Corrigé des 38 exercices de calcul littéral en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Par ailleurs, une BD coûte \(x\) euros.

a) De même, un CD coûte 2 € de plus qu’une BD : le prix d’un CD est \(x + 2\) euros.

b) Par conséquent, un livre coûte 2 € de plus qu’un CD :

\[ (x + 2) + 2 = x + 4 \]

De plus, le prix d’un livre est \(x + 4\) euros.

c) Ainsi, paul achète 4 CD :

\[ 4 \times (x + 2) = 4 \times x + 4 \times 2 = 4x + 8 \]

Enfin, paul dépense \(4x + 8\) euros.

d) Ensuite, louise achète 2 BD et 2 livres :

\[ \begin{aligned} 2 \times x + 2 \times (x + 4) &= 2x + 2x + 8 \\ &= 4x + 8 \end{aligned} \]

Par ailleurs, louise dépense \(4x + 8\) euros.

e) De même, les deux montants s’écrivent \(4x + 8\) : quelle que soit la valeur de \(x\), Paul et Louise ont dépensé la même somme.

Ensuite, dans l’énoncé, le « x » droit est le signe de multiplication. Puis on peut le supprimer devant une lettre ou une parenthèse, mais pas entre deux nombres (on effectue alors le produit). Ensuite, le nombre s’écrit en premier.

• \(A = 13 \times z = \mathbf{13z}\)
• \(B = 4 \times 5 = \mathbf{20}\) (entre deux nombres, on calcule)
• \(C = (4 – x) \times 3 = \mathbf{3(4 – x)}\)
• \(D = 4 \times a \times b = \mathbf{4ab}\)
• \(E = a \times b + 7 \times x + 5 = \mathbf{ab + 7x + 5}\)
• \(F = 5 \times (x + 3) = \mathbf{5(x + 3)}\)
• \(G = x \times (y + 2) = \mathbf{x(y + 2)}\)

Ainsi, on remplace \(y\) par la valeur donnée, en rétablissant le signe \(\times\), puis on applique la priorité de la multiplication.

a) Enfin, pour \(y = 0\) : \(E = 7 \times 0 – 3 = 0 – 3 = \mathbf{-3}\).

b) Ensuite, pour \(y = 3\) : \(E = 7 \times 3 – 3 = 21 – 3 = \mathbf{18}\).

c) Par ailleurs, pour \(y = 1{,}2\) : \(E = 7 \times 1{,}2 – 3 = 8{,}4 – 3 = \mathbf{5{,}4}\).

Enfin, on effectue d’abord les produits, puis on regroupe les termes en \(x\) (ou en \(a\), \(t\), \(y\)) et les nombres seuls.

\[ \begin{aligned} A &= x + 2x + 7x + 9y + 3x – 5y \\ &= (1 + 2 + 7 + 3)x + (9 – 5)y \\ &= 13x + 4y \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= 5 + 2x + 4 + 7x \\ &= (2 + 7)x + (5 + 4) \\ &= 9x + 9 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= 3t + 4t + 7t – 5 \\ &= 14t – 5 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= 2x + 3 + 4 \times 2x + 3 \times 5x + 11 \times 2 \\ &= 2x + 3 + 8x + 15x + 22 \\ &= 25x + 25 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E &= 25 + 5a + 11 + 3a – a + 5 \\ &= (5 + 3 – 1)a + (25 + 11 + 5) \\ &= 7a + 41 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F &= 5{,}3 + 2 \times 5x + 3{,}2 – 3 \times 2x – 1{,}6 \\ &= 5{,}3 + 10x + 3{,}2 – 6x – 1{,}6 \\ &= 4x + 6{,}9 \end{aligned} \]

1. De plus, la longueur est formée de 4 segments codés de même longueur \(x\) :

\[ L = x + x + x + x = 4x \]

2. Ainsi, périmètre d’un rectangle : \(P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})\).

\[ \begin{aligned} P &= 2 \times (4x + 7) \\ &= 8x + 14 \end{aligned} \]

3. Enfin, pour \(x = 5\) m : \(P = 8 \times 5 + 14 = 40 + 14 = 54\) m.

Ensuite, pour \(x = 2\) m : \(P = 8 \times 2 + 14 = 16 + 14 = 30\) m.

