Corrigé des 37 exercices sur les systèmes de deux équations en seconde à télécharger en PDF

Puis, la première équation donne facilement \(y\) : on procède par substitution. \(x+y=4\iff y=4-x\). Par ailleurs, on remplace dans la seconde :

\[ \begin{aligned} 2x+3(4-x)&=7 \\ 2x+12-3x&=7 \\ -x&=-5 \\ x&=5 \end{aligned} \]

Puis \(y=4-5=-1\). Vérification : \(5+(-1)=4\) et \(10-3=7\).

En outre, aucune inconnue n’est isolée : on utilise les combinaisons linéaires. Puis pour éliminer \(y\), on multiplie la première équation par 3 et la seconde par 2 :

\[ \begin{cases} 15x+6y=12 \\ 4x+6y=-10 \end{cases} \]

En soustrayant : \(11x=22\), donc \(x=2\). Ensuite, dans la première équation : \(10+2y=4\), donc \(2y=-6\) et \(y=-3\).

Vérification : \(5\times2+2\times(-3)=4\) et \(2\times2+3\times(-3)=-5\).

Substitution : \(x-2y=4\iff x=2y+4\). Puis dans la seconde équation :

\[ \begin{aligned} 2(2y+4)+3y&=-6 \\ 7y+8&=-6 \\ 7y&=-14 \\ y&=-2 \end{aligned} \]

Puis \(x=2\times(-2)+4=0\). Vérification : \(0-2\times(-2)=4\) et \(0+3\times(-2)=-6\).

Combinaisons : on multiplie la première équation par 3 et la seconde par 2 pour éliminer \(y\) :

\[ \begin{cases} 21x+6y=3 \\ 4x+6y=10 \end{cases} \]

En soustrayant : \(17x=-7\), donc \(x=-\frac{7}{17}\). Puis \(2y=1-7x=1+\frac{49}{17}=\frac{66}{17}\), donc \(y=\frac{33}{17}\).

Alors, Vérification dans la seconde équation : \(2\times\left(-\frac{7}{17}\right)+3\times\frac{33}{17}=\frac{-14+99}{17}=\frac{85}{17}=5\).

Par exemple, on remarque que la seconde équation est la première multipliée par \(-3\) :

\[ -3\times(2x-y)=-6x+3y \qquad\text{et}\qquad -3\times1=-3 \]

Les deux équations sont donc équivalentes : le système se réduit à la seule équation \(2x-y=1\), c’est-à-dire \(y=2x-1\). Graphiquement, les deux droites sont confondues. Tout couple \((x\,;2x-1)\), avec \(x\) réel quelconque, est solution : par exemple \((0\,;-1)\), \((1\,;1)\), \((2\,;3)\). De plus, il y a donc une infinité de solutions.

On peut aussi le voir avec le déterminant : \(2\times3-(-1)\times(-6)=6-6=0\), les droites sont parallèles, et elles ont un point commun \((0\,;-1)\), donc elles sont confondues.

On note \(\ell\) le nombre de lapins et \(p\) le nombre de poules. Toutefois, chaque animal a une tête, un lapin a 4 pattes et une poule 2 :

\[ \begin{cases} \ell+p=120 \\ 4\ell+2p=298 \end{cases} \]

De la première équation, \(p=120-\ell\). Ensuite, dans la seconde : \(4\ell+240-2\ell=298\), donc \(2\ell=58\) et \(\ell=29\). Puis \(p=120-29=91\).

Notamment, Vérification : \(29+91=120\) têtes et \(4\times29+2\times91=116+182=298\) pattes.

Par exemple, on note \(x\) le prix d’un kilogramme de pommes et \(y\) celui d’un kilogramme de carottes (en €) :

\[ \begin{cases} 5x+2y=18{,}5 \\ 3x+7y=28{,}5 \end{cases} \]

On multiplie la première équation par 3 et la seconde par 5 pour éliminer \(x\) :

\[ \begin{cases} 15x+6y=55{,}5 \\ 15x+35y=142{,}5 \end{cases} \]

En soustrayant : \(29y=87\), donc \(y=3\). Puis \(5x=18{,}5-6=12{,}5\), donc \(x=2{,}5\).

De même, Vérification : \(5\times2{,}5+2\times3=18{,}5\) et \(3\times2{,}5+7\times3=28{,}5\).

Par ailleurs, on note \(a\) le nombre de pièces de 1 € et \(b\) le nombre de pièces de 2 € :

\[ \begin{cases} a+b=10 \\ a+2b=15 \end{cases} \]

En soustrayant la première équation de la seconde : \(b=5\). Puis \(a=10-5=5\).

Par ailleurs, Vérification : \(5+5=10\) pièces et \(5\times1+5\times2=15\) €.

Le système n’est pas linéaire, mais il l’est en \(X=x^2\) et \(Y=y^2\) :

\[ \begin{cases} X+Y=25 \\ 2X-Y=23 \end{cases} \]

En additionnant : \(3X=48\), donc \(X=16\) ; puis \(Y=25-16=9\).

Par exemple, on revient à \(x\) et \(y\) : \(x^2=16\iff x=4\) ou \(x=-4\) ; \(y^2=9\iff y=3\) ou \(y=-3\). Toutes les combinaisons conviennent, car seules les valeurs de \(x^2\) et \(y^2\) interviennent.

Vérification pour \((4\,;3)\) : \(16+9=25\) et \(32-9=23\).

Alors, on isole \(y\) dans \((E_2)\) : \(-x+y=1\iff y=x+1\). Par ailleurs, on remplace dans \((E_1)\) :

\[ \begin{aligned} 5x+(x+1)&=7 \\ 6x&=6 \\ x&=1 \end{aligned} \]

Puis \(y=1+1=2\). Vérification : \(5\times1+2=7\) et \(-1+2=1\).

