Corrigé des 31 exercices sur le parallélogramme en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

De plus, construction (la figure donne DC = 3 cm, DA = 5 cm et \(\widehat{ADC} = 67^\circ\)) :

1. Tracer le segment [DC] de 3 cm.
2. Au rapporteur, tracer en D une demi-droite faisant un angle de 67° avec [DC], et y placer A tel que DA = 5 cm.
3. Tracer l’arc de centre A de rayon 3 cm et l’arc de centre C de rayon 5 cm : ils se coupent en B.
4. Tracer [AB] et [BC].

Ainsi, longueurs et angles déduits. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : AB = DC = 3 cm et BC = DA = 5 cm. Puis les angles opposés sont égaux : \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 67^\circ\). Deux angles consécutifs sont supplémentaires :

\[ \widehat{DAB} = \widehat{BCD} = 180^\circ – 67^\circ = 113^\circ \]

Par conséquent, L’image regroupe quatre petits exercices.

De plus, exercice 1. 1) On trace deux segments perpendiculaires de 8 cm et 7 cm qui ont le même milieu O ; leurs extrémités sont les sommets du losange (un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires est un losange).

Par conséquent, on obtient 2) Le losange est formé de 4 triangles rectangles de côtés 4 cm et 3,5 cm, ce qui revient à la moitié du rectangle de 8 cm sur 7 cm :

\[ \mathcal{A} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ cm}^2 \]

Enfin, exercice 2. Dans le triangle EFG : \(\widehat{FEG} = 180^\circ – 65^\circ – 25^\circ = 90^\circ\), donc EFG est rectangle en E. H est le symétrique de F et I celui de G par rapport à E : E est le milieu de [FH] et de [GI]. De plus, les diagonales [FH] et [GI] de IFGH ont le même milieu, donc IFGH est un parallélogramme. De plus elles sont portées par (EF) et (EG), qui sont perpendiculaires : un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. (Ses diagonales ne sont pas de même longueur, GI = 16 cm et FH ≈ 7,5 cm, ce n’est donc pas un carré.)

Ensuite, exercice 3. AEBI est un parallélogramme par construction. Ensuite, les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu I, donc IA = IB. Par ailleurs, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : AEBI est un losange.

Par ailleurs, exercice 4. 1) \(\widehat{ABC} = 180^\circ – 110^\circ – 35^\circ = 35^\circ\). Puis les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ACB}\) sont égaux : ABC est isocèle en A, donc AC = AB = 6 cm.

Ainsi, on trouve 2) Par construction (BD) // (AC) et (CD) // (AB) : les côtés opposés de ABDC sont parallèles, c’est un parallélogramme. Comme AB = AC (deux côtés consécutifs égaux), ABDC est un losange.

Ensuite, dans le parallélogramme OURS, les diagonales sont [OR] et [US] ; elles se coupent en leur milieu I, donc IO = IR = 8 ÷ 2 = 4 cm et IU = IS = 10 ÷ 2 = 5 cm.

Ainsi, on trouve 1. et 2. Programme de construction :

1. Tracer un segment [OR] de 8 cm et placer son milieu I.
2. Au rapporteur, tracer la demi-droite [Ix) telle que \(\widehat{OIx} = 120^\circ\).
3. Placer U sur [Ix) tel que IU = 5 cm.
4. Prolonger (UI) au-delà de I et placer S tel que IS = 5 cm (S est le symétrique de U par rapport à I).
5. Tracer le quadrilatère OURS en joignant O, U, R, S dans cet ordre.

Enfin, les diagonales de BRUN sont [BU] et [RN], de milieu E. Ensuite, on commence par le triangle BER dont on connaît les trois côtés.

1. Tracer [BE] de 3,5 cm.
2. Tracer l’arc de centre B de rayon 5 cm et l’arc de centre E de rayon 4,5 cm : ils se coupent en R.
3. Prolonger [BE] au-delà de E et placer U tel que EU = EB = 3,5 cm.
4. Prolonger [RE] au-delà de E et placer N tel que EN = ER = 4,5 cm.
5. Joindre B, R, U, N dans cet ordre.

Ensuite, les diagonales [BU] et [RN] ont le même milieu E : BRUN est bien un parallélogramme de centre E.

Ensuite, on a 1. Construction. Tracer [DM] de 7 cm ; en D tracer un angle de 32° et en M un angle de 58° du même côté : les deux demi-droites se coupent en O. Puis placer K, milieu de [DM], puis I symétrique de O par rapport à K. De plus, les diagonales [DM] et [OI] ont le même milieu K : DOMI est un parallélogramme.

