Statistiques en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

1. L’effectif total est :

\[ N = 267 + 3\,402 + 19\,203 + 20\,471 + 1\,657 = 45\,000 \text{ foyers.} \]

La moyenne pondérée est :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{0 \times 267 + 1 \times 3\,402 + 2 \times 19\,203 + 3 \times 20\,471 + 4 \times 1\,657}{45\,000} \\ &= \frac{0 + 3\,402 + 38\,406 + 61\,413 + 6\,628}{45\,000} \\ &= \frac{109\,849}{45\,000} \approx 2{,}44 \end{aligned} \]

Il y a en moyenne environ 2,44 véhicules par foyer.

2. On calcule les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes.

a) Les foyers qui possèdent trois véhicules au plus sont au nombre de 43 343, soit \( \dfrac{43\,343}{45\,000} \approx 0{,}963 \). Donc au moins 96 % des foyers possèdent trois véhicules au plus.

b) La fréquence cumulée atteint ou dépasse 50 % pour la première fois à la valeur 2 (50,8 %). Donc au moins 50 % des foyers possèdent 2 véhicules ou moins : 2 est la médiane de la série.

a) On additionne les effectifs de proche en proche (effectif total : 209 élèves).

b) « Trois livres au plus » signifie 0, 1, 2 ou 3 livres : c’est l’effectif cumulé croissant de la valeur 3, soit 128 élèves.

c) La fréquence cumulée croissante de la valeur 4 est :

\[ \frac{148}{209} \approx 0{,}708 \]

Interprétation : environ 70,8 % des élèves ont emprunté 4 livres ou moins sur le trimestre.

d) Dans un diagramme en bâtons, chaque valeur porte un bâton dont la hauteur est l’effectif.

L’effectif total est \( 15 + 20 + 35 + 30 = 100 \) trajets, donc chaque effectif est aussi un pourcentage.

a)

b) Les trajets de moins de 20 min sont ceux des classes [10 ; 15[ et [15 ; 20[ : 35 % des trajets.

c) Les valeurs strictement inférieures à 25 min sont celles des trois premières classes : \( 15 + 20 + 35 = 70 \), soit 70 valeurs.

d) Les classes ont toutes la même amplitude (5 min) : la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif.

Pour la courbe des effectifs cumulés croissants, on place le point (10 ; 0) puis chaque effectif cumulé à la borne supérieure de sa classe : (15 ; 15), (20 ; 35), (25 ; 70), (30 ; 100), et on relie ces points par des segments.

Lecture de l’histogramme (classes d’amplitude 2) : [2 ; 4[ : 1 ; [4 ; 6[ : 8 ; [6 ; 8[ : 6 ; [8 ; 10[ : 4 ; [10 ; 12[ : 6 ; [12 ; 14[ : 3 ; [14 ; 16[ : 2. L’effectif total est \( 1 + 8 + 6 + 4 + 6 + 3 + 2 = 30 \) élèves.

a) La classe [10 ; 12[ contient 6 élèves sur 30, soit une fréquence de \( \dfrac{6}{30} = 0{,}2 = 20\,\% \). Dans un histogramme, c’est l’aire du rectangle qui représente la fréquence. Comme \( 20\,\% = 4 \times 5\,\% \), l’aire du rectangle de cette classe vaut 4 fois l’aire de la zone de la légende. Une zone de 5 % correspond donc à \( 0{,}05 \times 30 = 1{,}5 \) élève : c’est un rectangle de même largeur (2 points) et de hauteur 1,5, c’est-à-dire le quart du rectangle de la classe [10 ; 12[.

b) Les élèves ayant moins de 14 sont ceux des six premières classes : \( 30 – 2 = 28 \) élèves.

\[ \frac{28}{30} \approx 0{,}933 = 93{,}3\,\% \]

La valeur exacte est donc inférieure à 95 %.

c) On remplace chaque classe par son centre (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{3 \times 1 + 5 \times 8 + 7 \times 6 + 9 \times 4 + 11 \times 6 + 13 \times 3 + 15 \times 2}{30} \\ &= \frac{3 + 40 + 42 + 36 + 66 + 39 + 30}{30} = \frac{256}{30} \approx 8{,}5 \end{aligned} \]

La moyenne estimée est d’environ 8,5.

d) Les élèves qui ont une note strictement inférieure à 8 sont ceux des classes [2 ; 4[, [4 ; 6[ et [6 ; 8[ : \( 1 + 8 + 6 = 15 \) élèves, soit exactement 50 %. Ceux qui ont une note inférieure ou égale à 8 sont au moins aussi nombreux. Nina a raison : c’est d’ailleurs la définition de la médiane (au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane).

e) Effectifs cumulés croissants : 1 ; 9 ; 15 ; 19 ; 25 ; 28 ; 30.

• \( Q_1 \) : \( \dfrac{30}{4} = 7{,}5 \), donc \( Q_1 \) est la 8^e valeur. Or 1 élève a moins de 4 et 9 élèves ont moins de 6 : la 8^e note est dans la classe [4 ; 6[.
• \( Q_3 \) : \( \dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5 \), donc \( Q_3 \) est la 23^e valeur. Or 19 élèves ont moins de 10 et 25 élèves ont moins de 12 : la 23^e note est dans la classe [10 ; 12[.

La série, déjà rangée dans l’ordre croissant, compte 13 valeurs :

18 ; 36 ; 44 ; 46 ; 54 ; 54 ; 55 ; 56 ; 62 ; 70 ; 73 ; 74 ; 74.

a) Somme des valeurs : 716.

\[ \overline{x} = \frac{716}{13} \approx 55{,}08 \approx 55 \]

L’effectif 13 est impair : la médiane est la valeur de rang \( \dfrac{13 + 1}{2} = 7 \), soit Me = 55.

b)

• \( \dfrac{13}{4} = 3{,}25 \) : \( Q_1 \) est la 4^e valeur, \( Q_1 = 46 \).
• \( \dfrac{3 \times 13}{4} = 9{,}75 \) : \( Q_3 \) est la 10^e valeur, \( Q_3 = 70 \).