Puis, \( (S_2) : \begin{cases} x + 2y = 10 & (E_1) \\ -2x + 3y = 1 & (E_2) \end{cases} \)

Pour éliminer \( x \), on multiplie \( (E_1) \) par 2 et on l’ajoute à \( (E_2) \) : \( 2(E_1) + (E_2) \).

\[ \begin{aligned} 2x + 4y – 2x + 3y &= 20 + 1 \\ 7y &= 21 \\ y &= 3 \end{aligned} \]

On remplace dans \( (E_1) \) : \( x + 2 \times 3 = 10 \), donc \( x = 4 \).

Par exemple, Vérification dans \( (E_2) \) : \( -2 \times 4 + 3 \times 3 = -8 + 9 = 1 \). Puis le couple convient.

Par exemple, les coordonnées du point d’intersection M vérifient les deux équations en même temps : elles sont la solution du système formé par les deux équations.

a. \( \begin{cases} 3x + 4y + 4 = 0 \\ x + y – 1 = 0 \end{cases} \). Ensuite, la seconde équation donne \( y = 1 – x \) ; on substitue dans la première :

\[ \begin{aligned} 3x + 4(1 – x) + 4 &= 0 \\ 3x + 4 – 4x + 4 &= 0 \\ -x + 8 &= 0 \\ x &= 8 \end{aligned} \]

Puis \( y = 1 – 8 = -7 \). Donc, Vérification : \( 3 \times 8 + 4 \times (-7) + 4 = 24 – 28 + 4 = 0 \) et \( 8 – 7 – 1 = 0 \). Donc M(8 ; −7).

b. Les deux droites sont données par leurs équations réduites : au point M, les deux valeurs de \( y \) sont égales.

\[ \begin{aligned} 3x – 8 &= -4x + 13 \\ 7x &= 21 \\ x &= 3 \end{aligned} \]

Puis \( y = 3 \times 3 – 8 = 1 \) (et \( -4 \times 3 + 13 = 1 \) : on retrouve la même valeur). Donc M(3 ; 1).

Chaque équation d’un système est celle d’une des droites. Puis le système a un unique couple solution si les deux droites sont sécantes (ce couple donne les coordonnées du point d’intersection), une infinité si elles sont confondues, aucun si elles sont strictement parallèles.

• Par exemple, \( (S_1) \) : droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \), sécantes. a. Un unique couple. b. Il se lit directement : \( y = 5 \) et \( x = -4 \), soit (−4 ; 5).
• \( (S_2) \) : droites \( (d_3) \) et \( (d_2) \), sécantes. a. Un unique couple. b. Avec \( x = -4 \) : \( -(-4) + y = 2 \), donc \( y = -2 \). Couple (−4 ; −2).
• \( (S_3) \) : \( -2y = -10 \iff y = 5 \). Les deux équations sont celles de la même droite \( (d_1) \). a. Une infinité de couples : tous les couples \( (x \,;\, 5) \) avec \( x \) réel.
• \( (S_4) \) : droites \( (d_5) \) et \( (d_4) \). Par ailleurs, en divisant par 3 et par 5 : \( x + 2y = 12 \) et \( x – y = 3 \). La seconde donne \( x = y + 3 \), donc \( y + 3 + 2y = 12 \), \( y = 3 \) et \( x = 6 \). a. Un unique couple. b. (6 ; 3) ; vérification : \( 3 \times 6 + 6 \times 3 = 36 \) et \( 5 \times 6 – 5 \times 3 = 15 \).
• \( (S_5) \) : droites \( (d_4) \) et \( (d_6) \). \( x – y = 3 \) et \( x + 2y = 4 \) ; en soustrayant : \( 3y = 1 \), donc \( y = \frac{1}{3} \) et \( x = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \). a. Un unique couple. b. \( \left( \frac{10}{3} \,;\, \frac{1}{3} \right) \) : ce point n’est pas sur un nœud du quadrillage, le calcul est indispensable.
• \( (S_6) \) : \( -2x + 2y = 4 \iff -x + y = 2 \) (on divise par 2). Puis, les deux équations sont celles de \( (d_3) \). a. Une infinité de couples : tous les couples \( (x \,;\, x + 2) \).

En effet, pour un système \( \begin{cases} ax + by = c \\ a^{\prime}x + b^{\prime}y = c^{\prime} \end{cases} \), on calcule \( ab^{\prime} – a^{\prime}b \) (critère de colinéarité des vecteurs directeurs des deux droites) :

• si \( ab^{\prime} – a^{\prime}b \neq 0 \), les droites sont sécantes : un unique couple solution ;
• Notamment, si \( ab^{\prime} – a^{\prime}b = 0 \), les droites sont parallèles : aucune solution si elles sont distinctes, une infinité si elles sont confondues (les équations sont proportionnelles, second membre compris).

\( (S_1) \) : \( (-1) \times 10 – 5 \times (-2) = -10 + 10 = 0 \). De plus, en multipliant la première équation par \( -5 \), on obtient \( 5x + 10y = -25 \), alors que la seconde dit \( 5x + 10y = 4 \) : c’est impossible. Aucune solution.

\( (S_2) \) : \( 7 \times (-3) – (-7) \times (-3) = -21 – 21 = -42 \neq 0 \). Un unique couple ; en additionnant les équations, \( -6y = 18 \), donc \( y = -3 \), puis \( 7x = 9 – 9 = 0 \) : c’est (0 ; −3).

\( (S_3) \) : \( 2 \times (-2) – 4 \times (-1) = -4 + 4 = 0 \). Ensuite, la seconde équation est la première multipliée par 2 (\( 4x – 2y = 2 \)) : les droites sont confondues. Une infinité de solutions : les couples \( (x \,;\, 2x – 1) \).

