Équations de droites en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Le point \(C(3\,;7)\) appartient à une droite d’équation \(y=mx+p\) si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation : on remplace \(x\) par 3 et on compare le résultat à 7.

• 1) \(3\times3+2=11\neq7\) : \(C\) n’appartient pas à la droite.
• 2) \(3\times3-2=7\) : \(C\) appartient à la droite.
• 3) \(-2\times3-2=-8\neq7\) : \(C\) n’appartient pas à la droite.
• 4) \(-2\times3+13=7\) : \(C\) appartient à la droite.

1) On note \(a\) et \(b\) les deux nombres, avec \(a-b=7\) et \(a^2-b^2=21\). D’après l’identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

\[ 7(a+b)=21 \quad\text{donc}\quad a+b=3 \]

On résout le système \(\begin{cases} a-b=7 \\ a+b=3 \end{cases}\) : en additionnant, \(2a=10\), donc \(a=5\) ; puis \(b=3-5=-2\).

Vérification : \(5-(-2)=7\) et \(25-4=21\).

2) Si la différence vaut \(d\neq0\) et la différence des carrés vaut \(D\), alors \(a+b=\frac{D}{d}\), puis \(a=\frac{1}{2}\left(\frac{D}{d}+d\right)\) et \(b=\frac{1}{2}\left(\frac{D}{d}-d\right)\). En Python :

def deux_nombres(d, D):
    s = D / d    # somme a + b
    a = (s + d) / 2
    b = (s – d) / 2
    return a, b

Par exemple, deux_nombres(7, 21) renvoie (5.0, -2.0). Si \(d=0\), les deux nombres sont égaux et le problème n’a de solution que si \(D=0\) (il y en a alors une infinité).

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\) et inscrit dans le cercle : son hypoténuse \([AB]\) est un diamètre, donc \(AB=2\times3=6\) cm. On note \(a=AC\) et \(b=BC\).

1) L’aire vaut \(\frac{a\times b}{2}=8{,}64\), donc \(ab=17{,}28\).

2) Théorème de Pythagore dans \(ABC\) rectangle en \(C\) : \(a^2+b^2=AB^2=36\).

3) Identités remarquables :

\[ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=36+34{,}56=70{,}56 \qquad (b-a)^2=a^2+b^2-2ab=36-34{,}56=1{,}44 \]

4) \(a+b\) et \(b-a\) sont positifs (en prenant \(b\geqslant a\)), donc \(a+b=\sqrt{70{,}56}=8{,}4\) et \(b-a=\sqrt{1{,}44}=1{,}2\).

5) On résout \(\begin{cases} a+b=8{,}4 \\ b-a=1{,}2 \end{cases}\) : par addition \(2b=9{,}6\), donc \(b=4{,}8\), puis \(a=8{,}4-4{,}8=3{,}6\).

6) Vérification : \(3{,}6\times4{,}8\div2=8{,}64\) et \(3{,}6^2+4{,}8^2=12{,}96+23{,}04=36\).

Les six droites. On calcule les équations :

• \((B_1C_2)\) : coefficient directeur \(\frac{-3-1}{7-1}=-\frac{2}{3}\), d’où \(y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\) ;
• \((B_2C_1)\) : \(B_2\) et \(C_1\) ont la même abscisse 4, donc \(x=4\) ;
• \((A_1C_2)\) : passe par l’origine, \(y=-\frac{3}{7}x\) ;
• \((A_2C_1)\) : coefficient \(\frac{4-(-3)}{4-1}=\frac{7}{3}\), d’où \(y=\frac{7}{3}x-\frac{16}{3}\) ;
• \((A_1B_2)\) : \(y=-\frac{3}{4}x\) ;
• \((A_2B_1)\) : \(A_2\) et \(B_1\) ont la même abscisse 1, donc \(x=1\).

Point \(A\). Avec \(x=4\) : \(y=-\frac{8}{3}+\frac{5}{3}=-1\). Donc \(A(4\,;-1)\).

