Corrigé des 88 exercices sur les aires et périmètres en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Ainsi, pour les aires, chaque unité est 100 fois plus grande que la suivante : dans le tableau de conversion, on met deux chiffres par colonne.

• Également, a) \( 2{,}6 \text{ m}^2 = 2{,}6 \times 100 \text{ dm}^2 = \mathbf{260 \text{ dm}^2} \) et \( 260 \text{ dm}^2 = 260 \times 100 \text{ cm}^2 = \mathbf{26\,000 \text{ cm}^2} \).
• Également, b) \( 3 \text{ cm}^2 = 3 : 100 \text{ dm}^2 = \mathbf{0{,}03 \text{ dm}^2} \) et \( 0{,}03 \text{ dm}^2 = 0{,}03 : 100 \text{ m}^2 = \mathbf{0{,}0003 \text{ m}^2} \).
• c) \( 57{,}4 \text{ hm}^2 = 57{,}4 : 100 \text{ km}^2 = \mathbf{0{,}574 \text{ km}^2} \) et \( 57{,}4 \text{ hm}^2 = 57{,}4 \times 10\,000 \text{ m}^2 = \mathbf{574\,000 \text{ m}^2} \) (deux colonnes, donc deux fois ×100).

Par conséquent, on exprime tout en mètres : \( 0{,}1 \text{ dam}^2 = 0{,}1 \times 100 \text{ m}^2 = 10 \text{ m}^2 \) et \( 800 \text{ cm} = 8 \text{ m} \).

De plus, De plus, L’aire d’un triangle est \( \mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \). Ensuite, on a donc \( \dfrac{8 \times h}{2} = 10 \), soit \( 8 \times h = 20 \) :

\[ h = 20 : 8 = 2{,}5 \text{ m} \]

Ainsi, vérification : \( \dfrac{8 \times 2{,}5}{2} = \dfrac{20}{2} = 10 \text{ m}^2 \).

Par conséquent, aire d’une feuille A4 : \( 21 \times 29{,}7 = 623{,}7 \text{ cm}^2 \).

Aussi, De plus, aire des 500 feuilles : \( 500 \times 623{,}7 = 311\,850 \text{ cm}^2 \). Comme \( 1 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2 \) :

\[ 311\,850 \text{ cm}^2 = 31{,}185 \text{ m}^2 \]

Ainsi, masse : chaque mètre carré pèse 90 g, donc

\[ 31{,}185 \times 90 = 2\,806{,}65 \text{ g} = 2{,}806\,65 \text{ kg} \]

Par conséquent, ABCD est un trapèze rectangle de bases \( AB = 54 \text{ m} \) et \( DC = 35 \text{ m} \), et de hauteur \( AD = 30 \text{ m} \).

\[ \mathcal{A} = \frac{(B + b) \times h}{2} = \frac{(54 + 35) \times 30}{2} = \frac{89 \times 30}{2} = \frac{2\,670}{2} = 1\,335 \text{ m}^2 \]

Ainsi, De plus, on peut vérifier par découpage : un rectangle de \( 35 \times 30 = 1\,050 \text{ m}^2 \) et un triangle rectangle de base \( 54 – 35 = 19 \text{ m} \) et de hauteur 30 m, d’aire \( \dfrac{19 \times 30}{2} = 285 \text{ m}^2 \). Également, Total : \( 1\,050 + 285 = 1\,335 \text{ m}^2 \).

De même, aire du losange (diagonales 42 cm et 26 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{losange}} = \frac{D \times d}{2} = \frac{42 \times 26}{2} = \frac{1\,092}{2} = 546 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, aire du trou (disque de rayon 10 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times r^2 = \pi \times 10^2 = 100\pi \approx 314{,}16 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, De plus, aire hachurée = aire du losange − aire du trou :

\[ \mathcal{A} = 546 – 100\pi \approx 546 – 314{,}16 \approx 231{,}84 \text{ cm}^2 \]

De même, D’après les cotes, la hauteur du triangle est \( AH = 90 \text{ mm} \), le rectangle mesure 16 mm sur 17 mm et le côté commun \( [BE] \) mesure 17 mm (la figure n’est pas à l’échelle).

Par conséquent, aire du triangle ABE (base BE, hauteur AH) :

\[ \mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{BE \times AH}{2} = \frac{17 \times 90}{2} = \frac{1\,530}{2} = 765 \text{ mm}^2 \]

Donc, De plus, aire du rectangle :

\[ \mathcal{A}_{\text{rectangle}} = 16 \times 17 = 272 \text{ mm}^2 \]

Ainsi, aire totale :

\[ \mathcal{A} = 765 + 272 = 1\,037 \text{ mm}^2 \]

Par conséquent, rayon du cercle. Donc, le demi-cercle a pour diamètre le côté supérieur du rectangle, qui mesure 280 cm : \( R = 280 : 2 = \mathbf{140 \text{ cm}} \).

De plus, aire du trapèze (bases 280 cm et 150 cm, hauteur 80 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{trapèze}} = \frac{(280 + 150) \times 80}{2} = \frac{430 \times 80}{2} = 17\,200 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, aire du rectangle (280 cm sur 95 cm) :

\[ \mathcal{A}_{\text{rectangle}} = 280 \times 95 = 26\,600 \text{ cm}^2 \]

Enfin, aire du demi-disque :

\[ \mathcal{A}_{\text{demi-disque}} = \frac{\pi \times 140^2}{2} = \frac{19\,600\pi}{2} = 9\,800\pi \approx 30\,787{,}6 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, aire totale :

\[ \mathcal{A} = 17\,200 + 26\,600 + 9\,800\pi = 43\,800 + 9\,800\pi \approx 74\,587{,}6 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, la figure est formée de carrés identiques : 4 carrés en largeur pour 6 cm, donc chaque carré a pour côté \( 6 : 4 = 1{,}5 \text{ cm} \) (et 3 carrés en hauteur : \( 3 \times 1{,}5 = 4{,}5 \text{ cm} \)). Puis on compte \( 4 + 2 + 1 = 7 \) carrés.

Enfin, aire :

\[ \mathcal{A} = 7 \times 1{,}5 \times 1{,}5 = 7 \times 2{,}25 = 15{,}75 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, périmètre : on fait le tour en additionnant les côtés : \( 6 + 4{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 + 1{,}5 + 3 + 1{,}5 \). Aussi, Plus simplement, les marches de l’escalier, « repoussées », reconstituent le contour d’un rectangle de 6 cm sur 4,5 cm :

\[ \mathcal{P} = 2 \times (6 + 4{,}5) = 2 \times 10{,}5 = 21 \text{ cm} \]

Ainsi, sur le quadrillage, 6 cm correspondent à 12 carreaux : un carreau mesure 0,5 cm. Chaque encoche est un demi-cercle de diamètre 4 carreaux, soit 2 cm (rayon 1 cm), placé au milieu d’un côté de 6 cm.

Enfin, parties droites : les deux côtés de 3 cm, et en haut comme en bas deux segments de 2 cm :

\[ 3 + 3 + 4 \times 2 = 14 \text{ cm} \]

Ensuite, parties courbes : deux demi-cercles de diamètre 2 cm forment un cercle entier :

\[ \pi \times 2 = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ cm} \]

Par ailleurs, périmètre :

\[ \mathcal{P} = 14 + 2\pi \approx 20{,}28 \text{ cm} \]

Enfin, on passe d’une unité d’aire à la suivante en multipliant ou en divisant par 100 (deux chiffres par colonne dans le tableau).

Ensuite, pour c, on remonte de deux colonnes (cm² → dm² → m²) : on divise deux fois par 100. Donc, De plus, pour d, trois colonnes (m² → dam² → hm² → km²) : on divise par \( 100 \times 100 \times 100 = 1\,000\,000 \).

Ainsi, L’aire d’un triangle est \( \mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \). Enfin, Ici l’aire vaut 210 cm² et la base 21 cm. Ensuite, en appelant \( h \) la hauteur relative à cette base :

\[ \frac{21 \times h}{2} = 210 \quad \text{donc} \quad 21 \times h = 2 \times 210 = 420 \]

Enfin, on cherche le nombre qui, multiplié par 21, donne 420 :

\[ h = 420 : 21 = 20 \text{ cm} \]

Ensuite, vérification : \( \dfrac{21 \times 20}{2} = \dfrac{420}{2} = 210 \text{ cm}^2 \). De plus, C’est bien l’aire de l’énoncé.

Ainsi, il faut calculer le périmètre du flocon, c’est-à-dire la longueur de son contour extérieur. Par ailleurs, les traits qui partent du centre sont à l’intérieur de la figure : ils ne comptent pas dans le périmètre.

Enfin, la figure ne donne aucune longueur écrite : on la mesure, en prenant comme unité le côté d’un carreau du quadrillage. Puis le flocon a 9 branches ; en suivant le contour, on rencontre 27 segments : pour chaque branche, deux grands côtés de la pointe et un petit bout de segment dans chaque creux entre deux branches.

Ensuite, les segments sont tracés en biais : on les mesure à la règle en reportant la longueur d’un carreau. Ensuite, pour chaque branche, on trouve environ 4,8 carreaux pour le grand côté de la pointe, 3,7 carreaux pour l’autre côté et 1,2 carreau pour le petit bout dans le creux, soit environ \( 4{,}8 + 3{,}7 + 1{,}2 = 9{,}7 \) carreaux par branche. Puis pour les 9 branches :

Exercice 12 : Périmètre d un flocon (suite)

\[ P \approx 9 \times 9{,}7 \approx 87 \text{ carreaux} \]

Par ailleurs, si le carreau mesure 5 mm, comme sur un cahier à petits carreaux, cela fait environ \( 87 \times 0{,}5 = 43{,}5 \text{ cm} \). Donc, De plus, le dessin étant fait à main levée, un résultat entre 85 et 90 carreaux est correct.

Enfin, le grand carré a pour côté 4 cm. Au-dessus, les deux petits carrés occupent toute la largeur : leur côté vaut \( 4 : 2 = 2 \) cm. Ensuite, le pentagone a ses sommets aux deux extrémités du trait commun, au centre de chaque petit carré et au centre du grand carré. Par ailleurs, on le coupe le long du trait commun (de 4 cm) en deux morceaux.

