Vecteur
En bref : Un vecteur décrit un déplacement rectiligne grâce à une direction, un sens et une norme ; toutes les flèches parallèles qui ont ce sens et cette longueur le représentent, où qu’elles soient dessinées.
SecondeGéométrie plane
Définition : Vecteur
Un vecteur est l’objet mathématique qui décrit un déplacement en ligne droite. Il est défini par sa direction, son sens et sa longueur, appelée norme, mais pas par un emplacement : on peut le dessiner partout dans le plan.
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est le déplacement qui amène \(A\) en \(B\). Dans un repère, ses coordonnées sont \((x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\). Deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes coordonnées, et \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) signifie que \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati). Le vecteur nul \(\vec{0}\) correspond à l’absence de déplacement.
Comment le reconnaître
- L’énoncé décrit un déplacement, une force ou une vitesse avec une direction et un sens précis.
- On écrit une flèche au-dessus de deux lettres, comme \(\overrightarrow{AB}\), ou une lettre surmontée d’une flèche.
- Il faut prouver que deux segments sont parallèles et de même longueur, ou qu’une figure est un parallélogramme.
- On demande les coordonnées d’un déplacement entre deux points d’un repère.
La méthode
- Pour les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), soustraire celles du départ à celles de l’arrivée : arrivée moins départ.
- Pour traduire \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), égaliser les abscisses puis les ordonnées des deux vecteurs.
- Pour trouver un point manquant, écrire l’égalité vectorielle et résoudre pour les coordonnées inconnues.
- Vérifier avec un croquis que les flèches sont bien parallèles et de même sens.
Vecteur : exemple corrigé
Énoncé
Dans un repère, on place \(A(2\,;\,1)\), \(B(7\,;\,4)\) et \(C(-1\,;\,2)\). Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), puis trouver le point \(D\) tel que \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\).
Corrigé
\(\overrightarrow{AB}(7-2\,;\,4-1)=\) \((5\,;\,3)\).
Si \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\), alors \(x_D-(-1)=5\) et \(y_D-2=3\), donc \(x_D=4\) et \(y_D=5\) : \(D(4\,;\,5)\). Le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme.
À toi de jouer
Question 1
Donner les coordonnées de \(\overrightarrow{EF}\) avec \(E(-3\,;\,4)\) et \(F(2\,;\,-1)\).
Voir la réponse
\((2-(-3)\,;\,-1-4)=(5\,;\,-5)\).
Question 2
Les vecteurs \(\vec{u}(2\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(-4\,;\,6)\) sont-ils égaux ? Que dire de leurs directions ?
Voir la réponse
Non, ils ne sont pas égaux. Mais \(\vec{v}=-2\vec{u}\) : ils ont la même direction et des sens opposés.
Ne pas confondre Vecteur et Segment
Un segment est fixe : il a deux extrémités à des endroits précis. Il n’est lié à aucune position et possède un sens de parcours. Les segments \([AB]\) et \([BA]\) sont les mêmes, tandis que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés. On peut le redessiner partout dans le plan.
Pour aller plus loin
Cours
Exercices et QCM
Mots voisins
- Vecteur directeur
- Norme d'un vecteur
- Somme de deux vecteurs
- Relation de Chasles
- Translation
- Coordonnées
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