Corrigé des 56 exercices sur les nombres relatifs en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

D’abord, voici la démarche.

Situation 1. Pour soustraire, on ajoute l’opposé.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} A &= (+17) + (-4) = \mathbf{+13} \\ B &= (-6) + (-5) = \mathbf{-11} \\ C &= (-7) + (+3) + (-2) = (-4) + (-2) = \mathbf{-6} \\ D &= (+4) + (-3) + (+2) + (-1) = (+6) + (-4) = \mathbf{+2} \\ E &= (-7) + (-10) + (+5) + (-1) + (+2) = (-18) + (+7) = \mathbf{-11} \\ F &= (+7) – (-5) = (+7) + (+5) = \mathbf{+12} \\ G &= (+12{,}3) – (+5{,}6) = (+12{,}3) + (-5{,}6) = \mathbf{+6{,}7} \\ H &= (+35{,}3) – (-4{,}5) = (+35{,}3) + (+4{,}5) = \mathbf{+39{,}8} \\ I &= (-13) – (+55) = (-13) + (-55) = \mathbf{-68} \\ J &= (-25) – (-47) = (-25) + (+47) = \mathbf{+22} \end{aligned} \]

Situation 2.

Fin de la correction

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} A &= (+27) – (+53) – (-2{,}9) – (+13{,}7) = 27 – 53 + 2{,}9 – 13{,}7 = 29{,}9 – 66{,}7 = \mathbf{-36{,}8} \\ B &= (-25) – (-47) – (-17{,}7) – (+3{,}4) = -25 + 47 + 17{,}7 – 3{,}4 = 64{,}7 – 28{,}4 = \mathbf{+36{,}3} \\ C &= (-13) – (+55) + 17 – 32 + 56 – 32 + 12{,}87 = (17 + 56 + 12{,}87) – (13 + 55 + 32 + 32) = 85{,}87 – 132 = \mathbf{-46{,}13} \\ D &= (-26) + (+75) – (+6) + (-27) – (-48) = -26 + 75 – 6 – 27 + 48 = 123 – 59 = \mathbf{+64} \end{aligned} \]

Situation 3. On supprime les parenthèses puis on regroupe les termes qui « vont bien ensemble » :

Suite de la correction

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} A &= 503 + 343{,}8 + 415{,}5 – 743{,}8 – 203 – 84{,}5 \\ &= (503 – 203) + (343{,}8 – 743{,}8) + (415{,}5 – 84{,}5) \\ &= 300 + (-400) + 331 \\ &= \mathbf{231} \end{aligned} \]

Situation 4. On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses, en respectant les priorités.

On a donc :

\[ \begin{aligned} A &= (-5) + (3 – 2 \times 4 – 6) – (-12) = (-5) + (3 – 8 – 6) + 12 = -5 – 11 + 12 = \mathbf{-4} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (+7{,}4) – [2 + (3 – 4 \times 2{,}6)] + (-7) + (-11) \\ &= 7{,}4 – [2 + (3 – 10{,}4)] – 7 – 11 \\ &= 7{,}4 – [2 – 7{,}4] – 18 \\ &= 7{,}4 + 5{,}4 – 18 = \mathbf{-5{,}2} \end{aligned} \]

Situation 5. Ramsès II meurt en \( -1\,304 + 67 = -1\,237 \). Ramsès III meurt en \( -1\,134 \) (sa durée de vie n’est pas utile ici). L’écart entre les deux décès est :

\[ (-1\,134) – (-1\,237) = -1\,134 + 1\,237 = 103 \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

Axes gradués. On repère d’abord la valeur d’une graduation grâce aux deux nombres écrits (0 et +1, 0 et +5, 0 et +100), puis on compte les graduations.

• Axe 1 : entre 0 et +1 il y a deux intervalles, une graduation vaut 0,5. B(−4) ; H(−3,5) ; F(−3) ; C(−2) ; D(0) ; A(+2) ; E(+3) ; G(+3,5).
• Axe 2 : une graduation vaut 5. F(−20) ; A(−15) ; B(−10) ; G(−5) ; H(0) ; C(+10) ; D(+15) ; E(+20).
• Axe 3 : une graduation entière vaut 100 et certains points sont au milieu (50). A(−400) ; C(−250) ; H(−150) ; F(0) ; E(+100) ; G(+250) ; B(+300) ; D(+400).

Suite du calcul

Axe gradué (bis). Les nombres vont de −4 000 à +3 500 : on choisit une graduation de 500 (par exemple 1 cm pour 500).

Rangement. Les négatifs sont plus petits que 0, et parmi eux le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro : \( -5{,}8 \lt -5{,}35 \) car \( 5{,}8 \gt 5{,}35 \).

\[ -5{,}8 \lt -5{,}35 \lt -3{,}7 \lt 0 \lt +6{,}28 \lt +6{,}4 \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

On regroupe les nombres positifs d’un côté, les négatifs de l’autre.

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} A &= (-8) + (+9) + (+4) + (-6) = [(+9) + (+4)] + [(-8) + (-6)] = (+13) + (-14) = \mathbf{-1} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-25) + (-75) + (+37) + (+13) = (-100) + (+50) = \mathbf{-50} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= (-6{,}4) + (+1{,}2) + (-12{,}3) + (-8) = (-26{,}7) + (+1{,}2) = \mathbf{-25{,}5} \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

1) Le premier nombre est l’abscisse (lue sur l’axe horizontal), le second l’ordonnée (axe vertical). Par exemple, pour placer P(5 ; −3), on avance de 5 vers la droite puis on descend de 3.

2) On relie dans l’ordre R → B → P → S → E → R → H → M → Z.

3) La ligne R-B-P-S-E-R forme la coque (un trapèze), le segment [RH] le mât, et le triangle H-M-Z la voile.

D’abord, voici la démarche.

\[ \begin{aligned} A &= (-6) + (+7) + (+10) + (-11) = (+17) + (-17) = \mathbf{0} \\ B &= (-2) + (-7) + (+9) = (-9) + (+9) = \mathbf{0} \\ C &= (-3) + (-7) + (+3{,}5) + (+8) + (-1) = (-11) + (+11{,}5) = \mathbf{+0{,}5} \end{aligned} \]

Pour D et E, on transforme d’abord les soustractions en additions de l’opposé :

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} D &= (-4) + (+9) – (-2) = (-4) + (+9) + (+2) = \mathbf{+7} \\ E &= (+8) – (-5) – (+12) + (-2) = (+8) + (+5) + (-12) + (-2) = (+13) + (-14) = \mathbf{-1} \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

On écrit chaque expression comme une somme simplifiée, puis on regroupe.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} A &= -27 + 12 – (-4) + (-55) + 5 = -27 + 12 + 4 – 55 + 5 = 21 – 82 = \mathbf{-61} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= 10{,}2 + (-33) – (+4{,}7) + 8{,}9 + (-7{,}8) – (-10{,}5) \\ &= 10{,}2 – 33 – 4{,}7 + 8{,}9 – 7{,}8 + 10{,}5 \\ &= 29{,}6 – 45{,}5 = \mathbf{-15{,}9} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= -101 + 23{,}7 + (-42{,}8) + (-32{,}9) + 74{,}2 = 97{,}9 – 176{,}7 = \mathbf{-78{,}8} \end{aligned} \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

On calcule en partant des parenthèses les plus intérieures.