\( (S_4) \) : \( 3 \times (-12) – 4 \times 9 = -36 – 36 = -72 \neq 0 \). Un unique couple, qui est \( \left( -\frac{1}{12} \,;\, -\frac{19}{36} \right) \).

\( (S_5) \) : \( \frac{1}{2} \times 2 – (-1) \times (-1) = 1 – 1 = 0 \). Par ailleurs, en multipliant la première équation par \( -2 \) : \( -x + 2y = -72 \), alors que la seconde dit \( -x + 2y = 15 \). Aucune solution.

Ainsi, \( (S_6) \) : \( 7 \times 1 – 5 \times \left( -\frac{7}{5} \right) = 7 + 7 = 14 \neq 0 \). Un unique couple, qui est \( \left( \frac{41}{70} \,;\, \frac{71}{14} \right) \).

Puis, \( (S_1) \) : \( 2x – 14 = 0 \) donne \( x = 7 \) ; on substitue dans \( x + y = 5 \) : \( y = 5 – 7 = -2 \). \( \mathcal{S} = \{ (7 \,;\, -2) \} \).

\( (S_2) \) : \( y – 2 = 9 \) donne \( y = 11 \) ; on substitue : \( 4x – 33 = 11 \), \( 4x = 44 \), \( x = 11 \). \( \mathcal{S} = \{ (11 \,;\, 11) \} \). Vérification : \( 44 – 33 = 11 \).

Toutefois, \( (S_3) \) : les deux équations expriment \( y \) en fonction de \( x \), on les égale :

\[ \begin{aligned} 5x + 16 &= \frac{1}{3}x – \frac{8}{3} \\ 15x + 48 &= x – 8 \quad (\text{on multiplie par } 3) \\ 14x &= -56 \\ x &= -4 \end{aligned} \]

Puis \( y = 5 \times (-4) + 16 = -4 \) (et \( \frac{-4}{3} – \frac{8}{3} = -4 \)). \( \mathcal{S} = \{ (-4 \,;\, -4) \} \).

\( (S_4) \) : la seconde équation donne \( y = \frac{5}{3}x – \frac{5}{3} \). Puis on substitue dans la première, puis on multiplie par 15 :

\[ \begin{aligned} \frac{17}{5}x + \frac{5}{3}x – \frac{5}{3} &= -\frac{2}{5} \\ 51x + 25x – 25 &= -6 \\ 76x &= 19 \\ x &= \frac{19}{76} = \frac{1}{4} \end{aligned} \]

Puis \( y = \frac{5}{3} \times \frac{1}{4} – \frac{5}{3} = \frac{5}{12} – \frac{20}{12} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} \). De même, Vérification : \( \frac{17}{20} – \frac{25}{20} = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5} \). \( \mathcal{S} = \left\{ \left( \frac{1}{4} \,;\, -\frac{5}{4} \right) \right\} \).

\( (S_3) \) : les coefficients de \( x \) sont égaux ; on soustrait la seconde équation de la première : \( -5y – y = 4 – (-8) \), soit \( -6y = 12 \), donc \( y = -2 \). Puis \( 2x – 2 = -8 \), \( x = -3 \). \( \mathcal{S} = \{ (-3 \,;\, -2) \} \). Vérification : \( -6 + 10 = 4 \).

Alors, \( (S_4) \) : on multiplie la seconde équation par 6 (\( -6x – 18y = 36 \)) et on l’ajoute à la première :

\[ \begin{aligned} -7y – 18y &= 14 + 36 \\ -25y &= 50 \\ y &= -2 \end{aligned} \]

Puis \( -x – 3 \times (-2) = 6 \), donc \( x = 0 \). \( \mathcal{S} = \{ (0 \,;\, -2) \} \). Vérification : \( 0 + 14 = 14 \).

\( (S_5) \) : on multiplie la première équation par 4 pour supprimer les fractions : \( x + 2y = -4 \). Ensuite, on la soustrait de \( x + 4y = -2 \) : \( 2y = 2 \), donc \( y = 1 \), puis \( x = -4 – 2 = -6 \). \( \mathcal{S} = \{ (-6 \,;\, 1) \} \). Également, Vérification : \( -\frac{6}{4} + \frac{1}{2} = -1 \) et \( -6 + 4 = -2 \).

\( (S_6) \) : on multiplie la seconde équation par 2 (\( 18x – 4y = -76 \)) et on lui soustrait la première :

\[ \begin{aligned} 18x – 3x &= -76 – 14 \\ 15x &= -90 \\ x &= -6 \end{aligned} \]

Puis \( 3 \times (-6) – 4y = 14 \), \( -4y = 32 \), \( y = -8 \). \( \mathcal{S} = \{ (-6 \,;\, -8) \} \). Vérification : \( 9 \times (-6) – 2 \times (-8) = -54 + 16 = -38 \).

On écrit chaque droite sous la forme \( ax + by = c \) :

\( (d_1) : 5x + 2y = 23 \), \( (d_2) : -2x + y = -2 \), \( (d_3) : x + y = 10 \), \( (d_4) : -x – 4y = -1 \).

Deux à deux sécantes. Deux droites d’équations \( ax + by = c \) et \( a^{\prime}x + b^{\prime}y = c^{\prime} \) sont sécantes lorsque \( ab^{\prime} – a^{\prime}b \neq 0 \) :

Aucun résultat n’est nul : les quatre droites sont deux à deux sécantes. (Autre justification : leurs coefficients directeurs \( -\frac{5}{2} \), \( 2 \), \( -1 \) et \( -\frac{1}{4} \) sont tous différents.) Il y a donc 6 points d’intersection.

Puis, points d’intersection. On utilise \( (d_2) : y = 2x – 2 \) et \( (d_3) : y = 10 – x \) pour substituer.