Caractéristiques de dispersion :

• Étendue : \( 74 – 18 = 56 \) ;
• Écart interquartile : \( Q_3 – Q_1 = 70 – 46 = 24 \) ;
• Écart type (calculatrice) : \( \sigma \approx 15{,}8 \).

La moitié centrale des élèves a obtenu entre 46 et 70 réponses exactes.

Effectif total : \( 7 + 22 + 14 + 20 + 19 + 18 = 100 \).

Moyenne :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{4 \times 7 + 5 \times 22 + 6 \times 14 + 7 \times 20 + 8 \times 19 + 9 \times 18}{100} \\ &= \frac{28 + 110 + 84 + 140 + 152 + 162}{100} = \frac{676}{100} = 6{,}76 \text{ m} \end{aligned} \]

Effectifs cumulés croissants :

Médiane : l’effectif 100 est pair, la médiane est la moyenne des 50^e et 51^e valeurs. Ces deux valeurs valent 7 (du rang 44 au rang 63), donc Me = 7 m.

Quartiles :

• \( \dfrac{100}{4} = 25 \) : \( Q_1 \) est la 25^e valeur (rangs 8 à 29), \( Q_1 = 5 \) m.
• \( \dfrac{3 \times 100}{4} = 75 \) : \( Q_3 \) est la 75^e valeur (rangs 64 à 82), \( Q_3 = 8 \) m.

Dispersion : étendue \( 9 – 4 = 5 \) m ; écart interquartile \( 8 – 5 = 3 \) m ; écart type \( \sigma \approx 1{,}58 \) m.

On reprend les questions de l’exercice précédent : moyenne, médiane, quartiles et dispersion. Effectif total : \( 7 + 10 + 24 + 32 + 18 + 4 + 1 = 96 \).

Moyenne :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{1{,}5 \times 7 + 2 \times 10 + 2{,}5 \times 24 + 3 \times 32 + 3{,}5 \times 18 + 4 \times 4 + 4{,}5 \times 1}{96} \\ &= \frac{10{,}5 + 20 + 60 + 96 + 63 + 16 + 4{,}5}{96} = \frac{270}{96} = 2{,}812\,5 \approx 2{,}81 \text{ m} \end{aligned} \]

Médiane : 96 est pair, la médiane est la moyenne des 48^e et 49^e valeurs, qui valent toutes deux 3 (rangs 42 à 73) : Me = 3 m.

Quartiles :

• \( \dfrac{96}{4} = 24 \) : \( Q_1 \) est la 24^e valeur (rangs 18 à 41), \( Q_1 = 2{,}5 \) m.
• \( \dfrac{3 \times 96}{4} = 72 \) : \( Q_3 \) est la 72^e valeur (rangs 42 à 73), \( Q_3 = 3 \) m.

Dispersion : étendue \( 4{,}5 – 1{,}5 = 3 \) m ; écart interquartile \( 3 – 2{,}5 = 0{,}5 \) m ; écart type \( \sigma \approx 0{,}64 \) m.

L’algorithme reçoit le nombre \( n \) de valeurs et la liste ordonnée \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).

1. a) Liste 2 ; 3 ; 5 ; 25 ; 32 ; 48 : \( n = 6 \), divisible par 2. On affecte à \( i \) la valeur \( \dfrac{6}{2} = 3 \) et on affiche :

\[ \frac{x_3 + x_4}{2} = \frac{5 + 25}{2} = 15 \]

L’algorithme affiche 15.

b) Liste 5 ; 8 ; 16 ; 27 ; 54 ; 69 ; 84 : \( n = 7 \), non divisible par 2. On affecte à \( i \) la valeur \( \dfrac{7 – 1}{2} = 3 \) et on affiche \( x_{i+1} = x_4 = 27 \).

L’algorithme affiche 27.

2. Si \( n \) est pair, l’algorithme affiche la moyenne des deux valeurs centrales ; si \( n \) est impair, il affiche la valeur centrale, de rang \( \dfrac{n + 1}{2} \). Cet algorithme calcule donc la médiane de la série.

a) On additionne les fréquences de proche en proche :

b) Un paquet est accepté s’il contient 3 carreaux défectueux au plus : la fréquence des paquets acceptés est la fréquence cumulée de la valeur 3, soit 0,74. Les paquets rejetés sont ceux qui ont 4 ou 5 carreaux défectueux :

\[ 1 – 0{,}74 = 0{,}26 \quad \text{(ou } 0{,}19 + 0{,}07 = 0{,}26\text{)} \]

L’entreprise doit prévoir de rejeter 26 % des paquets.

a) On range les 20 mesures dans des classes d’amplitude 5 dB à partir de 50 dB (une valeur comme 55,0 va dans la classe [55 ; 60[, car la borne de droite est exclue).

Vérification : \( 1 + 3 + 6 + 7 + 3 = 20 \).

b) Les classes ont la même amplitude : les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs.

c) On place (50 ; 0), puis chaque fréquence cumulée à la borne supérieure de sa classe : (55 ; 0,05), (60 ; 0,2), (65 ; 0,5), (70 ; 0,85), (75 ; 1).

d) La classe de plus grande fréquence (classe modale) est [65 ; 70[, avec une fréquence de 0,35. Interprétation : 35 % des véhicules mesurés émettent un bruit compris entre 65 dB (inclus) et 70 dB (exclu) ; c’est le niveau de bruit le plus fréquent dans cette rue.