Ainsi, on regroupe les nombres (on les multiplie), on les écrit devant les lettres et on supprime le signe \(\times\).

• \(A = 3 \times a \times 5 = 3 \times 5 \times a = \mathbf{15a}\)
• \(B = 8 \times a \times b \times 3 = 8 \times 3 \times a \times b = \mathbf{24ab}\)
• \(C = 2 \times a + 5 \times a = 2a + 5a = \mathbf{7a}\)
• \(D = 3 \times x – 4 \times y = \mathbf{3x – 4y}\) (termes différents : on ne peut pas réduire davantage)
• \(E = 3 + 2 \times 1{,}5 \times \pi = \mathbf{3 + 3\pi}\) (on ne peut pas ajouter 3 et \(3\pi\))

Par conséquent, on rétablit les signes \(\times\) : \(A = 2 \times b \times (a – 3)\), puis on remplace \(a\) par 7 et \(b\) par 5. Puis les parenthèses sont prioritaires.

\[ \begin{aligned} A &= 2 \times 5 \times (7 – 3) \\ &= 2 \times 5 \times 4 \\ &= 40 \end{aligned} \]

Par ailleurs, on décompose le nombre proche d’une centaine, puis on applique \(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\) (ou avec une différence).

a)

\[ \begin{aligned} 37 \times 102 &= 37 \times (100 + 2) \\ &= 37 \times 100 + 37 \times 2 \\ &= 3\,700 + 74 = 3\,774 \end{aligned} \]

b)

\[ \begin{aligned} 65 \times 99 &= 65 \times (100 – 1) \\ &= 65 \times 100 – 65 \times 1 \\ &= 6\,500 – 65 = 6\,435 \end{aligned} \]

Ensuite, le terrain est un rectangle de largeur 15 m, formé du verger (17 m de long) et de la pelouse (20 m de long).

Par ailleurs, expression avec parenthèses (on calcule d’abord la longueur totale) :

\[ \mathcal{A} = 15 \times (17 + 20) \]

De même, expression sans parenthèses (on ajoute les aires des deux rectangles) :

\[ \mathcal{A} = 15 \times 17 + 15 \times 20 \]

Par conséquent, calcul :

\[ \begin{aligned} 15 \times (17 + 20) &= 15 \times 37 = 555 \\ 15 \times 17 + 15 \times 20 &= 255 + 300 = 555 \end{aligned} \]

De plus, les deux expressions donnent le même résultat : c’est la distributivité.

De même, on multiplie le facteur placé devant la parenthèse par chacun des termes de la parenthèse : \(k(a + b) = ka + kb\) et \(k(a – b) = ka – kb\).

\[ \begin{aligned} A &= 5(x + 2) = 5 \times x + 5 \times 2 = 5x + 10 \\ B &= 3(4y – 3) = 3 \times 4y – 3 \times 3 = 12y – 9 \\ C &= 7(x – 5) = 7 \times x – 7 \times 5 = 7x – 35 \\ D &= 2(4x – 3{,}4) = 2 \times 4x – 2 \times 3{,}4 = 8x – 6{,}8 \end{aligned} \]

Ensuite, la figure est formée d’un carré de côté a et d’un rectangle de dimensions 1,5 et a, collés côte à côte. Ensemble, ils forment un grand rectangle de longueur \( a + 1{,}5 \) et de largeur \( a \).

1) De plus, on obtient \( a \times a \) est l’aire du carré et \( 1{,}5a = 1{,}5 \times a \) est l’aire du petit rectangle. Leur somme \( a \times a + 1{,}5a \) est donc l’aire du grand rectangle.

2) De même, le tour du grand rectangle est formé de deux longueurs \( a + 1{,}5 \) et de deux largeurs \( a \) :

\[ a + 1{,}5 + a + a + 1{,}5 + a = 4a + 3 \]

Ensuite, on a \( 4a + 3 \) est donc le périmètre du grand rectangle.