Point \(B\). On résout \(-\frac{3}{7}x=\frac{7}{3}x-\frac{16}{3}\). En multipliant par 21 : \(-9x=49x-112\), soit \(58x=112\) et \(x=\frac{56}{29}\) ; puis \(y=-\frac{3}{7}\times\frac{56}{29}=-\frac{24}{29}\). Donc \(B\left(\frac{56}{29}\,;-\frac{24}{29}\right)\).

Point \(C\). Avec \(x=1\) : \(y=-\frac{3}{4}\). Donc \(C\left(1\,;-\frac{3}{4}\right)\).

Alignement. La droite \((AC)\) a pour coefficient directeur \(\frac{-\frac{3}{4}-(-1)}{1-4}=\frac{\frac{1}{4}}{-3}=-\frac{1}{12}\), et en passant par \(A\) : \(-1=-\frac{4}{12}+p\), donc \(p=-\frac{2}{3}\). Équation : \(y=-\frac{1}{12}x-\frac{2}{3}\). On teste \(B\) :

\[ -\frac{1}{12}\times\frac{56}{29}-\frac{2}{3}=-\frac{56}{348}-\frac{232}{348}=-\frac{288}{348}=-\frac{24}{29}=y_B \]

\(B\) appartient à \((AC)\) : les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.

Partie A

1) \(x\) pièces à 14 € et \(y\) films à 8 € coûtent \(14x+8y\) euros. Si Emma dépense tout son bon : \(14x+8y=400\), soit en divisant par 2, \(7x+4y=200\).

2) Si \(x=y\), alors \(11x=200\), donc \(x=\frac{200}{11}\approx18{,}2\), qui n’est pas un entier. Or \(x\) est un nombre de pièces : \(x\) ne peut pas être égal à \(y\).

3) \(7x+4y=200\iff y=-\frac{7}{4}x+50\). C’est une droite de coefficient directeur \(-\frac{7}{4}\) et d’ordonnée à l’origine 50 ; on ne garde que la partie \(0\leqslant x\leqslant20\) (20 pièces au programme) et \(0\leqslant y\leqslant40\) (40 films).

4) \(y=50-\frac{7x}{4}\) est entier lorsque \(x\) est un multiple de 4. On obtient \((0\,;50)\), \((4\,;43)\), \((8\,;36)\), \((12\,;29)\), \((16\,;22)\), \((20\,;15)\). Les deux premiers sont exclus car il n’y a que 40 films. Les points possibles sont \((8\,;36)\), \((12\,;29)\), \((16\,;22)\) et \((20\,;15)\).

5) On cherche le point le plus proche de la droite \(y=x\) : les écarts \(|x-y|\) valent 28, 17, 6 et 5. Le plus petit écart est pour 20 pièces et 15 films (écart 5) ; la combinaison 16 pièces et 22 films (écart 6) est presque aussi équilibrée.

Partie B

1) « Deux fois plus de films que de pièces » se traduit par \(y=2x\) : on trace la droite d’équation \(y=2x\) et on cherche son intersection avec la droite budget.

2) \(7x+4\times2x=200\) donne \(15x=200\), soit \(x=\frac{40}{3}\approx13{,}3\) : pas de solution entière qui utilise tout le bon. Si Emma accepte de ne pas tout dépenser, il faut \(y=2x\) et \(14x+8\times2x\leqslant400\), soit \(30x\leqslant400\) et \(x\leqslant13\). La meilleure solution est 13 pièces et 26 films, pour \(182+208=390\) € (il reste 10 €).

1) a) Milieux : \(A^{\prime}\left(\frac{-5+7}{2}\,;\frac{-5-1}{2}\right)=(1\,;-3)\), \(B^{\prime}\left(\frac{1+7}{2}\,;\frac{7-1}{2}\right)=(4\,;3)\), \(C^{\prime}\left(\frac{1-5}{2}\,;\frac{7-5}{2}\right)=(-2\,;1)\).

b) \(A\) et \(A^{\prime}\) ont la même abscisse 1 : la droite \((AA^{\prime})\) est parallèle à l’axe des ordonnées, elle n’a pas d’équation réduite de la forme \(y=mx+p\) ; son équation est \(x=1\). Pour \((BB^{\prime})\) : \(m=\frac{3-(-5)}{4-(-5)}=\frac{8}{9}\) et \(3=\frac{8}{9}\times4+p\) donne \(p=\frac{27-32}{9}=-\frac{5}{9}\) : \(y=\frac{8}{9}x-\frac{5}{9}\).

