times(-4)+1=-7\neq 1 \) : D n’appartient pas à la droite.
• 2) \( 2\times(-4)+9=1 \) : D appartient à la droite.
• Alors, 3) \( -3\times(-4)-11=12-11=1 \) : D appartient à la droite.
• 4) \( -(-4)+3=7\neq 1 \) : D n’appartient pas à la droite.

Notamment, on remplace \(x\) par \(-1\) et on compare à l’ordonnée de F, qui vaut \(-2\).

1) \( \frac{1}{5}\times(-1)+\frac{4}{5}=\frac{-1+4}{5}=\frac{3}{5}\neq -2 \) : F n’appartient pas à la droite.

2) \( \frac{2}{3}\times(-1)-\frac{4}{3}=\frac{-2-4}{3}=-\frac{6}{3}=-2 \) : F appartient à la droite.

Car 3) \( \frac{-6}{7}\times(-1)-\frac{15}{14}=\frac{6}{7}-\frac{15}{14}=\frac{12}{14}-\frac{15}{14}=-\frac{3}{14}\neq -2 \) : F n’appartient pas à la droite.

4) \( \frac{12}{17}\times(-1)+\frac{3}{11}=-\frac{132}{187}+\frac{51}{187}=-\frac{81}{187}\neq -2 \) : F n’appartient pas à la droite. (Un contrôle rapide suffit d’ailleurs : \( -\frac{12}{17} \) est compris entre −1 et 0 et on ajoute un nombre positif, le résultat ne peut pas valoir −2.)

1) a) Pour \( x=-6 \) : \( y=-3\times(-6)+2=18+2 \), donc \( y=20 \).

b) Pour \( x=\frac{2}{3} \) : \( y=-3\times\frac{2}{3}+2=-2+2 \), donc \( y=0 \).

2) a) Pour \( y=-5 \), on résout \( -3x+2=-5 \) :

\[ -3x=-7 \iff x=\frac{7}{3} \]

Vérification : \( -3\times\frac{7}{3}+2=-7+2=-5 \). Donc \( x=\frac{7}{3} \).

b) Pour \( y=-\frac{1}{4} \), on résout \( -3x+2=-\frac{1}{4} \) :

\[ -3x=-\frac{1}{4}-2=-\frac{9}{4} \iff x=\frac{9}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{3}{4} \]

Car Vérification : \( -3\times\frac{3}{4}+2=-\frac{9}{4}+\frac{8}{4}=-\frac{1}{4} \). Donc \( x=\frac{3}{4} \).

Un couple \( (x \,;\, y) \) vérifie l’égalité \( y = 0{,}4x – 0{,}8 \) si, en remplaçant \( x \) par sa valeur, on retrouve exactement \( y \).

1) Couple \( (-2 \,;\, 5) \) : \( 0{,}4 \times (-2) – 0{,}8 = -0{,}8 – 0{,}8 = -1{,}6 \). Alors, or \( -1{,}6 \neq 5 \) : le couple ne vérifie pas l’égalité.

2) Couple \( (0 \,;\, -0{,}8) \) : \( 0{,}4 \times 0 – 0{,}8 = -0{,}8 \). Cependant, de plus, on retrouve bien \( y = -0{,}8 \) : le couple vérifie l’égalité. C’est d’ailleurs le point de la droite situé sur l’axe des ordonnées (ordonnée à l’origine \( -0{,}8 \)).

On isole \( y \) dans \( -5y – 2x + 4 = 0 \) :

\[ \begin{aligned} -5y – 2x + 4 &= 0 \\ -5y &= 2x – 4 \\ y &= \frac{2x – 4}{-5} \\ y &= -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5} \end{aligned} \]

Toutefois, Soit, en écriture décimale : \( y = -0{,}4x + 0{,}8 \). C’est l’équation réduite d’une droite de coefficient directeur \( -0{,}4 \) et d’ordonnée à l’origine \( 0{,}8 \).

Contrôle avec \( x = 2 \) : \( y = -0{,}8 + 0{,}8 = 0 \), et \( -5 \times 0 – 2 \times 2 + 4 = 0 \).