• \( (d_1) \cap (d_2) \) : \( 5x + 2(2x – 2) = 23 \), \( 9x = 27 \), \( x = 3 \), \( y = 4 \) : A(3 ; 4).
• \( (d_1) \cap (d_3) \) : \( 5x + 2(10 – x) = 23 \), \( 3x = 3 \), \( x = 1 \), \( y = 9 \) : B(1 ; 9).
• \( (d_1) \cap (d_4) \) : \( (d_4) \) donne \( x = 1 – 4y \) ; \( 5(1 – 4y) + 2y = 23 \), \( -18y = 18 \), \( y = -1 \), \( x = 5 \) : C(5 ; −1).
• \( (d_2) \cap (d_3) \) : \( 2x – 2 = 10 – x \), \( 3x = 12 \), \( x = 4 \), \( y = 6 \) : D(4 ; 6).
• \( (d_2) \cap (d_4) \) : \( -x – 4(2x – 2) = -1 \), \( -9x = -9 \), \( x = 1 \), \( y = 0 \) : E(1 ; 0).
• \( (d_3) \cap (d_4) \) : \( -x – 4(10 – x) = -1 \), \( 3x = 39 \), \( x = 13 \), \( y = -3 \) : F(13 ; −3).

Vérification pour F : \( 13 – 3 – 10 = 0 \) et \( -13 + 12 + 1 = 0 \).

Par ailleurs, notons \( x \) le nombre de places plein tarif et \( y \) le nombre de places à tarif réduit. Puis il y a 324 places pour une recette de 3 645 € :

\[ \begin{cases} x + y = 324 \\ 12{,}5x + 5y = 3645 \end{cases} \]

Par substitution, \( y = 324 – x \) :

\[ \begin{aligned} 12{,}5x + 5(324 – x) &= 3645 \\ 12{,}5x + 1620 – 5x &= 3645 \\ 7{,}5x &= 2025 \\ x &= 270 \end{aligned} \]

Puis \( y = 324 – 270 = 54 \). Vérification : \( 270 \times 12{,}5 + 54 \times 5 = 3375 + 270 = 3645 \) €.

En effet, notons \( a \) le nombre de sacs de l’âne et \( m \) celui du mulet. C’est l’âne qui parle :

• « Si je prends l’un de tes sacs, je porterai deux fois plus de sacs que toi » : l’âne en aurait \( a + 1 \), le mulet \( m – 1 \), donc \( a + 1 = 2(m – 1) \).
• Cependant, « Si tu prends l’un des miens, nous en porterons le même nombre » : \( m + 1 = a – 1 \).

\[ \begin{cases} a – 2m = -3 \\ a – m = 2 \end{cases} \]

En soustrayant la première équation de la seconde : \( m = 5 \), puis \( a = m + 2 = 7 \).

Vérification : si l’âne prend un sac, il en a 8 et le mulet 4, et \( 8 = 2 \times 4 \) ; si le mulet prend un sac de l’âne, ils en ont 6 chacun. Ainsi, de plus, le mulet, qui porte moins que l’âne, avait bien tort de se plaindre !

Ensuite, a. \( (S) : \begin{cases} 5X + 4Y = 15 \\ 3X + Y = 16 \end{cases} \). Ensuite, la seconde équation donne \( Y = 16 – 3X \) ; on substitue :

\[ \begin{aligned} 5X + 4(16 – 3X) &= 15 \\ 5X + 64 – 12X &= 15 \\ -7X &= -49 \\ X &= 7 \end{aligned} \]

Puis \( Y = 16 – 21 = -5 \). Vérification : \( 35 – 20 = 15 \). \( \mathcal{S} = \{ (7 \,;\, -5) \} \).

b. Conditions d’existence : \( X = \frac{1}{x} \) et \( Y = \frac{1}{y} \) existent si et seulement si \( x \neq 0 \) et \( y \neq 0 \). Par ailleurs, on a alors \( \frac{5}{x} = 5X \), \( \frac{4}{y} = 4Y \), etc. : le système \( (S^{\prime}) \) devient exactement le système \( (S) \) en \( X \) et \( Y \). Donc \( X = 7 \) et \( Y = -5 \) :

\[ \frac{1}{x} = 7 \iff x = \frac{1}{7} \qquad \frac{1}{y} = -5 \iff y = -\frac{1}{5} \]

Donc, ces valeurs sont non nulles, elles conviennent. Vérification : \( \frac{5}{x} + \frac{4}{y} = 35 – 20 = 15 \) et \( \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 21 – 5 = 16 \).

On applique la méthode du pivot de Gauss décrite dans l’énoncé à \( (S_1) : \begin{cases} x – y + 3z = 13 & (L_1) \\ -x + 3y + 2z = -22 & (L_2) \\ 3x + y + 8z = 20 & (L_3) \end{cases} \)

Ainsi, étape 1 : on élimine \( x \) de \( (L_2) \) et \( (L_3) \) avec le pivot \( (L_1) \) : \( (L_2) \leftarrow (L_2) + (L_1) \) et \( (L_3) \leftarrow (L_3) – 3(L_1) \).

\[ \begin{cases} x – y + 3z = 13 & (L_1) \\ 2y + 5z = -9 & (L_2) \\ 4y – z = -19 & (L_3) \end{cases} \]

(Détail : \( -22 + 13 = -9 \) ; \( 1 – 3 \times (-1) = 4 \), \( 8 – 3 \times 3 = -1 \), \( 20 – 3 \times 13 = -19 \).)