Ensuite, le triangle du bas : sa base est le trait commun (4 cm) et son sommet est le centre du grand carré, situé à la moitié du côté, donc à 2 cm du trait.

\[ \mathcal{A}_1 = \frac{4 \times 2}{2} = 4 \text{ cm}^2 \]

Par ailleurs, le trapèze du haut : le centre d’un petit carré est à 1 cm de chacun de ses côtés. Puis les deux sommets du haut sont donc à 1 cm au-dessus du trait et distants de \( 4 – 1 – 1 = 2 \) cm. Ensuite, le trapèze a pour bases 4 cm et 2 cm, et pour hauteur 1 cm :

\[ \mathcal{A}_2 = \frac{(4 + 2) \times 1}{2} = 3 \text{ cm}^2 \]

De même, aire du pentagone : \( 4 + 3 = 7 \text{ cm}^2 \).

Ensuite, les codages montrent que D est le milieu de [BC] : BD = DC. Puis le segment [AD] est donc une médiane du triangle ABC.

Par ailleurs, les triangles ABD et ADC ont la même hauteur (la distance de A à la droite (BC)) et des bases de même longueur (BD = DC). De plus, ils ont donc la même aire : une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.

• Par ailleurs, le triangle ADC est formé des deux parties d’aires 7 et 7 : \( \mathcal{A}(ADC) = 7 + 7 = 14 \) unités d’aire.
• Donc \( \mathcal{A}(ABD) = 14 \) unités d’aire aussi.
• Ensuite, le triangle ABD est formé de la partie d’aire 3 et de la partie inconnue : \( ? = 14 – 3 = 11 \).

Enfin, L’échelle de la maquette n’apparaît pas dans l’énoncé. Ensuite, pour cette maquette, on prend l’échelle 1/100 (1 cm sur la maquette représente 100 cm, soit 1 m, dans la réalité) : c’est la seule qui rend les deux questions cohérentes.

a) Ensuite, À l’échelle 1/100, les longueurs de la maquette sont 100 fois plus petites que les longueurs réelles :

\[ 57 \text{ m} = 5\,700 \text{ cm} \quad \text{et} \quad 5\,700 : 100 = 57 \text{ cm} \]

Par ailleurs, la maquette mesure 57 cm de haut.

b) De même, dans l’autre sens, les longueurs réelles sont 100 fois plus grandes que celles de la maquette :

\[ 5{,}7 \times 100 = 570 \text{ cm} = 5{,}7 \text{ m} \]

Par conséquent, ce résultat est vraisemblable : le corps central d’Ariane 5 mesure un peu plus de 5 m de diamètre. Aussi, Avec une autre échelle 1/n, on ferait le même raisonnement : hauteur de la maquette = 5 700 : n (en cm) et diamètre réel = 5,7 × n (en cm).

Par ailleurs, L’échelle n’est pas écrite dans l’énoncé. Par ailleurs, on prend l’échelle 1/500 : 1 cm sur le plan représente 500 cm, soit 5 m, sur le terrain. De plus, C’est elle qui donne une largeur de 68 m, celle des terrains de football officiels.

De même, pour passer du plan à la réalité, on multiplie chaque longueur par 500 :

\[ \begin{aligned} \text{Longueur} &= 23{,}1 \times 500 = 11\,550 \text{ cm} = 115{,}5 \text{ m} \\ \text{Largeur} &= 13{,}6 \times 500 = 6\,800 \text{ cm} = 68 \text{ m} \end{aligned} \]

Par conséquent, on peut aussi raisonner avec 1 cm pour 5 m : \( 23{,}1 \times 5 = 115{,}5 \) m et \( 13{,}6 \times 5 = 68 \) m.

Par ailleurs, L’unité d’aire est le carreau. Puis on compte les carreaux ou on applique la formule de chaque figure :

• De plus, Figure 1 (carré de 3 carreaux de côté) : \( 3 \times 3 = 9 \) carreaux.
• Figure 2 (en forme de L) : un carré de 2 sur 2 posé sur une bande de 5 sur 1 : \( 2 \times 2 + 5 \times 1 = 4 + 5 = 9 \) carreaux.
• Également, Figure 3 (rectangle de 4 sur 2) : \( 4 \times 2 = 8 \) carreaux.
• Figure 4 (triangle rectangle de base 3 et de hauteur 6) : \( \dfrac{3 \times 6}{2} = 9 \) carreaux.
• Également, Figure 5 (parallélogramme de base 3 et de hauteur 3) : \( 3 \times 3 = 9 \) carreaux.
• Figure 6 (rectangle de 9 sur 1) : \( 9 \times 1 = 9 \) carreaux.

De même, cinq figures ont une aire de 9 carreaux, une seule a une aire différente.

Ensuite, L’aire d’un rectangle est \( \mathcal{A} = \text{longueur} \times \text{largeur} \), les deux dimensions étant dans la même unité.

• Également, Figure 1 : \( 8 \times 5 = 40 \) : l’aire est de 40 cm².
• Figure 2 : \( 9 \times 6{,}5 = 58{,}5 \) : l’aire est de 58,5 m².
• Également, Figure 3 : les quatre côtés sont codés égaux, c’est un carré de côté 5 dm : \( 5 \times 5 = 25 \), l’aire est de 25 dm².

Par ailleurs, L’unité d’aire suit l’unité de longueur : des cm donnent des cm², des m donnent des m², des dm donnent des dm².

Enfin, entre deux unités d’aire voisines (km², hm², dam², m², dm², cm², mm²), on multiplie ou on divise par 100. Ensuite, pour les unités agraires : 1 a = 1 dam² = 100 m² et 1 ha = 1 hm² = 10 000 m².

• \( 8 \text{ m}^2 = 800 \text{ dm}^2 \) ; \( 145 \text{ cm}^2 = 0{,}0145 \text{ m}^2 \) ; \( 0{,}1 \text{ dam}^2 = 10 \text{ m}^2 = 0{,}000\,01 \text{ km}^2 \).
• \( 15{,}4 \text{ m}^2 = 1\,540 \text{ dm}^2 \) ; \( 154 \text{ km}^2 = 15\,400\,000\,000 \text{ dm}^2 \) (quatre changements d’unité, donc \( \times 100\,000\,000 \)) ; \( 0{,}02 \text{ cm}^2 = 2 \text{ mm}^2 \).
• \( 2\,024 \text{ mm}^2 = 0{,}002\,024 \text{ m}^2 \) ; \( 3{,}5 \text{ dam}^2 = 350 \text{ m}^2 = 3\,500\,000 \text{ cm}^2 \) ; \( 6\,325 \text{ cm}^2 = 0{,}632\,5 \text{ m}^2 \).
• \( 4{,}9 \text{ km}^2 = 4\,900\,000 \text{ m}^2 \) ; \( 3\,060 \text{ mm}^2 = 30{,}6 \text{ cm}^2 \) ; \( 2{,}74 \text{ dm}^2 = 274 \text{ cm}^2 \).
• \( 58\,830 \text{ cm}^2 = 5{,}883 \text{ m}^2 \) ; \( 0{,}68 \text{ cm}^2 = 68 \text{ mm}^2 \) ; \( 46\,000 \text{ m}^2 = 0{,}046 \text{ km}^2 \).
• \( 1\,600 \text{ m}^2 = 0{,}001\,6 \text{ km}^2 \) ; \( 172 \text{ mm}^2 = 1{,}72 \text{ cm}^2 \) ; \( 3 \text{ m}^2 = 30\,000 \text{ cm}^2 \).
• \( 7{,}2 \text{ mm}^2 = 0{,}072 \text{ cm}^2 \) ; \( 3 \text{ ha} = 30\,000 \text{ m}^2 \) ; \( 18 \text{ ha} = 180\,000 \text{ m}^2 = 1\,800\,000\,000 \text{ cm}^2 \).
• \( 470 \text{ dm}^2 = 4{,}7 \text{ m}^2 = 0{,}047 \text{ a} \) ; \( 8\,400 \text{ a} = 84 \text{ ha} \) ; \( 3{,}5 \text{ km}^2 = 350 \text{ ha} \).

Exercice 19 : Unités d aire et conversions (corrigé aires périmètres) (suite)

De plus, rectangle ABCD : il mesure 3 carreaux de large et 4 carreaux de haut : \( 3 \times 4 = 12 \) carreaux.

Ainsi, parallélogrammes : l’aire d’un parallélogramme est \( \text{base} \times \text{hauteur} \), la hauteur étant perpendiculaire à la base.

• Ainsi, les deux premiers ont une base horizontale de 3 carreaux et une hauteur de 4 carreaux : \( 3 \times 4 = 12 \) carreaux chacun.
• Le dernier a deux côtés verticaux de 4 carreaux ; on prend l’un d’eux comme base, la hauteur est alors l’écart horizontal entre ces deux côtés, 3 carreaux : \( 4 \times 3 = 12 \) carreaux.

Enfin, on peut aussi le voir par découpage : en coupant le triangle d’un côté d’un parallélogramme et en le recollant de l’autre côté, on obtient un rectangle de 3 sur 4.

1. De plus, la hauteur de 3,5 cm est perpendiculaire au côté de 6 cm : c’est la hauteur relative à cette base.

\[ \mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = 6 \times 3{,}5 = 21 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, attention : le côté de 4 cm n’est pas une hauteur (il n’est pas perpendiculaire à la base), il ne sert pas pour l’aire.

2. Enfin, les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur : deux côtés de 6 cm et deux côtés de 4 cm.

\[ P = 2 \times (6 + 4) = 2 \times 10 = 20 \text{ cm} \]

1. De plus, MNOP est un parallélogramme, donc ses côtés opposés sont égaux : \( NO = MP = 4 \) cm. Puis le segment [MK] est perpendiculaire à la droite (NO) : c’est la hauteur relative au côté [NO].

\[ \mathcal{A} = NO \times MK = 4 \times 3{,}2 = 12{,}8 \text{ cm}^2 \]

2. Ainsi, on calcule la même aire avec l’autre base : la hauteur de 3,5 cm est perpendiculaire à [PO]. Donc \( PO \times 3{,}5 = 12{,}8 \) et :

\[ PO = 12{,}8 : 3{,}5 \approx 3{,}657 \text{ cm} \]

Enfin, arrondi à 0,1 près : \( PO \approx 3{,}7 \) cm.

De plus, on travaille en millimètres : le rayon du disque est \( 1{,}6 \text{ cm} = 16 \text{ mm} \) ; chaque trou a un diamètre de 8 mm, donc un rayon de 4 mm.

Ainsi, aire du disque plein : \( \pi \times 16^2 = 256\pi \text{ mm}^2 \).

Enfin, aire des six trous : \( 6 \times \pi \times 4^2 = 6 \times 16\pi = 96\pi \text{ mm}^2 \).

\[ \mathcal{A} = 256\pi – 96\pi = 160\pi \approx 502{,}65 \text{ mm}^2 \]

Ensuite, au mm² près : environ 503 mm².