3) De plus, le périmètre d’un rectangle, c’est 2 fois (longueur + largeur) : \( 2 \times (1{,}5 + a + a) = 2(1{,}5 + 2a) \). C’est encore le périmètre du grand rectangle (on vérifie : \( 2(1{,}5 + 2a) = 3 + 4a \)).

4) Ainsi, L’aire d’un rectangle, c’est longueur × largeur : \( a \times (1{,}5 + a) = a(1{,}5 + a) \). C’est encore l’aire du grand rectangle, écrite d’une autre façon qu’en 1).

Par conséquent, tous les angles sont droits, on peut donc « redresser » l’escalier :

• les segments horizontaux du haut (les trois paliers) mesurent \( a + a + a = 3a \). Le côté du bas va d’un bout à l’autre de la figure : il mesure aussi \( 3a \).
• les marches verticales de droite mesurent \( b + 2b + b = 4b \). Le côté de gauche a la hauteur totale de la figure : il mesure aussi \( 4b \).

De plus, le périmètre est la somme de toutes ces longueurs :

\[ \begin{aligned} P &= 3a + 3a + 4b + 4b \\ &= 6a + 8b \end{aligned} \]

Ainsi, C’est la réponse E. De plus, les autres propositions oublient une partie des côtés (A, B) ou comptent mal les hauteurs (C, D).

1. Par conséquent, on ajoute 7 à \( x \) : \( x + 7 \). Puis on multiplie tout ce résultat par 2, donc on met des parenthèses :

\[ 2 \times (x + 7) = 2(x + 7) = 2x + 14 \]

2. De plus, on multiplie \( a \) par 8 : \( 8a \). Puis on ajoute 5 : le résultat est \( 8a + 5 \) (ici pas de parenthèses, la multiplication est faite en premier).

3. Ainsi, luc a dépensé 7 euros de moins que Pierre : la dépense de Luc est \( x – 7 \) euros.

4. Ensuite, on a (numérotée « 3. » une seconde fois dans l’énoncé) Élise a dépensé 8 euros de moins que Claire, donc Claire a dépensé 8 euros de plus qu’Élise : la dépense de Claire est \( y + 8 \) euros. Attention au piège : « Élise a 8 de moins » ne veut pas dire qu’on enlève 8 à \( y \).

De plus, une clé USB coûte \( x \) euros et un livre coûte 5 € de plus : un livre coûte \( x + 5 \) euros.

1. Ainsi, prix de 3 livres :

\[ 3 \times (x + 5) = 3x + 15 \]

Enfin, trois livres coûtent \( 3x + 15 \) euros.

2. Ensuite, prix de 2 clés USB et 4 livres :

\[ \begin{aligned} 2 \times x + 4 \times (x + 5) &= 2x + 4x + 20 \\ &= 6x + 20 \end{aligned} \]

Par ailleurs, deux clés USB et quatre livres coûtent \( 6x + 20 \) euros.

Enfin, on supprime le signe \( \times \) devant une lettre ou une parenthèse, on écrit \( a \times a = a^2 \), et on calcule le produit de deux nombres.

• \( 3 \times x + 2 = \mathbf{3x + 2} \)
• \( a \times a – 4 = \mathbf{a^2 – 4} \) (« a au carré moins 4 »)
• \( 12 \times 8 + x = \mathbf{96 + x} \) (entre deux nombres, on effectue : \( 12 \times 8 = 96 \))
• \( 5 \times (x + 2) = \mathbf{5(x + 2)} \), que l’on peut aussi développer : \( 5x + 10 \)

De plus, on remplace \( x \) par 1 en rétablissant les signes \( \times \), puis on respecte les priorités (puissances, puis multiplications, puis additions et soustractions).

\[ A = -4 \times 1 + 7 = -4 + 7 = 3 \]
\[ B = 3 + 4 \times 1 – 6 = 3 + 4 – 6 = 1 \]
\[ C = 2 \times (3 \times 1 + 5) = 2 \times 8 = 16 \]
\[ D = 5 \times 1^2 – 8 \times 1 – 6 = 5 – 8 – 6 = -9 \]

De même, on distribue le facteur devant la parenthèse à chaque terme : \( k(a + b) = ka + kb \) et \( k(a – b) = ka – kb \).

\[ A = 7(x + 8) = 7 \times x + 7 \times 8 = 7x + 56 \]
\[ B = 7(a – 4) = 7 \times a – 7 \times 4 = 7a – 28 \]
\[ C = 8(x + 3) = 8 \times x + 8 \times 3 = 8x + 24 \]
\[ D = 6(y – 3) = 6 \times y – 6 \times 3 = 6y – 18 \]

Ensuite, distribuer 5, c’est multiplier par 5 chacun des deux termes de la parenthèse : \( 5(x + 3) = 5 \times x + 5 \times 3 = 5x + 15 \).