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} A &= (5 – 7) + (-9) = (-2) + (-9) = \mathbf{-11} \\ B &= [(-4) + (5 – 3)] – (7 + 8) = [(-4) + 2] – 15 = (-2) – 15 = \mathbf{-17} \\ C &= [(8 – 9) – 3] – (8 + 4) = [(-1) – 3] – 12 = (-4) – 12 = \mathbf{-16} \\ D &= [(1 – 3) + 7 – 2] + (7 – 8) = [(-2) + 7 – 2] + (-1) = 3 + (-1) = \mathbf{2} \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

1. Plusieurs réponses sont possibles ; en voici une par ligne (tout entier qui convient est accepté) :

\[ -5 \lt -4 \qquad -14 \gt -15 \qquad -3 \lt 0 \qquad 0 \gt -1 \qquad 4 \gt 3 \qquad -12 \gt -13 \]

2. Ordre décroissant (du plus grand au plus petit). Parmi les négatifs, \( -25{,}4 \lt -25 \) car 25,4 est plus éloigné de zéro.

\[ 16{,}4 \gt +5{,}2 \gt 4{,}2 \gt 0 \gt -4{,}2 \gt -25 \gt -25{,}4 \]

3. On cherche les entiers relatifs \( a \) tels que \( -2{,}9 \lt a \lt 2{,}1 \). Sur la droite graduée, ce sont les entiers situés entre les deux bornes.

D’abord, voici la démarche.

\[ \begin{aligned} A &= -7 + 9 + (+4) + (-2) + (-9) \\ &= -7 + 9 + 4 – 2 – 9 \\ &= (9 + 4) – (7 + 2 + 9) \\ &= 13 – 18 = \mathbf{-5} \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

\[ \begin{aligned} A &= (-5) – (+7) – (-3) + (+11) = -5 – 7 + 3 + 11 = 14 – 12 = \mathbf{2} \\ B &= (-2) + (-1) – (+4) + (-3) – (-8) = -2 – 1 – 4 – 3 + 8 = 8 – 10 = \mathbf{-2} \\ C &= (-28) – (-32) + (-25) + (+28) + (-32) = -28 + 32 – 25 + 28 – 32 = \mathbf{-25} \\ D &= (-25) – (-36) + (+12) – (+13) – (-10) = -25 + 36 + 12 – 13 + 10 = 58 – 38 = \mathbf{20} \end{aligned} \]

Pour C, on peut remarquer que \( -28 + 28 = 0 \) et \( 32 – 32 = 0 \) : il ne reste que \( -25 \).

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} E &= 15 + 7 – 12 + 18 = 40 – 12 = \mathbf{28} \\ F &= -9 + 3 – 4 + 7 = 10 – 13 = \mathbf{-3} \\ G &= 18 + 12 – 9 + 11 – 15 + 10 = 51 – 24 = \mathbf{27} \end{aligned} \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses, puis on termine le calcul de gauche à droite en remplaçant chaque soustraction par l’addition de l’opposé.

On a donc :

\[ \begin{aligned} A &= 19 + (8 – 25) \\ &= 19 + (-17) \\ &= \mathbf{2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-15 + 6) – (23 – 18) \\ &= (-9) – (+5) \\ &= (-9) + (-5) \\ &= \mathbf{-14} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= (154 – 6) + 3 – (-9 + 7) \\ &= 148 + 3 – (-2) \\ &= 151 + 2 \\ &= \mathbf{153} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= -13 + (5 + 8) – (-4 + 8) \\ &= -13 + 13 – (+4) \\ &= 0 – 4 \\ &= \mathbf{-4} \end{aligned} \]

Dans C, attention : on retire \( -2 \), ce qui revient à ajouter 2.

D’abord, décomposons le calcul.

La liste contient : \( -2 \) ; \( 3{,}5 \) ; \( -4{,}7 \) ; \( -12 \) ; \( 7{,}2 \).

• a. Un nombre positif est supérieur ou égal à 0 (il s’écrit sans signe « − ») : 3,5 et 7,2.
• b. Un nombre négatif est inférieur ou égal à 0 (il s’écrit avec le signe « − ») : −2 ; −4,7 et −12.
• c. Parmi les négatifs, les entiers sont ceux qui n’ont pas de partie décimale : −2 et −12 (−4,7 est un nombre décimal, pas un entier).
• d. Un nombre relatif est un nombre positif ou négatif : tous les nombres de la liste sont des relatifs.

D’abord, voici la démarche.

Sur chaque droite, on cherche d’abord la valeur d’un carreau à partir des deux nombres écrits en rouge, puis on compte les carreaux depuis un repère connu.

• Droite 1 : de 0 à 1 il y a 2 carreaux, donc un carreau vaut 0,5. E est 5 carreaux à gauche de 0 : \( 5 \times 0{,}5 = 2{,}5 \), donc E(−2,5). De même E(−2,5) ; C(−1) ; B(0,5) ; A(2) ; D(2,5).
• Droite 2 : de −2 à −1 il y a 10 carreaux, donc un carreau vaut 0,1. E est 1 carreau à gauche de −2 : E(−2,1). D est 2 carreaux à droite de −2 : D(−1,8). On obtient E(−2,1) ; D(−1,8) ; A(−1,5) ; B(−1,3) ; C(−0,9).

Fin de la correction

• Droite 3 : de −1 à 0 il y a 4 carreaux, donc un carreau vaut 0,25. B est 4 carreaux à gauche de −1 : \( -1 – 1 = -2 \). On obtient B(−2) ; E(−1,75) ; A(−0,5) ; D(0,25) ; C(1).
• Droite 4 : de 0 à 1 il y a 4 carreaux, donc un carreau vaut encore 0,25. E est 8 carreaux à gauche de 0 : \( 8 \times 0{,}25 = 2 \), donc E(−2). On obtient E(−2) ; C(−1,25) ; B(−0,75) ; D(−0,25) ; A(0,5).

