Les angles en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Ce corrigé exercices angles 5ème reprend les dix premiers exercices de la fiche consacrée aux angles. On y manipule tout le vocabulaire du chapitre : angles adjacents (même sommet, un côté commun, de part et d’autre de ce côté), angles complémentaires (somme 90°) et supplémentaires (somme 180°), angles opposés par le sommet, puis les angles formés par deux droites et une sécante : alternes-internes et correspondants.

Les derniers exercices demandent de calculer des mesures sans rapporteur, grâce aux droites parallèles, et de rédiger une petite démonstration. Chaque solution indique la propriété utilisée et s’appuie sur une figure où les angles égaux portent la même couleur. Avant de lire la résolution, repère toi-même sur la figure le sommet et les côtés de chaque angle : la plupart des erreurs viennent d’un angle mal lu. Compare ensuite ta réponse et, surtout, ta justification avec celle proposée.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Angles : exercices de maths en 5ème corrigés en PDF. (14 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur les angles en 5ème

Exercice 1 : Angles complémentaires et supplémentaires

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

1. Deux angles complémentaires ont une somme de 90° :

\[ \widehat{B} = 90^\circ – 54^\circ = 36^\circ \]

2. Deux angles supplémentaires ont une somme de 180° :

\[ \widehat{D} = 180^\circ – 84^\circ = 96^\circ \]

Réponse : \(\widehat{B} = 36^\circ\) et \(\widehat{D} = 96^\circ\).

Exercice 2 : Les angles adjacents

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté commun, et s’ils sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Cas	Réponse	Justification
a. \(\widehat{rTs}\) et \(\widehat{sTu}\)	oui	même sommet T, côté commun [Ts), un angle de chaque côté.
b. \(\widehat{AEB}\) et \(\widehat{BDC}\)	non	les sommets sont différents (E et D).
c. \(\widehat{xGu}\) et \(\widehat{tGx}\)	oui	même sommet G, côté commun [Gx), l’un est du côté de u, l’autre du côté de t.
d. \(\widehat{vUx}\) et \(\widehat{wUv}\)	non	côté commun [Uv), mais [Uw) est à l’intérieur de \(\widehat{vUx}\) : l’angle \(\widehat{wUv}\) est contenu dans \(\widehat{vUx}\), ils ne sont pas de part et d’autre.

Réponse : a. oui ; b. non ; c. oui ; d. non.

Exercice 3 : Les angles opposés par le sommet

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre (formés par deux droites sécantes).

a. Les points w, G, H, r sont alignés, mais [Gy) et [Gs) ne sont pas dans le prolongement l’une de l’autre : y, G et s ne sont pas alignés (la ligne change de direction en G). Réponse : non.

b. En H se coupent les droites (wr) et (xt). [Hr) et [Hw) sont opposées, [Hx) et [Ht) aussi : \(\widehat{rHx}\) et \(\widehat{tHw}\) sont opposés par le sommet. Réponse : oui.

c. [HG) est la même demi-droite que [Hw). \(\widehat{rHt}\) et \(\widehat{xHG}\) ont des côtés deux à deux opposés : réponse oui.

En pointillés, le prolongement de [Gy) : il ne se confond pas avec [Gs). En H : paire b) en bleu, paire c) en rouge.

Réponse : a. non ; b. oui ; c. oui.

Exercice 4 : Préciser la nature d'un angle

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

a. Deux angles de 45° : \(45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\), ils sont complémentaires ; sommets différents, donc non adjacents.
b. \(\widehat{zAy}\) et \(\widehat{yAx}\) : même sommet A, côté commun [Ay), et z, A, x alignés : adjacents et supplémentaires.
c. \(\widehat{fKe}\) et \(\widehat{eKg}\) : adjacents, et ensemble ils forment l’angle droit \(\widehat{fKg}\) : complémentaires.
d. \(\widehat{pSm}\) et \(\widehat{mSn}\) : adjacents, et \(\widehat{pSn} = 90^\circ\) : complémentaires.
e. Deux angles droits : \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), supplémentaires ; sommets différents, non adjacents.
f. \(\widehat{rSt}\) et \(\widehat{tSu}\) : adjacents ; r, S, u ne sont pas alignés et l’angle \(\widehat{rSu}\) n’est pas droit : ni complémentaires ni supplémentaires.

	a.	b.	c.	d.	e.	f.
Angles adjacents		X	X	X		X
Angles complémentaires	X		X	X
Angles supplémentaires		X			X

Réponse : a. complémentaires ; b. adjacents et supplémentaires ; c. et d. adjacents et complémentaires ; e. supplémentaires ; f. adjacents seulement.

Exercice 5 : Angles complémentaires ou supplémentaires

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

a. \(\hat{a} + \hat{b} = 90^\circ\).