Ainsi, la base de la moulure est un disque de rayon 1 cm auquel il manque un quart : c’est donc les trois quarts d’un disque. De plus, on peint tout sauf les deux bases : la surface peinte est formée

• Ainsi, de la partie arrondie ;
• des deux faces planes du creux (deux rectangles de 1 cm sur 2 m).

Enfin, comme pour un cylindre, on « déroule » la surface : on obtient un rectangle dont la longueur est 2 m = 200 cm et dont la largeur est le périmètre de la base.

Ensuite, périmètre de la base : trois quarts du cercle de rayon 1 cm plus les deux rayons :

\[ \frac{3}{4} \times 2 \times \pi \times 1 + 1 + 1 = 1{,}5\pi + 2 \text{ cm} \]

Par ailleurs, surface peinte :

\[ \mathcal{A} = (1{,}5\pi + 2) \times 200 = 300\pi + 400 \approx 1\,342{,}48 \text{ cm}^2 \]

De même, soit environ \( 0{,}134 \text{ m}^2 \). Ensuite, les trois couches de peinture ne changent pas l’aire de la surface peinte : elles signifient seulement que cette surface est recouverte trois fois (ce qui revient à couvrir environ \( 3 \times 1\,342{,}48 \approx 4\,027 \text{ cm}^2 \) pour calculer la quantité de peinture).

Ensuite, on lit sur la figure (en cm) : AL = 3, LK = 6, KC = 3, donc \( AC = 3 + 6 + 3 = 12 \) cm. Par ailleurs, les pointillés verticaux sont perpendiculaires à [AC] : EL = 3, DK = 6 et BH = 4.

Par ailleurs, on découpe le pentagone le long de la diagonale [AC].

De même, partie du bas : triangle ABC de base AC = 12 et de hauteur BH = 4 :

\[ \mathcal{A}(ABC) = \frac{12 \times 4}{2} = 24 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, partie du haut, découpée par [EL] et [DK] :

• Aussi, triangle rectangle AEL : \( \dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5 \text{ cm}^2 \) ;
• trapèze rectangle ELKD, de bases EL = 3 et DK = 6 et de hauteur LK = 6 : \( \dfrac{(3 + 6) \times 6}{2} = 27 \text{ cm}^2 \) ;
• Également, triangle rectangle DKC : \( \dfrac{6 \times 3}{2} = 9 \text{ cm}^2 \).

\[ \mathcal{A}(ABCDE) = 24 + 4{,}5 + 27 + 9 = 64{,}5 \text{ cm}^2 \]

Par ailleurs, lecture des codages : le petit trait qui coupe [AP] et [AT] indique AP = AT = 2 ; les doubles traits indiquent BQ = TD = DS = 4 ; le petit trait près de C indique CQ = CR.

• \( AB = AP + PB = 2 + 8 = 10 \) et \( AD = AT + TD = 2 + 4 = 6 \) : le rectangle mesure 10 cm sur 6 cm.
• \( CQ = BC – BQ = 6 – 4 = 2 \), donc \( CR = 2 \).

De même, on calcule l’aire du rectangle et on retire les quatre triangles rectangles des coins :

• Ainsi, rectangle ABCD : \( 10 \times 6 = 60 \text{ cm}^2 \) ;
• triangle APT : \( \dfrac{2 \times 2}{2} = 2 \text{ cm}^2 \) ;
• triangle PBQ : \( \dfrac{8 \times 4}{2} = 16 \text{ cm}^2 \) ;
• Enfin, triangle QCR : \( \dfrac{2 \times 2}{2} = 2 \text{ cm}^2 \) ;
• triangle SDT : \( \dfrac{4 \times 4}{2} = 8 \text{ cm}^2 \).

\[ \mathcal{A}(PQRST) = 60 – (2 + 16 + 2 + 8) = 60 – 28 = 32 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, lecture de la figure :

• Le coin arrondi est un quart de cercle de rayon \( 6 – 4 = 2 \) cm (les deux rayons sont codés égaux).
• La base de 9 cm est partagée en trois parties égales de \( 9 : 3 = 3 \) cm : le demi-cercle a un diamètre de 3 cm, donc un rayon de 1,5 cm.

Par ailleurs, aire. On part du rectangle de 9 cm sur 6 cm, on remplace le carré du coin (2 cm sur 2 cm) par un quart de disque, puis on retire le demi-disque :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 9 \times 6 – 2 \times 2 + \frac{\pi \times 2^2}{4} – \frac{\pi \times 1{,}5^2}{2} \\ &= 54 – 4 + \pi – 1{,}125\pi \\ &= 50 – 0{,}125\pi \approx 49{,}6 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

De même, périmètre. De plus, on suit le contour : côté gauche 6 cm, haut \( 9 – 2 = 7 \) cm, quart de cercle, côté droit 4 cm, deux segments de 3 cm en bas, et le demi-cercle.

\[ \begin{aligned} P &= 6 + 7 + \frac{2 \times \pi \times 2}{4} + 4 + 3 + 3 + \frac{\pi \times 3}{2} \\ &= 23 + \pi + 1{,}5\pi = 23 + 2{,}5\pi \approx 30{,}85 \text{ cm} \end{aligned} \]

Ensuite, le champ est un trapèze, auquel on ajoute un triangle en haut et duquel on enlève le demi-disque de la mare (le contour du champ fait le tour de la mare).

• De plus, Trapèze : \( \dfrac{(80 + 50) \times 45}{2} = \dfrac{130 \times 45}{2} = 2\,925 \text{ m}^2 \).
• Triangle : \( \dfrac{15 \times 20}{2} = 150 \text{ m}^2 \).
• Demi-disque de diamètre 20 m, donc de rayon 10 m : \( \dfrac{\pi \times 10^2}{2} = 50\pi \approx 157{,}08 \text{ m}^2 \).

\[ \mathcal{A} = 2\,925 + 150 – 50\pi = 3\,075 – 50\pi \approx 2\,917{,}92 \text{ m}^2 \]

Ainsi, les longueurs du plan sont les longueurs réelles. Puis le côté droit mesure \( 6 + 4 = 10 \) m, donc AE = 10 m, et \( ED = 20 – 3 = 17 \) m.

1. Enfin, la parcelle est un rectangle de 20 m sur 10 m auquel on a enlevé un triangle rectangle de côtés 3 m et 4 m :

\[ \mathcal{A} = 20 \times 10 – \frac{3 \times 4}{2} = 200 – 6 = 194 \text{ m}^2 \]

2. Ensuite, périmètre de la parcelle : \( AB + BC + CD + DE + EA = 20 + 6 + 5 + 17 + 10 = 58 \) m. Ensuite, on retire l’ouverture du portail :

\[ 58 – 1{,}5 = 56{,}5 \text{ m} \]

Par ailleurs, il doit acheter 56,5 m de grillage.

3. De même, le mouton peut aller jusqu’à 5 m du piquet A. Donc, Comme l’angle en A est droit, la zone broutée est un quart de disque de centre A et de rayon 5 m.

Exercice 29 : Aire et périmètre d une parcelle (suite)

\[ \mathcal{A}_{\text{broutée}} = \frac{\pi \times 5^2}{4} = \frac{25\pi}{4} \approx 19{,}63 \text{ m}^2 \]

Par conséquent, sur ta copie, hachure ce quart de disque en vert, comme le demande l’énoncé.

4. Ensuite, De plus, surface à traiter : \( 194 – 19{,}63 = 174{,}37 \) m² environ.

5. Par conséquent, on obtient \( 174{,}37 : 30 \approx 5{,}8 \) : 5 sachets ne suffisent pas (150 m²), il faut donc 6 sachets (180 m²).

Enfin, remarque : l’énoncé propose d’admettre que la zone broutée mesure 4 m², ce qui ne correspond pas au calcul de la question 3. De plus, Avec cette valeur, on trouverait \( 194 – 4 = 190 \) m² à traiter et \( 190 : 30 \approx 6{,}3 \), soit 7 sachets.

De plus, la surface bleue est formée du carré ABCD et de deux demi-disques de diamètre 5 cm, donc de rayon 2,5 cm.

• Par ailleurs, Carré : \( 5 \times 5 = 25 \text{ cm}^2 \).
• Les deux demi-disques de même rayon forment un disque entier : \( \pi \times 2{,}5^2 = 6{,}25\pi \text{ cm}^2 \).

\[ \mathcal{A} = 25 + 6{,}25\pi \approx 44{,}634\,95 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, au centième près : environ 44,63 cm².

Par conséquent, la surface orange, c’est le rectangle auquel on enlève le triangle blanc.

• Donc, Aire du rectangle : \( 6 \times 4 = 24 \text{ cm}^2 \).
• Le triangle blanc est rectangle : ses deux côtés de l’angle droit (3 cm et 2 cm) sont une base et la hauteur associée. Ainsi, Aire : \( \dfrac{3 \times 2}{2} = 3 \text{ cm}^2 \).

\[ \mathcal{A}_{\text{orange}} = 24 – 3 = 21 \text{ cm}^2 \]

Par ailleurs, la figure se découpe en un carré et un triangle. Puis les quatre côtés du quadrilatère portent le même codage et il a quatre angles droits : c’est un carré de côté 3 cm.

• Ensuite, Aire du carré : \( 3 \times 3 = 9 \text{ cm}^2 \).
• Le triangle a pour base le côté commun avec le carré, soit 3 cm, et pour hauteur associée le segment en pointillés de 4 cm (il est perpendiculaire à ce côté). Par ailleurs, Aire : \( \dfrac{3 \times 4}{2} = 6 \text{ cm}^2 \).

\[ \mathcal{A} = 9 + 6 = 15 \text{ cm}^2 \]

Enfin, un carreau mesure 1 m de côté. De plus, en comptant les carreaux, on lit :

• le rectangle IJKL mesure 10 m de long et 6 m de large ;
• Ensuite, chaque quart de disque a un rayon de 2 m (deux carreaux).

Ensuite, la surface verte = rectangle − 4 quarts de disque. Or 4 quarts de disque de même rayon forment un disque entier de rayon 2 m.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 10 \times 6 – \pi \times 2^2 \\ &= 60 – 4\pi \\ &\approx 47{,}43 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Ainsi, la formule de l’aire du disque utilise le rayon, pas le diamètre : \( r = 10 \div 2 = 5 \text{ cm} \).

\[ \mathcal{A} = \pi \times r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}539\,8 \text{ cm}^2 \]

• a. Également, À l’unité près : le chiffre des dixièmes est 5, on arrondit au-dessus : \( \mathcal{A} \approx 79 \text{ cm}^2 \).
• b. Au centième près : le chiffre des millièmes est 9, on arrondit au-dessus : \( \mathcal{A} \approx 78{,}54 \text{ cm}^2 \).