Par ailleurs, étape 2 : on élimine \( y \) de \( (L_3) \) avec le pivot \( (L_2) \) : \( (L_3) \leftarrow (L_3) – 2(L_2) \).

\[ \begin{aligned} -z – 10z &= -19 + 18 \\ -11z &= -1 \\ z &= \frac{1}{11} \end{aligned} \]

Étape 3 : on remonte. Puis dans \( (L_2) \) : \( 2y = -9 – \frac{5}{11} = -\frac{104}{11} \), donc \( y = -\frac{52}{11} \). Ensuite, dans \( (L_1) \) :

\[ x = 13 + y – 3z = \frac{143}{11} – \frac{52}{11} – \frac{3}{11} = \frac{88}{11} = 8 \]

Vérification dans \( (L_3) \) : \( 3 \times 8 – \frac{52}{11} + \frac{8}{11} = 24 – \frac{44}{11} = 24 – 4 = 20 \). Ainsi, Et dans \( (L_2) \) : \( -8 – \frac{156}{11} + \frac{2}{11} = -8 – 14 = -22 \).

Car L’énoncé demande de déterminer le prix \( x \) d’une empanada végétarienne et le prix \( y \) d’une empanada au bœuf (en euros). Puis les commandes des adultes et des enfants donnent :

\[ \begin{cases} 5x + y = 11{,}5 \\ 2x + 3y = 12{,}4 \end{cases} \]

La première équation donne \( y = 11{,}5 – 5x \) ; on substitue dans la seconde :

\[ \begin{aligned} 2x + 3(11{,}5 – 5x) &= 12{,}4 \\ 2x + 34{,}5 – 15x &= 12{,}4 \\ -13x &= -22{,}1 \\ x &= 1{,}7 \end{aligned} \]

Puis \( y = 11{,}5 – 5 \times 1{,}7 = 11{,}5 – 8{,}5 = 3 \). Vérification : \( 2 \times 1{,}7 + 3 \times 3 = 3{,}4 + 9 = 12{,}4 \).

La droite verte a pour équation \( 5x – 6y + 4 = 0 \), soit \( y = \frac{5}{6}x + \frac{2}{3} \) ; la rouge \( -6x + 9y – 7 = 0 \), soit \( y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{9} \).

Par exemple, 1. a) Graphiquement, les droites se coupent environ au point (0,7 ; 1,2). De plus, la lecture n’est pas précise, car les droites sont presque parallèles et se croisent entre deux graduations.

b) Avec \( x = 0{,}7 \) et \( y = 1{,}2 \) : \( 5 \times 0{,}7 – 6 \times 1{,}2 + 4 = 3{,}5 – 7{,}2 + 4 = 0{,}3 \neq 0 \). Ensuite, ce point n’appartient pas exactement à la première droite (ni à la seconde : \( -4{,}2 + 10{,}8 – 7 = -0{,}4 \neq 0 \)) : la lecture graphique ne donne qu’une valeur approchée.

Donc, 2. Les coordonnées \( (x \,;\, y) \) du point d’intersection vérifient : \( \begin{cases} 5x – 6y = -4 \\ -6x + 9y = 7 \end{cases} \)

3. On multiplie la première équation par 6 et la seconde par 5 : \( \begin{cases} 30x – 36y = -24 \\ -30x + 45y = 35 \end{cases} \)

4. En additionnant : \( 9y = 11 \), donc \( y = \frac{11}{9} \).

Enfin, 5. Pour éliminer \( y \), on rend les coefficients de \( y \) opposés : \( -6 \times 3 = -18 \) et \( 9 \times 2 = 18 \). Par ailleurs, on multiplie donc la première équation par 3 et la seconde par 2 : \( 15x – 18y = -12 \) et \( -12x + 18y = 14 \). Puis en additionnant : \( 3x = 2 \), donc \( x = \frac{2}{3} \).

6. Le point d’intersection est \( M\left( \frac{2}{3} \,;\, \frac{11}{9} \right) \), avec \( \frac{2}{3} \approx 0{,}67 \) et \( \frac{11}{9} \approx 1{,}22 \), ce qui confirme la lecture graphique. Vérification :

\[ \begin{aligned} 5 \times \frac{2}{3} – 6 \times \frac{11}{9} + 4 &= \frac{10}{3} – \frac{22}{3} + \frac{12}{3} = 0 \\ -6 \times \frac{2}{3} + 9 \times \frac{11}{9} – 7 &= -4 + 11 – 7 = 0 \end{aligned} \]

\( \begin{cases} 4x – 3y + 1 = 0 \\ -2x + y + 3 = 0 \end{cases} \). Ensuite, la seconde équation donne \( y = 2x – 3 \). Puis on substitue dans la première :

\[ \begin{aligned} 4x – 3(2x – 3) + 1 &= 0 \\ 4x – 6x + 9 + 1 &= 0 \\ -2x + 10 &= 0 \\ x &= 5 \end{aligned} \]

Puis \( y = 2 \times 5 – 3 = 7 \). Vérification : \( 20 – 21 + 1 = 0 \) et \( -10 + 7 + 3 = 0 \).

On élimine \(y\) : les coefficients de \(y\) sont \(-2\) et \(4\). Ensuite, de plus, en multipliant \((L_1)\) par 2, on obtient \(-4y\), qui s’annule avec \(+4y\). Ensuite, on calcule donc \(2L_1 + L_2\) :

\[ \begin{aligned} 2(3x – 2y) + (-2x + 4y) &= 2 \times (-1) + 3 \\ 6x – 4y – 2x + 4y &= 1 \\ 4x &= 1 \\ x &= \frac{1}{4} \end{aligned} \]

On remplace \(x\) par \(\dfrac{1}{4}\) dans \((L_1)\) :

\[ 3 \times \frac{1}{4} – 2y + 1 = 0 \iff 2y = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} \iff y = \frac{7}{8} \]

Ensuite, Vérification dans \((L_2)\) : \(-2 \times \dfrac{1}{4} + 4 \times \dfrac{7}{8} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{2} = 3\). ✓

Toutefois, on note \(x\) le prix d’un café et \(y\) le prix d’un croissant, en euros. L’énoncé se traduit par le système :

\[ \begin{cases} x + 3y = 7{,}5 & \text{(premier ami)} \\ 3x + 4y = 12{,}5 & \text{(second ami)} \end{cases} \]

Toutefois, méthode 1 : on teste chaque proposition dans les deux équations.