Tout d’abord, regardons la méthode.

Règles utiles : un positif est toujours plus grand qu’un négatif ; entre deux négatifs, le plus petit est le plus éloigné de zéro.

• a. Deux positifs : \( 35 \gt 6{,}15 \).
• b. Un positif et un négatif : \( 46 \gt -18 \).
• c. Deux négatifs : −8 est plus loin de zéro que −5, donc \( -5 \gt -8 \).
• d. \( -10 \lt 10 \) (un négatif est plus petit qu’un positif).
• e. Distances à zéro : 0,5 et 0,08 ; or \( 0{,}5 \gt 0{,}08 \), donc −0,5 est plus loin de zéro : \( -0{,}5 \lt -0{,}08 \).
• f. 40,2 et 40,20 sont le même nombre (un zéro à droite de la partie décimale ne change rien) : \( -40{,}2 = -40{,}20 \).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Pour deux décimaux négatifs, on compare d’abord leurs distances à zéro (on complète avec des zéros pour avoir autant de décimales), puis on inverse le sens.

• a. \( -80{,}3 \lt 8 \) : un négatif est plus petit qu’un positif.
• b. \( 6{,}5 \gt 6{,}4 \), donc \( -6{,}5 \lt -6{,}4 \).
• c. On compare 2,40 et 2,41 : \( 2{,}40 \lt 2{,}41 \), donc \( -2{,}4 \gt -2{,}41 \).
• d. On compare 9,04 et 9,40 : \( 9{,}04 \lt 9{,}40 \), donc \( -9{,}04 \gt -9{,}4 \).
• e. Deux positifs : 15,70 et 15,84, donc \( 15{,}7 \lt 15{,}84 \).
• f. \( 7 \gt -12{,}8 \) : un positif est plus grand qu’un négatif.

D’abord, décomposons le calcul.

a. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires : on change seulement le signe.

Cas particulier : 0 est son propre opposé.

b. On choisit une unité de 1 cm (ici un grand intervalle) et on place chaque nombre et son opposé : ils sont symétriques par rapport au point d’abscisse 0.

D’abord, voici la démarche.

Ordre décroissant = du plus grand au plus petit, donc ici de la date la plus récente à la plus ancienne.

• Les deux dates positives d’abord : \( 476 \gt 395 \).
• Puis les dates négatives, de la plus proche de zéro à la plus éloignée : \( -27 \gt -44 \gt -52 \gt -509 \gt -753 \).

\[ 476 \gt 395 \gt -27 \gt -44 \gt -52 \gt -509 \gt -753 \]

1. 476 : chute de l’Empire romain d’Occident
2. 395 : partage de l’Empire romain
3. −27 : Auguste devient empereur
4. −44 : assassinat de Jules César
5. −52 : victoire romaine à Alésia
6. −509 : fondation de la République
7. −753 : fondation de Rome

Tout d’abord, regardons la méthode.

Ordre croissant = du plus petit au plus grand. Puis on commence par les négatifs, du plus éloigné de zéro au plus proche : 272,2 > 222,8 > 101,5 > 39, donc −272,2 est le plus petit. Viennent ensuite 0 puis le seul positif, 1 534,9.

\[ -272{,}2 \lt -222{,}8 \lt -101{,}5 \lt -39 \lt 0 \lt 1\,534{,}9 \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

La graduation 1 est à 2 carreaux de O sur chaque axe : un carreau vaut donc 0,5. De plus, pour chaque point, on lit d’abord l’abscisse (en descendant ou en montant jusqu’à l’axe horizontal), puis l’ordonnée (en allant horizontalement jusqu’à l’axe vertical).

• A : 6 carreaux à droite, 3 carreaux en haut : \( 6 \times 0{,}5 = 3 \) et \( 3 \times 0{,}5 = 1{,}5 \), donc A(3 ; 1,5).
• B : 6 carreaux à gauche, 2 en haut : B(−3 ; 1).
• C : 2 carreaux à droite, 4 en bas : C(1 ; −2).
• D : sur l’axe vertical, 4 carreaux en haut : D(0 ; 2).
• E : 3 carreaux à gauche, 3 en bas : E(−1,5 ; −1,5).

D’abord, décomposons le calcul.

Sur la carte, la graduation 1 se trouve à 2 carreaux de O : un carreau vaut 0,5. Ensuite, on lit chaque point d’arrêt en commençant par l’abscisse.

• Pointe de la Galère : 5 carreaux à droite et 5 en haut : (2,5 ; 2,5).
• Le Port : 4 carreaux à gauche et 1 en haut : (−2 ; 0,5).
• Baie de Port Man : 6 carreaux à droite et 1 en haut : (3 ; 0,5).
• Pointe du Nertassier : 6 carreaux à droite et 2 en bas : (3 ; −1).
• Pointe du Cognet : 7 carreaux à gauche et 5 en bas : (−3,5 ; −2,5).

D’abord, voici la démarche.

Idée. Louane est à 30 km de l’antenne A : elle se trouve donc sur le cercle de centre A et de rayon 30 km. De même, elle est sur le cercle de centre B de rayon 40 km, sur celui de centre C de rayon 50 km et sur celui de centre D de rayon 130 km. Sa position est le point commun à ces quatre cercles : c’est le principe du « croisement » des antennes.

Construction. On trace un repère où 1 carreau (ou 1 cm) représente 10 km. Par ailleurs, les antennes sont alors en A(3 ; 5), B(7 ; 2), C(0 ; −2) et D(8 ; 14) en carreaux, et les rayons valent 3, 4, 5 et 13 carreaux. Au compas :

• les cercles de A et de B se coupent en deux points : l’un en (30 ; 20), l’autre vers (59 ; 58) ;
• le cercle de C (rayon 50 km) ne passe que par le premier : c’est donc lui ; le cercle de D le confirme.

Suite de l’exercice

Vérification. Le point L(30 ; 20) a la même abscisse que A(30 ; 50) : AL = 50 − 20 = 30 km. Puis il a la même ordonnée que B(70 ; 20) : BL = 70 − 30 = 40 km. Ensuite, pour C, on se déplace de 30 km vers la droite et de 40 km vers le haut, comme dans un triangle rectangle de côtés 30 et 40, dont le troisième côté mesure 50 km (on retrouve les dimensions 3, 4, 5) : CL = 50 km. Puis pour D, on se déplace de 50 km et de 120 km, ce qui donne bien 130 km sur la figure.

Tout d’abord, regardons la méthode.

