Matrices de passage et similitude : contrôle de maths en L1
Voici un contrôle de maths en L1 sur le thème « matrices de passage et similitude », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce sujet d’une heure trente évalue le dictionnaire entre applications linéaires et matrices, qui se met en place au second semestre de L1. Vous écrirez d’abord la matrice d’une application linéaire entre un espace de polynômes et le plan, puis vous changerez de bases au départ et à l’arrivée. Ensuite, un exercice dans le plan fait travailler la matrice de passage, les nouvelles coordonnées et la formule de changement de base. La trace sert alors d’invariant pour reconnaître des matrices semblables, notamment dans un vrai/faux justifié. Enfin, le problème étudie un projecteur de l’espace dans une base adaptée. Faites ce contrôle juste après le chapitre, avant le cours sur les déterminants.
Ce qu’évalue le contrôle : matrices de passage et similitude
L’essentiel du sujet
- NiveauL1
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Matrices de passage et matrices semblables (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Représenter une application linéaire par sa matrice relativement à des bases imposées, au départ comme à l’arrivée
- Construire une matrice de passage, calculer son inverse et l’utiliser pour obtenir de nouvelles coordonnées
- Appliquer la formule de changement de base et contrôler le résultat par la trace
- Décider si deux matrices sont semblables en exhibant une base ou un invariant qui les sépare
- Démontrer que la trace d’un projecteur est égale à son rang grâce à une base adaptée
Avant de commencer le devoir
Avant tout calcul, nommez les bases et précisez dans quel sens va chaque matrice de passage : ses colonnes contiennent les coordonnées des nouveaux vecteurs dans l’ancienne base. Ensuite, vérifiez chaque matrice obtenue sur un vecteur simple. De plus, la trace ne change pas par similitude : c’est donc un test rapide. Dans le vrai/faux, une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple explicite, alors qu’une affirmation vraie demande une preuve générale.
Le sujet du contrôle : matrices de passage et similitude
Exercice 1 – Une application linéaire définie sur des polynômes (4 points)
On note \(\mathcal{B} = (1, X, X^2)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_2[X]\) et \(\mathcal{C} = (e_1, e_2)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^2\). On définit alors l’application \(f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^2\) par
\[f(P) = \left(P(1) – P(-1)\,,\; P^{\prime}(2)\right).\]
- Montrer que \(f\) est linéaire.
- Calculer \(f(1)\), \(f(X)\) et \(f(X^2)\), puis écrire la matrice \(M\) de \(f\) dans les bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\).
- Déterminer le noyau de \(f\) et en donner une base. En déduire, par le théorème du rang, que \(f\) est surjective.
- On pose \(\mathcal{B}^{\prime} = (1, X, X^2 – 4X)\) et \(\mathcal{C}^{\prime} = (\varepsilon_1, \varepsilon_2)\) avec \(\varepsilon_1 = (2, 1)\) et \(\varepsilon_2 = (1, 0)\). Justifier que ce sont des bases, puis écrire directement la matrice \(N\) de \(f\) dans les bases \(\mathcal{B}^{\prime}\) et \(\mathcal{C}^{\prime}\).
- Écrire les matrices de passage \(Q\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\) et \(R\) de \(\mathcal{C}\) à \(\mathcal{C}^{\prime}\), puis vérifier que \(N = R^{-1} M Q\).
Exercice 2 – Changement de base dans le plan (4 points)
Le plan \(\mathbb{R}^2\) est rapporté à sa base canonique \(\mathcal{C} = (e_1, e_2)\). On y considère les vecteurs \(u_1 = (2, 1)\), \(u_2 = (1, 1)\) et \(w = (1, 3)\), représentés sur la figure. On s’intéresse aussi à l’endomorphisme \(g\) représenté, relativement à \(\mathcal{C}\), par
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.\]
- Montrer que la famille \(\mathcal{E}\) formée de \(u_1\) et \(u_2\) est une base de \(\mathbb{R}^2\). Écrire ensuite la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{C}\) à \(\mathcal{E}\) et calculer \(P^{-1}\).