• Julie a écrit \( 5x + 3 \) : elle a multiplié \( x \) par 5 mais oublié de multiplier 3. C’est faux.
• Marc a écrit \( 5x + 5 \times 3 \) : il a bien multiplié les deux termes par 5. C’est juste (il reste à calculer \( 5 \times 3 = 15 \)).
• Sonia a écrit \( 5x + 8 \) : elle a ajouté 5 et 3 au lieu de les multiplier. C’est faux.

Par ailleurs, test rapide pour vérifier : avec \( x = 1 \), \( 5(1 + 3) = 20 \) ; Julie trouve 8, Marc 20, Sonia 13.

Enfin, dans chaque cas, on multiplie les deux termes de la parenthèse par le facteur placé devant.

Ensuite, expression 1. \( 8(a + 3) = 8 \times a + 8 \times 3 = 8a + 24 \) : réponse B. (A oublie de multiplier 3 ; C colle 8 et 3 au lieu de les multiplier.)

Par ailleurs, expression 2. \( 5(x – 9) = 5 \times x – 5 \times 9 = 5x – 45 \) : réponse C. (A change le signe ; B oublie de multiplier 9.)

De même, expression 3. \( \pi(4 + R) = \pi \times 4 + \pi \times R = 4\pi + \pi R \) : réponse A. (B oublie de multiplier R par π ; C multiplie au lieu d’additionner.)

Ensuite, la longueur du ressort, en cm, est \( L = 18 + 2 \times M \), où \( M \) est la masse en kg.

1. Par ailleurs, sans objet, la masse suspendue est nulle : \( M = 0 \).

\[ L = 18 + 2 \times 0 = 18 \]

De même, sans objet, le ressort mesure 18 cm.

2.

• a. \( M = 2 \) : \( L = 18 + 2 \times 2 = 18 + 4 = 22 \), soit 22 cm.
• b. \( M = 1{,}5 \) : \( L = 18 + 2 \times 1{,}5 = 18 + 3 = 21 \), soit 21 cm.
• c. Attention à l’unité : la formule demande une masse en kg, et \( 800 \text{ g} = 0{,}8 \text{ kg} \). Donc \( L = 18 + 2 \times 0{,}8 = 18 + 1{,}6 = 19{,}6 \), soit 19,6 cm.

a. De plus, le rectangle a pour longueur 8 et pour largeur \( x \).

• \( E = 8 \times x \) = longueur × largeur : E représente l’aire du rectangle.
• \( F = 2 \times x + 16 \) : le tour du rectangle vaut \( x + 8 + x + 8 = 2 \times x + 16 \). F représente le périmètre du rectangle.

b. Ainsi, pour \( x = 3 \) :

\[ E = 8 \times 3 = 24 \qquad F = 2 \times 3 + 16 = 6 + 16 = 22 \]

Enfin, pour \( x = 5 \) :

\[ E = 8 \times 5 = 40 \qquad F = 2 \times 5 + 16 = 10 + 16 = 26 \]

a. De plus, le carré a 4 côtés de longueur \( x \) ; le triangle isocèle a deux côtés de longueur 4 et un côté commun avec le carré, de longueur \( x \).