Pour additionner deux relatifs : même signe, on ajoute les distances à zéro et on garde le signe ; signes contraires, on soustrait les distances à zéro et on prend le signe de celui qui est le plus éloigné de zéro.

• a. Signes contraires : \( 18 – 6{,}7 = 11{,}3 \), 18 l’emporte : \( 18 + (-6{,}7) = \mathbf{11{,}3} \).
• b. Deux négatifs : \( 51{,}6 + 19{,}3 = 70{,}9 \), donc \( -51{,}6 + (-19{,}3) = \mathbf{-70{,}9} \).
• c. Signes contraires : \( 14{,}8 – 7{,}4 = 7{,}4 \), −14,8 l’emporte : \( -14{,}8 + 7{,}4 = \mathbf{-7{,}4} \).
• d. Signes contraires : \( 48{,}75 – 36{,}25 = 12{,}5 \), −48,75 l’emporte : \( 36{,}25 + (-48{,}75) = \mathbf{-12{,}5} \).
• e. Deux négatifs : \( 21 + 78 = 99 \), donc \( -21 + (-78) = \mathbf{-99} \).
• f. Ce sont deux opposés, leur somme est nulle : \( -6{,}75 + 6{,}75 = \mathbf{0} \).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Chaque brique est la somme des deux briques situées juste en dessous. De plus, on remplit la pyramide étage par étage, du bas vers le haut.

a.

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} 15 + (-7) &= 8 \\ (-7) + (-12) &= -19 \\ 8 + (-19) &= -11 \end{aligned} \]

b.

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} (-3{,}6) + (-5{,}2) &= -8{,}8 \\ (-5{,}2) + 10 &= 4{,}8 \\ 10 + (-1{,}5) &= 8{,}5 \\ (-8{,}8) + 4{,}8 &= -4 \\ 4{,}8 + 8{,}5 &= 13{,}3 \\ (-4) + 13{,}3 &= 9{,}3 \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

Dans une somme de plusieurs relatifs, on regroupe les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} A &= 9 + (-16) + (-8) + 22 \\ &= (9 + 22) + (-16 – 8) \\ &= 31 + (-24) \\ &= \mathbf{7} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= -48 + 34 + 26 + (-12) \\ &= (34 + 26) + (-48 – 12) \\ &= 60 + (-60) \\ &= \mathbf{0} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= -7{,}5 + 12{,}3 + (-2{,}5) + (-5) + 12{,}7 \\ &= (12{,}3 + 12{,}7) + (-7{,}5 – 2{,}5 – 5) \\ &= 25 + (-15) \\ &= \mathbf{10} \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

On commence par transformer chaque soustraction en addition de l’opposé, puis on regroupe les termes positifs et négatifs.

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} D &= -35 – (-8) + 14 – 26 \\ &= -35 + 8 + 14 – 26 \\ &= (8 + 14) – (35 + 26) \\ &= 22 – 61 \\ &= \mathbf{-39} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E &= 54 – 17 – (-11{,}5) – 6 + 4 \\ &= 54 – 17 + 11{,}5 – 6 + 4 \\ &= (54 + 11{,}5 + 4) – (17 + 6) \\ &= 69{,}5 – 23 \\ &= \mathbf{46{,}5} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F &= -18 + (-17) – (-16) + 15 – (-14) \\ &= -18 – 17 + 16 + 15 + 14 \\ &= (16 + 15 + 14) – (18 + 17) \\ &= 45 – 35 \\ &= \mathbf{10} \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

G. On repère deux nombres opposés : 2,5 et −2,5. Leur somme vaut 0, on peut donc les faire disparaître. Ensuite, il reste les entiers, que l’on regroupe.

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} G &= -7 + 2{,}5 + (-12) + (-2{,}5) + 6 \\ &= \underbrace{2{,}5 + (-2{,}5)}_{0} + (-7) + (-12) + 6 \\ &= (-19) + 6 \\ &= \mathbf{-13} \end{aligned} \]

H. On regroupe les deux négatifs, car leurs parties décimales se complètent : \( 6{,}4 + 21{,}6 = 28 \), un nombre entier. Par ailleurs, on regroupe aussi les deux positifs.

On a donc :

\[ \begin{aligned} H &= 28 + (-6{,}4) + 33 + (-21{,}6) \\ &= (28 + 33) + \big((-6{,}4) + (-21{,}6)\big) \\ &= 61 + (-28) \\ &= \mathbf{33} \end{aligned} \]

Autre astuce possible pour H : \( 28 + (-28) = 0 \) avec les deux négatifs, il reste alors simplement 33.

Avant tout, voici la correction détaillée.

On lit sur le graphique l’altitude de départ, 350 m, puis les dénivelés successifs : une montée se traduit par un nombre positif, une descente par un nombre négatif.

a. L’altitude à l’arrivée s’obtient en ajoutant à l’altitude de départ tous les dénivelés, dans l’ordre du parcours :

\[ 350 + (+300) + (-400) + (+50) + (-70) + (+100) + (-55) + (+315) \]

b. On regroupe les nombres positifs d’un côté et les nombres négatifs de l’autre :

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} &= (350 + 300 + 50 + 100 + 315) + [(-400) + (-70) + (-55)] \\ &= (+1\,115) + (-525) \\ &= \mathbf{590} \end{aligned} \]

Lilian arrivera donc à une altitude de 590 m, soit 240 m plus haut qu’au départ.

D’abord, décomposons le calcul.

Dans une suite d’additions, on peut changer l’ordre des termes : on regroupe ceux qui vont bien ensemble.

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} A &= 25 + (-8) + (-14) + 7 \\ &= (25 + 7) + [(-8) + (-14)] \\ &= 32 + (-22) \\ &= \mathbf{10} \end{aligned} \]

Pour B, on repère les nombres décimaux qui se complètent : \( 17{,}6 + 2{,}4 = 20 \) et \( (-9{,}5) + (-3{,}5) = -13 \).

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} B &= -9{,}5 + (-20) + 17{,}6 + (-3{,}5) + 2{,}4 \\ &= [(-9{,}5) + (-3{,}5)] + (-20) + (17{,}6 + 2{,}4) \\ &= (-13) + (-20) + 20 \\ &= \mathbf{-13} \end{aligned} \]

Ici, \( (-20) \) et \( 20 \) sont opposés : leur somme est nulle, il reste \( -13 \).