Ainsi, on trouve 2. Démonstration. Dans le triangle DOM, la somme des angles vaut 180° :

\[ \widehat{DOM} = 180^\circ – 32^\circ – 58^\circ = 90^\circ \]

Ensuite, le parallélogramme DOMI a donc un angle droit. Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

Ainsi, le triangle ABC est rectangle en A (la diagonale [AC] est perpendiculaire à [AB]) : on le construit en premier.

1. Tracer [AB] de 3 cm.
2. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A.
3. Tracer l’arc de centre B et de rayon 5 cm : il coupe la perpendiculaire en C.
4. Placer O, milieu de [AC], puis D symétrique de B par rapport à O.
5. Joindre A, B, C, D.

Enfin, en mesurant, on trouve AC = 4 cm et donc AO = 2 cm. Ensuite, on vérifie : AD = BC = 5 cm et DC = AB = 3 cm.

De plus, on connaît les trois côtés du triangle IJK : IJ = 6 cm, JK = 4 cm et IK = 7 cm (diagonale).

1. Tracer [IJ] de 6 cm.
2. Arc de centre I de rayon 7 cm et arc de centre J de rayon 4 cm : ils se coupent en K.
3. Côtés opposés de même longueur : LK = IJ = 6 cm et LI = JK = 4 cm. Arc de centre K de rayon 6 cm et arc de centre I de rayon 4 cm : ils se coupent en L.
4. Joindre I, J, K, L.

De même, sur le schéma, J est le point d’intersection des diagonales [FH] et [GI] ; on lit FG = 6 cm, FJ = 4,3 cm et JG = 3 cm.

1. Tracer [FG] de 6 cm.
2. Arc de centre F de rayon 4,3 cm et arc de centre G de rayon 3 cm : ils se coupent en J.
3. Les diagonales se coupent en leur milieu : prolonger [FJ] et placer H avec JH = 4,3 cm ; prolonger [GJ] et placer I avec JI = 3 cm.
4. Joindre F, G, H, I.

Ensuite, données : OL = 7 cm, LI = 4 cm et \(\widehat{JOL} = 75^\circ\). Par ailleurs, les côtés opposés sont égaux, donc OJ = LI = 4 cm et JI = OL = 7 cm.

1. Tracer [OL] de 7 cm.
2. Au rapporteur, tracer en O une demi-droite faisant un angle de 75° avec [OL] et y placer J tel que OJ = 4 cm.
3. Arc de centre L de rayon 4 cm et arc de centre J de rayon 7 cm : ils se coupent en I.
4. Joindre J, O, L, I.

Ainsi, E est le centre du parallélogramme : on lit ED = 5 cm, EC = 2,5 cm et \(\widehat{DEC} = 80^\circ\).

1. Tracer [ED] de 5 cm.
2. En E, tracer au rapporteur une demi-droite faisant 80° avec [ED] et y placer C tel que EC = 2,5 cm.
3. Prolonger [DE] au-delà de E : placer B tel que EB = 5 cm.
4. Prolonger [CE] au-delà de E : placer A tel que EA = 2,5 cm.
5. Joindre A, B, C, D.

Par conséquent, on lit sur la figure : OI = 4 cm, LO = 2,5 cm et \( \widehat{LOI} = 117^\circ \).

De plus, a. Périmètre. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. [LN] est opposé à [OI] et [NI] est opposé à [LO], donc LN = OI = 4 cm et NI = LO = 2,5 cm.

Ainsi, on a donc \[ \begin{aligned} \mathcal{P} &= LO + OI + IN + NL \\ &= 2{,}5 + 4 + 2{,}5 + 4 \\ &= 13 \text{ cm} \end{aligned} \]

Enfin, b. Angle \( \widehat{LNI} \). Dans le parallélogramme LOIN, les sommets O et N sont opposés. Or, dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. Donc \( \widehat{LNI} = \widehat{LOI} = 117^\circ \).

De plus, on cherche l’angle \( \widehat{AOB} \) formé par les deux diagonales. Puis dans le triangle OAB, la somme des angles vaut 180° :

Ensuite, on a \[ \widehat{AOB} = 180^\circ – 71^\circ – 19^\circ = 90^\circ \]

Enfin, L’angle \( \widehat{AOB} \) est droit : les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.

Or un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. ABCD est donc un losange.