\(\hat{a} = 57^\circ\) donc \(\hat{b} = 90^\circ – 57^\circ = \mathbf{33^\circ}\).
\(\hat{a} = 24^\circ\) donc \(\hat{b} = 90^\circ – 24^\circ = \mathbf{66^\circ}\).
\(\hat{a} = 2\hat{b}\) donc \(2\hat{b} + \hat{b} = 3\hat{b} = 90^\circ\) et \(\hat{b} = 90^\circ \div 3 = \mathbf{30^\circ}\) (et \(\hat{a} = 60^\circ\)).

b. \(\hat{a} + \hat{b} = 180^\circ\).

\(\hat{a} = 127^\circ\) donc \(\hat{b} = 180^\circ – 127^\circ = \mathbf{53^\circ}\).
\(\hat{a} = 86^\circ\) donc \(\hat{b} = 180^\circ – 86^\circ = \mathbf{94^\circ}\).
\(\hat{a} = 3\hat{b}\) donc \(4\hat{b} = 180^\circ\) et \(\hat{b} = 180^\circ \div 4 = \mathbf{45^\circ}\) (et \(\hat{a} = 135^\circ\)).

Réponse : a. 33° ; 66° ; 30°. b. 53° ; 94° ; 45°.

Exercice 6 : Retrouver la position des points

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

La figure contient la droite (AB), la droite (AC), la parallèle à (AC) passant par B, et la parallèle à (BC) passant par A. Les cinq croix sont les points à nommer.

\(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ABD}\) alternes-internes (sécante (AB)) : D est sur la parallèle à (AC) passant par B, de l’autre côté de (AB) par rapport à C, donc la croix en bas à gauche de B.
\(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{BAE}\) supplémentaires : ils sont adjacents et C, A, E sont alignés, donc E est sur (AC), au-delà de A (croix en bas à gauche de A).
\(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{EAF}\) opposés par le sommet : [AF) prolonge [AB), donc F est sur (AB), à gauche de A.
\(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{FAG}\) correspondants (sécante (AB)) : G est sur la parallèle à (BC) passant par A, du même côté que C, donc la croix en haut à gauche de A.
\(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{CBH}\) alternes-internes (sécante (BC)) : H est sur la parallèle à (AC) passant par B, en haut à droite de B.

Les points retrouvés en bleu ; en rouge, la paire d’angles alternes-internes BAC et ABD.

Réponse : D et H sur la parallèle à (AC) passant par B (D en bas, H en haut) ; E sur (AC) au-delà de A ; F sur (AB) à gauche de A ; G sur la parallèle à (BC) passant par A.

Exercice 7 : Angles correspondants et angles alternes-internes

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

La sécante (KC) coupe (EG) en F et (AD) en S ; la sécante (BR) coupe (EG) en U et (AD) en O.

a. Des angles correspondants sont du même côté de la sécante, l’un « au-dessus » d’une droite, l’autre « au-dessus » de l’autre droite (même position). Par exemple :

\(\widehat{GFC}\) et \(\widehat{ASC}\) ;
\(\widehat{KFE}\) et \(\widehat{KSD}\).

Deux paires d’angles correspondants pour la sécante (KC).

(On pouvait aussi citer \(\widehat{GFK}\) et \(\widehat{ASK}\), ou \(\widehat{EFC}\) et \(\widehat{DSC}\).)

b. Des angles alternes-internes sont de part et d’autre de la sécante et entre les deux droites (EG) et (AD). Par exemple :

\(\widehat{GUO}\) et \(\widehat{UOD}\) ;
\(\widehat{EUO}\) et \(\widehat{UOA}\).

Deux paires d’angles alternes-internes pour la sécante (BR).

Réponse : correspondants GFC et ASC, KFE et KSD ; alternes-internes GUO et UOD, EUO et UOA.

Exercice 8 : Calculer mentalement la mesure d'un angle

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

On utilise trois propriétés : deux angles adjacents sur une droite sont supplémentaires ; deux angles opposés par le sommet sont égaux ; avec des droites parallèles, les angles correspondants et alternes-internes sont égaux. Aux deux intersections, on retrouve donc les mêmes mesures.

a. Angle donné : 55°. Son supplémentaire : \(180^\circ – 55^\circ = 125^\circ\).

Cas a : angles aigus 55° (rouge), angles obtus 125° (bleu).

b. Angle donné : 119°. Son supplémentaire : \(180^\circ – 119^\circ = 61^\circ\).

Cas b : angles obtus 119° (bleu), angles aigus 61° (rouge).

Réponse : a. les angles aigus mesurent 55° et les obtus 125° ; b. les obtus mesurent 119° et les aigus 61°.