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} C &= -75 + 42 + 16 + (-23) \\ &= [(-75) + (-23)] + (42 + 16) \\ &= (-98) + 58 \\ &= \mathbf{-40} \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

\[ \begin{aligned} D &= -36 + 14 + (-7) + (-9) + 28 \\ &= (14 + 28) + [(-36) + (-7) + (-9)] \\ &= 42 + (-52) \\ &= \mathbf{-10} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E &= 75 + (-26) + (-84) + 12 \\ &= (75 + 12) + [(-26) + (-84)] \\ &= 87 + (-110) \\ &= \mathbf{-23} \end{aligned} \]

Pour F, on remarque que \( -4{,}6 \) et \( 4{,}6 \) sont opposés : leur somme vaut 0, il ne reste que les deux autres termes.

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} F &= -4{,}6 + (-8{,}3) + 6{,}5 + 4{,}6 \\ &= [(-4{,}6) + 4{,}6] + (-8{,}3) + 6{,}5 \\ &= 0 + (-1{,}8) \\ &= \mathbf{-1{,}8} \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

a. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : on transforme chacune des trois soustractions.

\[ G = 7 + (-11) + (+2) + (-5) + (-4) \]

b. On calcule de la gauche vers la droite :

On a donc :

\[ \begin{aligned} G &= 7 + (-11) + (+2) + (-5) + (-4) \\ &= (-4) + (+2) + (-5) + (-4) \\ &= (-2) + (-5) + (-4) \\ &= (-7) + (-4) \\ &= \mathbf{-11} \end{aligned} \]

Avant tout, voici la correction détaillée.

On commence par transformer chaque soustraction en addition de l’opposé, puis on regroupe positifs et négatifs.

Voici le détail :

\[ \begin{aligned} I &= 9 – (-14) + (-6) – 4 \\ &= 9 + 14 + (-6) + (-4) \\ &= 23 + (-10) \\ &= \mathbf{13} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} J &= -26 + 12 – 7 – (-15) + 8 \\ &= (-26) + 12 + (-7) + 15 + 8 \\ &= (12 + 15 + 8) + [(-26) + (-7)] \\ &= 35 + (-33) \\ &= \mathbf{2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} K &= -5 – (-32) + 21 + (-17) \\ &= (-5) + 32 + 21 + (-17) \\ &= 53 + (-22) \\ &= \mathbf{31} \end{aligned} \]

D’abord, décomposons le calcul.

a. \( H = -5 – (-2) + (-10) – 3 \).

• Soustraire \( (-2) \), c’est ajouter son opposé \( +2 \) : \( -\,(-2) \) devient \( +\,2 \).
• Ajouter \( (-10) \), c’est retrancher 10 : \( +\,(-10) \) s’écrit simplement \( -\,10 \).
• Le \( -\,3 \) final reste inchangé.

On obtient bien l’écriture simplifiée (sans parenthèses) : \( H = -5 + 2 – 10 – 3 \).

b. De la gauche vers la droite :

Le calcul donne :

\[ \begin{aligned} H &= -5 + 2 – 10 – 3 \\ &= -3 – 10 – 3 \\ &= -13 – 3 \\ &= \mathbf{-16} \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

La règle : soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Puis L’opposé de \( -4 \) est \( 4 \), l’opposé de \( 16 \) est \( -16 \).

• a. Soustraire \( -4 \) revient à ajouter 4.
• b. Soustraire \( 16 \) revient à ajouter −16.
• c. Soustraire \( -9 \) à \( 7 \) revient à ajouter 9 à 7 : \( 7 – (-9) = 7 + 9 = 16 \).
• d. Soustraire \( 8 \) à \( 3 \) revient à ajouter −8 à 3 : \( 3 – 8 = 3 + (-8) = -5 \).

Tout d’abord, regardons la méthode.

Règles : chaque case blanche contient la somme des deux cases qui la touchent du côté extérieur ; les colonnes bleues contiennent les entiers de \( -16 \) à \( 16 \) (sauf 0), chacun une seule fois ; la case centrale 0 est la somme des quatre cases qui l’entourent.

Étape 1 : partie gauche. On part des cases où il ne manque qu’un nombre.

• \( 12 = \ldots + 10 \), donc la case blanche du haut vaut \( 12 – 10 = 2 \), et la case bleue sous 16 vaut \( 2 – 16 = -14 \).
• \( 10 = \ldots + 4 \), donc la case bleue au-dessus de 4 vaut 6.
• \( -1 = -9 + \ldots \), donc la case bleue sous \( -9 \) vaut 8.
• \( -30 = \ldots + (-20) \), donc la case blanche vaut \( -10 \), et la case bleue sous \( -13 \) vaut \( -10 – (-13) = 3 \).

Suite de l’exercice

• \( -20 = -16 + \ldots \), donc la case bleue sous \( -16 \) vaut −4.
• \( 11 = -2 + \ldots \), donc la case bleue sous \( -2 \) vaut 13.
• \( -7 = -30 + \ldots \), donc la case blanche du bas de la 3e colonne vaut 23 ; comme \( 23 = 11 + \ldots \), la case au-dessus de 5 dans la 2e colonne vaut 12, et la case bleue au-dessus de 5 vaut \( 12 – 5 = 7 \).

Étape 2 : partie droite.

• \( -8 = \ldots + 3 \), donc la case blanche du haut vaut \( -11 \), et la case bleue au-dessus de \( -5 \) vaut \( -11 – (-5) = -6 \).
• \( 3 = \ldots + (-11) \), donc la case bleue au-dessus de \( -11 \) vaut 14.
• \( -9 = -1 + \ldots \), donc la case bleue sous \( -1 \) vaut −8.

Reste du calcul

• \( -23 = -8 + \ldots \), donc la case blanche sous \( -8 \) vaut \( -15 \) ; comme \( -15 = -9 + \ldots \), la case blanche suivante vaut \( -6 \), et la case bleue au-dessus de \( -15 \) vaut \( -6 – (-15) = 9 \).
• \( 8 = \ldots + 15 \), donc la case bleue au-dessus de 15 vaut −7.
• \( 2 = -10 + \ldots \), donc la case bleue sous \( -10 \) vaut 12.
• \( 0 = \ldots + 2 \), donc la case blanche au-dessus de 2 vaut \( -2 \), et la case bleue sous \( -12 \) vaut \( -2 – (-12) = 10 \).

Étape 3 : les deux dernières cases bleues. On a maintenant écrit 30 des 32 nombres. Ensuite, il manque 2 et −3, à placer dans la case bleue sous 11 (à gauche) et dans la case bleue au-dessus de 1 (à droite). Puis on vérifie la case centrale avec le choix « 2 à gauche, −3 à droite » :

Reste du calcul

• à gauche : \( 11 + 2 = 13 \), puis \( 13 + (-1) = 12 \), puis \( 12 + 12 = 24 \) ;
• à droite : \( -3 + 1 = -2 \), puis \( -2 + 8 = 6 \), puis \( 6 + 0 = 6 \) ;
• case centrale : \( 24 + (-7) + (-23) + 6 = 0 \). La grille est juste.