De plus, ce n’est pas un carré : dans un carré, une diagonale fait un angle de 45° avec chaque côté, alors qu’ici \( \widehat{OAB} = 71^\circ \).

De même, comment est fait un bijou ? Sur le doc. 2, les parallélogrammes ont tous un sommet au centre de l’étoile et ils se touchent : chacun s’appuie sur son voisin. Autour du centre, leurs angles se partagent donc un tour complet, c’est-à-dire 360°. Comme les parallélogrammes sont identiques, avec n parallélogrammes, l’angle au centre de chacun mesure :

Ensuite, on a \[ \text{angle au centre} = \frac{360^\circ}{n} \]

De plus, les conditions du doc. 1.

• n est inférieur à 10 ;
• la mesure \( \frac{360}{n} \) doit être un nombre entier (et l’autre angle, \( 180 – \frac{360}{n} \), le sera alors aussi) ;
• un angle de parallélogramme est strictement inférieur à 180°, donc n = 1 (360°) et n = 2 (180°, parallélogrammes aplatis) sont impossibles.

Ainsi, il y a donc 6 modèles : avec 3, 4, 5, 6, 8 ou 9 parallélogrammes (le modèle à 4 est fait de rectangles, qui sont des parallélogrammes particuliers). Ensuite, le doc. 2 est le modèle à 5, avec des angles de 72°.

Enfin, réaliser le plan d’un modèle. Tracer, à partir d’un point, n demi-droites faisant entre elles l’angle \( \frac{360^\circ}{n} \) au rapporteur. Entre deux demi-droites voisines, construire un parallélogramme de côtés 2 cm (sur la première demi-droite) et 4 cm (sur la suivante). Voici le plan du modèle à 6 parallélogrammes :

Ensuite, longueur de fil d’or. Le fil recouvre seulement le contour du bijou. Chaque parallélogramme (4 cm sur 2 cm) :

• cache entièrement l’un de ses côtés de 2 cm, collé contre le voisin (pointillés) ;
• a son côté de 4 cm issu du centre recouvert sur 2 cm par le voisin : il reste 4 − 2 = 2 cm de contour ;
• garde entiers ses deux côtés extérieurs : 4 cm et 2 cm.

Par ailleurs, chaque parallélogramme apporte donc \( 4 + 2 + 2 = 8 \text{ cm} \) de fil, et un bijou de n parallélogrammes demande \( 8 \times n \) cm. Puis pour le doc. 2 : \( 8 \times 5 = 40 \text{ cm} \).

De même, au total, pour un exemplaire de chaque modèle : \( 24 + 32 + 40 + 48 + 64 + 72 = 280 \text{ cm} \), soit 2,80 m de fil d’or.

Ensuite, on veut prouver que AMCN est un parallélogramme. Ses diagonales sont [AC] et [MN] : il suffit de montrer qu’elles ont le même milieu.

• ABCD est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu : I est le milieu de [AC].
• D’après l’énoncé, I est le milieu de [MN].

Par ailleurs, les diagonales [AC] et [MN] du quadrilatère AMCN ont donc le même milieu I. Or si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

a. Enfin, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.

• Dans ABCD, [AD] est opposé à [BC] : AD = BC = 2 cm.
• Dans ABCD, [DC] est opposé à [AB] : DC = AB = 4 cm.
• Dans EFGH, [FG] est opposé à [EH] : FG = EH = 3 cm.

b. Ainsi, on trouve \[ \mathcal{P}_{ABCD} = 4 + 2 + 4 + 2 = 12 \text{ cm} \]

c. Par ailleurs, le contour de la figure est A → B → C → F → G → H → E → D → A. De plus, on ne connaît pas DE et FC séparément, mais dans EFGH, [EF] est opposé à [HG], donc EF = HG = 2 cm. Comme E et F sont sur [DC] :

De plus, on obtient \[ DE + FC = DC – EF = 4 – 2 = 2 \text{ cm} \]

De plus, on a donc \[ \begin{aligned} \mathcal{P} &= AB + BC + (FC + DE) + FG + GH + HE + DA \\ &= 4 + 2 + 2 + 3 + 2 + 3 + 2 \\ &= 18 \text{ cm} \end{aligned} \]

Par ailleurs, trois sommets sont déjà placés ; il manque le quatrième, opposé au sommet de l’angle. Ensuite, on utilise la propriété : les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur, reportée au compas.

Enfin, parallélogramme ABCD (il manque D, opposé à B) : CD = BA = 5 cm et AD = BC = 3 cm.