Par conséquent, aire d’un triangle : \( \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \), la hauteur étant perpendiculaire à la base choisie.

• a. Aussi, le triangle est rectangle : on prend la base 12 cm et la hauteur 5 cm (les côtés de l’angle droit). Le côté de 13 cm (l’hypoténuse) ne sert pas.
  \[ \mathcal{A} = \frac{12 \times 5}{2} = 30 \text{ cm}^2 \]
• b. Ainsi, le pied de la hauteur partage la base en 7,5 cm et 9,5 cm : la base entière mesure \( 7{,}5 + 9{,}5 = 17 \text{ cm} \), et la hauteur 6 cm.
  \[ \mathcal{A} = \frac{17 \times 6}{2} = 51 \text{ cm}^2 \]

Par ailleurs, les longueurs sont données dans des unités différentes : on convertit tout en cm avant de calculer, et on repère pour chaque triangle une base et sa hauteur (perpendiculaire).

• Ensuite, Triangle ABC : H est sur le prolongement de (AB) et (CH) est perpendiculaire à (AB). Donc [CH] est la hauteur relative à la base [AB]. AB = 1,5 dm = 15 cm et CH = 100 mm = 10 cm (AC ne sert pas).
  \[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{15 \times 10}{2} = 75 \text{ cm}^2 \]
• Triangle KNL : [KM] est la hauteur relative à la base [NL]. NL = 80 mm = 8 cm et KM = 18 cm (KL ne sert pas).
  \[ \mathcal{A}_{KNL} = \frac{8 \times 18}{2} = 72 \text{ cm}^2 \]
• Triangle DEF : il est rectangle en E, on prend les côtés de l’angle droit. ED = 1,6 dm = 16 cm et EF = 120 mm = 12 cm (DF ne sert pas).
  \[ \mathcal{A}_{DEF} = \frac{16 \times 12}{2} = 96 \text{ cm}^2 \]

De même, ordre croissant : \( 72 \lt 75 \lt 96 \).

Ensuite, le triangle a deux hauteurs tracées : on peut donc calculer son aire de deux façons. Ensuite, on travaille en cm : AC = 72 mm = 7,2 cm et CD = 36 mm = 3,6 cm.

Par ailleurs, on a donc 1re façon : base [AB] et hauteur [CD].

\[ \mathcal{A} = \frac{AB \times CD}{2} = \frac{9{,}6 \times 3{,}6}{2} = \frac{34{,}56}{2} = 17{,}28 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, on a 2e façon : base [AC] et hauteur [BE] (E est sur le prolongement de [AC] et (BE) est perpendiculaire à (AC)).

\[ \mathcal{A} = \frac{AC \times BE}{2} = \frac{7{,}2 \times 4{,}8}{2} = \frac{34{,}56}{2} = 17{,}28 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, on trouve bien le même résultat : l’aire d’un triangle ne dépend pas du côté choisi comme base.

Par ailleurs, la surface jaune = triangle DEF + deux demi-disques de rayon 2,4 cm.

• Le segment [DE] est formé de quatre rayons (les quatre petits segments codés) : \( DE = 4 \times 2{,}4 = 9{,}6 \text{ cm} \).
• Aire du triangle DEF (base DE, hauteur issue de F = 9,6 cm) : \( \dfrac{9{,}6 \times 9{,}6}{2} = 46{,}08 \text{ cm}^2 \).
• Deux demi-disques de même rayon forment un disque : \( \pi \times 2{,}4^2 = 5{,}76\pi \approx 18{,}10 \text{ cm}^2 \).

\[ \mathcal{A} = 46{,}08 + 5{,}76\pi \approx 64{,}175\,6 \text{ cm}^2 \]

Enfin, la hauteur du rectangle est égale au rayon des quarts de disque, soit 6 m (le côté vertical du rectangle est aussi un rayon).

• Aire du rectangle : \( 3 \times 6 = 18 \text{ m}^2 \).
• Les deux quarts de disque forment un demi-disque de rayon 6 m : \( \dfrac{\pi \times 6^2}{2} = 18\pi \approx 56{,}55 \text{ m}^2 \).

\[ \mathcal{A} = 18 + 18\pi \approx 74{,}548\,7 \text{ m}^2 \]

De plus, le périmètre est la somme des longueurs des côtés. Par ailleurs, pour calculer de tête, on regroupe les nombres dont les décimales « tombent juste ».

• a. \( (1{,}7 + 4{,}3) + (3{,}7 + 4{,}6) = 6 + 8{,}3 = 14{,}3 \text{ cm} \), donc P = 14,3 cm.
• b. \( (1{,}4 + 4{,}3) + (5{,}2 + 6{,}1) = 5{,}7 + 11{,}3 = 17 \text{ cm} \), donc P = 17 cm.

De même, les côtés [AB] et [DC] portent le même codage : AB = DC = 12 mm. Puis on exprime toutes les longueurs en mm : AE = 2 cm = 20 mm et ED = 1 cm = 10 mm.

\[ \begin{aligned} P &= AB + BC + CD + DE + EA \\ &= 12 + 23 + 12 + 10 + 20 \\ &= 77 \text{ mm} \end{aligned} \]

Ensuite, le ring est carré et il y a trois cordes qui en font chacune le tour complet. Ensuite, la longueur totale de corde correspond donc à 3 périmètres, c’est-à-dire \( 3 \times 4 = 12 \) côtés du carré.

\[ \text{côté} = 73{,}20 \div 12 = 6{,}10 \text{ m} \]

Par ailleurs, vérification : un périmètre mesure \( 4 \times 6{,}10 = 24{,}40 \text{ m} \) et \( 3 \times 24{,}40 = 73{,}20 \text{ m} \).

Enfin, on lit les codages : un petit trait = 20 cm (côté du trou carré), trois traits = 40 cm.

Ensuite, contour extérieur :

• le côté du haut est partagé en 3 segments d’un trait : \( 3 \times 20 = 60 \text{ cm} \) ;
• le côté de gauche est formé de 2 segments de trois traits : \( 2 \times 40 = 80 \text{ cm} \) ;
• le côté de droite, le « palier » horizontal et le bord intérieur de la jambe mesurent chacun 40 cm : \( 3 \times 40 = 120 \text{ cm} \) ;
• le bas de la jambe : \( 60 – 40 = 20 \text{ cm} \) (largeur totale moins la longueur du palier).

Également, contour extérieur : \( 60 + 80 + 120 + 20 = 280 \text{ cm} \).

Ainsi, contour intérieur : le carré de côté 20 cm, \( 4 \times 20 = 80 \text{ cm} \).

\[ \text{Ruban} = 280 + 80 = 360 \text{ cm} \]

Par conséquent, la clôture est à 3,50 m de chaque côté : on ajoute donc \( 2 \times 3{,}5 = 7 \text{ m} \) à chaque dimension de la piscine.

• Longueur de la clôture : \( 9 + 7 = 16 \text{ m} \).
• Largeur de la clôture : \( 5 + 7 = 12 \text{ m} \).

\[ P = 2 \times (16 + 12) = 2 \times 28 = 56 \text{ m} \]

Par ailleurs, la figure est formée du rectangle ABCD (6 cm sur 4 cm) et de quatre demi-disques : deux de diamètre 6 cm (rayon 3 cm) et deux de diamètre 4 cm (rayon 2 cm).

De même, aire : deux demi-disques de même rayon forment un disque entier.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 6 \times 4 + \pi \times 3^2 + \pi \times 2^2 \\ &= 24 + 9\pi + 4\pi = 24 + 13\pi \\ &\approx 64{,}84 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Par conséquent, périmètre : le contour de la figure est formé uniquement des quatre demi-cercles (les côtés du rectangle sont à l’intérieur). Deux demi-cercles de même diamètre font un cercle entier, de longueur \( \pi \times d \).

\[ P = \pi \times 6 + \pi \times 4 = 10\pi \approx 31{,}42 \text{ cm} \]

Par ailleurs, attention à l’échelle : la flèche « 1 cm » couvre deux carreaux, donc 1 carreau = 0,5 cm. Puis pour chaque triangle, on choisit un côté qui suit une ligne du quadrillage : la hauteur relative à ce côté suit alors l’autre direction du quadrillage.

Exercice 46 : Hauteur et aire du triangle (corrigé aires périmètres) (suite)

• a. Le triangle est rectangle : la hauteur relative au côté horizontal est le côté vertical lui-même.
• c. et e. Les triangles ont un angle obtus : le pied de la hauteur tombe en dehors du triangle, sur le prolongement du côté choisi. On mesure quand même le côté seul (sans le prolongement).
• e. Le sommet de gauche n’est pas exactement sur un nœud du quadrillage : le côté horizontal mesure un peu moins de 6 carreaux, environ 2,9 cm à la règle, d’où une aire d’environ 2,9 cm².

Enfin, il faut associer une base et la hauteur qui lui est perpendiculaire. De plus, la droite (BQ) est perpendiculaire à la droite (RC) en Q : [BQ] est donc la hauteur issue de B, relative au côté [RC] (son pied Q est sur le prolongement de [RC]).

\[ \mathcal{A}_{RBC} = \frac{RC \times BQ}{2} = \frac{8 \times 6}{2} = 24 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, les longueurs RB = 12 cm et QC = 3 cm ne servent pas ici : on ne connaît pas la hauteur [CP] relative à [RB]. (On pourrait d’ailleurs la calculer : \( 24 \times 2 \div 12 = 4 \text{ cm} \).)

a. Ainsi, la diagonale [BD] partage le parallélogramme en deux triangles ABD et BCD. Chacun a une base de 12 cm (AB = DC = 12 cm car les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur) et une hauteur de 6 cm (distance entre les droites parallèles (AB) et (DC)).

\[ \mathcal{A}_{ABCD} = \frac{12 \times 6}{2} + \frac{12 \times 6}{2} = 36 + 36 = 72 \text{ cm}^2 \]

b. Enfin, les deux diagonales sont perpendiculaires. Ensuite, la diagonale « horizontale » mesure \( 6 + 2{,}5 = 8{,}5 \text{ cm} \). Par ailleurs, l’autre est coupée en deux moitiés codées de 3 cm. Puis la diagonale de 8,5 cm partage la figure en deux triangles qui ont chacun pour base 8,5 cm et pour hauteur 3 cm (la demi-diagonale lui est perpendiculaire).

\[ \mathcal{A} = \frac{8{,}5 \times 3}{2} + \frac{8{,}5 \times 3}{2} = 12{,}75 + 12{,}75 = 25{,}5 \text{ cm}^2 \]

De plus, les triangles ABC et BCD ont la même base [BC], de longueur 10 cm.