• a) \(x = 7\), \(y = 3\) : \(7 + 3 \times 3 = 16 \neq 7{,}5\). Faux.
• b) \(x = 1{,}5\), \(y = 2\) : \(1{,}5 + 3 \times 2 = 7{,}5\) ✓ et \(3 \times 1{,}5 + 4 \times 2 = 4{,}5 + 8 = 12{,}5\) ✓. Les deux équations sont vérifiées.
• c) \(x = 2\), \(y = 4\) : \(2 + 3 \times 4 = 14 \neq 7{,}5\). Faux.
• Alors, d) \(x = -4\), \(y = -2\) : un prix ne peut pas être négatif (et \(-4 + 3 \times (-2) = -10 \neq 7{,}5\)). Faux.

Méthode 2 : on résout par substitution. En outre, de la première équation, \(x = 7{,}5 – 3y\). Par ailleurs, dans la seconde :

\[ 3(7{,}5 – 3y) + 4y = 12{,}5 \iff 22{,}5 – 9y + 4y = 12{,}5 \iff -5y = -10 \iff y = 2 \]

puis \(x = 7{,}5 – 3 \times 2 = 1{,}5\). Puis le système a une seule solution, c’est bien la proposition b.

En effet, dans la première équation, le coefficient de \(y\) vaut 1 : on isole \(y\), c’est le choix le plus simple. \(y = 2x + 1\).

On substitue dans la seconde équation :

\[ \begin{aligned} 3x – 4(2x + 1) + 2 &= 0 \\ 3x – 8x – 4 + 2 &= 0 \\ -5x – 2 &= 0 \\ x &= -\frac{2}{5} \end{aligned} \]

Puis \(y = 2 \times \left(-\dfrac{2}{5}\right) + 1 = -\dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{1}{5}\).

Également, Vérification : \(3 \times \left(-\dfrac{2}{5}\right) – 4 \times \dfrac{1}{5} + 2 = -\dfrac{6}{5} – \dfrac{4}{5} + 2 = -2 + 2 = 0\). ✓

Alors, a) \(\begin{cases} -x + 3y – 4 = 0 \\ -2x + 5y – 1 = 0 \end{cases}\)

Dans la première équation, on isole \(x\) : \(x = 3y – 4\). Ensuite, on substitue dans la seconde :

\[ \begin{aligned} -2(3y – 4) + 5y – 1 &= 0 \\ -6y + 8 + 5y – 1 &= 0 \\ -y + 7 &= 0 \\ y &= 7 \end{aligned} \]

Puis \(x = 3 \times 7 – 4 = 17\). Vérification : \(-2 \times 17 + 5 \times 7 – 1 = -34 + 35 – 1 = 0\). ✓

Cependant, b) \(\begin{cases} 3x – 2y + 1 = 0 \\ -5x – y – 2 = 0 \end{cases}\)

Dans la seconde équation, on isole \(y\) : \(y = -5x – 2\). Puis on substitue dans la première :

\[ \begin{aligned} 3x – 2(-5x – 2) + 1 &= 0 \\ 3x + 10x + 4 + 1 &= 0 \\ 13x &= -5 \\ x &= -\frac{5}{13} \end{aligned} \]

Puis \(y = -5 \times \left(-\dfrac{5}{13}\right) – 2 = \dfrac{25}{13} – \dfrac{26}{13} = -\dfrac{1}{13}\). En outre, Vérification : \(3 \times \left(-\dfrac{5}{13}\right) – 2 \times \left(-\dfrac{1}{13}\right) + 1 = \dfrac{-15 + 2 + 13}{13} = 0\). ✓

Car a) \(\begin{cases} x – 2y – 3 = 0 \\ -3x + 6y + 1 = 0 \end{cases}\)

On isole \(x\) dans la première équation : \(x = 2y + 3\). Car de plus, on substitue dans la seconde :

\[ -3(2y + 3) + 6y + 1 = 0 \iff -6y – 9 + 6y + 1 = 0 \iff -8 = 0 \]

C’est impossible : le système n’a aucune solution. Interprétation : les deux équations sont celles de droites de coefficient directeur \(\dfrac{1}{2}\) (\(y = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{3}{2}\) et \(y = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{1}{6}\)) : elles sont parallèles et distinctes, donc sans point commun.

Toutefois, b) \(\begin{cases} 3x – y = 2 \\ -2x + 5y = 0 \end{cases}\)

On isole \(y\) dans la première équation : \(y = 3x – 2\). Ensuite, on substitue dans la seconde :

\[ -2x + 5(3x – 2) = 0 \iff -2x + 15x – 10 = 0 \iff 13x = 10 \iff x = \frac{10}{13} \]

Puis \(y = 3 \times \dfrac{10}{13} – 2 = \dfrac{30}{13} – \dfrac{26}{13} = \dfrac{4}{13}\). Par ailleurs, Vérification : \(-2 \times \dfrac{10}{13} + 5 \times \dfrac{4}{13} = \dfrac{-20 + 20}{13} = 0\). ✓

Cependant, a) \(\begin{cases} 5x – 3y = -1 \\ x – 2y + 3 = 0 \end{cases}\)

Dans la seconde équation, le coefficient de \(x\) vaut 1 : \(x = 2y – 3\). Par ailleurs, on substitue dans la première :

\[ \begin{aligned} 5(2y – 3) – 3y &= -1 \\ 10y – 15 – 3y &= -1 \\ 7y &= 14 \\ y &= 2 \end{aligned} \]

Puis \(x = 2 \times 2 – 3 = 1\). Vérification : \(5 \times 1 – 3 \times 2 = -1\). ✓