L’autre choix (\( -3 \) à gauche et \( 2 \) à droite) marche aussi : on obtient 8, 7 et 19 à gauche, 3, 11 et 11 à droite, et \( 19 + (-7) + (-23) + 11 = 0 \). C’est pour cela que l’énoncé annonce plusieurs solutions.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Trouver la règle de ▲. On compare avec l’addition habituelle : \( 2 + 3 = 5 \) mais 2 ▲ 3 = 4 ; \( 3 + 5 = 8 \) mais 3 ▲ 5 = 7 ; \( 3 + (-7) = -4 \) mais 3 ▲ (−7) = −5. À chaque fois, on trouve 1 de moins que la somme :

a ▲ b = a + b − 1 (vérification : \( -2 + (-4) – 1 = -7 \) et \( 8 + (-7) – 1 = 0 \)).

Trouver la règle de ◇. On compare avec la soustraction : \( 4 – (-2) = 6 \) mais 4 ◇ (−2) = 7 ; \( 1 – 1 = 0 \) mais 1 ◇ 1 = 1 ; \( 0 – 4 = -4 \) mais 0 ◇ 4 = −3. De plus, on trouve 1 de plus que la différence :

a ◇ b = a − b + 1 (vérification : \( 7 – (-2) + 1 = 10 \) et \( 2 – (-3) + 1 = 6 \)).

Suite de la correction

Décoder le message.

L’agent 007 a reçu le message : « À TREIZE HEURES ».

D’abord, décomposons le calcul.

Dans ce repère, un carreau vaut 1 unité sur chaque axe. Ensuite, pour chaque point, on lit d’abord l’abscisse (axe horizontal), puis l’ordonnée (axe vertical).

• A(5 ; 1) : 5 carreaux à droite de O, 1 carreau vers le haut.
• B(−4 ; 2) : 4 carreaux à gauche, 2 vers le haut.
• C(−5 ; −4) : 5 carreaux à gauche, 4 vers le bas.
• D(0 ; 3) : D est sur l’axe des ordonnées, donc son abscisse est 0.
• E(1 ; −2) : 1 carreau à droite, 2 vers le bas.
• F(−5 ; 0) : F est sur l’axe des abscisses, donc son ordonnée est 0.
• G(0 ; −3) : sur l’axe des ordonnées, 3 carreaux sous O.
• H(3 ; 0) : sur l’axe des abscisses, 3 carreaux à droite de O.

D’abord, voici la démarche.

a. Un carreau vaut 1 unité. Par ailleurs, pour placer un point, on part de O, on se déplace horizontalement de la valeur de l’abscisse (à droite si elle est positive, à gauche si elle est négative), puis verticalement de la valeur de l’ordonnée (vers le haut si positive, vers le bas si négative).

• A(−2 ; 1) : 2 à gauche, 1 en haut ; B(−4 ; 3) : 4 à gauche, 3 en haut ;
• C(5 ; −3) : 5 à droite, 3 en bas ; D(−5 ; 0) : sur l’axe des abscisses, 5 à gauche ;
• E(0 ; −2) : sur l’axe des ordonnées, 2 en bas ; F(6 ; 1) : 6 à droite, 1 en haut.

b. Le milieu T du segment [BF] a pour abscisse le nombre situé à mi-chemin entre −4 et 6, et pour ordonnée le nombre à mi-chemin entre 3 et 1. De −4 à 6, il y a 10 unités ; la moitié est 5, et \( -4 + 5 = 1 \). De 1 à 3, il y a 2 unités ; la moitié est 1, et \( 1 + 1 = 2 \).

On lit sur la figure : T(1 ; 2).

Tout d’abord, regardons la méthode.

Attention : ici, le repère est gradué de sorte que 1 unité = 2 carreaux (un carreau vaut 0,5). Puis le point M est 4 carreaux à gauche de O et 2 carreaux au-dessus : M(−2 ; 1).

a. Le symétrique par rapport à l’axe des abscisses garde la même abscisse et prend l’ordonnée opposée : A(−2 ; −1).

b. Le symétrique par rapport à l’axe des ordonnées garde la même ordonnée et prend l’abscisse opposée : B(2 ; 1).

c. A(−2 ; −1) et B(2 ; 1) : les abscisses −2 et 2 sont opposées, et les ordonnées −1 et 1 sont opposées. Ensuite, les coordonnées de A et de B sont deux à deux opposées.

d. Comme leurs coordonnées sont opposées, A et B sont symétriques par rapport à l’origine O : O est le milieu du segment [AB] (on le voit sur la figure, le segment [AB] passe par O).

e. Pour C(1,5 ; 2) : 1,5 unité, soit 3 carreaux, vers la droite, puis 2 unités, soit 4 carreaux, vers le haut.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : \( a – b = a + (\text{opposé de } b) \). Puis on ne change que le signe de l’opération et le signe du nombre soustrait.

Pour aller plus loin, les résultats : A = 22 ; B = −34 ; C = −23 ; D = 22,1 ; E = 13 ; F = −22,7 ; G = −1,3 ; H = 12,3 ; I = −0,5 ; J = 0.

D’abord, décomposons le calcul.

On transforme la soustraction en addition de l’opposé, puis on applique la règle de l’addition : mêmes signes, on ajoute les distances à zéro et on garde le signe ; signes contraires, on fait la différence des distances à zéro et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

Ainsi, on obtient :

\[ \begin{aligned} A &= (-12) – (+15) = (-12) + (-15) = \mathbf{(-27)} \\ B &= (-45) – (-41) = (-45) + (+41) = \mathbf{(-4)} \\ C &= (+32) – (+27) = (+32) + (-27) = \mathbf{(+5)} \\ D &= (-2{,}6) – (+2{,}7) = (-2{,}6) + (-2{,}7) = \mathbf{(-5{,}3)} \\ E &= (-1{,}4) – (-2{,}3) = (-1{,}4) + (+2{,}3) = \mathbf{(+0{,}9)} \\ F &= (-3{,}7) – (+5{,}7) = (-3{,}7) + (-5{,}7) = \mathbf{(-9{,}4)} \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

On regroupe les termes positifs et les termes négatifs, en profitant des sommes « rondes ».

