Corrigé des 36 exercices de statistiques en seconde : solutions détaillées à télécharger en PDF

1. L’effectif total est :

\[ N = 267 + 3\,402 + 19\,203 + 20\,471 + 1\,657 = 45\,000 \text{ foyers.} \]

Ensuite, la moyenne pondérée est :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{0 \times 267 + 1 \times 3\,402 + 2 \times 19\,203 + 3 \times 20\,471 + 4 \times 1\,657}{45\,000} \\ &= \frac{0 + 3\,402 + 38\,406 + 61\,413 + 6\,628}{45\,000} \\ &= \frac{109\,849}{45\,000} \approx 2{,}44 \end{aligned} \]

Toutefois, il y a en moyenne environ 2,44 véhicules par foyer.

Ainsi, 2. On calcule les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes.

Toutefois, a) Les foyers qui possèdent trois véhicules au plus sont au nombre de 43 343, soit \( \dfrac{43\,343}{45\,000} \approx 0{,}963 \). Donc au moins 96 % des foyers possèdent trois véhicules au plus.

Notamment, b) La fréquence cumulée atteint ou dépasse 50 % pour la première fois à la valeur 2 (50,8 %). Donc au moins 50 % des foyers possèdent 2 véhicules ou moins : 2 est la médiane de la série.

Par exemple, a) On additionne les effectifs de proche en proche (effectif total : 209 élèves).

Enfin, b) « Trois livres au plus » signifie 0, 1, 2 ou 3 livres : c’est l’effectif cumulé croissant de la valeur 3, soit 128 élèves.

De même, c) La fréquence cumulée croissante de la valeur 4 est :

\[ \frac{148}{209} \approx 0{,}708 \]

Par ailleurs, Interprétation : environ 70,8 % des élèves ont emprunté 4 livres ou moins sur le trimestre.

Cependant, d) Dans un diagramme en bâtons, chaque valeur porte un bâton dont la hauteur est l’effectif.

L’effectif total est \( 15 + 20 + 35 + 30 = 100 \) trajets, donc chaque effectif est aussi un pourcentage.

a)

En outre, b) Les trajets de moins de 20 min sont ceux des classes [10 ; 15[ et [15 ; 20[ : 35 % des trajets.

Par exemple, c) Les valeurs strictement inférieures à 25 min sont celles des trois premières classes : \( 15 + 20 + 35 = 70 \), soit 70 valeurs.

En effet, d) Les classes ont toutes la même amplitude (5 min) : la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif.

Pour la courbe des effectifs cumulés croissants, on place le point (10 ; 0) puis chaque effectif cumulé à la borne supérieure de sa classe : (15 ; 15), (20 ; 35), (25 ; 70), (30 ; 100), et on relie ces points par des segments.

Enfin, lecture de l’histogramme (classes d’amplitude 2) : [2 ; 4[ : 1 ; [4 ; 6[ : 8 ; [6 ; 8[ : 6 ; [8 ; 10[ : 4 ; [10 ; 12[ : 6 ; [12 ; 14[ : 3 ; [14 ; 16[ : 2. Donc, de plus, L’effectif total est \( 1 + 8 + 6 + 4 + 6 + 3 + 2 = 30 \) élèves.

En outre, a) La classe [10 ; 12[ contient 6 élèves sur 30, soit une fréquence de \( \dfrac{6}{30} = 0{,}2 = 20\,\% \). Ensuite, dans un histogramme, c’est l’aire du rectangle qui représente la fréquence. Par exemple, comme \( 20\,\% = 4 \times 5\,\% \), l’aire du rectangle de cette classe vaut 4 fois l’aire de la zone de la légende. Par ailleurs, une zone de 5 % correspond donc à \( 0{,}05 \times 30 = 1{,}5 \) élève : c’est un rectangle de même largeur (2 points) et de hauteur 1,5, c’est-à-dire le quart du rectangle de la classe [10 ; 12[.

De même, b) Les élèves ayant moins de 14 sont ceux des six premières classes : \( 30 – 2 = 28 \) élèves.

\[ \frac{28}{30} \approx 0{,}933 = 93{,}3\,\% \]

La valeur exacte est donc inférieure à 95 %.

En outre, c) On remplace chaque classe par son centre (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{3 \times 1 + 5 \times 8 + 7 \times 6 + 9 \times 4 + 11 \times 6 + 13 \times 3 + 15 \times 2}{30} \\ &= \frac{3 + 40 + 42 + 36 + 66 + 39 + 30}{30} = \frac{256}{30} \approx 8{,}5 \end{aligned} \]

Ensuite, la moyenne estimée est d’environ 8,5.

En effet, d) Les élèves qui ont une note strictement inférieure à 8 sont ceux des classes [2 ; 4[, [4 ; 6[ et [6 ; 8[ : \( 1 + 8 + 6 = 15 \) élèves, soit exactement 50 %. Ceux qui ont une note inférieure ou égale à 8 sont au moins aussi nombreux. Nina a raison : c’est d’ailleurs la définition de la médiane (au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane).

e) Effectifs cumulés croissants : 1 ; 9 ; 15 ; 19 ; 25 ; 28 ; 30.