Ainsi, leurs hauteurs relatives à [BC] sont les distances de A et de D à la droite (BC). Comme (AD) est parallèle à (BC), A et D sont à la même distance de (BC) : cette distance est 5 cm (la flèche de l’énoncé). Ensuite, les deux triangles ont donc aussi la même hauteur.

\[ \mathcal{A}_{ABC} = \mathcal{A}_{BCD} = \frac{10 \times 5}{2} = 25 \text{ cm}^2 \]

a. Par conséquent, rectangle de 30 m sur 20 m :

• aire : \( 30 \times 20 = 600 \text{ m}^2 \) ;
• périmètre : \( 2 \times (30 + 20) = 100 \text{ m} \).

b. De plus, carré de côté 6 cm :

• aire : \( 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \) ;
• périmètre : \( 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \).

c. Ainsi, le segment de 5 cm, perpendiculaire aux côtés de 12 cm, partage le parallélogramme en deux triangles rectangles identiques, de côtés de l’angle droit 12 cm et 5 cm.

\[ \mathcal{A} = \frac{12 \times 5}{2} + \frac{12 \times 5}{2} = 30 + 30 = 60 \text{ cm}^2 \]

Enfin, les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur (voir les codages) : deux côtés de 12 cm et deux côtés de 13 cm. Puis le segment de 5 cm est à l’intérieur, il ne compte pas dans le périmètre.

\[ P = 2 \times (12 + 13) = 50 \text{ cm} \]

De plus, on commence par lire l’échelle : la flèche de 1 cm couvre 2 carreaux, donc 1 carreau = 0,5 cm.

Ainsi, pour chaque parallélogramme, on choisit comme base un côté qui suit une ligne du quadrillage (horizontal ou vertical) : la hauteur associée suit alors elle aussi le quadrillage et se compte en carreaux. De plus, on utilise ensuite \( \mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} \).

• a. Base horizontale : 6 carreaux, soit 3 cm. Hauteur (verticale) : 2 carreaux, soit 1 cm. \( \mathcal{A} = 3 \times 1 = 3 \text{ cm}^2 \).
• b. Base verticale (côté de droite) : 4 carreaux, soit 2 cm. Hauteur (horizontale) : 4 carreaux, soit 2 cm. \( \mathcal{A} = 2 \times 2 = 4 \text{ cm}^2 \).
• c. Base verticale : 7 carreaux, soit 3,5 cm. Hauteur (horizontale) : 5 carreaux, soit 2,5 cm. \( \mathcal{A} = 3{,}5 \times 2{,}5 = 8{,}75 \text{ cm}^2 \).
• d. Base horizontale : 8 carreaux, soit 4 cm. Hauteur (verticale) : 5 carreaux, soit 2,5 cm. \( \mathcal{A} = 4 \times 2{,}5 = 10 \text{ cm}^2 \).

Par conséquent, L’aire d’un parallélogramme est \( \text{base} \times \text{hauteur} \), à condition que la hauteur soit perpendiculaire à la base choisie. Ensuite, il faut donc associer chaque hauteur (repérée par son angle droit) au bon côté, et laisser de côté les longueurs inutiles.

• a. La hauteur de 3 cm est perpendiculaire à [IJ], qui mesure 7 cm : \( \mathcal{A} = 7 \times 3 = 21 \text{ cm}^2 \).
• b. Les pointillés verticaux prolongent (EF) et (GH) ; le segment horizontal de 6,5 cm, perpendiculaire à ces deux droites, est la hauteur relative à [GH], qui mesure 8 cm : \( \mathcal{A} = 8 \times 6{,}5 = 52 \text{ cm}^2 \). (EH = 8 cm ne sert pas ici.)
• c. La hauteur de 6 cm est perpendiculaire à [MN], qui mesure 10 cm : \( \mathcal{A} = 10 \times 6 = 60 \text{ cm}^2 \). La longueur NO = 7 cm est inutile.
• d. RSTU est dessiné dans un rectangle de hauteur 3,7 cm : c’est la distance entre (RS) et (UT), donc la hauteur relative à [RS], qui mesure 10,5 cm : \( \mathcal{A} = 10{,}5 \times 3{,}7 = 38{,}85 \text{ cm}^2 \). (La longueur 6,5 cm est la hauteur relative à l’autre côté [RU], qui n’est pas donné.)

Exercice 52 : Aires de parallélogrammes (suite)

Par ailleurs, ici, on connaît l’aire et on cherche une longueur : on écrit la formule, on remplace ce qu’on connaît, puis on cherche le nombre manquant.

De même, parallélogramme ABCD. \( \mathcal{A} = DC \times h \), donc \( 8 \times h = 24 \). Par ailleurs, on cherche le nombre qui, multiplié par 8, donne 24 :

Par conséquent, on obtient \[ h = 24 \div 8 = 3 \text{ cm} \]

De plus, losange EFGH. L’aire d’un losange est \( \dfrac{\text{grande diagonale} \times \text{petite diagonale}}{2} \), donc \( \dfrac{10 \times FH}{2} = 20 \). Alors \( 10 \times FH = 40 \) et :

Enfin, on a donc \[ FH = 40 \div 10 = 4 \text{ cm} \]

Enfin, vérification : \( 8 \times 3 = 24 \) et \( 10 \times 4 \div 2 = 20 \).

De plus, on tape chaque expression avec la touche π de la calculatrice, puis on arrondit : on regarde le chiffre juste après le rang demandé (s’il vaut 5 ou plus, on augmente le dernier chiffre gardé de 1).

• a. \( 6\pi \approx 18{,}8495\ldots \) : au dixième 18,8 (chiffre suivant 4) ; au millième 18,850 (chiffre suivant 5, donc 18,849 devient 18,850 : on garde le zéro final pour montrer la précision).
• b. \( 15 + \pi \approx 18{,}1415\ldots \) : au dixième 18,1 ; au millième 18,142.
• c. \( \pi + 4 \approx 7{,}1415\ldots \) : au dixième 7,1 ; au millième 7,142.
• d. \( 20 – 3\pi \approx 10{,}5752\ldots \) : au dixième 10,6 (chiffre suivant 7) ; au millième 10,575.

De même, on repère d’abord si la longueur donnée va du centre au cercle (rayon) ou traverse tout le cercle en passant par le centre (diamètre) : en a. et en c. c’est un rayon, en b. et en d. un diamètre.

Par conséquent, formules : périmètre \( P = 2 \times \pi \times r = \pi \times d \) et aire \( \mathcal{A} = \pi \times r \times r \). Puis la valeur exacte s’écrit avec π, sans l’arrondir.

• a. r = 4 cm, d = 8 cm : \( P = 8 \times \pi \text{ cm} \) et \( \mathcal{A} = \pi \times 4 \times 4 = 16 \times \pi \text{ cm}^2 \).
• b. d = 6 cm, r = 3 cm : \( P = 6 \times \pi \text{ cm} \) et \( \mathcal{A} = \pi \times 3 \times 3 = 9 \times \pi \text{ cm}^2 \).
• c. r = 3,5 cm, d = 7 cm : \( P = 7 \times \pi \text{ cm} \) et \( \mathcal{A} = \pi \times 3{,}5 \times 3{,}5 = 12{,}25 \times \pi \text{ cm}^2 \).
• d. d = 5,5 cm, r = 2,75 cm : \( P = 5{,}5 \times \pi \text{ cm} \) et \( \mathcal{A} = \pi \times 2{,}75 \times 2{,}75 = 7{,}5625 \times \pi \text{ cm}^2 \).

Exercice 55 : Aire de disques et arrondis (corrigé aires périmètres) (suite)

De plus, questions.

• Aire de a. : \( 16\pi \approx 50{,}265 \), arrondie au centième : 50,27 cm².
• Périmètre de b. : \( 6\pi \approx 18{,}849 \). Tronquer au dixième, c’est couper sans arrondir : 18,8 cm.
• Périmètre de c. : \( 7\pi \approx 21{,}991 \), arrondi au centième : 21,99 cm.

De même, on utilise \( P = 2 \times \pi \times r \) et \( \mathcal{A} = \pi \times r \times r \), puis on arrondit au dixième.

a. Par conséquent, rayon 6 cm.

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A} = \pi \times 6 \times 6 = 36\pi \approx 113{,}097 \quad \text{donc} \quad \mathcal{A} \approx 113{,}1 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, on obtient \[ P = 2 \times \pi \times 6 = 12\pi \approx 37{,}699 \quad \text{donc} \quad P \approx 37{,}7 \text{ cm} \]

b. Enfin, diamètre 5,2 cm, donc rayon 2,6 cm (on divise par 2 avant de calculer l’aire).

Par conséquent, on a donc \[ \mathcal{A} = \pi \times 2{,}6 \times 2{,}6 = 6{,}76\pi \approx 21{,}237 \quad \text{donc} \quad \mathcal{A} \approx 21{,}2 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, on a \[ P = \pi \times 5{,}2 \approx 16{,}336 \quad \text{donc} \quad P \approx 16{,}3 \text{ cm} \]

Enfin, les résultats sont arrondis au centième.

a. Ensuite, la circonférence est le périmètre du cercle :

Ainsi, on trouve \[ P = 2 \times \pi \times 10 = 20\pi \approx 62{,}83 \text{ cm} \]

b. De même, diamètre 4 cm, donc rayon 2 cm :

De plus, on obtient \[ \mathcal{A} = \pi \times 2 \times 2 = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ cm}^2 \]

c. De plus, la surface délimitée par un demi-cercle est un demi-disque : c’est la moitié de l’aire du disque de rayon 8,6 cm.

Ensuite, on a \[ \mathcal{A} = \frac{\pi \times 8{,}6 \times 8{,}6}{2} = 36{,}98\pi \approx 116{,}18 \text{ cm}^2 \]

d. Enfin, diamètre 11 cm, donc rayon 5,5 cm. Ensuite, un quart de disque a le quart de l’aire du disque :

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A} = \frac{\pi \times 5{,}5 \times 5{,}5}{4} = 7{,}5625\pi \approx 23{,}76 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, le disque entier de rayon 2,5 cm a pour aire \( \pi \times 2{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}25\pi \text{ cm}^2 \). Puis on reconnaît ensuite quelle fraction du disque représente chaque figure (les angles droits aident).