• \( A = x + 8 = x + 4 + 4 \) : c’est le périmètre du triangle.
• \( B = 4 \times x \) : c’est le périmètre du carré.
• \( C = 3 \times x + 8 \) : le tour de la figure entière comprend 3 côtés du carré et les 2 côtés de longueur 4 du triangle (le côté commun est à l’intérieur, il ne compte pas). C’est le périmètre de la figure.

b. Ainsi, pour \( x = 5 \) :

\[ A = 5 + 8 = 13 \qquad B = 4 \times 5 = 20 \qquad C = 3 \times 5 + 8 = 23 \]

Enfin, pour \( x = 2{,}5 \) :

\[ A = 2{,}5 + 8 = 10{,}5 \qquad B = 4 \times 2{,}5 = 10 \qquad C = 3 \times 2{,}5 + 8 = 7{,}5 + 8 = 15{,}5 \]

a. De plus, avant la découpe, la planche est un rectangle de 40 cm sur 30 cm, d’aire \( 40 \times 30 = 1\,200 \text{ cm}^2 \).

Ainsi, on retire 4 carrés de côté \( x \) ; chacun a pour aire \( x \times x = x^2 \), donc on enlève \( 4 \times x^2 \).

\[ \mathcal{A} = 1\,200 – 4 \times x^2 \]

b.

• Pour \( x = 4 \) : \( \mathcal{A} = 1\,200 – 4 \times 4^2 = 1\,200 – 4 \times 16 = 1\,200 – 64 = 1\,136 \), soit 1 136 cm².
• Pour \( x = 6 \) : \( \mathcal{A} = 1\,200 – 4 \times 6^2 = 1\,200 – 4 \times 36 = 1\,200 – 144 = 1\,056 \), soit 1 056 cm².

c. Par conséquent, sur le côté de 30 cm, on découpe deux carrés, un à chaque bout : il faut \( 2 \times x \lt 30 \), c’est-à-dire \( x \lt 15 \). Avec \( x = 20 \), il faudrait \( 2 \times 20 = 40 \text{ cm} \) sur un côté qui n’en mesure que 30 : c’est impossible. D’ailleurs la formule donnerait \( 1\,200 – 4 \times 400 = -400 \), une aire négative, ce qui n’a pas de sens.

Par ailleurs, on compte les petits carrés : motif n° 1 : 5 ; motif n° 2 : 9 ; motif n° 3 : 13. Chaque croix est formée d’un carré central et de 4 branches. Ensuite, dans le motif n° 1, chaque branche a 1 carré ; dans le motif n° 2, 2 carrés ; dans le motif n° 3, 3 carrés. Par ailleurs, on passe d’un motif au suivant en ajoutant 1 carré au bout de chaque branche, soit 4 carrés de plus.

a. De même, le motif n° 6 a 4 branches de 6 carrés plus le carré central : \( 4 \times 6 + 1 = 25 \). Puis il comporte 25 petits carrés (on retrouve 13, 17, 21, 25 en ajoutant 4 à chaque fois).

b. Par conséquent, le motif n° \( n \) a 4 branches de \( n \) carrés et le carré central :

\[ 4 \times n + 1 = 4n + 1 \]

De plus, vérification : \( n = 1 \) donne 5, \( n = 2 \) donne 9, \( n = 3 \) donne 13, comme sur la figure.

c. Ainsi, pour \( n = 100 \) : \( 4 \times 100 + 1 = 401 \). Ensuite, le motif n° 100 comporte 401 petits carrés.

Par conséquent, le programme : choisir un nombre, ajouter 4, puis multiplier par 5. Puis on fait les étapes dans cet ordre : d’abord l’addition, ensuite la multiplication.

1.

• a. \( 5 + 4 = 9 \), puis \( 9 \times 5 = 45 \) : on obtient 45.
• b. \( 1{,}2 + 4 = 5{,}2 \), puis \( 5{,}2 \times 5 = 26 \) : on obtient 26.
• c. \( 0 + 4 = 4 \), puis \( 4 \times 5 = 20 \) : on obtient 20.
• d. \( 3{,}5 + 4 = 7{,}5 \), puis \( 7{,}5 \times 5 = 37{,}5 \) : on obtient 37,5.

2. Par ailleurs, on part de \( n \). Après « ajouter 4 », on a \( n + 4 \). De plus, il faut multiplier tout ce résultat par 5, donc on met des parenthèses :

Par ailleurs, on a donc \[ 5 \times (n + 4) \]

Par conséquent, en développant avec la distributivité, on peut aussi l’écrire \( 5 \times n + 5 \times 4 = 5n + 20 \).