• \( Q_1 \) : \( \dfrac{30}{4} = 7{,}5 \), donc \( Q_1 \) est la 8^e valeur. Donc, or 1 élève a moins de 4 et 9 élèves ont moins de 6 : la 8^e note est dans la classe [4 ; 6[.
• \( Q_3 \) : \( \dfrac{3 \times 30}{4} = 22{,}5 \), donc \( Q_3 \) est la 23^e valeur. Alors, or 19 élèves ont moins de 10 et 25 élèves ont moins de 12 : la 23^e note est dans la classe [10 ; 12[.

Par ailleurs, la série, déjà rangée dans l’ordre croissant, compte 13 valeurs :

18 ; 36 ; 44 ; 46 ; 54 ; 54 ; 55 ; 56 ; 62 ; 70 ; 73 ; 74 ; 74.

a) Somme des valeurs : 716.

\[ \overline{x} = \frac{716}{13} \approx 55{,}08 \approx 55 \]

Par exemple, l’effectif 13 est impair : la médiane est la valeur de rang \( \dfrac{13 + 1}{2} = 7 \), soit Me = 55.

b)

• Toutefois, \( \dfrac{13}{4} = 3{,}25 \) : \( Q_1 \) est la 4^e valeur, \( Q_1 = 46 \).
• Cependant, \( \dfrac{3 \times 13}{4} = 9{,}75 \) : \( Q_3 \) est la 10^e valeur, \( Q_3 = 70 \).

Caractéristiques de dispersion :

• Étendue : \( 74 – 18 = 56 \) ;
• Écart interquartile : \( Q_3 – Q_1 = 70 – 46 = 24 \) ;
• Par exemple, Écart type (calculatrice) : \( \sigma \approx 15{,}8 \).

Par exemple, la moitié centrale des élèves a obtenu entre 46 et 70 réponses exactes.

Effectif total : \( 7 + 22 + 14 + 20 + 19 + 18 = 100 \).

Moyenne :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{4 \times 7 + 5 \times 22 + 6 \times 14 + 7 \times 20 + 8 \times 19 + 9 \times 18}{100} \\ &= \frac{28 + 110 + 84 + 140 + 152 + 162}{100} = \frac{676}{100} = 6{,}76 \text{ m} \end{aligned} \]

Effectifs cumulés croissants :

De même, médiane : l’effectif 100 est pair, la médiane est la moyenne des 50^e et 51^e valeurs. Puis ces deux valeurs valent 7 (du rang 44 au rang 63), donc Me = 7 m.

Quartiles :

• Toutefois, \( \dfrac{100}{4} = 25 \) : \( Q_1 \) est la 25^e valeur (rangs 8 à 29), \( Q_1 = 5 \) m.
• Par exemple, \( \dfrac{3 \times 100}{4} = 75 \) : \( Q_3 \) est la 75^e valeur (rangs 64 à 82), \( Q_3 = 8 \) m.

Car Dispersion : étendue \( 9 – 4 = 5 \) m ; écart interquartile \( 8 – 5 = 3 \) m ; écart type \( \sigma \approx 1{,}58 \) m.

Ainsi, on reprend les questions de l’exercice précédent : moyenne, médiane, quartiles et dispersion. Effectif total : \( 7 + 10 + 24 + 32 + 18 + 4 + 1 = 96 \).

Moyenne :

\[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{1{,}5 \times 7 + 2 \times 10 + 2{,}5 \times 24 + 3 \times 32 + 3{,}5 \times 18 + 4 \times 4 + 4{,}5 \times 1}{96} \\ &= \frac{10{,}5 + 20 + 60 + 96 + 63 + 16 + 4{,}5}{96} = \frac{270}{96} = 2{,}812\,5 \approx 2{,}81 \text{ m} \end{aligned} \]

Toutefois, médiane : 96 est pair, la médiane est la moyenne des 48^e et 49^e valeurs, qui valent toutes deux 3 (rangs 42 à 73) : Me = 3 m.

Quartiles :

• Par exemple, \( \dfrac{96}{4} = 24 \) : \( Q_1 \) est la 24^e valeur (rangs 18 à 41), \( Q_1 = 2{,}5 \) m.
• En outre, \( \dfrac{3 \times 96}{4} = 72 \) : \( Q_3 \) est la 72^e valeur (rangs 42 à 73), \( Q_3 = 3 \) m.

Ensuite, Dispersion : étendue \( 4{,}5 – 1{,}5 = 3 \) m ; écart interquartile \( 3 – 2{,}5 = 0{,}5 \) m ; écart type \( \sigma \approx 0{,}64 \) m.

Puis, l’algorithme reçoit le nombre \( n \) de valeurs et la liste ordonnée \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).

1. a) Liste 2 ; 3 ; 5 ; 25 ; 32 ; 48 : \( n = 6 \), divisible par 2. Ensuite, on affecte à \( i \) la valeur \( \dfrac{6}{2} = 3 \) et on affiche :

\[ \frac{x_3 + x_4}{2} = \frac{5 + 25}{2} = 15 \]

L’algorithme affiche 15.

Enfin, b) Liste 5 ; 8 ; 16 ; 27 ; 54 ; 69 ; 84 : \( n = 7 \), non divisible par 2. Puis on affecte à \( i \) la valeur \( \dfrac{7 – 1}{2} = 3 \) et on affiche \( x_{i+1} = x_4 = 27 \).

L’algorithme affiche 27.

Puis, 2. Si \( n \) est pair, l’algorithme affiche la moyenne des deux valeurs centrales ; si \( n \) est impair, il affiche la valeur centrale, de rang \( \dfrac{n + 1}{2} \). Cet algorithme calcule donc la médiane de la série.