Complément sur le graphique placé sous la consigne (il n’est pas utilisé par la question) : la droite verte passe par \( (0 \,;\, 1) \) et \( (1 \,;\, 0) \), donc (HE) a pour équation \( y = -x + 1 \) ; la droite orange passe par \( A(-3 \,;\, -2) \) et \( F(3 \,;\, 0) \), donc (AF) a pour coefficient directeur \( \frac{0 – (-2)}{3 – (-3)} = \frac{1}{3} \) et pour équation \( y = \frac{1}{3}x – 1 \).

Rappel : une droite a une équation de la forme \( y = mx + p \) (droite non verticale) ou \( x = c \) (droite verticale). Ensuite, il ne doit y avoir ni \( x^2 \), ni produit \( xy \), ni \( x \) au dénominateur.

• 1) \( y = \sqrt{3}x – 2 \) : de la forme \( y = mx + p \) avec \( m = \sqrt{3} \) et \( p = -2 \). C’est une droite.
• Toutefois, 2) \( yx = 2 \) : le produit \( xy \) apparaît ; pour \( x \neq 0 \), \( y = \frac{2}{x} \) (fonction inverse, une hyperbole). Ce n’est pas une droite.
• 3) \( x = \frac{5}{7} \) : de la forme \( x = c \). C’est une droite, parallèle à l’axe des ordonnées.
• 4) On développe : \( (x – 2)^2 – (x + 6)^2 = x^2 – 4x + 4 – (x^2 + 12x + 36) = -16x – 32 \). Donc \( y = -16x – 32 \) : c’est une droite (les \( x^2 \) s’éliminent).

Le graphique.

1) La droite coupe l’axe des ordonnées au point \( (0 \,;\, 3) \) : son ordonnée à l’origine est 3.

Par exemple, 2) Depuis le point \( (0 \,;\, 3) \), quand on avance de 1 vers la droite, on descend de 2 pour retrouver la droite (on arrive en \( (1 \,;\, 1) \)). Par ailleurs, le coefficient directeur est \( -2 \) : \( m = \frac{1 – 3}{1 – 0} = -2 \).

La droite a donc pour équation \( y = -2x + 3 \).

La consigne porte sur quatre graphiques ; on traite ici les droites 1) et 2), les droites 3) et 4) sont corrigées dans l’exercice 28. Puis pour une droite non verticale, on lit l’ordonnée à l’origine \( p \) sur l’axe des ordonnées, puis le coefficient directeur \( m \) = variation de \( y \) quand \( x \) augmente de 1.

1) La droite coupe l’axe des ordonnées en \( (0 \,;\, -3) \), donc \( p = -3 \). Ensuite, elle coupe l’axe des abscisses en \( (4 \,;\, 0) \). Alors, entre ces deux points :

\[ m = \frac{0 – (-3)}{4 – 0} = \frac{3}{4} \]

Équation réduite : \( y = \frac{3}{4}x – 3 \) (soit \( y = 0{,}75x – 3 \)).

2) La droite passe par l’origine \( (0 \,;\, 0) \), donc \( p = 0 \), et par \( (1 \,;\, -1) \) : \( m = \frac{-1 – 0}{1 – 0} = -1 \). Équation réduite : \( y = -x \).

Puis, même consigne que l’exercice 27, pour les droites 3) et 4), qui sont des cas particuliers.

3) La droite est verticale (parallèle à l’axe des ordonnées) : tous ses points ont la même abscisse, 3. Puis elle n’a pas de coefficient directeur ; son équation est \( x = 3 \).

4) La droite est horizontale : tous ses points ont la même ordonnée, \( -2 \). Alors, Son coefficient directeur est 0 et son ordonnée à l’origine \( -2 \) : équation réduite \( y = -2 \).

L’image regroupe cinq questions courtes.

Équation réduite de \( 3x – 6y = 2 \).

\[ -6y = -3x + 2 \iff y = \frac{-3x + 2}{-6} \iff y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{3} \]

Puis, le point \( A(-2 \,;\, 3) \) est-il sur \( y = 4x + 5 \) ? \( 4 \times (-2) + 5 = -3 \neq 3 \) : non, A n’appartient pas à la droite.