On calcule alors :

\[ \begin{aligned} A &= (+12) + (-11) + (+25) + (-17) \\ &= [(+12) + (+25)] + [(-11) + (-17)] \\ &= (+37) + (-28) \\ &= \mathbf{(+9)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-2{,}1) + (-9) + (+6{,}4) + (-8{,}3) \\ &= [(-2{,}1) + (-9) + (-8{,}3)] + (+6{,}4) \\ &= (-19{,}4) + (+6{,}4) \\ &= \mathbf{(-13)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= (+14) + (-7) + (+2) + (-3{,}75) + (-5{,}25) \\ &= [(+14) + (+2)] + [(-7) + (-3{,}75) + (-5{,}25)] \\ &= (+16) + (-16) \\ &= \mathbf{0} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= (-31) + (+13) + (+8) + (-19) + (-17) + (+59) \\ &= [(+13) + (+8) + (+59)] + [(-31) + (-19) + (-17)] \\ &= (+80) + (-67) \\ &= \mathbf{(+13)} \end{aligned} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

Astuce de calcul mental : on pense à des gains (+) et des pertes (−). Par exemple \( 9 – 17 \) : on a 9, on perd 17 ; on perd donc 8 de plus que ce qu’on avait, d’où \( -8 \).

Avant tout, voici la correction détaillée.

Dans un repère, un point M a pour coordonnées \( (x \,;\, y) \) : l’abscisse \( x \) se lit sur l’axe horizontal, l’ordonnée \( y \) sur l’axe vertical. De plus, pour placer le point, on part de l’origine O, on se déplace horizontalement de \( x \) (vers la droite si \( x \) est positif, vers la gauche s’il est négatif), puis verticalement de \( y \) (vers le haut si \( y \) est positif, vers le bas s’il est négatif).

• a. A(4 ; 5) : 4 unités vers la droite, puis 5 vers le haut.
• b. B(−1 ; −3) : 1 unité vers la gauche, puis 3 vers le bas.
• c. C(2 ; −0,5) : 2 unités vers la droite, puis une demi-unité vers le bas.

Suite du calcul

• d. D(0 ; −5) : abscisse nulle, donc D est sur l’axe des ordonnées, 5 unités sous l’origine.
• e. E(3 ; 0) : ordonnée nulle, donc E est sur l’axe des abscisses, 3 unités à droite de l’origine.
• f. F(−2,5 ; 2,5) : 2,5 unités vers la gauche, puis 2,5 vers le haut.

D’abord, décomposons le calcul.

Rappels : un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif ; entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

• a. 0,335 est positif et −0,334 est négatif : \( 0{,}335 \gt -0{,}334 \).
• b. Deux négatifs : 8,1 est plus grand que 1,8, donc −8,1 est plus loin de zéro : \( -8{,}1 \lt -1{,}8 \).
• c. On écrit −5 = −5,00 ; 5,00 est plus petit que 5,14, donc \( -5 \gt -5{,}14 \).
• d. Deux positifs : même partie entière 4 et même chiffre des dixièmes 1, mais 4 centièmes contre 1 centième, donc \( 4{,}1411 \gt 4{,}1141 \).
• e. Un négatif et un positif : \( -4{,}9 \lt 5 \).
• f. On écrit −5,2 = −5,20 ; 5,19 est plus petit que 5,20, donc −5,19 est plus proche de zéro : \( -5{,}19 \gt -5{,}2 \).
• g. Les zéros à la fin de la partie décimale ne changent rien : \( -5{,}1 = -5{,}100 \).

D’abord, voici la démarche.

Méthode : on range d’abord les négatifs (du plus éloigné de zéro au plus proche), puis zéro s’il est présent, puis les positifs du plus petit au plus grand.

• a. Négatifs : −40 ; −7,9 ; −7 ; −3,1 (distances à zéro 40 ; 7,9 ; 7 ; 3,1, de la plus grande à la plus petite). Puis 0, puis 0,12 ; 2,4 ; 3.
  \( -40 \lt -7{,}9 \lt -7 \lt -3{,}1 \lt 0 \lt 0{,}12 \lt 2{,}4 \lt 3 \)
• b. Négatifs : −12,1 ; −11,2 ; −5 ; −0,8. Positifs : 0,7 ; 2 ; 3 ; 7.
  \( -12{,}1 \lt -11{,}2 \lt -5 \lt -0{,}8 \lt 0{,}7 \lt 2 \lt 3 \lt 7 \)
• c. Négatifs : −3,8 ; −3,7 ; −3,5 ; −3,41 ; −1,9 (attention : 3,41 est plus petit que 3,5, donc −3,41 est plus grand que −3,5). Positifs : 1,2 ; 6 ; 8,3.
  \( -3{,}8 \lt -3{,}7 \lt -3{,}5 \lt -3{,}41 \lt -1{,}9 \lt 1{,}2 \lt 6 \lt 8{,}3 \)

Tout d’abord, regardons la méthode.

Règle : soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé. Ensuite, on remplace donc « − (nombre) » par « + (opposé du nombre) », puis on calcule la somme.

• a. \( 6 – (-9) = 6 + 9 = \mathbf{15} \)
• b. \( -5 – 8 = -5 + (-8) = \mathbf{-13} \)
• c. \( 4 – 8 = 4 + (-8) = \mathbf{-4} \)
• d. \( 13 – 9 = \mathbf{4} \)
• e. \( -1 – (-1) = -1 + 1 = \mathbf{0} \) (un nombre moins lui-même donne 0)
• f. \( 20 – 90 = 20 + (-90) = \mathbf{-70} \)

Avant tout, voici la correction détaillée.

On suit les flèches. Par ailleurs, pour trouver un nombre manquant, on effectue l’opération ; pour trouver une opération manquante, on cherche ce qu’il faut ajouter : c’est la différence « arrivée − départ ».

• Case après 3 : \( 3 – 11 = \mathbf{-8} \).
• De −8 vers 10 : \( 10 – (-8) = 10 + 8 = 18 \), l’opération est +18.
• De −8 vers −10 (flèche verticale) : \( -10 – (-8) = -10 + 8 = -2 \), l’opération est −2 (c’est-à-dire + (−2)).
• De 10 vers −10 : \( -10 – 10 = -20 \), l’opération est −20.
• Case après −10 : \( -10 + (-4) = \mathbf{-14} \).
• De −14 vers 3 : \( 3 – (-14) = 3 + 14 = 17 \), l’opération est +17.

Vérification : \( -8 + 18 = 10 \) ; \( -8 + (-2) = -10 \) ; \( 10 + (-20) = -10 \) ; \( -14 + 17 = 3 \). Puis la chaîne se referme bien sur 3.

D’abord, décomposons le calcul.