De même, a) On additionne les fréquences de proche en proche :

Car b) Un paquet est accepté s’il contient 3 carreaux défectueux au plus : la fréquence des paquets acceptés est la fréquence cumulée de la valeur 3, soit 0,74. Enfin, de plus, les paquets rejetés sont ceux qui ont 4 ou 5 carreaux défectueux :

\[ 1 – 0{,}74 = 0{,}26 \quad \text{(ou } 0{,}19 + 0{,}07 = 0{,}26\text{)} \]

Également, l’entreprise doit prévoir de rejeter 26 % des paquets.

a) On range les 20 mesures dans des classes d’amplitude 5 dB à partir de 50 dB (une valeur comme 55,0 va dans la classe [55 ; 60[, car la borne de droite est exclue).

Vérification : \( 1 + 3 + 6 + 7 + 3 = 20 \).

Car b) Les classes ont la même amplitude : les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs.

c) On place (50 ; 0), puis chaque fréquence cumulée à la borne supérieure de sa classe : (55 ; 0,05), (60 ; 0,2), (65 ; 0,5), (70 ; 0,85), (75 ; 1).

Par ailleurs, d) La classe de plus grande fréquence (classe modale) est [65 ; 70[, avec une fréquence de 0,35. Interprétation : 35 % des véhicules mesurés émettent un bruit compris entre 65 dB (inclus) et 70 dB (exclu) ; c’est le niveau de bruit le plus fréquent dans cette rue.

En effet, a) Le caractère étudié (nombre de pièces) est discret : on trace un bâton par valeur, de hauteur égale à l’effectif.

b) L’effectif total est \( N = 14 + 25 + 31 + 29 + 13 + 9 + 5 + 4 = 130 \). Ensuite, la fréquence d’une valeur est \( f = \dfrac{\text{effectif}}{N} \) ; par exemple \( \dfrac{14}{130} \approx 0{,}108 \). Par ailleurs, pour les fréquences cumulées croissantes, on cumule les effectifs puis on divise par 130 (cela évite d’additionner des arrondis).

Par exemple, c) « 4 pièces au plus » signifie 1, 2, 3 ou 4 pièces : c’est la fréquence cumulée croissante de la valeur 4.

\[ \frac{99}{130} \approx 0{,}762 \]

Ensuite, a) La longueur est un caractère continu, regroupé en classes : on trace un histogramme. Toutes les classes ont la même amplitude (2 mm), donc les rectangles ont la même largeur et leur hauteur est proportionnelle à l’effectif.

De même, b) L’effectif cumulé croissant d’une classe est la somme des effectifs de cette classe et de toutes les classes précédentes.

Ainsi, le dernier effectif cumulé, 500, est bien l’effectif total du lot.

Alors, c) Les noix de moins de 44 mm sont celles des classes de [30 ; 32[ à [42 ; 44[ : c’est l’effectif cumulé croissant de la classe [42 ; 44[, soit 399 noix (sur 500, près de 80 %).

Cependant, a) On lit sur l’histogramme les effectifs des six classes d’amplitude 0,5 g : 9, 17, 31, 26, 13 et 4. Cependant, Vérification : \( 9 + 17 + 31 + 26 + 13 + 4 = 100 \), c’est bien l’effectif de l’échantillon. Toutefois, comme \( N = 100 \), chaque fréquence est l’effectif divisé par 100.

Également, b) Les sachets de moins de 99 g sont dans les classes [98 ; 98,5[ et [98,5 ; 99[ :

\[ f = 0{,}09 + 0{,}17 = 0{,}26 \]

Car a) On compte les 30 masses dans chaque classe (attention aux crochets : 82 va dans [82 ; 85[, pas dans [79 ; 82[) :

• Par exemple, [79 ; 82[ : les valeurs 79, 80 et 81, soit 2 + 3 + 3 = 8 expressos ;
• Par exemple, [82 ; 85[ : les valeurs 82, 83 et 84, soit 3 + 4 + 4 = 11 ;
• Ensuite, [85 ; 88[ : les valeurs 85, 86 et 87, soit 4 + 2 + 3 = 9 ;
• [88 ; 91[ : la valeur 89, 2 fois.

Vérification : \( 8 + 11 + 9 + 2 = 30 \). Puis les FCC se calculent avec les effectifs cumulés (8, 19, 28, 30) divisés par 30.

b) La FCC d’une classe est atteinte à sa borne supérieure : on place les points (79 ; 0), (82 ; 0,27), (85 ; 0,63), (88 ; 0,93) et (91 ; 1), puis on les relie par des segments.

c) On part de 0,75 sur l’axe des FCC, on rejoint la courbe, puis on descend sur l’axe des masses : on lit environ 86 g. Ensuite, par le calcul sur le segment entre 85 et 88 : \( 85 + 3 \times \dfrac{0{,}75 – 0{,}63}{0{,}93 – 0{,}63} \approx 86{,}2 \).

Enfin, on lit sur le graphique les fréquences cumulées : 0,1 ; 0,2 ; 0,2 ; 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 1 pour les valeurs 1 à 7. Également, plusieurs informations de l’écran sont incompatibles avec ce graphique.