• a. Un quart de disque : \( \mathcal{A} = 6{,}25\pi \div 4 \approx 4{,}908 \), soit 4,91 cm².
• b. Un demi-disque : \( \mathcal{A} = 6{,}25\pi \div 2 \approx 9{,}817 \), soit 9,82 cm².
• c. Il manque un quart (l’angle droit découpé), il reste trois quarts du disque : \( \mathcal{A} = 6{,}25\pi \times 3 \div 4 \approx 14{,}726 \), soit 14,73 cm².

Par conséquent, a. Aire. La figure est un rectangle de 90 m sur 65 m, plus deux demi-disques de diamètre 65 m. Deux demi-disques identiques forment un disque entier de rayon \( 65 \div 2 = 32{,}5 \text{ m} \).

Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 90 \times 65 + \pi \times 32{,}5 \times 32{,}5 \\ &= 5\,850 + 1\,056{,}25\pi \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Ainsi, C’est la valeur exacte (environ 9 168,31 m²).

Enfin, b. Périmètre. Les quatre côtés portent le même codage : c’est un carré de côté 70 cm. De plus, le côté du haut est à l’intérieur de la figure et ne compte pas dans le contour. Ensuite, le contour est formé de 3 côtés du carré et d’un demi-cercle de diamètre 70 cm, dont la longueur est la moitié de \( \pi \times 70 \).

Enfin, on a donc \[ \begin{aligned} P &= 3 \times 70 + \frac{\pi \times 70}{2} \\ &= 210 + 35\pi \text{ cm} \end{aligned} \]

Ensuite, on a (environ 319,96 cm).

Enfin, sur l’image, la longueur BC est coupée au bord ; on lit la fin de « m » et le chiffre qui la précède correspond à 5 m, ce que confirment les proportions du dessin (la hauteur de 2 m vaut les deux cinquièmes de la largeur du carré). Par ailleurs, on prend donc BC = 5 m.

Ensuite, la partie colorée = carré + demi-disque − triangle blanc.

• Carré ABCD de côté 5 m : \( 5 \times 5 = 25 \text{ m}^2 \).
• Demi-disque de diamètre [AB] = 5 m, donc de rayon 2,5 m : \( \dfrac{\pi \times 2{,}5 \times 2{,}5}{2} = 3{,}125\pi \approx 9{,}817 \text{ m}^2 \).
• Triangle blanc de base DC = 5 m et de hauteur 2 m : \( \dfrac{5 \times 2}{2} = 5 \text{ m}^2 \).

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A} = 25 + 3{,}125\pi – 5 = 20 + 3{,}125\pi \approx 29{,}817 \]

Enfin, la question porte sur la longueur de la spirale. Sur le quadrillage (1 carreau = 1 cm), les points A, B, C, D, E, F sont alignés et l’on lit :

• 1^er demi-cercle de A à B : diamètre AB = 2 cm ;
• 2^e de B à C : diamètre BC = 4 cm ;
• 3^e de C à D : diamètre CD = 6 cm ;
• 4^e de D à E : diamètre 8 cm ; 5^e de E à F : diamètre 10 cm.

Ensuite, les diamètres augmentent de 2 cm à chaque demi-cercle. Puis un demi-cercle de diamètre d mesure \( \dfrac{\pi \times d}{2} \) : les longueurs sont donc π, 2π, 3π, 4π… cm. Ensuite, on additionne au fur et à mesure :

Exercice 61 : Calcul de l aire d une ensaïmada (suite)

Par ailleurs, avec 7 demi-cercles, la spirale mesure environ 88 cm, moins de 1 m = 100 cm. Avec 8 demi-cercles, elle mesure environ 113 cm : elle dépasse 1 m.

Enfin, figure 1 : la couronne. C’est le grand disque (rayon 3 cm) moins le petit disque (rayon 2 cm) :

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A} = \pi \times 3 \times 3 – \pi \times 2 \times 2 = 9\pi – 4\pi = 5\pi \approx 15{,}71 \text{ cm}^2 \]

Par ailleurs, figure 2 : la « flèche » ABDC. On met toutes les longueurs dans la même unité : AD = 1 m = 100 cm. Donc \( AH = AD + DH = 100 + 25 = 125 \text{ cm} \). Puis la surface grisée est le triangle ABC moins le triangle blanc DBC, qui ont la même base [BC] :

Par conséquent, on a donc \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= \frac{60 \times 125}{2} – \frac{60 \times 25}{2} \\ &= 3\,750 – 750 \\ &= 3\,000 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Par conséquent, soit 3 000 cm² = 0,3 m².

De plus, figure 3 : le carré moins le disque. Le disque touche les quatre côtés : son diamètre est 7 cm, son rayon 3,5 cm.

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A} = 7 \times 7 – \pi \times 3{,}5 \times 3{,}5 = 49 – 12{,}25\pi \approx 10{,}52 \text{ cm}^2 \]

i. Par conséquent, aire du carré : \( 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 \).

De plus, chaque demi-disque a pour diamètre un côté du carré, soit 6 cm, donc un rayon de 3 cm. Quatre demi-disques font deux disques entiers :

De plus, on obtient \[ 4 \times \frac{\pi \times 3 \times 3}{2} = 18\pi \approx 56{,}55 \text{ cm}^2 \]

Enfin, la somme des aires des quatre demi-disques (environ 56,55 cm²) est plus grande que l’aire du carré (36 cm²), alors que les demi-disques sont tous dans le carré : c’est qu’ils se chevauchent.

ii. Ensuite, chaque pétale coloré est la partie commune à deux demi-disques voisins, et chaque partie blanche n’est recouverte que par un seul demi-disque. De plus, en additionnant les quatre demi-disques, on compte donc tout le carré une fois, et les pétales une deuxième fois :

Ainsi, on trouve \[ 18\pi = 36 + \mathcal{A}_{\text{pétales}} \quad \text{donc} \quad \mathcal{A}_{\text{pétales}} = 18\pi – 36 \approx 20{,}55 \text{ cm}^2 \]

i. Enfin, la surface verte est le disque (rayon \( 20 \div 2 = 10 \text{ cm} \)) moins le carré :

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A} = \pi \times 10 \times 10 – 14 \times 14 = 100\pi – 196 \approx 118{,}16 \text{ cm}^2 \]

ii. Par ailleurs, la surface bleue est le grand disque (rayon 6 cm) moins les cinq petits disques (rayon 2 cm) :

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= \pi \times 6 \times 6 – 5 \times \pi \times 2 \times 2 \\ &= 36\pi – 20\pi \\ &= 16\pi \approx 50{,}27 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Ensuite, pour calculer l’aire d’un parallélogramme, il faut un côté et la hauteur qui lui est perpendiculaire. Connaître deux côtés ne suffit pas.

• Figure 1. Les codages donnent AD = BC = 10 et AB = DC = 15. La hauteur [DH] est tracée, mais sa longueur n’est pas donnée : calcul impossible.
• Figure 2. Les codages donnent BC = AD = 6 et CD = AB = 12. Le segment de longueur 11 part de B et est perpendiculaire à (AD) : c’est la hauteur relative au côté [AD], qui mesure 6. \( \mathcal{A} = 6 \times 11 = 66 \) (en unités d’aire).
• Figure 3. AB = DC = 7 et AD = BC = 18. La hauteur issue de B est tracée, mais sans longueur (le 7 est la longueur du côté [AB]) : calcul impossible.

Ainsi, lecture de la figure. Le corps de la figure est un rectangle dont la hauteur est le diamètre des demi-cercles, 24 cm. Sa longueur se lit avec les créneaux : 6 carrés et 5 espaces de même largeur, soit \( 11 \times 3 = 33 \text{ cm} \). Ensuite, il y a 12 petits carrés (6 en haut, 6 en bas) et les deux demi-disques forment un disque de rayon 12 cm.

Enfin, i. Aire.

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 33 \times 24 + 12 \times 3 \times 3 + \pi \times 12 \times 12 \\ &= 792 + 108 + 144\pi \\ &= 900 + 144\pi \approx 1\,352{,}39 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Par ailleurs, ii. Périmètre. Les deux demi-cercles forment un cercle entier : \( \pi \times 24 = 24\pi \text{ cm} \). Par ailleurs, le bord du haut suit les créneaux : 33 cm de longueur horizontale au total, plus les deux côtés verticaux de chaque carré, soit \( 6 \times 2 \times 3 = 36 \text{ cm} \). Puis le bord du haut mesure \( 33 + 36 = 69 \text{ cm} \), le bord du bas aussi.

Ensuite, on a \[ P = 69 + 69 + 24\pi = 138 + 24\pi \approx 213{,}40 \text{ cm} \]

Ensuite, chaque quart de disque a pour centre un sommet du carré, et son rayon s’allonge de 5 cm à chaque fois : bleu 5 cm, orange \( 5 + 5 = 10 \text{ cm} \), rouge \( 10 + 5 = 15 \text{ cm} \), vert \( 15 + 5 = 20 \text{ cm} \).

Par ailleurs, i. Aire. Un quart de disque de rayon r a pour aire \( \dfrac{\pi \times r \times r}{4} \).

Ainsi, on trouve \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= 5 \times 5 + \frac{\pi \times (25 + 100 + 225 + 400)}{4} \\ &= 25 + \frac{750\pi}{4} \\ &= 25 + 187{,}5\pi \approx 614{,}05 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Par conséquent, ii. Périmètre. Un quart de cercle de rayon r mesure \( \dfrac{2 \times \pi \times r}{4} = \dfrac{\pi \times r}{2} \). Ensuite, le contour est formé des quatre arcs, puis du rayon du quart vert (20 cm) qui ramène au point de départ, le coin du carré :

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} P &= \frac{\pi \times (5 + 10 + 15 + 20)}{2} + 20 \\ &= 25\pi + 20 \approx 98{,}54 \text{ cm} \end{aligned} \]

De même, L’aire d’un triangle est \( \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \), avec une hauteur perpendiculaire à la base choisie. Puis il suffit donc de trouver un côté et la hauteur qui tombe sur ce côté (ou sur son prolongement).

• Figure 1. La hauteur issue de C mesure 3 et tombe sur [AB], qui mesure 9 : \( \mathcal{A} = \dfrac{9 \times 3}{2} = 13{,}5 \). AC = 5 et BC = 6 ne servent pas.
• Figure 2. La hauteur issue de B mesure 4 et tombe sur [AC], qui mesure 7 : \( \mathcal{A} = \dfrac{7 \times 4}{2} = 14 \).
• Figure 3. La hauteur issue de C mesure 3,5 et tombe sur le prolongement de [AB] (triangle à angle obtus) ; la base est AB = 8,5 : \( \mathcal{A} = \dfrac{8{,}5 \times 3{,}5}{2} = 14{,}875 \).