De plus, vérification avec \( n = 5 \) : \( 5 \times 5 + 20 = 45 \), c’est bien le résultat du a.

De même, ce qu’il faut comparer. Pour chaque adolescent, on compare sa distance d’arrêt (donnée par la formule du doc. 3) avec la distance qui le sépare du tuyau (mesurée sur le plan du doc. 1). L’âge ne sert à rien ici.

Par conséquent, étape 1 : choisir k. Ils sont près de Marseille et il fait beau, donc \( k = 0{,}08 \).

De plus, étape 2 : distance d’arrêt de Maxime (\( v = 63 \) km/h). Ensuite, on calcule d’abord \( 63 : 3{,}6 = 17{,}5 \).

De plus, on obtient \[ \begin{aligned} d &= 0{,}08 \times 17{,}5^2 + 17{,}5 \\ &= 0{,}08 \times 306{,}25 + 17{,}5 \\ &= 24{,}5 + 17{,}5 \\ &= 42 \text{ m} \end{aligned} \]

Enfin, étape 3 : distance d’arrêt de Leïla (\( v = 45 \) km/h). Par ailleurs, on calcule \( 45 : 3{,}6 = 12{,}5 \).

Ensuite, on a \[ \begin{aligned} d &= 0{,}08 \times 12{,}5^2 + 12{,}5 \\ &= 0{,}08 \times 156{,}25 + 12{,}5 \\ &= 12{,}5 + 12{,}5 \\ &= 25 \text{ m} \end{aligned} \]

Par ailleurs, étape 4 : mesurer sur le plan. On mesure à la règle le segment de l’échelle (10 m), puis la distance de chaque croix rouge au tuyau. Sur le plan, la distance Maxime-tuyau vaut environ 6,4 fois l’échelle, et la distance Leïla-tuyau environ 3,9 fois l’échelle. Donc Maxime est à environ 64 m du tuyau et Leïla à environ 39 m (les mesures à la règle sont approchées, à 1 ou 2 m près).

De même, étape 5 : conclure.

• Maxime : \( 42 \text{ m} \lt 64 \text{ m} \), il s’arrête environ 22 m avant le tuyau.
• Leïla : \( 25 \text{ m} \lt 39 \text{ m} \), elle s’arrête environ 14 m avant le tuyau.

Par conséquent, remarque : par temps de pluie (\( k = 0{,}14 \)), Maxime aurait besoin de \( 0{,}14 \times 306{,}25 + 17{,}5 \approx 60{,}4 \) m : il s’arrêterait de justesse. Puis la vitesse et la météo comptent beaucoup !

Par ailleurs, on appelle \( n \) le nombre choisi et on suit chaque programme dans l’ordre.

• Programme 1 : on ajoute 4, ce qui donne \( n + 4 \), puis on multiplie ce résultat par 3. Il faut des parenthèses : \( 3 \times (n + 4) \).
• Programme 2 : on multiplie d’abord par 3, ce qui donne \( 3 \times n \), puis on ajoute 4 : \( 3 \times n + 4 \). Pas besoin de parenthèses, car la multiplication est prioritaire.

De même, L’expression \( 4 \times n + 3 \) ne correspond à aucun des deux programmes (elle signifierait « multiplier par 4 puis ajouter 3 »).

Par conséquent, vérification avec \( n = 2 \) : programme 1 : \( (2 + 4) \times 3 = 18 \) et \( 3 \times (2 + 4) = 18 \) ; programme 2 : \( 2 \times 3 + 4 = 10 \) et \( 3 \times 2 + 4 = 10 \).

Par ailleurs, on décompose le deuxième facteur (11 = 10 + 1, 21 = 20 + 1…) et on utilise la distributivité : \( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \).

