QCM : Droites, plans et produit vectoriel en L1 de maths

Réponse A.

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Ici \(u\cdot v=2-4+3a\), donc on résout \(3a-2=0\), soit \(a=\frac{2}{3}\). Le piège \(-\frac{2}{3}\) vient d’une erreur de signe sur le produit \((-1)\times 4\). Ensuite, \(\frac{3}{2}\) inverse la fraction. Enfin, \(a=2\) oublie le coefficient \(3\) de la troisième coordonnée.

Réponse D.

Le plan a une équation \(3x-y+2z+d=0\), car ses coefficients sont les coordonnées du vecteur normal. On impose ensuite que \(A\) y appartienne : \(3-4+d=0\), donc \(d=1\). Le piège \(d=-1\) vient d’une erreur de signe. Par ailleurs, \(d=0\) oublie de faire passer le plan par \(A\). Enfin, \(x-2z+1=0\) échange les rôles du point et du vecteur normal.

Réponse C.

Le vecteur directeur est \((2,5)\), donc un vecteur normal est \((5,-2)\). L’équation est ainsi \(5x-2y+c=0\), et le point \((1,-3)\) donne \(5+6+c=0\), soit \(c=-11\). Le piège \(2x+5y+13=0\) prend le vecteur directeur pour un vecteur normal : cette droite passe par le bon point mais elle est perpendiculaire à la bonne. Enfin, \(5x+2y+1=0\) change le mauvais signe.

Réponse C.

On calcule \((y_1z_2-z_1y_2,\ z_1x_2-x_1z_2,\ x_1y_2-y_1x_2)\), ce qui donne \((6-0,\ 0-3,\ 1-0)=(6,-3,1)\). Vérification utile : ce vecteur est bien orthogonal aux deux facteurs. Le piège \((-6,3,-1)\) correspond au produit dans l’autre ordre, car le produit vectoriel est antisymétrique. Ensuite, \((6,3,1)\) oublie le signe de la deuxième coordonnée, et \((0,2,0)\) multiplie terme à terme.

Réponse D.

On calcule \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(2,0,0)\wedge(0,3,4)=(0,-8,6)\), de norme \(10\). Cette norme est l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs. Par conséquent, le triangle en a la moitié, soit \(5\). Le piège \(10\) oublie ce facteur un demi. Quant à \(3\) et \(4\), ils ne gardent qu’une seule coordonnée de \(C\) dans la formule base fois hauteur.

Réponse D.

Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. On calcule \(u\wedge v=(-1,2,1)\), puis \((u\wedge v)\cdot w=2+a\). Ainsi la condition s’écrit \(a=-2\). Le piège \(a=2\) vient d’une erreur de signe dans le produit vectoriel. Par ailleurs, \(a=0\) suppose à tort qu’une coordonnée nulle rend les vecteurs liés.

Réponse B.

La formule donne \(\frac{|2x_M-y_M+2z_M+3|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}\). Le numérateur vaut \(|2-2-2+3|=1\) et le dénominateur \(3\), donc la distance est \(\frac{1}{3}\). Le piège \(1\) oublie de diviser par la norme du vecteur normal. Ensuite, \(\frac{1}{9}\) divise par le carré de cette norme. Enfin, \(\frac{5}{3}\) vient d’une erreur de signe sur \(z_M\).

Réponse B.

Avec \(A\) l’origine, on utilise \(d=\frac{\|\overrightarrow{AM}\wedge u\|}{\|u\|}\). Or \((1,0,0)\wedge(1,1,0)=(0,0,1)\), de norme \(1\), et \(\|u\|=\sqrt{2}\). Donc \(d=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Le piège \(1\) oublie de diviser par \(\|u\|\). Par ailleurs, \(\sqrt{2}\) multiplie au lieu de diviser, et \(\frac{1}{2}\) divise par \(\|u\|^2\).

Réponse A.

La droite est contenue dans les deux plans, donc sa direction est orthogonale aux deux vecteurs normaux. Par conséquent, on prend \((1,1,1)\wedge(1,-1,2)=(2+1,\ 1-2,\ -1-1)=(3,-1,-2)\). Le piège \((2,0,3)\) additionne les vecteurs normaux. Ensuite, \((3,1,-2)\) se trompe de signe au milieu. Enfin, \((1,-1,2)\) est un vecteur normal, justement orthogonal à la droite cherchée.

Réponse A.

Le vecteur directeur \((1,-1,3)\) vérifie \((1,-1,3)\cdot(2,5,1)=2-5+3=0\). Ainsi \(D\) est parallèle à \(P\). Ensuite, le point \((1,2,0)\) de \(D\) donne \(2+10+0=12\), qui diffère de \(4\), donc \(D\) n’est pas incluse dans \(P\). Le piège de l’inclusion oublie ce test d’un point. Celui de l’orthogonalité confond produit scalaire nul et colinéarité avec le vecteur normal.

Réponse B.

On complète les carrés : \((x-1)^2+y^2+(z+2)^2=4+1+4=9\). Il s’agit donc de la sphère de centre \((1,0,-2)\) et de rayon \(\sqrt{9}=3\). Le centre \((-1,0,2)\) a des coordonnées de signe changé. Le rayon \(9\) oublie de prendre la racine carrée. Enfin, le rayon \(2\) vient de \(\sqrt{4}\), c’est-à-dire d’une complétion des carrés oubliée.

Réponse C.

Un plan est tangent à une sphère lorsque la distance du centre au plan égale le rayon. Ici cette distance vaut \(\frac{|k|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|k|}{3}\), donc on résout \(|k|=6\). Le piège « \(6\) seulement » oublie la valeur absolue, alors qu’il existe deux plans tangents parallèles. Ensuite, \(\pm 2\) oublie la norme du vecteur normal, et \(\pm 18\) divise par son carré.