c) Avec \(x=1\) : \(y=\frac{8}{9}-\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). Donc \(K\left(1\,;\frac{1}{3}\right)\).

d) \((CC^{\prime})\) : \(m=\frac{1-(-1)}{-2-7}=-\frac{2}{9}\) et \(-1=-\frac{2}{9}\times7+p\) donne \(p=\frac{5}{9}\), soit \(y=-\frac{2}{9}x+\frac{5}{9}\). Pour \(x=1\) : \(y=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\) : \(K\in(CC^{\prime})\).

e) \((AA^{\prime})\), \((BB^{\prime})\), \((CC^{\prime})\) sont les trois médianes du triangle : elles sont concourantes en son centre de gravité.

f) On compare les vecteurs :

\[ \overrightarrow{AK}\begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{20}{3} \end{pmatrix},\ \overrightarrow{AA^{\prime}}\begin{pmatrix} 0 \\ -10 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BK}\begin{pmatrix} 6 \\ \frac{16}{3} \end{pmatrix},\ \overrightarrow{BB^{\prime}}\begin{pmatrix} 9 \\ 8 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CK}\begin{pmatrix} -6 \\ \frac{4}{3} \end{pmatrix},\ \overrightarrow{CC^{\prime}}\begin{pmatrix} -9 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Dans chaque cas, \(\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA^{\prime}}\), \(\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BB^{\prime}}\), \(\overrightarrow{CK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CC^{\prime}}\) : \(K\) est aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

2) \(OA=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}\), \(OB=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}\), \(OC=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}\). Donc \(OA=OB=OC=5\sqrt{2}\) : \(O\) est le centre du cercle circonscrit au triangle \(ABC\) (intersection des médiatrices).

3) a) \(\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AA_1}\begin{pmatrix} 3 \\ -9 \end{pmatrix}\) : \(2\times(-9)-(-6)\times3=0\), les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(H\), \(A_1\) sont alignés.

b) \(\overrightarrow{CH}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CC_1}\begin{pmatrix} -8 \\ 4 \end{pmatrix}=2\overrightarrow{CH}\) : \(C\), \(H\), \(C_1\) sont alignés.

c) \(AA_1^2=9+81=90\), \(A_1C^2=9+1=10\), \(AC^2=36+64=100\) : \(AA_1^2+A_1C^2=AC^2\), donc \(AA_1C\) est rectangle en \(A_1\) (réciproque de Pythagore). De même \(CC_1^2=64+16=80\), \(C_1A^2=4+16=20\) et \(80+20=100=AC^2\) : \(CC_1A\) est rectangle en \(C_1\).

d) \(A_1\) est sur \([BC]\) (la droite \((BC)\) a pour équation \(y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\) et \(\frac{4}{3}-\frac{10}{3}=-2\)) et \((AA_1)\perp(BC)\) : \((AH)\) est la hauteur issue de \(A\). De même \(C_1\) est sur \((AB)\), d’équation \(y=2x+5\) (car \(2\times(-1)+5=3\)), et \((CH)\) est la hauteur issue de \(C\). \(H\) est l’orthocentre du triangle \(ABC\).

4) \(\overrightarrow{OK}\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{OH}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=3\,\overrightarrow{OK}\) : les points \(O\), \(K\), \(H\) sont alignés (c’est la droite d’Euler, d’équation \(y=\frac{1}{3}x\)).

1) Pour \(p=3\) : \((d_3)\colon y=-2x+3\) et \((d^{\prime}_3)\colon y=-x+6\). Pour \(p=-1\) : \((d_{-1})\colon y=2x+3\) et \((d^{\prime}_{-1})\colon y=-x-2\). On trace chaque droite à l’aide de deux points (par exemple l’ordonnée à l’origine et un second point).

2) Deux droites d’équations réduites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur : \(1-p=-1\iff p=2\).