1. Prendre au compas l’écartement BA (5 cm) et tracer un arc de centre C.
2. Prendre au compas l’écartement BC (3 cm) et tracer un arc de centre A, du même côté.
3. Les deux arcs se coupent en D ; tracer [CD] et [AD].

Ensuite, parallélogramme DEFG (il manque G, opposé à E) : FG = ED = 4 cm et DG = EF = 6 cm.

1. Arc de centre F et de rayon ED = 4 cm.
2. Arc de centre D et de rayon EF = 6 cm.
3. Les arcs se coupent en G ; tracer [FG] et [DG].

Par ailleurs, vérification : les angles opposés sont égaux, donc \( \widehat{ADC} = 50^\circ \) et \( \widehat{DGF} = 130^\circ \).

Enfin, conjecture. Sur la figure, [IJ] et [GH] semblent avoir la même longueur : on conjecture que IJ = GH.

Ensuite, preuve. Les deux parallélogrammes ont le côté [EF] en commun, et les côtés opposés d’un parallélogramme ont la même longueur.

• Dans EFGH, le côté opposé à [EF] est [GH] : GH = EF.
• Dans EFIJ, le côté opposé à [EF] est [IJ] : IJ = EF.

Par ailleurs, les longueurs GH et IJ sont toutes les deux égales à EF, donc elles sont égales.

Enfin, L’angle marqué en F est \( \widehat{EFG} = 58^\circ \).

a. Ensuite, dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. \( \widehat{EHG} \) est opposé à \( \widehat{EFG} \), donc \( \widehat{EHG} = 58^\circ \).

c. Enfin, on a donc (on la traite avant b.) Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme vaut 180°) :

Ensuite, on a \[ \widehat{HEF} = 180^\circ – 58^\circ = 122^\circ \]

b. Par conséquent, les points x, E et F sont alignés, donc \( \widehat{xEH} \) et \( \widehat{HEF} \) forment un angle plat :

Par conséquent, on obtient \[ \widehat{xEH} = 180^\circ – 122^\circ = 58^\circ \]

a. De même, les côtés [OM] et [OC] semblent avoir la même longueur : le triangle OMC semble isocèle en O.

b. Enfin, ABCD est un parallélogramme de centre O. Or les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : O est le milieu de [AC], donc OA = OC.

Ensuite, D’après l’énoncé, OM = OA. Donc OM = OA = OC, et en particulier OM = OC.

Par ailleurs, le triangle OMC a deux côtés de même longueur issus de O : il est isocèle en O.

Enfin, la ligne en zigzag qui va de H à F est la frontière commune aux deux surfaces : elle compte dans les deux périmètres.

• Périmètre de la surface bleue = HG + GF + zigzag.
• Périmètre de la surface orange = HE + EF + zigzag.

Ensuite, EFGH est un parallélogramme, donc ses côtés opposés ont la même longueur : HG = EF et GF = HE. Donc HG + GF = EF + HE.

Par ailleurs, les deux périmètres sont formés de longueurs égales : ils sont égaux, même si les aires, elles, ne le sont pas forcément.

Enfin, un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux est un parallélogramme. Par ailleurs, il faut donc prendre deux routes d’une couleur et deux routes d’une autre couleur.

Ensuite, on repère les routes : rouges (M, J) et (L, I, K) ; bleues (L, M, N) et (I, J) ; vertes (M, I) et (N, J, K). Puis il y a 2 routes de chaque couleur, donc une seule façon de choisir les routes pour chaque paire de couleurs :

• rouge et bleu : les quatre croisements sont L, M, J et I, d’où le parallélogramme LMJI ;
• rouge et vert : croisements M, J, K et I, d’où le parallélogramme MJKI ;
• bleu et vert : croisements M, N, J et I, d’où le parallélogramme MNJI.

Ainsi, on lit sur la figure : OI = 4 cm, LO = 2,5 cm et \( \widehat{LOI} = 117^\circ \). Ensuite, les côtés de LOIN sont, dans l’ordre, [LO], [OI], [IN] et [NL].

a. Enfin, propriété : dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.