• Par ailleurs, la médiane. La médiane est la première valeur dont la fréquence cumulée atteint 0,5. Ici c’est 4 (FCC = 0,5), alors que la calculatrice affiche Med = 5.
• Le premier quartile. Q1 est la première valeur dont la FCC atteint 0,25 : c’est 4 aussi (la FCC de 3 n’est que 0,2). De plus, la FCC ne change pas de 2 à 3, donc aucune donnée ne vaut 3 : Q1 = 3 est impossible. De même, Q3 est la première valeur dont la FCC atteint 0,75 : c’est 5, et non 6.
• Notamment, l’effectif. Avec n = 17, une fréquence cumulée est de la forme \( \dfrac{k}{17} \) avec \( k \) entier. Toutefois, or \( 0{,}1 \times 17 = 1{,}7 \) et \( 0{,}5 \times 17 = 8{,}5 \) ne sont pas entiers : les fréquences 0,1 et 0,5 sont impossibles pour 17 données.

Alors, la moyenne renseigne sur le niveau général, l’écart-type sur la dispersion des notes autour de la moyenne. Donc, Aucun de ces deux indicateurs ne donne le nombre d’élèves au-dessus ou en dessous d’une note.

• a) On ne peut pas l’affirmer. L’écart-type de 5 laisse penser que Paula a des notes plus étalées, donc sans doute quelques très bonnes notes, mais la moyenne et l’écart-type ne permettent pas de compter les excellentes notes.
• Puis, b) Vrai. L’écart-type de Paula (5) est bien plus grand que celui de Mariam (2) : ses notes sont plus dispersées autour de la moyenne, sa classe est plus hétérogène.
• c) Faux. Une moyenne de 10 ne dit pas combien d’élèves ont plus de 10 (il faudrait la médiane) : quelques très bonnes notes peuvent relever la moyenne alors que la majorité est en dessous. Rien n’est sûr.
• d) On ne peut pas l’affirmer, pour la même raison qu’en a) : un grand écart-type rend probables des notes très basses, mais ne le prouve pas.

Par ailleurs, la médiane (1 500 €) partage la population en deux : au moins la moitié des habitants gagne au plus 1 500 €, et au moins la moitié gagne au moins 1 500 €. Ensuite, la moyenne (2 500 €), elle, est sensible aux valeurs extrêmes.

• a) Faux. Moyenne et médiane peuvent être très différentes, dès que la série est dissymétrique. Notamment, C’est le cas habituel des revenus.
• De même, b) Vrai. Si la moyenne dépasse autant la médiane, c’est qu’une partie de la population perçoit des revenus très élevés, qui « tirent » la moyenne vers le haut sans modifier la médiane.
• c) Faux. Au moins la moitié des habitants gagne au plus 1 500 €, donc moins de 2 500 € : il ne peut pas y avoir en plus une moitié qui gagne plus de 2 500 €.
• Cependant, d) Vrai. C’est la définition de la médiane : au moins 50 % des habitants gagnent au plus 1 500 €.

Par ailleurs, Si on ajoute 3 à toutes les valeurs \( x_i \), chaque nouvelle valeur est \( x_i + 3 \).

• Moyenne : la somme des valeurs augmente de \( 3N \) pour \( N \) valeurs, donc la moyenne augmente de 3 : \( \bar{x}^{\prime} = 2 + 3 = 5 \).
• Écart-type : les écarts à la moyenne ne changent pas, car \( (x_i + 3) – (\bar{x} + 3) = x_i – \bar{x} \). Ainsi, le nuage de valeurs est seulement décalé, sa dispersion est la même : l’écart-type reste 1.

Donc a) est vraie, b) est fausse, c) est vraie et d) est fausse.

L’intervalle interquartile est \( [Q_1 ; Q_3] \). Par ailleurs, À Lebu, \( Q_1 = 1\,700 \) et \( Q_3 = 2\,200 \) ; à Tomé, \( Q_1 = 1\,300 \) et \( Q_3 = 2\,600 \). Toutefois, Au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à \( Q_1 \), au moins 75 % sont inférieures ou égales à \( Q_3 \), et environ la moitié des valeurs se trouve entre \( Q_1 \) et \( Q_3 \).

• Donc, a) Faux. 1 700 € est le premier quartile de Lebu : c’est environ un quart des habitants (et non la moitié) qui gagne moins de 1 700 €. Par ailleurs, la moitié correspond à la médiane, qu’on ne connaît pas.
• Ainsi, b) Vrai. À Lebu, environ 75 % des habitants gagnent 1 700 € ou plus. À Tomé, au moins 25 % gagnent au plus 1 300 €, donc moins de 1 700 € : au plus 75 % gagnent plus de 1 700 €.
• De même, c) Vrai. 2 600 € est le troisième quartile de Tomé : environ un quart des habitants (au moins 25 %) gagne 2 600 € ou plus.
• Par ailleurs, d) Vrai. Écart interquartile : \( 2\,200 – 1\,700 = 500 \) € à Lebu, contre \( 2\,600 – 1\,300 = 1\,300 \) € à Tomé. Par ailleurs, la moitié centrale des salaires est bien plus resserrée à Lebu : les salaires y sont plus homogènes.

Notamment, dans chaque série, toutes les valeurs ont le même effectif (5). Puis la série revient donc à la liste des 5 valeurs répétée 5 fois : la moyenne est la moyenne des 5 valeurs, et la médiane est la valeur du milieu.