\( (\mathcal{D}_1) \) et \( (\mathcal{D}_2) \) sont-elles parallèles ? Leurs coefficients directeurs sont \( \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \) et \( \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \) : ils sont égaux, donc les droites sont parallèles. Leurs ordonnées à l’origine (\( -5 \) et \( 5 \)) sont différentes : elles sont strictement parallèles.

Intersection de \( y = 5x – 7 \) et \( x = -4 \). On remplace \( x \) par \( -4 \) : \( y = 5 \times (-4) – 7 = -27 \). Notamment, de plus, les droites se coupent en \( (-4 \,;\, -27) \).

Nombre de solutions des systèmes. Chaque système correspond à l’intersection de deux droites.

• 1) Les deux droites ont le même coefficient directeur \( -1{,}5 \) mais des ordonnées à l’origine différentes (\( 2{,}4 \) et \( -8 \)) : elles sont strictement parallèles, le système n’a aucune solution. (En soustrayant : \( 0 = 10{,}4 \), impossible.)
• 2) Les coefficients directeurs 5 et 7 sont différents : les droites sont sécantes, le système a une unique solution. On la trouve : \( 5x – 1 = 7x – 1 \iff x = 0 \), puis \( y = -1 \) ; la solution est \( (0 \,;\, -1) \).

• 1) \( y^2 = 3x – 2 \) : \( y \) est au carré. Ce n’est pas une équation de droite.
• 2) \( y = -5x + 7 \) : droite de coefficient directeur \( -5 \) et d’ordonnée à l’origine 7.
• Alors, 3) \( x^4 = 1 \iff x = 1 \) ou \( x = -1 \) : c’est la réunion de deux droites verticales, et non une seule droite. Ce n’est pas une équation de droite.
• 4) \( x = 3 \) : droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées). Elle n’a ni coefficient directeur ni ordonnée à l’origine.
• Par ailleurs, 5) \( y = 5x^2 + 5 \) : présence de \( x^2 \) (parabole). Ce n’est pas une équation de droite.
• 6) \( y = \frac{-3x + 1}{5} = -\frac{3}{5}x + \frac{1}{5} \) : droite de coefficient directeur \( -\frac{3}{5} \) et d’ordonnée à l’origine \( \frac{1}{5} \).

Également, un point appartient à la droite d’équation \( 5x – 2y + 9 = 0 \) si ses coordonnées vérifient l’égalité.

• a) \( (7 \,;\, 21) \) : \( 5 \times 7 – 2 \times 21 + 9 = 35 – 42 + 9 = 2 \neq 0 \). Non.
• b) \( (-1 \,;\, 7) \) : \( -5 – 14 + 9 = -10 \neq 0 \). Non.
• c) \( (-3 \,;\, -3) \) : \( -15 + 6 + 9 = 0 \). Oui.
• d) \( (-1{,}8 \,;\, 0) \) : \( 5 \times (-1{,}8) – 0 + 9 = -9 + 9 = 0 \). Oui.

Toutefois, on lit les coordonnées des points sur le quadrillage : \( A(-1 \,;\, -3) \) et \( B(4 \,;\, -1) \).

On teste chaque équation avec les deux points (une équation convient si A et B la vérifient) :

• a) \( 2x – 5y – 13 = 0 \) : A donne \( -2 + 15 – 13 = 0 \) et B donne \( 8 + 5 – 13 = 0 \). Convient.
• b) \( -x – 3y + 3 = 0 \) : A donne \( 1 + 9 + 3 = 13 \neq 0 \). Ne convient pas.
• c) \( 4x – y = 2{,}5 \) : A donne \( -4 + 3 = -1 \neq 2{,}5 \). Ne convient pas.
• d) \( -4x + 10y = 26 \) : A donne \( 4 – 30 = -26 \neq 26 \). Ne convient pas.

Ainsi, contrôle : \( 2x – 5y – 13 = 0 \iff y = 0{,}4x – 2{,}6 \) ; le coefficient directeur \( \frac{-1 – (-3)}{4 – (-1)} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \) est bien celui de (AB).