• a. \( 13 \times 11 = 13 \times 10 + 13 \times 1 = 130 + 13 = \) 143
• b. \( 19 \times 11 = 190 + 19 = \) 209
• c. \( 15 \times 21 = 15 \times 20 + 15 = 300 + 15 = \) 315
• d. \( 12 \times 31 = 12 \times 30 + 12 = 360 + 12 = \) 372
• e. \( 43 \times 101 = 43 \times 100 + 43 = 4\,300 + 43 = \) 4 343
• f. \( 16 \times 1\,001 = 16 \times 1\,000 + 16 = 16\,000 + 16 = \) 16 016

Enfin, cette fois, on écrit 9 = 10 − 1, 19 = 20 − 1, 99 = 100 − 1, 999 = 1 000 − 1 et on utilise la distributivité avec une soustraction : \( a \times (b – c) = a \times b – a \times c \).

• a. \( 25 \times 9 = 25 \times 10 – 25 = 250 – 25 = \) 225
• b. \( 16 \times 9 = 160 – 16 = \) 144
• c. \( 9 \times 45 = 10 \times 45 – 45 = 450 – 45 = \) 405
• d. \( 17 \times 19 = 17 \times 20 – 17 = 340 – 17 = \) 323
• e. \( 35 \times 99 = 35 \times 100 – 35 = 3\,500 – 35 = \) 3 465
• f. \( 14 \times 999 = 14 \times 1\,000 – 14 = 14\,000 – 14 = \) 13 986

De plus, on remplace \( a \) par 4, en respectant les priorités (parenthèses, puis multiplications, puis additions et soustractions).

• a. \( 5 \times 4 + 8 = 20 + 8 = \) 28
• b. \( 10 – 2 \times 4 = 10 – 8 = \) 2 (on multiplie avant de soustraire)
• c. \( 4 \times (4 + 2) = 4 \times 6 = \) 24

De même, pour tester une égalité, on calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite en remplaçant \( x \) par 4, puis on compare les deux résultats.

• a. Gauche : \( 8 \times 4 + 5 = 32 + 5 = 37 \). Droite : 37. Les deux sont égaux : l’égalité est vraie.
• b. Gauche : \( 6 \times 4 – 3 = 24 – 3 = 21 \). Droite : \( 7 \times 4 = 28 \). \( 21 \neq 28 \) : l’égalité est fausse.
• c. Gauche : \( 2 \times (4 + 3) = 2 \times 7 = 14 \). Droite : \( 18 – 4 = 14 \). L’égalité est vraie.
• d. Gauche : \( 9 + 3 \times 4 = 9 + 12 = 21 \). Droite : \( 5 \times 4 + 1 = 20 + 1 = 21 \). L’égalité est vraie.

Ensuite, on remplace \( n \) par 3. Rappel : \( n^2 = n \times n \) et \( n^3 = n \times n \times n \) ; la puissance se calcule avant la multiplication.

• a. \( 3 \times (3 + 5) = 3 \times 8 = \) 24
• b. \( 3 \times (10 – 3) = 3 \times 7 = \) 21
• c. \( 3^2 = 3 \times 3 = \) 9
• d. \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = \) 27
• e. \( 3 \times 3^2 = 3 \times 9 = \) 27 (et non \( 9^2 \))
• f. \( 5 + 3^2 = 5 + 9 = \) 14
• g. \( 2 \times 3 + 4 \times 3^2 = 6 + 4 \times 9 = 6 + 36 = \) 42

Ainsi, on calcule \( 3 \times x – 5 \) (membre de gauche) et \( x + 3 \) (membre de droite) pour chaque valeur.

• a. \( x = 2 \) : gauche \( 3 \times 2 – 5 = 1 \) ; droite \( 2 + 3 = 5 \). \( 1 \neq 5 \) : l’égalité est fausse.
• b. \( x = 4 \) : gauche \( 3 \times 4 – 5 = 7 \) ; droite \( 4 + 3 = 7 \). L’égalité est vraie.
• c. \( x = 10 \) : gauche \( 3 \times 10 – 5 = 25 \) ; droite \( 10 + 3 = 13 \). \( 25 \neq 13 \) : l’égalité est fausse.

Par conséquent, dans C, on calcule d’abord la parenthèse puis on multiplie par 3. Ensuite, dans D, on multiplie d’abord \( 5 \times x \), puis on ajoute 2.

De plus, pour \( x = 0 \), attention : \( 5 \times 0 = 0 \), donc \( D = 2 \) (et non 7).