Série A (25 valeurs) :

\[ \bar{x}_A = \frac{5 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 10)}{25} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 10}{5} = \frac{20}{5} = 4 \]

Puis, la médiane est la 13^e valeur de la série rangée : les valeurs 1 occupent les rangs 1 à 5, les 2 les rangs 6 à 10, les 3 les rangs 11 à 15. Donc \( Me_A = 3 \). Car de plus, la moyenne est plus grande que la médiane : la valeur 10, isolée, tire la moyenne vers le haut.

Série B : \( \bar{x}_B = \dfrac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6 \), et la 13^e valeur est 6, donc \( Me_B = 6 \). Ensuite, les valeurs sont régulièrement espacées (série symétrique) : moyenne et médiane sont égales.

Puis, 1. On compare les médianes : \( Me_A = 11 \gt Me_B = 9 \). Par ailleurs, en seconde A, au moins la moitié des élèves a 11 ou plus ; en seconde B, au moins la moitié a 9 ou moins. Ensuite, C’est la seconde A qui a les meilleurs résultats.

Alors, 2. Avec la médiane, on mesure la dispersion par l’écart interquartile \( Q_3 – Q_1 \) : 3 pour la seconde A, 5 pour la seconde B. Puis la moitié centrale des notes est plus étalée en B : les résultats les plus dispersés sont ceux de la seconde B.

Car 1. On compare les moyennes : \( \bar{x}_B = 12 \gt \bar{x}_A = 10 \). Ensuite, la seconde B a obtenu les meilleurs résultats en moyenne.

Puis, 2. Avec la moyenne, la dispersion se mesure par l’écart-type : \( \sigma_B = 3{,}5 \gt \sigma_A = 2 \). Puis les notes de la seconde B s’écartent davantage de leur moyenne : ce sont les plus dispersées. De plus, la seconde A est plus faible en moyenne, mais plus homogène.

Ainsi, 1. Les effectifs 0 correspondent aux notes 1 et 10 : aucun élève n’a obtenu 1/10, et aucun n’a obtenu 10/10.

Notamment, 2. On lit l’effectif sous la note 6 : 8 élèves ont eu 6/10.

Car 3. « Au moins 8/10 » veut dire 8, 9 ou 10 : \( 2 + 2 + 0 = 4 \) élèves.

Ainsi, 4. L’effectif cumulé croissant de la note 3 est le nombre d’élèves ayant une note inférieure ou égale à 3 :

\[ 1 + 0 + 3 + 4 = 8 \]

En outre, 5. Interprétation : 8 élèves ont obtenu une note inférieure ou égale à 3/10. Par ailleurs, sur les 38 élèves de la classe (\( 1 + 0 + 3 + 4 + 6 + 5 + 8 + 7 + 2 + 2 + 0 = 38 \)), cela représente environ 21 % des élèves.

De même, la série, déjà rangée dans l’ordre croissant, compte N = 12 valeurs : 32 ; 38 ; 40 ; 45 ; 46 ; 50 ; 52 ; 55 ; 60 ; 60 ; 64 ; 65.

Ainsi, 1. La population étudiée est l’ensemble des salles de l’école primaire (chaque salle est un individu).

Ensuite, 2. Le caractère étudié est la surface d’une salle, en m² : c’est un caractère quantitatif.

3. \( Q_1 \) est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. \( \frac{N}{4} = \frac{12}{4} = 3 \), donc \( Q_1 \) est la 3e valeur : \( Q_1 = 40 \) m².

Donc, 4. Interprétation : au moins un quart des salles de l’école ont une surface inférieure ou égale à 40 m².

5. \( \frac{3N}{4} = 9 \), donc \( Q_3 \) est la 9e valeur : \( Q_3 = 60 \) m².

Enfin, N est pair : la médiane est la moyenne des 6e et 7e valeurs, \( Me = \frac{50 + 52}{2} = 51 \) m².

Écart interquartile : \( Q_3 – Q_1 = 60 – 40 = 20 \) m².

On vérifie d’abord que la moyenne des douze normales donne bien 14,0 °C :

\[ \frac{6 + 6{,}7 + 10 + 13{,}5 + 17{,}3 + 20{,}2 + 22{,}5 + 22{,}4 + 18{,}9 + 14{,}4 + 9{,}4 + 6{,}4}{12} = \frac{167{,}7}{12} \approx 14{,}0 \]

Si chaque valeur augmente de 0,9 °C, la somme augmente de \( 12 \times 0{,}9 = 10{,}8 \) et la moyenne augmente donc de \( \frac{10{,}8}{12} = 0{,}9 \) °C :

Ensuite, \[ \bar{x}_{\text{nouveau}} = \frac{167{,}7 + 10{,}8}{12} = \frac{178{,}5}{12} \approx 14{,}9 \]

Par exemple, C’est une propriété générale de la moyenne : ajouter un même nombre à toutes les valeurs ajoute ce nombre à la moyenne. Puis, inutile de refaire tout le calcul : \( 14{,}0 + 0{,}9 = 14{,}9 \).

1. On compte les apparitions de chaque valeur dans la liste (30 réponses au total) :

Donc, 2. N = 30 est pair : la médiane est la moyenne des 15e et 16e valeurs. D’après les effectifs cumulés, les valeurs de rang 11 à 16 valent 3, donc \( Me = \frac{3 + 3}{2} = 3 \).

