cours cinquième

Parallélogramme : cours de maths en 5ème au programme de cinquième

I Définitions et vocabulaire :

1. Rappels :

Définition :

Un quadrilatère est une figure géométrique qui possède 4 côtés.Les points A,B,C et D sont appelés les sommets du quadrilatère.

Les côtés qui sont en face l’un de l’autre s’appellent les côtés opposés.

Les côtés qui se suivent (un sommet en commun) sont appelés les côtés consécutifs.

Les segments qui relient deux sommets opposés sont appelés les diagonales du quadrilatère.

quadrilatères vocabulaire

II.Le parallélogramme et ses propriétés :

1.Définition et vocabulaire :

Définition :

Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses diagonales qui se coupent en leur milieu.

parallélogramme diagonales

2.Les propriétés du parallélogramme :

Propriété : centre de symétrie.

Le point O qui est l’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.

centre symétrie parallélogramme

Propriété : côtés parallèles.

Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles deux à deux.Nous avons (AB)//(DC) et (AD)//(BC).

côtes parallèles parallélogramme

Preuve :

Nous savons que le point O est le centre de symétrie du parallélogramme.

Or, la symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

Les droites (AB) et (CD) sont symétriques (de même pour (AD) et (BC)),

on en déduit que (AB)//(DC) et (AD)//(BC).

Propriété : côtés opposés de même longueur.

Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.Nous avons AB=DC et AD=BC.

côtes parallèles parallélogramme

Preuve :

Dans un parallélogramme, le point d’intersection O des diagonales est son centre de symétrie.

Or, la symétrie centrale conserve la longueur des segments.

Les segments [AB] et [DC] sont symétriques par rapport à O (de même pour [AD] et [BC]).

On en déduit que AB=DC et AD=BC.

Méthode de construction :

Nous utilisons la propriété précédente pour construire un parallélogramme à la règle et au compas.

tracer parallélogramme 1 tracer parallélogramme

Propriété : les angles opposés.

Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure.Nous avons : \widehat{ABC}=\widehat{ADC}  et \widehat{BAD}=\widehat{BCD}.

angles opposés parallélogramme

Preuve :

Le point O d’intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.

Or, la symétrie centrale conserve la mesure des angles.

Les angles \widehat{ABC} et \widehat{ADC} sont symétriques par rapport au point O (de même pour les angles \widehat{BAD} et \widehat{BCD}).

On en déduit que \widehat{ABC}=\widehat{ADC}  et \widehat{BAD}=\widehat{BCD}.

III. Les parallélogrammes particuliers :

parallélogrammes particuliers

Synthèse :

synthèse parallélogrammes

IV. Carte mentale sur les parallélogrammes :

carte parallélogramme


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