• [IN] est opposé à [LO], donc IN = LO = 2,5 cm.
• [NL] est opposé à [OI], donc NL = OI = 4 cm.

\[ \begin{aligned} \mathcal{P} &= LO + OI + IN + NL \\ &= 2{,}5 + 4 + 2{,}5 + 4 \\ &= 13 \text{ cm} \end{aligned} \]

Ensuite, on peut aussi calculer \( 2 \times (4 + 2{,}5) = 2 \times 6{,}5 = 13 \text{ cm} \).

b. De même, propriété : dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure. Puis les sommets O et N sont opposés (ils ne sont pas voisins dans le nom LOIN), donc l’angle \( \widehat{LNI} \) est opposé à l’angle \( \widehat{LOI} \) :

\[ \widehat{LNI} = \widehat{LOI} = 117^\circ \]

La figure de départ est un rectangle (quatre angles droits codés) de longueur 2,5 cm et de largeur 1,5 cm. De plus, un de ses côtés de 1,5 cm est posé sur la droite verte, qui est l’axe de symétrie.

On complète par symétrie axiale :

• les deux sommets situés sur la droite verte sont leurs propres symétriques ;
• les deux autres sommets ont leurs symétriques de l’autre côté de la droite, à la même distance ;
• les deux longueurs de 2,5 cm sont perpendiculaires à l’axe : une droite perpendiculaire à l’axe est sa propre symétrique, donc chaque côté de 2,5 cm se prolonge en ligne droite par son symétrique.

a. La symétrie axiale conserve les angles : les angles du rectangle symétrique sont droits. Ensuite, le quadrilatère obtenu a donc quatre angles droits (le côté posé sur l’axe disparaît, il est à l’intérieur de la nouvelle figure) : c’est un rectangle.

b. La symétrie axiale conserve les longueurs :

• la longueur double : \( 2{,}5 + 2{,}5 = 5 \text{ cm} \) ;
• la largeur ne change pas : elle reste 1,5 cm.

Nommons les sommets : A le sommet de l’angle de 58°, B le sommet de l’angle de 61° (en haut à droite) et C le troisième sommet (en bas). B et C sont sur la droite rouge, qui est l’axe de symétrie.

Les côtés [AB] et [AC] portent le même codage : AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A. Ses angles à la base sont égaux :

\[ \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \frac{180^\circ – 58^\circ}{2} = \frac{122^\circ}{2} = 61^\circ \]

ce qui correspond bien aux 61° indiqués en B. Par ailleurs, on note A′ le symétrique de A par rapport à la droite rouge ; B et C sont leurs propres symétriques.

a. La symétrie axiale conserve les longueurs : A′B = AB et A′C = AC. Comme AB = AC, les quatre côtés du quadrilatère ABA′C sont égaux :

\[ AB = BA^{\prime} = A^{\prime}C = CA \]

Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange.

b. La symétrie axiale conserve aussi les angles :

• en A : 58° ; en A′ (symétrique de A) : 58° aussi ;
• en B : l’angle de 61° et son symétrique s’ajoutent, \( 61^\circ + 61^\circ = 122^\circ \) ;
• en C : de même, \( 61^\circ + 61^\circ = 122^\circ \).

Vérification : \( 58 + 122 + 58 + 122 = 360 \), la somme des angles d’un quadrilatère fait bien 360°. Puis on retrouve aussi les propriétés du losange (qui est un parallélogramme) : angles opposés égaux, angles consécutifs supplémentaires (\( 58^\circ + 122^\circ = 180^\circ \)).

On sait que ABCD est un parallélogramme de centre O, avec AC = 7,2 cm et OD = 3,6 cm.

Étape 1 : longueur de la diagonale [BD]. Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc O est le milieu de [BD] :

\[ BD = 2 \times OD = 2 \times 3{,}6 = 7{,}2 \text{ cm} \]

Étape 2 : comparaison. On obtient AC = BD = 7,2 cm : les diagonales ont la même longueur.

Conclusion. Propriété : si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle. Ici, OA = OB = OC = OD = 3,6 cm : les quatre sommets sont sur un même cercle de centre O.

Rien ne permet de dire que les diagonales sont perpendiculaires (elles ne le sont pas sur la figure) : on ne peut pas affirmer que c’est un carré.

On regarde le triangle AOB, dont on connaît deux angles : \( \widehat{OAB} = 71^\circ \) et \( \widehat{OBA} = 19^\circ \).

Étape 1 : calcul de l’angle en O. La somme des angles d’un triangle vaut 180° :

\[ \begin{aligned} \widehat{AOB} &= 180^\circ – (71^\circ + 19^\circ) \\ &= 180^\circ – 90^\circ \\ &= 90^\circ \end{aligned} \]

Étape 2 : conséquence. L’angle \( \widehat{AOB} \) est droit, donc les diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.