3) Pour \(p\neq2\), on résout \((1-p)x+3=-x+2p\) :

\[ (1-p)x+x=2p-3 \iff (2-p)x=2p-3 \iff x=\frac{2p-3}{2-p} \]
\[ y=-x+2p=\frac{-(2p-3)+2p(2-p)}{2-p}=\frac{-2p^2+2p+3}{2-p} \]

Donc \(K_p\left(\frac{2p-3}{2-p}\,;\frac{-2p^2+2p+3}{2-p}\right)\).

4) Pour \(p=3\) : \(x=\frac{3}{-1}=-3\) et \(y=\frac{-18+6+3}{-1}=9\), donc \(K_3(-3\,;9)\). Pour \(p=-1\) : \(x=\frac{-5}{3}\) et \(y=\frac{-2-2+3}{3}=-\frac{1}{3}\), donc \(K_{-1}\left(-\frac{5}{3}\,;-\frac{1}{3}\right)\). Sur le graphique, les droites rouges se coupent bien en \((-3\,;9)\) et les bleues vers \((-1{,}7\,;-0{,}3)\).

a) \(x_A\neq x_B\), donc \((AB)\) a une équation \(y=mx+p\) avec :

\[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{1-(-2)}{-3-1}=-\frac{3}{4} \]

\(A\) est sur la droite : \(-2=-\frac{3}{4}\times1+p\), donc \(p=-2+\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}\). \((AB)\colon y=-\frac{3}{4}x-\frac{5}{4}\).

b) On remplace \(x\) par l’abscisse du point et on compare avec son ordonnée :

• \(C(10\,;-8{,}75)\) : \(-\frac{3}{4}\times10-\frac{5}{4}=-7{,}5-1{,}25=-8{,}75\) : \(C\in(AB)\).
• \(D(-20\,;13{,}5)\) : \(-\frac{3}{4}\times(-20)-\frac{5}{4}=15-1{,}25=13{,}75\neq13{,}5\) : \(D\notin(AB)\).
• \(E(41\,;-32)\) : \(-\frac{3}{4}\times41-\frac{5}{4}=-\frac{123+5}{4}=-32\) : \(E\in(AB)\).

a) \(A\) et \(B\) ont la même ordonnée 2 : \((AB)\) est parallèle à l’axe des abscisses. \(B\) et \(C\) ont la même abscisse 2 : \((BC)\) est parallèle à l’axe des ordonnées. \(A\) et \(C\) n’ont ni même abscisse ni même ordonnée : \((AC)\) n’est parallèle à aucun axe.

b) \((AB)\colon y=2\) ; \((BC)\colon x=2\) ; pour \((AC)\), \(m=\frac{-2-2}{2-(-3)}=-\frac{4}{5}\) et \(2=-\frac{4}{5}\times(-3)+p\) donne \(p=2-\frac{12}{5}=-\frac{2}{5}\) : \((AC)\colon y=-\frac{4}{5}x-\frac{2}{5}\).

c) Dans un repère orthonormé, les axes sont perpendiculaires, donc \((AB)\perp(BC)\) : le triangle est rectangle en \(B\). De plus \(AB=2-(-3)=5\) et \(BC=2-(-2)=4\) : il n’est pas isocèle.

a) \(x_A=-2\neq x_B=2\) : la droite \((AB)\) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, elle admet donc une équation réduite \(y=mx+p\).

b) \(A\) et \(B\) appartiennent à la droite, donc leurs coordonnées vérifient l’équation : \(1=m\times(-2)+p\) et \(2=m\times2+p\). Trouver \(m\) et \(p\) revient bien à résoudre ce système.

c) En soustrayant la première équation de la seconde : \(2-1=4m\), donc \(m=\frac{1}{4}\) ; puis \(p=2-2\times\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\). \((AB)\colon y=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\).

d) \(C(21\,;6)\) et \(D(21\,;2)\) ont la même abscisse : \((CD)\colon x=21\).

e) \(E(21\,;7)\) a pour abscisse 21, il est donc sur \((CD)\) : \(E\), \(C\), \(D\) sont alignés. Mais \(\frac{1}{4}\times21+\frac{3}{2}=5{,}25+1{,}5=6{,}75\neq7\) : \(E\) n’est pas sur \((AB)\). Killian a raison pour \(C\) et \(D\), mais tort pour \(A\) et \(B\) (sur un dessin, l’écart de 0,25 est difficile à voir).