Enfin, b) \(\begin{cases} y = -2x – 1 \\ y = 3x + 4 \end{cases}\)

\(y\) est déjà isolé dans les deux équations : on égale les deux expressions.

\[ -2x – 1 = 3x + 4 \iff -5x = 5 \iff x = -1 \]

Puis \(y = -2 \times (-1) – 1 = 1\). Vérification : \(3 \times (-1) + 4 = 1\). ✓

a) \(\begin{cases} y = \dfrac{2}{3}x – 1 \\ y = -\dfrac{3}{4}x + 2 \end{cases}\)

On égale les deux expressions de \(y\), puis on multiplie par 12 pour supprimer les fractions :

\[ \begin{aligned} \frac{2}{3}x – 1 &= -\frac{3}{4}x + 2 \\ 8x – 12 &= -9x + 24 \\ 17x &= 36 \\ x &= \frac{36}{17} \end{aligned} \]

Puis \(y = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{36}{17} – 1 = \dfrac{24}{17} – \dfrac{17}{17} = \dfrac{7}{17}\). Car Vérification : \(-\dfrac{3}{4} \times \dfrac{36}{17} + 2 = -\dfrac{27}{17} + \dfrac{34}{17} = \dfrac{7}{17}\). ✓

b) \(\begin{cases} 2{,}4x + y – 1{,}5 = 0 \\ -4{,}2x – 2y + 2{,}5 = 0 \end{cases}\)

Alors, on isole \(y\) dans la première équation : \(y = 1{,}5 – 2{,}4x\). Puis on substitue dans la seconde :

\[ \begin{aligned} -4{,}2x – 2(1{,}5 – 2{,}4x) + 2{,}5 &= 0 \\ -4{,}2x – 3 + 4{,}8x + 2{,}5 &= 0 \\ 0{,}6x – 0{,}5 &= 0 \\ x &= \frac{0{,}5}{0{,}6} = \frac{5}{6} \end{aligned} \]

Puis \(y = 1{,}5 – 2{,}4 \times \dfrac{5}{6} = 1{,}5 – 2 = -0{,}5\). Vérification : \(-4{,}2 \times \dfrac{5}{6} – 2 \times (-0{,}5) + 2{,}5 = -3{,}5 + 1 + 2{,}5 = 0\). ✓

On a d’abord passé les constantes à droite. Ensuite, pour éliminer \(x\), on rend ses coefficients opposés : \(3 \times (-2) = -6\) et \(2 \times 3 = 6\). Puis on calcule \(3L_1 + 2L_2\) :

\[ \begin{aligned} (-6x + 9y) + (6x – 8y) &= 3 \times 1 + 2 \times (-2) \\ y &= -1 \end{aligned} \]

On remplace dans \((L_1)\) : \(-2x + 3 \times (-1) = 1 \iff -2x = 4 \iff x = -2\).

De même, Vérification dans \((L_2)\) : \(3 \times (-2) – 4 \times (-1) = -6 + 4 = -2\). ✓

Cependant, a) \(\begin{cases} -2x + 5y = 1 & (L_1) \\ 3x – 4y = -2 & (L_2) \end{cases}\)

On élimine \(x\) avec \(3L_1 + 2L_2\) (coefficients \(-6x\) et \(+6x\)) :

\[ (-6x + 15y) + (6x – 8y) = 3 – 4 \iff 7y = -1 \iff y = -\frac{1}{7} \]

Par ailleurs, dans \((L_1)\) : \(-2x + 5 \times \left(-\dfrac{1}{7}\right) = 1 \iff -2x = 1 + \dfrac{5}{7} = \dfrac{12}{7} \iff x = -\dfrac{6}{7}\).

Vérification dans \((L_2)\) : \(3 \times \left(-\dfrac{6}{7}\right) – 4 \times \left(-\dfrac{1}{7}\right) = \dfrac{-18 + 4}{7} = -2\). ✓

Cependant, b) \(\begin{cases} -4x + 7y = 1 & (L_1) \\ 3x – 4y = -2 & (L_2) \end{cases}\)

On élimine \(x\) avec \(3L_1 + 4L_2\) (coefficients \(-12x\) et \(+12x\)) :

\[ (-12x + 21y) + (12x – 16y) = 3 – 8 \iff 5y = -5 \iff y = -1 \]

Dans \((L_1)\) : \(-4x – 7 = 1 \iff -4x = 8 \iff x = -2\). Vérification dans \((L_2)\) : \(-6 + 4 = -2\). ✓

Si une inconnue a pour coefficient \(1\) ou \(-1\), la substitution est rapide ; sinon, la combinaison évite les fractions en cours de calcul.

a) \(\begin{cases} -3x + 4y = 1 & (L_1) \\ 2x – 5y = -2 & (L_2) \end{cases}\) : pas de coefficient égal à \(\pm 1\), on combine. \(2L_1 + 3L_2\) élimine \(x\) :

\[ (-6x + 8y) + (6x – 15y) = 2 – 6 \iff -7y = -4 \iff y = \frac{4}{7} \]

Car dans \((L_1)\) : \(-3x + \dfrac{16}{7} = 1 \iff -3x = -\dfrac{9}{7} \iff x = \dfrac{3}{7}\). Vérification : \(2 \times \dfrac{3}{7} – 5 \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{6 – 20}{7} = -2\). ✓

Notamment, b) \(\begin{cases} 4x – 3y = -2 & (L_1) \\ 2x – 5y = 3 & (L_2) \end{cases}\) : on combine. \(L_1 – 2L_2\) élimine \(x\) :

\[ (4x – 3y) – (4x – 10y) = -2 – 6 \iff 7y = -8 \iff y = -\frac{8}{7} \]