Conclusion. Propriété : si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.

Le schéma donne IJ = 6 cm, JK = 4 cm et la diagonale IK = 7 cm. Ensuite, le triangle IJK a ses trois côtés connus : on le construit en premier.

1. Tracer le segment [IJ] de 6 cm.
2. Tracer un arc de cercle de centre I et de rayon 7 cm, puis un arc de centre J et de rayon 4 cm : ils se coupent en K.
3. Pour placer L, on utilise les côtés opposés égaux : KL = IJ = 6 cm et IL = JK = 4 cm. Arc de centre K de rayon 6 cm et arc de centre I de rayon 4 cm (du côté opposé à J) : ils se coupent en L.
4. Tracer [JK], [KL] et [LI].

Attention : même si le schéma ressemble à un rectangle, rien ne dit que ses angles sont droits. Sur la figure en vraie grandeur, l’angle en J mesure environ 86° (on peut le vérifier au rapporteur) : IJKL est un parallélogramme quelconque.

J est le point d’intersection des diagonales [FH] et [GI], c’est-à-dire le centre du parallélogramme. Puis on connaît les trois côtés du triangle FJG : FG = 6 cm, FJ = 4,3 cm et JG = 3 cm.

1. Tracer [FG] de 6 cm.
2. Arc de centre F de rayon 4,3 cm et arc de centre G de rayon 3 cm : leur point d’intersection est J.
3. Les diagonales se coupent en leur milieu : tracer la demi-droite [FJ) et placer H tel que JH = JF = 4,3 cm ; tracer la demi-droite [GJ) et placer I tel que JI = JG = 3 cm.
4. Tracer les côtés [GH], [HI] et [IF].

La boucle d’oreille est un parallélogramme dont on connaît deux côtés consécutifs et l’angle entre eux : CE = 2 cm, ED = 6 cm et \( \widehat{CED} = 125^\circ \). Appelons F le quatrième sommet (en haut à gauche) : le parallélogramme est CEDF.

1. Tracer le segment [CE] de 2 cm.
2. Avec le rapporteur centré en E, tracer une demi-droite faisant un angle de 125° avec [EC].
3. Placer D sur cette demi-droite tel que ED = 6 cm.
4. Placer F avec les côtés opposés égaux : arc de centre D de rayon DF = CE = 2 cm et arc de centre C de rayon CF = ED = 6 cm ; ils se coupent en F.
5. Tracer [DF] et [FC]. Le trait [CD] de l’énoncé est une diagonale (facultatif).

Les autres angles s’en déduisent : les angles consécutifs sont supplémentaires, donc \( \widehat{ECF} = \widehat{EDF} = 180^\circ – 125^\circ = 55^\circ \), et l’angle opposé \( \widehat{CFD} = 125^\circ \). Cela permet de contrôler la construction au rapporteur.

Données : OL = 7 cm, LI = 4 cm et \( \widehat{JOL} = 75^\circ \). De plus, dans le parallélogramme JOLI, les côtés opposés sont égaux : OJ = LI = 4 cm et JI = OL = 7 cm. Ensuite, on connaît donc deux côtés issus de O et l’angle entre eux.

1. Tracer [OL] de 7 cm.
2. Avec le rapporteur centré en O, tracer une demi-droite faisant un angle de 75° avec [OL].
3. Placer J sur cette demi-droite tel que OJ = 4 cm.
4. Arc de centre L de rayon 4 cm et arc de centre J de rayon 7 cm : ils se coupent en I.
5. Tracer [LI] et [IJ].

Contrôle : \( \widehat{OLI} = \widehat{OJI} = 180^\circ – 75^\circ = 105^\circ \) et \( \widehat{LIJ} = 75^\circ \).

E est le centre du parallélogramme (intersection des diagonales). Par ailleurs, on lit ED = 5 cm, EC = 2,5 cm et \( \widehat{DEC} = 80^\circ \) : on connaît deux côtés du triangle DEC et l’angle entre eux.

1. Tracer [ED] de 5 cm.
2. Avec le rapporteur centré en E, tracer une demi-droite faisant un angle de 80° avec [ED], et placer C dessus tel que EC = 2,5 cm.
3. Les diagonales se coupent en leur milieu : prolonger [DE] au-delà de E et placer B tel que EB = ED = 5 cm ; prolonger [CE] au-delà de E et placer A tel que EA = EC = 2,5 cm.
4. Tracer les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].