Coefficient directeur de (AB) avec \( A(-6 \,;\, 2) \) et \( B(-1 \,;\, 0) \) :

\[ m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A} = \frac{0 – 2}{-1 – (-6)} = -\frac{2}{5} \]

Donc \( y = -\frac{2}{5}x + p \). B est sur la droite : \( 0 = -\frac{2}{5} \times (-1) + p = \frac{2}{5} + p \), d’où \( p = -\frac{2}{5} \).

\[ (AB) : y = -\frac{2}{5}x – \frac{2}{5} \]

Enfin, on examine chaque proposition :

• a) \( x + 2y + 2 = 0 \) : A donne \( -6 + 4 + 2 = 0 \), mais B donne \( -1 + 0 + 2 = 1 \neq 0 \). Ne convient pas.
• b) \( y = -2x – 1 \) : A donne \( 12 – 1 = 11 \neq 2 \). Ne convient pas.
• En effet, c) \( y = -\frac{2}{5}x – \frac{2}{5} \) : c’est l’équation trouvée. Convient.
• d) \( 2x + 5y + 2 = 0 \iff 5y = -2x – 2 \iff y = -\frac{2}{5}x – \frac{2}{5} \) : même droite. Convient. (Vérification : A donne \( -12 + 10 + 2 = 0 \), B donne \( -2 + 0 + 2 = 0 \).)

On lit sur le quadrillage : \( A(0 \,;\, 8) \) et \( B(1 \,;\, 5) \). Ensuite, un vecteur directeur de (AB) est donc

\[ \overrightarrow{AB}(1 – 0 \,;\, 5 – 8) = (1 \,;\, -3) \]

Les vecteurs directeurs de (AB) sont les vecteurs non nuls colinéaires à \( \overrightarrow{AB}(1 \,;\, -3) \), c’est-à-dire de la forme \( (k \,;\, -3k) \) : la deuxième coordonnée vaut \( -3 \) fois la première.

• a) \( (-1 \,;\, 3) \) : \( 3 = -3 \times (-1) \). Oui (\( k = -1 \)).
• b) \( (1 \,;\, -3) \) : c’est \( \overrightarrow{AB} \). Oui.
• c) \( (1 \,;\, 5) \) : \( 5 \neq -3 \times 1 \). Non.
• d) \( (-5 \,;\, 15) \) : \( 15 = -3 \times (-5) \). Oui (\( k = -5 \)).

Données : \( A(-8 \,;\, -3) \), \( B(4 \,;\, -1) \), \( C(-2 \,;\, 7) \), \( I(1 \,;\, 3) \), \( J(-5 \,;\, 2) \), \( K(-2 \,;\, -2) \). Par ailleurs, les droites (AI), (BJ), (CK) sont les médianes du triangle.

1) Droite (AI). \( m = \frac{3 – (-3)}{1 – (-8)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \). Avec I : \( 3 = \frac{2}{3} \times 1 + p \), donc \( p = \frac{7}{3} \).

\[ (AI) : y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} \]

Contrôle avec A : \( \frac{2}{3} \times (-8) + \frac{7}{3} = \frac{-16 + 7}{3} = -3 \).

Droite (BJ). \( m = \frac{2 – (-1)}{-5 – 4} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} \). Avec B : \( -1 = -\frac{1}{3} \times 4 + p \), donc \( p = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \).

\[ (BJ) : y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \]

Contrôle avec J : \( -\frac{1}{3} \times (-5) + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2 \).

2) Point G. On résout :

\[ \frac{2}{3}x + \frac{7}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \iff 2x + 7 = -x + 1 \iff 3x = -6 \iff x = -2 \]

puis \( y = -\frac{1}{3} \times (-2) + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \). Donc \( G(-2 \,;\, 1) \).

3) C et K ont la même abscisse \( -2 \) : la droite (CK) est verticale, d’équation \( x = -2 \). Comme G a pour abscisse \( -2 \), G appartient à (CK) : les trois médianes sont bien concourantes en G, le centre de gravité du triangle.

Contrôle : les coordonnées de G sont les moyennes de celles des sommets, \( \frac{-8 + 4 – 2}{3} = -2 \) et \( \frac{-3 – 1 + 7}{3} = 1 \).