Télescopages et sommes doubles : contrôle de maths en MPSI

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MPSI PDF à imprimer Voir le livre ›

Ce qu’évalue le contrôle : télescopages et sommes doubles

Le sujet du contrôle : télescopages et sommes doubles

Exercice 1 – Changements d’indice et regroupements (4 points)

Dans tout le sujet, \(n\) désigne un entier naturel non nul. Les résultats doivent être donnés sous forme factorisée.

1. Calculer \(\sum_{k=3}^{n+2} (k – 2)^2\) en posant \(j = k – 2\). (1 point)
2. En séparant les indices pairs et impairs, montrer que \(\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\,k = n\). (1,5 point)
3. À l’aide du changement d’indice \(j = k – n\), calculer ensuite \(\sum_{k=0}^{2n} |k – n|\). (1,5 point)

Exercice 2 – Une somme et un produit télescopiques (5 points)

Les deux questions sont indépendantes, mais elles reposent toutes deux sur une décomposition du terme général.

1. Vérifier que, pour tout \(k \geq 1\), \(\frac{k + 3}{k(k + 1)(k + 2)} = \frac{3}{2}\left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k + 1}\right) – \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k + 1} – \frac{1}{k + 2}\right)\). En déduire une expression simple de \(\sum_{k=1}^{n} \frac{k + 3}{k(k + 1)(k + 2)}\), puis sa limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\). (2,5 points)
2. On pose \(P_n = \prod_{k=1}^{n} \frac{k^2 + 4k + 3}{k^2 + 4k + 4}\). Factoriser le numérateur et le dénominateur, puis calculer \(P_n\) et sa limite. (2,5 points)

Exercice 3 – Sommes triangulaires interverties (5 points)

On pose \(U_n = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} \frac{i^2}{j(j + 1)}\). La première figure représente, pour \(n = 6\), les couples \((i, j)\) de la somme par des points pleins.

1. Écrire \(U_n\) en sommant d’abord sur \(i\) à \(j\) fixé, comme dans la colonne encadrée. Calculer alors \(U_n\). (2 points)
2. Recalculer \(U_n\) en sommant cette fois d’abord sur \(j\) à \(i\) fixé. On utilisera un télescopage pour la somme intérieure. (2 points)

La seconde figure donne la valeur de \(\min(i, j)\) pour \(1 \leq i, j \leq 5\), en séparant la diagonale et les deux triangles.

3. En découpant le carré comme sur la figure, montrer que \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \min(i, j) = \sum_{k=1}^{n} k^2\). (1 point)

Exercice 4 – Problème : binôme et somme double (6 points)

On rappelle que \(\binom{p}{k} = 0\) lorsque \(k > p\). Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A. Sommes pondérées.

1. Montrer que \(k\binom{n}{k} = n\binom{n – 1}{k – 1}\) pour tout entier \(k\) tel que \(1 \leq k \leq n\). (1 point)
2. En déduire \(\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}\). Pour \(n \geq 2\), établir ensuite que \(\sum_{k=0}^{n} k^2\binom{n}{k} = n(n + 1)\,2^{n – 2}\). (1,5 point)
3. Calculer \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k\) et \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-3)^k\). Exprimer alors la somme des termes \(\binom{n}{k} 3^k\) d’indice \(k\) pair. (1,5 point)

Partie B. Une colonne du triangle de Pascal.

4. À l’aide de la relation de Pascal, écrire \(\binom{p}{k}\) comme une différence de deux coefficients binomiaux. Montrer alors, par télescopage, que \(\sum_{p=k}^{n} \binom{p}{k} = \binom{n + 1}{k + 1}\) pour \(0 \leq k \leq n\). (1 point)
5. On pose \(W_n = \sum_{0 \leq k \leq p \leq n} \binom{p}{k}\). Calculer \(W_n\) de deux façons, en sommant d’abord sur \(k\), puis d’abord sur \(p\), et vérifier la cohérence. (1 point)

Réviser télescopages et sommes doubles avant le contrôle

Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours calculer avec σ et π ; entraînez-vous sur les exercices calculer avec σ et π avant de retenter le sujet.

La page contrôles de maths en MPSI regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.

Télécharger en PDF Le livre des 25 contrôles corrigés en MPSI PDF à imprimer Voir le livre ›

Télécharger ou imprimer cette fiche «télescopages et sommes doubles : contrôle de maths en MPSI» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.

 Maths PDF c'est 16 224 412 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 4 250 exercices.