- Déterminer les coordonnées de \(w\) dans la base \(\mathcal{E}\), puis contrôler le résultat sur la figure.
- Calculer \(g(u_1)\) et \(g(u_2)\), les exprimer dans la base \(\mathcal{E}\) et en déduire la matrice \(T\) de \(g\) dans \(\mathcal{E}\).
- Vérifier par le calcul que \(T = P^{-1} A P\), puis comparer les traces de \(A\) et de \(T\).
Exercice 3 – Trace, commutateurs et homothéties (3 points)
Dans tout l’exercice, \(n\) est un entier supérieur ou égal à 1 et les matrices sont carrées d’ordre \(n\), à coefficients réels.
- Soient \(U = (u_{ij})\) et \(V = (v_{ij})\) deux telles matrices. En écrivant les coefficients diagonaux des produits \(UV\) et \(VU\), démontrer que ces deux produits ont la même trace.
- En déduire que l’équation \(UV – VU = I_n\), d’inconnues \(U\) et \(V\), n’admet aucune solution.
- Soit \(\lambda\) un réel. Prouver que la seule matrice semblable à \(\lambda I_n\) est \(\lambda I_n\) elle-même. Expliquer alors pourquoi \(K = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) n’est pas semblable à \(3 I_2\), alors que leurs traces coïncident.
Exercice 4 – Vrai ou faux sur la similitude (4 points)
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier. Une réponse sans justification ne rapporte aucun point. On rappelle que deux matrices carrées \(A\) et \(B\) sont semblables lorsqu’il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(B = P^{-1} A P\).
- Deux matrices semblables ont la même trace.
- Deux matrices carrées réelles d’ordre 2 qui ont le même rang sont toujours semblables.
- Les matrices \(G = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(H = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\) sont semblables. On pourra considérer l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^2\) canoniquement associé à \(G\), puis la base \((e_2, e_1)\).
- Si \(A\) et \(B\) sont semblables et si \(A\) est inversible, alors \(B\) est inversible et \(A^{-1}\) est semblable à \(B^{-1}\).
Exercice 5 – Problème : un projecteur dans une base adaptée (5 points)
Soit \(p\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) qui, relativement à la base canonique, est représenté par
\[M = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.\]
On introduit aussi le plan \(F\) d’équation \(z = x + y\), le vecteur \(w = (2, 1, 2)\) et le vecteur \(v = (2, 0, 1)\). La figure ci-dessous représente \(F\), la droite \(D\) dirigée par \(w\) et le vecteur \(v\). La figure n’est pas à l’échelle.
- Calculer \(M^2\) et en déduire que \(p\) est un projecteur.
- Déterminer \(\ker p\), puis montrer que \(\mathrm{Im}\, p = F\). Calculer ensuite \(p(v)\) et vérifier que \(v – p(v)\) appartient à \(D\).
- On pose \(f_1 = (1, 0, 1)\) et \(f_2 = (0, 1, 1)\). Montrer que \(\mathcal{B}^{\prime} = (f_1, f_2, w)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\), puis écrire la matrice \(D^{\prime}\) de \(p\) dans cette base.
- Écrire la matrice de passage \(P\) de la base canonique à \(\mathcal{B}^{\prime}\) et la relation qui lie \(M\), \(D^{\prime}\) et \(P\). Sans calculer \(P^{-1}\), en déduire que \(\mathrm{tr}(M) = \mathrm{rg}(p)\).
- Plus généralement, soit \(q\) un projecteur de \(\mathbb{R}^n\) de rang \(r\). Démontrer que \(\mathbb{R}^n = \mathrm{Im}\, q \oplus \ker q\), puis que \(\mathrm{tr}(q) = r\).
Réviser matrices de passage et similitude avant le contrôle
La page contrôles de maths en L1 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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