De même, pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre : la fraction garde la même valeur.

• a. Le dénominateur est divisé par 2, donc le numérateur aussi : \( \dfrac{6}{8} = \dfrac{6 : 2}{8 : 2} = \dfrac{3}{4} \).
• b. On divise par 5 : \( \dfrac{10}{25} = \dfrac{10 : 5}{25 : 5} = \dfrac{2}{5} \).
• c. Le résultat a pour dénominateur 4 ; or \( 12 : 3 = 4 \), donc on divise par 3 : \( \dfrac{9}{12} = \dfrac{9 : 3}{12 : 3} = \dfrac{3}{4} \).
• d. On divise par 14 : \( \dfrac{42}{14} = \dfrac{42 : 14}{14 : 14} = \dfrac{3}{1} = 3 \).

Ainsi, compter les carrés. À l’étape \( n \), l’escalier a \( n \) colonnes, de hauteurs \( n \), \( n – 1 \), …, 2, 1. Puis on compte colonne par colonne :

• étape 1 : 1 carré ;
• étape 2 : \( 2 + 1 = 3 \) carrés ;
• étape 3 : \( 3 + 2 + 1 = 6 \) carrés ;
• étape 4 : \( 4 + 3 + 2 + 1 = 10 \) carrés ;
• étape 5 : \( 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \) carrés.

Enfin, trouver une formule. Si on prend deux escaliers identiques de l’étape \( n \) et qu’on retourne l’un d’eux pour l’emboîter sur l’autre, on obtient un rectangle de \( n \) carrés sur \( n + 1 \) carrés. De plus, ce rectangle contient \( n \times (n + 1) \) carrés, c’est-à-dire deux fois N. Donc :

Par conséquent, on obtient \[ N = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}. \]

Par ailleurs, vérification : étape 4 : \( \dfrac{4 \times 5}{2} = 10 \) ; étape 5 : \( \dfrac{5 \times 6}{2} = 15 \). Ensuite, la formule donne aussi, par exemple, \( \dfrac{10 \times 11}{2} = 55 \) carrés à l’étape 10.

Enfin, on teste avec deux nombres.

• Avec 2 : \( 2 + 4 = 6 \) ; \( 6 \times 7 = 42 \) ; \( 42 + 3 \times 2 = 48 \) ; \( 48 – 28 = \) 20.
• Avec 5 : \( 5 + 4 = 9 \) ; \( 9 \times 7 = 63 \) ; \( 63 + 3 \times 5 = 78 \) ; \( 78 – 28 = \) 50.

Également, on trouve 20 et 50 : deux multiples de 10, et même 10 fois le nombre de départ.

De plus, on explique avec une lettre. Ensuite, on note \( x \) le nombre choisi.

Par conséquent, on obtient \[ \begin{aligned} (x + 4) \times 7 + 3 \times x – 28 &= 7 \times x + 28 + 3 \times x – 28 \\ &= 10 \times x \end{aligned} \]

De plus, on obtient (on a développé avec la distributivité : \( (x + 4) \times 7 = 7x + 28 \), puis \( 7x + 3x = 10x \) et \( 28 – 28 = 0 \)).

Ensuite, le programme donne toujours 10 × le nombre choisi. Donc si Marie choisit un nombre entier, elle obtient toujours un multiple de 10 : elle a raison. Attention, avec un nombre décimal comme 1,5, on obtient 15, qui n’est pas un multiple de 10.

1. Ainsi, on applique les deux programmes à plusieurs nombres :

2. Enfin, on remarque que les deux programmes donnent toujours le même résultat.

3. Ensuite, quelques essais ne suffisent pas pour affirmer que c’est vrai pour tous les nombres : il faut une preuve avec une lettre. Soit \( n \) le nombre choisi.

• Programme 1 : \( (n + 7) \times 8 \).
• Programme 2 : \( n \times 8 + 56 \).

Par ailleurs, par distributivité : \[ (n + 7) \times 8 = n \times 8 + 7 \times 8 = 8n + 56. \]

De même, les deux expressions sont égales quel que soit \( n \) : la remarque est vraie pour tous les nombres.