Exercice 9 : Donner la mesure d'un angle

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

En P : \(\widehat{BPE} = 34^\circ\) et \(\widehat{FPE} = 90^\circ\) (angle droit codé).

\(\hat{b} = \widehat{APF} = 180^\circ – 90^\circ – 34^\circ = \mathbf{56^\circ}\) (A, P, B alignés).
\(\hat{a}\) et \(\hat{b}\) sont opposés par le sommet : \(\hat{a} = \mathbf{56^\circ}\).
\(\hat{c}\) et l’angle de 34° sont opposés par le sommet : \(\hat{c} = \mathbf{34^\circ}\).
(AB) // (CD) : \(\hat{d} = \widehat{PFE}\) et \(\hat{b}\) sont alternes-internes (sécante (PF)), donc \(\hat{d} = \mathbf{56^\circ}\).
\(\hat{e}\) et \(\hat{d}\) sont supplémentaires (T, F, P alignés) : \(\hat{e} = 180^\circ – 56^\circ = \mathbf{124^\circ}\).
\(\hat{f} = \widehat{PEF}\) et l’angle de 34° sont alternes-internes (sécante (PE)) : \(\hat{f} = \mathbf{34^\circ}\).
\(\hat{g}\) et \(\hat{f}\) sont supplémentaires (P, E, R alignés) : \(\hat{g} = 180^\circ – 34^\circ = \mathbf{146^\circ}\).

Vérification dans le triangle PFE : \(90^\circ + 56^\circ + 34^\circ = 180^\circ\).

Toutes les mesures se déduisent de 34° et de l’angle droit en P.

Réponse : \(\hat{a} = 56^\circ\), \(\hat{b} = 56^\circ\), \(\hat{c} = 34^\circ\), \(\hat{d} = 56^\circ\), \(\hat{e} = 124^\circ\), \(\hat{f} = 34^\circ\), \(\hat{g} = 146^\circ\).

Exercice 10 : Démontrer que les angles ont la même mesure

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

Démonstration.

Les droites (d₁) et (d₂) sont coupées par la sécante (d₃) en A et en B.
Les angles \(\widehat{XAB}\) et \(\widehat{NBA}\) sont situés de part et d’autre de la sécante (d₃) et entre les droites (d₁) et (d₂) : ils sont alternes-internes.
Or, si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment ont la même mesure.
Comme (d₁) // (d₂), on en déduit que \(\widehat{XAB} = \widehat{NBA}\).

XAB et NBA : alternes-internes, donc de même mesure car (d₁) // (d₂).

Réponse : \(\widehat{XAB}\) et \(\widehat{NBA}\) sont alternes-internes et (d₁) // (d₂), donc ils ont la même mesure.

La méthode à retenir sur les angles

Pour lire un angle comme \(\widehat{xGu}\), la lettre du milieu est le sommet, les deux autres donnent les côtés.
Complémentaires : somme 90° ; supplémentaires : somme 180°. On calcule le second par soustraction.
Opposés par le sommet : les côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre ; ils ont toujours la même mesure.
Avec une sécante : alternes-internes = de part et d’autre de la sécante, entre les deux droites ; correspondants = du même côté, même position.
Si les deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes et les angles correspondants sont égaux : on rédige « Or… donc… ».

Les erreurs fréquentes

Croire que deux demi-droites presque alignées forment une droite : dans l’exercice 3 a., y, G et s ne sont pas alignés.
Oublier la condition « de part et d’autre du côté commun » pour des angles adjacents (cas d. de l’exercice 2).
Penser que des angles complémentaires doivent être adjacents : deux angles de 45° éloignés sont complémentaires.
Utiliser l’égalité des angles alternes-internes sans avoir vérifié que les droites sont parallèles.
Confondre le supplémentaire (180° −) et le complémentaire (90° −) d’un angle.

Les exercices 11 à 14 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Des angles alternes-internes ont-ils toujours la même mesure ?

Non. Ils ont la même mesure seulement si les deux droites coupées par la sécante sont parallèles. Dans l’exercice 7, (EG) et (AD) ne sont pas forcément parallèles : on peut nommer les angles, mais pas affirmer qu’ils sont égaux.

Comment reconnaître vite des angles correspondants ?

On imagine qu’on fait glisser une des deux droites le long de la sécante jusqu’à la superposer à l’autre. Deux angles correspondants viennent alors se placer l’un sur l’autre. Ils sont du même côté de la sécante et dans la même position par rapport à chaque droite.

Comment rédiger une démonstration sur les angles en 5ème ?

On écrit en trois temps : ce que l’on sait (les données), la propriété du cours utilisée, introduite par « Or », puis la conclusion introduite par « donc ». Il faut nommer précisément les angles, les droites et la sécante concernées.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Angles : exercices de maths en 5ème corrigés en PDF.
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Autre corrigé : Les volumes en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
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