Dans \((L_2)\) : \(2x + \dfrac{40}{7} = 3 \iff 2x = \dfrac{21 – 40}{7} = -\dfrac{19}{7} \iff x = -\dfrac{19}{14}\). Ensuite, Vérification dans \((L_1)\) : \(4 \times \left(-\dfrac{19}{14}\right) – 3 \times \left(-\dfrac{8}{7}\right) = -\dfrac{38}{7} + \dfrac{24}{7} = -2\). ✓

c) \(\begin{cases} -3x + y = -1 \\ 2x – 3y = -2 \end{cases}\) : le coefficient de \(y\) vaut 1 dans la première équation, on substitue. \(y = 3x – 1\), puis :

\[ 2x – 3(3x – 1) = -2 \iff 2x – 9x + 3 = -2 \iff -7x = -5 \iff x = \frac{5}{7} \]

et \(y = 3 \times \dfrac{5}{7} – 1 = \dfrac{8}{7}\). Car Vérification : \(2 \times \dfrac{5}{7} – 3 \times \dfrac{8}{7} = \dfrac{10 – 24}{7} = -2\). ✓

d) \(\begin{cases} -3x + 2y = 1 & (L_1) \\ 3x – 2y = -2 & (L_2) \end{cases}\) : les premiers membres sont opposés, on additionne. \(L_1 + L_2\) donne \(0 = -1\) : c’est impossible. Cependant, de plus, le système n’a aucune solution (les droites \(y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}\) et \(y = \dfrac{3}{2}x + 1\) sont parallèles et distinctes).

On identifie d’abord chaque droite grâce à son ordonnée à l’origine et à son coefficient directeur :

• De même, \(d_1\) passe par \((0\,;\,4)\) et monte de 2 quand \(x\) augmente de 1 : c’est \(y = 2x + 4\) ;
• \(d_2\) passe par \((0\,;\,-2)\) et descend de 1 quand \(x\) augmente de 1 : c’est \(y = -x – 2\) ;
• Enfin, \(d_3\) passe par \((0\,;\,1)\) et descend de 1 quand \(x\) augmente de 1 : c’est \(y = -x + 1\).

La solution d’un système de deux équations de droites est le couple de coordonnées de leur point d’intersection.

Ensuite, a) \(d_1 \cap d_3\) : on lit le point \((-1\,;\,2)\). Vérification : \(2 \times (-1) + 4 = 2\) et \(-(-1) + 1 = 2\). ✓

b) \(d_2\) et \(d_3\) ont le même coefficient directeur \(-1\) et des ordonnées à l’origine différentes : elles sont parallèles et n’ont aucun point commun. Notamment, par le calcul : \(-x – 2 = -x + 1\) donne \(-2 = 1\), impossible.

c) \(d_1 \cap d_2\) : on lit le point \((-2\,;\,0)\). Vérification : \(2 \times (-2) + 4 = 0\) et \(-(-2) – 2 = 0\). ✓

\(d_1\) passe par \((0\,;\,3)\) et descend : c’est \(y = -2x + 3\). \(d_2\) passe par \((0\,;\,-2)\) et monte : c’est \(y = 3x – 2\). \(d_3\) est la droite verticale d’équation \(x = 3\). Puis, chaque système demande le point d’intersection de deux de ces droites.

a) \(d_1 \cap d_2\) : on lit \((1\,;\,1)\). Vérification : \(-2 \times 1 + 3 = 1\) et \(3 \times 1 – 2 = 1\). ✓

b) \(d_2 \cap d_3\) : on lit \((3\,;\,7)\). Vérification : pour \(x = 3\), \(y = 3 \times 3 – 2 = 7\). ✓

c) \(d_1 \cap d_3\) : on lit \((3\,;\,-3)\). Vérification : pour \(x = 3\), \(y = -2 \times 3 + 3 = -3\). ✓

a) Aucune des deux droites n’est verticale : leurs équations sont de la forme \(y = mx + p\). Ensuite, on repère sur chacune deux points à coordonnées entières.

• \(d_2\) passe par \((0\,;\,3)\) et \((4\,;\,4)\). Alors, Coefficient directeur : \(m = \dfrac{4 – 3}{4 – 0} = \dfrac{1}{4}\). L’ordonnée à l’origine se lit : \(p = 3\). Donc \(d_2 : y = \dfrac{1}{4}x + 3\).
• \(d_1\) passe par \((2\,;\,-1)\) et \((5\,;\,1)\). Notamment, Coefficient directeur : \(m = \dfrac{1 – (-1)}{5 – 2} = \dfrac{2}{3}\). Avec le point \((2\,;\,-1)\) : \(-1 = \dfrac{2}{3} \times 2 + p\), donc \(p = -1 – \dfrac{4}{3} = -\dfrac{7}{3}\). Donc \(d_1 : y = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{7}{3}\) (on vérifie sur la figure que \(d_1\) coupe l’axe des ordonnées vers \(-2{,}3\)).

b) Le point d’intersection n’est pas sur le graphique : on le calcule en résolvant le système

\[ \begin{cases} y = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{7}{3} \\ y = \dfrac{1}{4}x + 3 \end{cases} \]

Enfin, on égale les deux expressions et on multiplie par 12 :

\[ \begin{aligned} \frac{2}{3}x – \frac{7}{3} &= \frac{1}{4}x + 3 \\ 8x – 28 &= 3x + 36 \\ 5x &= 64 \\ x &= \frac{64}{5} = 12{,}8 \end{aligned} \]

Puis \(y = \dfrac{1}{4} \times 12{,}8 + 3 = 3{,}2 + 3 = 6{,}2\). Vérification avec \(d_1\) : \(\dfrac{2}{3} \times 12{,}8 – \dfrac{7}{3} = \dfrac{25{,}6 – 7}{3} = \dfrac{18{,}6}{3} = 6{,}2\). ✓