• \( \frac{30}{4} = 7{,}5 \), donc \( Q_1 \) est la 8e valeur : les rangs 5 à 10 valent 2, donc \( Q_1 = 2 \).
• \( \frac{3 \times 30}{4} = 22{,}5 \), donc \( Q_3 \) est la 23e valeur : les rangs 23 à 25 valent 5, donc \( Q_3 = 5 \).

Ensuite, 3. Au moins trois quarts des élèves de la classe ont eu 5 téléphones ou moins dans leur vie.

4. Écart interquartile : \( Q_3 – Q_1 = 5 – 2 = 3 \).

Par ailleurs, 1. On ajoute les effectifs de proche en proche :

Car 2. L’effectif total se lit dans la dernière case des effectifs cumulés croissants : N = 34 élèves.

En outre, 3. N = 34 est pair : la médiane est la moyenne des 17e et 18e notes. Ensuite, les rangs 17 à 23 correspondent à la note 6, donc \( Me = 6 \). Enfin, Interprétation : au moins la moitié des élèves ont obtenu 6 ou moins, et au moins la moitié ont obtenu 6 ou plus.

4. \( \frac{34}{4} = 8{,}5 \), donc \( Q_1 \) est la 9e note. Par ailleurs, les rangs 9 et 10 correspondent à 4 : \( Q_1 = 4 \). Puis, Au moins 25 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 4.

5. \( \frac{3 \times 34}{4} = 25{,}5 \), donc \( Q_3 \) est la 26e note. Puis les rangs 24 à 30 correspondent à 7 : \( Q_3 = 7 \).

De même, 6. L’intervalle interquartile est \( [Q_1 ; Q_3] = [4 ; 7] \), d’amplitude \( 7 – 4 = 3 \). Alors, Environ la moitié des élèves (les notes « centrales ») ont une note comprise entre 4 et 7.

1. La médiane partage les classes en deux groupes de même effectif. En effet, Au lycée B, au moins la moitié des classes de seconde ont 33 élèves ou plus, contre 30 ou plus au lycée A. Ensuite, les classes semblent donc plus chargées au lycée B.

Donc, 2. L’écart interquartile mesure la dispersion des effectifs autour de la médiane : environ la moitié des classes ont un effectif dans un intervalle de longueur 1 au lycée A, et de longueur 4 au lycée B. Puis les effectifs sont donc plus proches les uns des autres au lycée A.

En effet, on range les valeurs \( x_1 \leqslant x_2 \leqslant \dots \leqslant x_N \) et on repère les rangs qui fixent chaque indicateur ; les autres valeurs sont libres, dans le respect de l’ordre. (Plusieurs réponses sont possibles ; en voici une par question.)

1. N = 5 : \( Me \) est la 3e valeur ; \( \frac{5}{4} = 1{,}25 \), donc \( Q_1 \) est la 2e valeur ; \( \frac{15}{4} = 3{,}75 \), donc \( Q_3 \) est la 4e valeur. Puis, de plus, il faut \( x_2 = 5 \), \( x_3 = 6 \), \( x_4 = 7 \). Exemple : 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8.

2. N = 10 : \( Me = \frac{x_5 + x_6}{2} \) ; \( \frac{10}{4} = 2{,}5 \), donc \( Q_1 = x_3 \) ; \( \frac{30}{4} = 7{,}5 \), donc \( Q_3 = x_8 \). Ensuite, il faut \( x_3 = 5 \), \( x_8 = 9 \) et \( x_5 + x_6 = 12 \). Exemple : 2 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10.

3. L’écart interquartile vaut 1, donc \( Q_3 = Q_1 + 1 = 7 \). Par ailleurs, il faut \( x_3 = 6 \), \( x_8 = 7 \) et \( x_5 + x_6 = 12 \) ; comme \( x_3 = 6 \leqslant x_5 \leqslant x_6 \leqslant 7 \), on prend \( x_5 = x_6 = 6 \). Exemple : 3 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.

En outre, Vérification sur la série 3 : 3e valeur 6, 8e valeur 7, \( Me = \frac{6 + 6}{2} = 6 \), écart \( 7 – 6 = 1 \).

Donc, les pointillés du diagramme tombent sur les graduations : min = 505 g, \( Q_1 = 520 \) g, \( Me = 530 \) g, \( Q_3 = 540 \) g, max = 570 g.

Puis, 1. \( Me = 530 \) g : environ la moitié des shinais de l’échantillon pèsent 530 g ou moins, et l’autre moitié 530 g ou plus.

2. Trois phrases possibles :

• Cependant, Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 520 g et 540 g (entre \( Q_1 \) et \( Q_3 \)).
• Cependant, Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 505 g et 530 g (entre le minimum et la médiane).
• De même, Environ 50 % des shinais ont une masse comprise entre 530 g et 570 g (entre la médiane et le maximum).

3. Écart interquartile : \( Q_3 – Q_1 = 540 – 520 = 20 \) g.

Donc, 4. Le minimum (505 g) est inférieur à 510 g : certains shinais ne sont pas homologables. Mais ils sont peu nombreux : ils pèsent moins de 510 g, donc moins que \( Q_1 = 520 \) g, et au moins 75 % des shinais pèsent 520 g ou plus. Puis la production est donc presque entièrement conforme, mais Kumamoto doit contrôler ses shinais (ou régler sa fabrication) pour écarter ceux de moins de 510 g.