On transforme chaque soustraction en addition de l’opposé, puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs.

Le détail du calcul :

\[ \begin{aligned} A &= 7 + (-9) – (-3) – 8 \\ &= 7 + (-9) + 3 + (-8) \\ &= (7 + 3) + [(-9) + (-8)] \\ &= 10 + (-17) \\ &= \mathbf{-7} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= -2 – (-9) + 12 + (-14) \\ &= -2 + 9 + 12 + (-14) \\ &= (9 + 12) + [(-2) + (-14)] \\ &= 21 + (-16) \\ &= \mathbf{5} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= 0{,}5 – 9{,}5 + (-7{,}5) – 3{,}5 \\ &= 0{,}5 + (-9{,}5) + (-7{,}5) + (-3{,}5) \\ &= 0{,}5 + (-20{,}5) \\ &= \mathbf{-20} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= -10 + (-2) + 12 – (-2) \\ &= -10 + (-2) + 12 + 2 \\ &= (12 + 2) + [(-10) + (-2)] \\ &= 14 + (-12) \\ &= \mathbf{2} \end{aligned} \]

D’abord, voici la démarche.

On traduit chaque phrase en expression : la somme est le résultat d’une addition, la différence celui d’une soustraction (dans l’ordre de la phrase), le produit celui d’une multiplication. L’opposé d’un nombre a la même distance à zéro et le signe contraire. Ensuite, on calcule d’abord les parenthèses, puis les multiplications.

a. La différence entre −7 et −1 s’écrit \( (-7) – (-1) \) ; on la retire de 6 :

\[ 6 – [(-7) – (-1)] = 6 – (-7 + 1) = 6 – (-6) = 6 + 6 = \mathbf{12} \]

b. Le produit de 5 par 3 vaut 15 ; l’opposé de 16 est −16 :

\[ 5 \times 3 + (-16) = 15 + (-16) = \mathbf{-1} \]

c. L’opposé de −5 est 5 ; la différence entre 7 et 5 est \( 7 – 5 = 2 \) :

\[ (-11) + [7 – 5] = (-11) + 2 = \mathbf{-9} \]

d. L’opposé de 6 est −6 ; l’opposé de (−10) est 10 :

\[ (-6) – 10 = (-6) + (-10) = \mathbf{-16} \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

Pour deux positifs, on compare chiffre par chiffre (parties entières, puis dixièmes, centièmes…). Puis pour deux négatifs, l’ordre est inversé : le plus grand est le plus proche de zéro. De plus, un négatif est toujours plus petit qu’un positif.

Avant tout, voici la correction détaillée.

Deux entiers consécutifs se suivent (comme 5 et 6). Ensuite, pour un nombre positif, on encadre par sa partie entière et l’entier suivant. Par ailleurs, pour un nombre négatif, attention au sens : −5,6 est entre −6 et −5, car −6 est plus petit que −5,6.

• \( 5 \lt 5{,}32 \lt 6 \)
• \( -6 \lt -5{,}6 \lt -5 \)
• \( 12 \lt 12{,}645 \lt 13 \)
• \( -1 \lt -0{,}058 \lt 0 \)
• \( -5 \lt -4{,}589 \lt -4 \)
• \( 8 \lt 8{,}76 \lt 9 \)
• \( -5 \lt -4{,}78 \lt -4 \)
• \( -2 \lt -1{,}98 \lt -1 \)
• \( 19 \lt 19{,}87 \lt 20 \)
• \( \pi \approx 3{,}14 \), donc \( -4 \lt -\pi \lt -3 \)

D’abord, décomposons le calcul.

On repère d’abord les signes : positif contre négatif, la réponse est immédiate. Si les deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de zéro. Enfin, +7,5 et 7,5 sont le même nombre.

Cas délicats : −1,99 = −1,990 et 1,990 est plus petit que 1,999, donc −1,99 est plus proche de zéro : \( -1{,}99 \gt -1{,}999 \). De même, 8,09 est plus petit que 9,08, donc \( -8{,}09 \gt -9{,}08 \). Et 0 est plus grand que tout nombre négatif.

D’abord, voici la démarche.

a. Ordre croissant (du plus petit au plus grand). Puis les négatifs d’abord : leurs distances à zéro sont 7 ; 6,01 ; 5,7, de la plus grande à la plus petite. Puis les positifs 2,5 ; 5,8 ; 7,8.

\[ -7 \lt -6{,}01 \lt -5{,}7 \lt 2{,}5 \lt 5{,}8 \lt 7{,}8 \]

b. Ordre décroissant (du plus grand au plus petit). Ensuite, les positifs d’abord : 0,21 puis 0,12. Puis les négatifs, du plus proche de zéro au plus éloigné : −0,12 (distance 0,12), −0,2 (distance 0,20), −1,02, −1,2 (distance 1,20).

\[ 0{,}21 \gt 0{,}12 \gt -0{,}12 \gt -0{,}2 \gt -1{,}02 \gt -1{,}2 \]

Tout d’abord, regardons la méthode.

On cherche les deux entiers qui se suivent et « entourent » le nombre. Puis pour un nombre négatif, l’entier de gauche est le plus éloigné de zéro.

• a. \( 6 \lt 6{,}4 \lt 7 \)
• b. \( -3 \lt -2{,}1 \lt -2 \) (et non −2 < −2,1, car −2,1 est plus loin de zéro que −2)
• c. \( -11 \lt -10{,}6 \lt -10 \)
• d. \( -1 \lt -0{,}32 \lt 0 \)

Avant tout, voici la correction détaillée.

On compare chaque nombre à −3 et à −2 (rappel : \( -3 \lt -2 \)).

• −4 et −3,5 sont plus loin de zéro que 3 : ils sont inférieurs à −3.
• −2,4 et −2,01 sont entre 2 et 3 unités de zéro, du côté négatif : \( -3 \lt -2{,}4 \lt -2 \) et \( -3 \lt -2{,}01 \lt -2 \). Attention, −2,01 est bien plus petit que −2, de très peu.
• −1,8 et −1,1 sont plus proches de zéro que −2, et 2,01 est positif : ils sont supérieurs à −2.

D’abord, décomposons le calcul.

Les dates avant Jésus-Christ s’écrivent avec des nombres négatifs. Plus un événement est ancien, plus sa date est petite. De plus, les événements étant déjà classés du plus ancien au plus récent, il suffit de ranger les dates dans l’ordre croissant :

\[ -1\,300 \lt -776 \lt -356 \lt -330 \lt -218 \lt -51 \]

On associe ensuite les dates aux événements dans l’ordre du tableau.