Par conséquent, les trois aires sont donc calculables : aucune case « Impossible » n’est à cocher.

Par ailleurs, on repère la fraction de disque : l’angle droit enlevé laisse 3/4 du disque, l’angle droit de la figure bleue donne 1/4, et 120° sur 360° donne 1/3. De plus, le contour de chaque portion comprend l’arc et deux rayons.

Également, de même, figure 1 (rayon 12 cm, trois quarts de disque).

De plus, on a donc \[ \mathcal{A} = \frac{3}{4} \times \pi \times 12 \times 12 = 108\pi \approx 339{,}29 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, on a \[ P = \frac{3}{4} \times 2 \times \pi \times 12 + 2 \times 12 = 18\pi + 24 \approx 80{,}55 \text{ cm} \]

Ainsi, figure 2 (rayon 8 cm, quart de disque).

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A} = \frac{1}{4} \times \pi \times 8 \times 8 = 16\pi \approx 50{,}27 \text{ cm}^2 \]

Exercice 69 : Calcul de l aire et périmètre de portion de disque (suite)

De plus, on obtient \[ P = \frac{1}{4} \times 2 \times \pi \times 8 + 2 \times 8 = 4\pi + 16 \approx 28{,}57 \text{ cm} \]

Par ailleurs, figure 3 (rayon 7 cm, secteur de 120°, soit un tiers de disque).

Ensuite, on a \[ \mathcal{A} = \frac{1}{3} \times \pi \times 7 \times 7 = \frac{49\pi}{3} \approx 51{,}31 \text{ cm}^2 \]

Ainsi, on trouve \[ P = \frac{1}{3} \times 2 \times \pi \times 7 + 2 \times 7 = \frac{14\pi}{3} + 14 \approx 28{,}66 \text{ cm} \]

Par ailleurs, les triangles ABI et ACI ont leur base sur la même droite (BC), et le même sommet A. Leur hauteur issue de A est donc la même : c’est AH, la distance de A à la droite (BC).

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A}_{ABI} = \frac{BI \times AH}{2} \qquad \text{et} \qquad \mathcal{A}_{ACI} = \frac{IC \times AH}{2} \]

Or I est le milieu de [BC], donc BI = IC. Ensuite, les deux formules donnent le même résultat :

Ensuite, on a \[ \mathcal{A}_{ABI} = \frac{BI \times AH}{2} = \frac{IC \times AH}{2} = \mathcal{A}_{ACI} \]

Par ailleurs, À retenir : une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire, chacun valant la moitié de l’aire de ABC.

Enfin, pour construire la figure en vraie grandeur, il faut d’abord trouver le centre et le rayon de chaque cercle. Chaque cercle (ou demi-cercle) a pour diamètre un segment de la droite (AD) : son centre est le milieu de ce segment et son rayon est la moitié de sa longueur.

Ensuite, longueur totale : \( AD = 5 + 2{,}5 + 5 = 12{,}5 \text{ cm} \).

Exercice 71 : Construire une figure contenant des cercles (suite)

Par ailleurs, programme de construction :

1. Tracer un segment [AD] de 12,5 cm. Placer B à 5 cm de A et C à 7,5 cm de A (donc CD = 5 cm).
2. Placer les centres O1 (à 2,5 cm de A), O4 (à 3,75 cm de A), O3 (à 8,75 cm de A) et O2 (à 10 cm de A).
3. Au compas, tracer le cercle de centre O1 et de rayon 2,5 cm (il passe par A et B), puis le cercle de centre O2 et de rayon 2,5 cm (il passe par C et D).
4. Tracer le demi-cercle de centre O3 et de rayon 3,75 cm au-dessus de (AD) : il va de B à D.
5. Tracer le demi-cercle de centre O4 et de rayon 3,75 cm au-dessous de (AD) : il va de A à C.
6. Colorier le disque de diamètre [AB].

Exercice 71 : Construire une figure contenant des cercles (suite)

De même, contrôle : chaque arc doit passer exactement par les extrémités de son diamètre (A, B, C ou D) ; sinon, le centre ou l’écartement du compas est mal placé.

Ensuite, la zone bleue est formée de deux triangles qui ont en commun le côté vertical de 3,5 m.

Par ailleurs, triangle T1 (à gauche) : il est rectangle, de base 5,8 m et de hauteur 3,5 m.

Ainsi, on a donc \[ \mathcal{A}_1 = \frac{5{,}8 \times 3{,}5}{2} = \frac{20{,}3}{2} = 10{,}15 \text{ m}^2 \]

Par conséquent, triangle T2 (à droite) : on prend le côté de 5,2 m comme base ; la hauteur relative à ce côté mesure 2,8 m (elle est perpendiculaire au côté de 5,2 m).

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A}_2 = \frac{5{,}2 \times 2{,}8}{2} = \frac{14{,}56}{2} = 7{,}28 \text{ m}^2 \]

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A} = 10{,}15 + 7{,}28 = 17{,}43 \text{ m}^2 \]

Par conséquent, les quatre côtés de la partie gauche portent le même codage et ont quatre angles droits : c’est un carré de côté 2 dm. Par ailleurs, la plaque est donc ce carré plus un triangle rectangle de côtés de l’angle droit 2 dm et 1,5 dm.

a. De plus, le périmètre est la longueur du contour (en rouge) : côté gauche 2 dm, côté du haut 2 dm, côté oblique 2,5 dm, côté du bas 2 + 1,5 = 3,5 dm. Puis la ligne en pointillés est à l’intérieur : elle ne compte pas.

De plus, on obtient \[ \mathcal{P} = 2 + 2 + 2{,}5 + 3{,}5 = 10 \text{ dm} \]

b. Enfin, aire du carré : \( 2 \times 2 = 4 \text{ dm}^2 \). Aire du triangle rectangle : \( \dfrac{1{,}5 \times 2}{2} = 1{,}5 \text{ dm}^2 \).

Ensuite, on a \[ \mathcal{A} = 4 + 1{,}5 = 5{,}5 \text{ dm}^2 \]

Ainsi, les deux hauteurs tracées découpent le tissu en un rectangle et deux triangles rectangles, tous de hauteur 3 m.

• Triangle T1 : \( \dfrac{1{,}5 \times 3}{2} = 2{,}25 \text{ m}^2 \) ;
• Rectangle R : \( 5 \times 3 = 15 \text{ m}^2 \) ;
• Triangle T2 : \( \dfrac{1 \times 3}{2} = 1{,}5 \text{ m}^2 \).

Ensuite, on a \[ \mathcal{A} = 2{,}25 + 15 + 1{,}5 = 18{,}75 \text{ m}^2 \]

De plus, pour chaque triangle, on choisit un côté comme base et la hauteur qui lui est perpendiculaire : \( \mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \). Ensuite, les autres longueurs (8,9 cm, 17 cm) ne servent pas.

Ainsi, triangle ABC : rectangle en B, donc [AB] et [BC] sont perpendiculaires.

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{8 \times 3{,}9}{2} = \frac{31{,}2}{2} = 15{,}6 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, triangle DEF : base DE = 16 cm, hauteur issue de F = 15 cm.

De plus, on obtient \[ \mathcal{A}_{DEF} = \frac{16 \times 15}{2} = \frac{240}{2} = 120 \text{ cm}^2 \]

De même, triangle MNO : base MN = MH + HN = 2 + 4,3 = 6,3 cm, hauteur OH = 5,2 cm.

Ensuite, on a \[ \mathcal{A}_{MNO} = \frac{6{,}3 \times 5{,}2}{2} = \frac{32{,}76}{2} = 16{,}38 \text{ cm}^2 \]

Enfin, on a donc 1. Aire du devant du chapeau. On prend la base 25 cm et la hauteur 12 cm :

Ensuite, on a \[ \mathcal{A} = \frac{25 \times 12}{2} = 150 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, vérification : le triangle est rectangle au sommet, on peut aussi utiliser les deux côtés de l’angle droit : \( \dfrac{15 \times 20}{2} = 150 \text{ cm}^2 \). Puis on retrouve le même résultat.

Par conséquent, on obtient 2. Masse de paillettes. Il faut 5 g pour 20 cm². Or \( 150 \div 20 = 7{,}5 \) : la surface contient 7,5 fois 20 cm².

De plus, on obtient \[ 7{,}5 \times 5 = 37{,}5 \text{ g} \]

De même, on a donc 3. Nombre de tubes. Un tube contient 5 g : \( 37{,}5 \div 5 = 7{,}5 \) tubes. De plus, on ne peut pas acheter un demi-tube : 7 tubes (35 g) ne suffisent pas, il faut donc en acheter 8.

1. De plus, longueur du tour du jardin carré : \( 4 \times 24 = 96 \text{ m} \). Ensuite, on ne met pas de grillage sur l’ouverture de 4 m :

De plus, on a donc \[ 96 – 4 = 92 \text{ m de grillage} \qquad 92 \times 15 = 1\,380 \text{ €} \]

Enfin, M. Paul paiera 1 380 €.

2. Ensuite, le côté gauche porte le même codage que le côté du bas : il mesure donc 3,7 m. Par ailleurs, on découpe le terrain en trois morceaux :

• Rectangle R1 : \( 2{,}5 \times 3{,}7 = 9{,}25 \text{ m}^2 \) ;
• R2 : sa largeur est \( 3{,}7 – 2{,}5 = 1{,}2 \text{ m} \) et sa hauteur 1,2 m, c’est un carré : \( 1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44 \text{ m}^2 \) ;
• Triangle rectangle T : côtés de l’angle droit 1,2 m et \( 3{,}7 – 1{,}2 = 2{,}5 \text{ m} \), donc \( \dfrac{1{,}2 \times 2{,}5}{2} = 1{,}5 \text{ m}^2 \).

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A} = 9{,}25 + 1{,}44 + 1{,}5 = 12{,}19 \text{ m}^2 \qquad 12{,}19 \times 18 = 219{,}42 \text{ €} \]

Enfin, L’anneau est le grand disque (rayon OC = 4 cm) dont on a enlevé le petit disque (rayon OB = 2 cm). Puis l’aire d’un disque de rayon \( r \) est \( \pi \times r \times r \).

Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= \pi \times 4 \times 4 – \pi \times 2 \times 2 \\ &= 16\pi – 4\pi \\ &= 12\pi \\ &\approx 37{,}70 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Par ailleurs, attention : on soustrait les aires, pas les rayons. Ensuite, un disque de rayon \( 4 – 2 = 2 \text{ cm} \) donnerait un résultat faux.

Enfin, les trois disques se touchent sans se chevaucher : l’aire totale est la somme des aires des trois disques.

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= \pi \times 3 \times 3 + \pi \times 2 \times 2 + \pi \times 4 \times 4 \\ &= 9\pi + 4\pi + 16\pi \\ &= 29\pi \\ &\approx 91{,}1 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Ainsi, on regarde bien si le segment tracé part du centre (rayon) ou traverse tout le disque (diamètre, à diviser par 2). Puis \( \mathcal{A} = \pi \times r \times r \).

• n°1 : rayon 2 cm. \( \mathcal{A} = \pi \times 2 \times 2 = 4\pi \approx 12{,}6 \text{ cm}^2 \).
• n°2 : le segment de 2 cm est un diamètre, donc \( r = 1 \text{ cm} \). \( \mathcal{A} = \pi \times 1 \times 1 = \pi \approx 3{,}1 \text{ cm}^2 \).
• n°3 : rayon 1,4 cm. \( \mathcal{A} = \pi \times 1{,}4 \times 1{,}4 = 1{,}96\pi \approx 6{,}2 \text{ cm}^2 \).
• n°4 : diamètre 4,5 cm, donc \( r = 2{,}25 \text{ cm} \). \( \mathcal{A} = \pi \times 2{,}25 \times 2{,}25 = 5{,}0625\pi \approx 15{,}9 \text{ cm}^2 \).

Par conséquent, la forme est un rectangle avec un demi-disque à chaque bout. Puis les demi-disques ont pour diamètre la largeur 2 m, donc un rayon de 1 m.

De plus, attention : les 6,5 m comprennent les deux arrondis. Longueur du rectangle : \( 6{,}5 – 1 – 1 = 4{,}5 \text{ m} \).

• Rectangle : \( 4{,}5 \times 2 = 9 \text{ m}^2 \) ;
• deux demi-disques de rayon 1 m forment un disque entier : \( \pi \times 1 \times 1 = \pi \approx 3{,}14 \text{ m}^2 \).

De plus, on obtient \[ \mathcal{A} = 9 + \pi \approx 12{,}14 \text{ m}^2 \]

Par conséquent, la zone coloriée est le carré de côté 8 auquel on retire 4 demi-disques de diamètre 4, donc de rayon 2. L’énoncé ne donne pas d’unité : le résultat est en unités d’aire.

• Carré : \( 8 \times 8 = 64 \) ;
• 4 demi-disques = 2 disques entiers de rayon 2 : \( 2 \times \pi \times 2 \times 2 = 8\pi \approx 25{,}13 \).

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A} = 64 – 8\pi \approx 38{,}87 \]

De même, la longueur d’un cercle est \( \pi \times d \) (diamètre) ou \( 2 \times \pi \times r \) (rayon).

• n°1 : rayon 2 cm, \( L = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}57 \text{ cm} \).
• n°2 : diamètre 2 cm, \( L = \pi \times 2 = 2\pi \approx 6{,}28 \text{ cm} \).
• n°3 : rayon 1,4 cm, \( L = 2 \times \pi \times 1{,}4 = 2{,}8\pi \approx 8{,}80 \text{ cm} \).
• n°4 : diamètre 4,5 cm, \( L = \pi \times 4{,}5 = 4{,}5\pi \approx 14{,}14 \text{ cm} \).

Ensuite, pour les aires, on passe d’une unité à l’unité voisine en multipliant ou divisant par 100 (deux chiffres par colonne dans le tableau de conversion). À retenir aussi : 1 a = 1 dam² = 100 m² et 1 ha = 1 hm² = 10 000 m².

Ensuite, on a 1. Recopie et complète.

• a. 4 dam² = 400 m² (× 100)
• b. 15 hm² = 150 000 m² (× 10 000)
• c. 5,1 cm² = 510 mm² (× 100)
• d. 1 350 mm² = 13,5 cm² (÷ 100)
• e. 5,2 km² = 5 200 000 m² (× 1 000 000)
• f. 0,7 m² = 0,007 dam² (÷ 100)
• g. 320 a = 32 000 m² (× 100)
• h. 2,5 ha = 25 000 m² (× 10 000)
• i. 15 300 mm² = 153 cm² = 1,53 dm² = 0,0153 m²

Ainsi, on trouve 2. En m².

• a. 2 km² = 2 000 000 m²
• b. 37 000 dm² = 370 m²
• c. 45 300 mm² = 0,0453 m²
• d. 153,7 dam² = 15 370 m²
• e. 28,9 cm² = 0,00289 m²
• f. 3,008 hm² = 30 080 m²
• g. 52 a = 5 200 m²
• h. 0,05 ha = 500 m²
• i. 200 ha = 2 000 000 m²

Exercice 84 : Convertir des surfaces (suite)

Par conséquent, on obtient 3. En cm². (1 m² = 10 000 cm² ; 1 dam² = 1 000 000 cm²)

• a. 15 mm² = 0,15 cm²
• b. 28 dm² = 2 800 cm²
• c. 17 300 mm² = 173 cm²
• d. 73,1 m² = 731 000 cm²
• e. 0,004 m² = 40 cm²
• f. 27,008 dam² = 27 008 000 cm²
• g. 0,08 mm² = 0,0008 cm²
• h. 13 a = 1 300 m² = 13 000 000 cm²
• i. 0,0105 a = 1,05 m² = 10 500 cm²

Par ailleurs, trouver les rayons. Les six petits disques de rayon 1 cm (diamètre 2 cm) sont alignés sur le diamètre horizontal du grand disque.

• Chaque disque blanc contient 3 petits disques sur son diamètre : diamètre \( 3 \times 2 = 6 \text{ cm} \), donc rayon 3 cm.
• Le grand disque contient les 6 petits disques sur son diamètre : diamètre \( 6 \times 2 = 12 \text{ cm} \), donc rayon 6 cm.

De même, calculer l’aire violette. On part du grand disque, on enlève les deux disques blancs, puis on rajoute les six petits disques violets qui sont dans les disques blancs.

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= \pi \times 6 \times 6 – 2 \times \pi \times 3 \times 3 + 6 \times \pi \times 1 \times 1 \\ &= 36\pi – 18\pi + 6\pi \\ &= 24\pi \\ &\approx 75{,}4 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Par ailleurs, L’aire d’un secteur est proportionnelle à son angle : le disque entier correspond à 360°. Donc \( \mathcal{A}_{\text{secteur}} = \pi \times r \times r \times \dfrac{\text{angle}}{360} \).

• Secteur de centre O (6 cm, 40°) : \( \pi \times 6 \times 6 \times \dfrac{40}{360} = 36\pi \times \dfrac{1}{9} = 4\pi \approx 12{,}6 \text{ cm}^2 \).
• Secteur de centre A (7 cm, 110°) : \( \pi \times 7 \times 7 \times \dfrac{110}{360} = 49\pi \times \dfrac{11}{36} \approx 47{,}0 \text{ cm}^2 \).
• Secteur de centre D (4 cm, 115°) : \( \pi \times 4 \times 4 \times \dfrac{115}{360} = 16\pi \times \dfrac{23}{72} \approx 16{,}1 \text{ cm}^2 \).

Enfin, figure de gauche : disque de rayon 3 cm.

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A} = \pi \times 3 \times 3 = 9\pi \approx 28{,}27 \text{ cm}^2 \]

Par ailleurs, figure de droite : CD = 4 + 2 = 6 cm. De plus, elle est formée :

• d’un grand demi-disque au-dessus de [CD], de rayon 3 cm ;
• dont on enlève le petit demi-disque au-dessus de [ED], de rayon 1 cm ;
• auquel on ajoute le demi-disque au-dessous de [CE], de rayon 2 cm.

Par conséquent, on a donc \[ \begin{aligned} \mathcal{A} &= \frac{\pi \times 3 \times 3}{2} – \frac{\pi \times 1 \times 1}{2} + \frac{\pi \times 2 \times 2}{2} \\ &= 4{,}5\pi – 0{,}5\pi + 2\pi \\ &= 6\pi \\ &\approx 18{,}85 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Ensuite, a. Construction.

• Figure orange : tracer un segment de 10 cm et le partager en 4 parts de 2,5 cm (le codage indique des longueurs égales). Tracer le demi-cercle du bas de centre le milieu et de rayon 5 cm, puis au-dessus les deux demi-cercles de rayon 2,5 cm, centrés à 2,5 cm et à 7,5 cm de l’extrémité gauche (les croix).
• Figure verte : tracer un carré de côté 6 cm posé sur une pointe, puis sur chacun des deux côtés du haut un demi-cercle vers l’extérieur, de centre le milieu du côté (les croix) et de rayon 3 cm.

Par ailleurs, b. Périmètres. Un demi-cercle de diamètre \( d \) mesure \( \dfrac{\pi \times d}{2} \).

De même, figure orange (grand demi-cercle de diamètre 10 cm et deux demi-cercles de diamètre 5 cm) :

Exercice 88 : Périmètre et aires de figures (suite)

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{P}_1 = \frac{\pi \times 10}{2} + 2 \times \frac{\pi \times 5}{2} = 5\pi + 5\pi = 10\pi \approx 31{,}42 \text{ cm} \]

De plus, figure verte (deux côtés du carré et deux demi-cercles de diamètre 6 cm ; les côtés en pointillés sont à l’intérieur) :

De plus, on obtient \[ \mathcal{P}_2 = 6 + 6 + 2 \times \frac{\pi \times 6}{2} = 12 + 6\pi \approx 30{,}85 \text{ cm} \]

Enfin, C’est la figure orange qui a le plus grand périmètre.

Ensuite, c. Aires.

Ainsi, on trouve \[ \mathcal{A}_1 = \frac{\pi \times 5 \times 5}{2} + 2 \times \frac{\pi \times 2{,}5 \times 2{,}5}{2} = 12{,}5\pi + 6{,}25\pi = 18{,}75\pi \approx 58{,}90 \text{ cm}^2 \]

Par conséquent, on obtient \[ \mathcal{A}_2 = 6 \times 6 + 2 \times \frac{\pi \times 3 \times 3}{2} = 36 + 9\pi \approx 64{,}27 \text{ cm}^2 \]

Exercice 88 : Périmètre et aires de figures (suite)

Par conséquent, C’est la figure verte qui a la plus grande aire : la figure qui a le plus grand périmètre n’a pas forcément la plus grande aire.