Ensuite, on calcule les effectifs cumulés croissants (seuls ceux utiles sont donnés) : jusqu’à 281 g : 11 ; jusqu’à 294 g : 242 ; jusqu’à 295 g : 293 ; jusqu’à 298 g : 451 ; jusqu’à 299 g : 501 ; jusqu’à 303 g : 708 ; jusqu’à 304 g : 759 ; jusqu’à 317 g : 993 ; jusqu’à 320 g : 997.

1.

• Par ailleurs, Minimum : 279 g ; maximum : 320 g (l’effectif de 321 g est nul).
• Par exemple, N = 997 est impair : la médiane est la valeur de rang \( \frac{997 + 1}{2} = 499 \). Ainsi, or 451 paquets pèsent 298 g ou moins et 501 pèsent 299 g ou moins : \( Me = 299 \) g.
• \( \frac{997}{4} = 249{,}25 \), donc \( Q_1 \) est la 250e valeur : 242 paquets pèsent 294 g ou moins et 293 pèsent 295 g ou moins, donc \( Q_1 = 295 \) g.
• \( \frac{3 \times 997}{4} = 747{,}75 \), donc \( Q_3 \) est la 748e valeur : 708 paquets pèsent 303 g ou moins et 759 pèsent 304 g ou moins, donc \( Q_3 = 304 \) g.
• Écart interquartile : \( e = 304 – 295 = 9 \) g.

En outre, 2. On teste chaque critère :

• Ensuite, \( 299 \leqslant Me \leqslant 301 \) : \( Me = 299 \), vérifié ;
• \( 295 \leqslant Q_1 \) : \( Q_1 = 295 \), vérifié ;
• \( Q_3 \leqslant 305 \) : \( Q_3 = 304 \), vérifié ;
• \( e \in [0 ; 9] \) : \( e = 9 \), vérifié ;
• \( Q_1 – 1{,}5e = 295 – 13{,}5 = 281{,}5 \) et \( Q_3 + 1{,}5e = 304 + 13{,}5 = 317{,}5 \). De même, les valeurs en dehors de \( [281{,}5 ; 317{,}5] \) sont 279, 280, 281 (\( 1 + 5 + 5 = 11 \) paquets) et 318, 319, 320 (\( 2 + 1 + 1 = 4 \) paquets), soit 15 paquets. Par ailleurs, leur proportion est \( \frac{15}{997} \approx 0{,}01505 \), soit environ 1,50 %, un peu plus que 1,5 % (\( 1{,}5 \% \) de 997 vaut 14,955, et 15 dépasse ce nombre).

Toutefois, le dernier critère n’est pas respecté (de justesse).

Par exemple, 1. Chaque édition n’a pas le même nombre de matchs : on calcule une moyenne pondérée par le nombre de matchs. Ensuite, pour chaque édition, « buts par match × nombre de matchs » donne le nombre total de buts de l’édition.

• Ainsi, nombre total de matchs : \( 18 + 17 + 18 + 22 + 26 + 35 + 32 \times 3 + 38 \times 2 + 52 \times 4 + 64 \times 6 = 900 \).
• Alors, nombre total de buts : \( 3{,}9 \times 18 + 4{,}1 \times 17 + \dots + 2{,}6 \times 64 = 2\,545{,}9 \) (calcul à la calculatrice, listes L1 = buts par match et L2 = nombre de matchs).

Par exemple, \[ \bar{x} = \frac{2\,545{,}9}{900} \approx 2{,}83 \text{ buts par match} \]

Car L’écart-type (pondéré) est \( \sigma = \sqrt{\frac{1}{900}\sum n_i (x_i – \bar{x})^2} \approx 0{,}68 \). Puis la calculatrice le donne directement avec les deux listes.

(Si l’on fait la moyenne simple des 21 valeurs, sans tenir compte du nombre de matchs, on obtient environ 3,09 buts avec un écart-type d’environ 0,84 ; mais cette moyenne donne autant de poids à la coupe de 1930 (18 matchs) qu’à celle de 2018 (64 matchs).)

Ainsi, 2. L’intervalle \( [\bar{x} – \sigma ; \bar{x} + \sigma] \approx [2{,}15 ; 3{,}51] \) contient les moyennes « habituelles ».

• Alors, la moyenne des matchs de la France (2,9 buts) est dans cet intervalle, légèrement au-dessus de la moyenne historique : ses matchs ont été un peu plus prolifiques que la moyenne (et nettement plus que la moyenne de l’édition 2018, 2,6 buts).
• Ainsi, celle de l’Allemagne (2 buts) est en dessous de \( \bar{x} – \sigma \approx 2{,}15 \) : ses matchs ont compté nettement moins de buts que d’habitude.

Cependant, 1. L’effectif total est \( N = 24 + 18 + 32 + 52 + 65 + 78 + 31 + 27 + 25 + 13 = 365 \) jours.

Cependant, \[ \bar{x} = \frac{1 \times 24 + 2 \times 18 + \dots + 10 \times 13}{365} = \frac{1\,945}{365} \approx 5{,}33 \]

Par ailleurs, \[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{365}\sum_{i=1}^{10} n_i (x_i – \bar{x})^2} \approx 2{,}26 \]

En outre, 2. Ajouter des valeurs égales à \( x_i \) :

• Ainsi, fait baisser la moyenne si \( x_i \lt \bar{x} \) et la fait monter si \( x_i \gt \bar{x} \) ;
• Notamment, fait baisser l’écart-type si \( x_i \) est proche de la moyenne (à moins d’un écart-type environ), et le fait monter si \( x_i \) en est éloigné.

a. Il faut \( x_i \) inférieur à 5,33 mais proche de lui : \( x_i = 4 \) ou \( x_i = 5 \) (\( |4 – 5{,}33| \approx 1{,}33 \) et \( |5 – 5{,}33| \approx 0{,}33 \) sont inférieurs à 2,26).

En effet, b. Il faut \( x_i \) supérieur à 5,33 et éloigné de lui : \( x_i = 8 \), 9 ou 10 (\( 8 – 5{,}33 \approx 2{,}67 \gt 2{,}26 \)).

Notamment, on le vérifie à la calculatrice : en ajoutant 1 à l’effectif de 5, on obtient \( \bar{x} \approx 5{,}328 \) et \( \sigma \approx 2{,}252 \) (les deux baissent) ; en ajoutant 1 à l’effectif de 10, \( \bar{x} \approx 5{,}342 \) et \( \sigma \approx 2{,}265 \) (les deux montent).

Par exemple, 1. On entre les notes dans la liste L1 (3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 15 ; 16 ; 18 ; 19) et les effectifs dans la liste L2 (3 ; 2 ; 5 ; 3 ; 7 ; 8 ; 3 ; 2 ; 6 ; 1 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1). Enfin, de plus, on vérifie que la somme des effectifs vaut 50.

2. La calculatrice (statistiques à une variable, avec L1 et L2) donne \( \sum n_i x_i = 481 \), donc

Puis, \[ \bar{x} = \frac{481}{50} = 9{,}62 \quad \text{et} \quad \sigma \approx 4{,}26 \]

Car la moyenne du paquet (9,62) est inférieure à la moyenne du centre (10) : le paquet est un peu moins bon.

Par exemple, 3. Il faut enlever une note 9 et ajouter une note 19 : l’effectif de 9 passe de 8 à 7 et celui de 19 passe de 1 à 2. Ensuite, la somme des notes augmente de \( 19 – 9 = 10 \) :

De même, \[ \bar{x} = \frac{491}{50} = 9{,}82 \quad \text{et} \quad \sigma \approx 4{,}46 \]

Même corrigée, la moyenne (9,82) reste légèrement inférieure à 10 : son paquet est un peu moins bon que la moyenne du centre, mais l’écart est faible (moins de 0,2 point).

En effet, 1. La moyenne de 4 notes est leur somme divisée par 4. Notamment, Si la moyenne vaut \( m \), la somme des points vaut \( S = 4m \).

2. Si \( x \) est la note du dernier contrôle : \( 6 + 10 + 12 + x = 4m \), soit \( 28 + x = 4m \), donc \( x = 4m – 28 \).

Donc, 3. La note nécessaire se calcule avec la formule précédente ; si elle dépasse 20, l’objectif est impossible à atteindre :

En outre, def MoyenneVoulue(m):
    note = 4*m – 28
    if note > 20:
        return(« Impossible. »)
    else:
        return(note)

Exemple : MoyenneVoulue(12) renvoie \( 4 \times 12 – 28 = 20 \) ; MoyenneVoulue(13) renvoie « Impossible. » car \( 4 \times 13 – 28 = 24 \gt 20 \).

De même, 4. On généralise avec les trois premières notes \( a \), \( b \), \( c \) en arguments : la dernière note vaut \( 4m – (a + b + c) \). Par ailleurs, on peut aussi traiter le cas d’une note négative (moyenne déjà assurée, même avec 0) :

Toutefois, def DerniereNote(a, b, c, m):
    note = 4*m – (a + b + c)
    if note > 20:
        return(« Impossible. »)
    elif note < 0:
        return(0)
    else:
        return(note)

Vérification : DerniereNote(6, 10, 12, 11) renvoie \( 44 – 28 = 16 \), et en effet \( \frac{6 + 10 + 12 + 16}{4} = 11 \).

Donc, pour chaque cible, on regarde deux choses : la distance moyenne des flèches au centre (la moyenne) et la dispersion de ces distances (l’écart-type). Par exemple, chaque couronne mesurant 1 unité, on estime la distance d’une flèche en comptant les couronnes.

1.

• Toutefois, en bas à droite : toutes les flèches sont dans le jaune ou au bord du rouge, à moins de 1 unité du centre environ, et toutes à peu près à la même distance : petite moyenne et petit écart-type, c’est (0,79 ; 0,19).
• En haut à droite : les flèches sont très groupées, mais loin du centre (vers 3 à 4 unités, en bas à gauche) : grande moyenne, petit écart-type, c’est (3,33 ; 0,55).
• En outre, en bas à gauche : une flèche presque au centre et quatre loin (dont trois hors de la cible verte) : grande moyenne et très grande dispersion, c’est (3,21 ; 1,42).
• En outre, en haut à gauche : flèches réparties entre le rouge et le blanc, entre 2 et 4,5 unités environ : c’est (2,84 ; 0,97).

2.

• Notamment, le tireur expérimenté tire précis et régulier : cible en bas à droite (0,79 ; 0,19).
• Le tireur au viseur mal réglé est régulier (petit écart-type) mais toutes ses flèches sont décalées du même côté : cible en haut à droite (3,33 ; 0,55).
• Cependant, les deux débutants sont irréguliers (écarts-types les plus grands) : cibles en haut à gauche (2,84 ; 0,97) et en bas à gauche (3,21 ; 1,42).