Le triangle en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

L’énoncé de cette fiche ne montre que les trois triangles ABC, DEF et GHI : on trace dans chacun les trois droites remarquables relatives à un même côté (ici [BC], [EF] et [GI]). Rappelons d’abord les définitions.

• La médiane issue d’un sommet est le segment qui joint ce sommet au milieu du côté opposé. On mesure le côté, on place son milieu, on relie.
• La médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté en son milieu. Au compas : on trace deux arcs de même rayon (plus grand que la moitié du côté) centrés aux deux extrémités ; la droite qui passe par les deux points d’intersection est la médiatrice. Elle ne passe pas forcément par un sommet.
• La hauteur issue d’un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. On la trace à l’équerre ; le point d’intersection avec le côté opposé s’appelle le pied de la hauteur.

Dans le triangle ABC, la médiane issue de A arrive au milieu de [BC], la médiatrice de [BC] passe par ce même milieu mais verticalement, et la hauteur issue de A tombe plus près de C. Ces trois droites sont différentes en général ; elles ne sont confondues que si le triangle est isocèle en A. C’est presque le cas pour GHI, où les trois droites sont très proches.

Remarque : dans GHI, l’angle en H est obtus. Si l’on trace la hauteur issue de G, son pied tombe en dehors du côté [HI] : il faut prolonger la droite (HI) avant de placer l’équerre.

Construction du triangle JKL.

1. On trace le segment [JK] de longueur 5 cm.
2. Au rapporteur centré en K, on trace une demi-droite d’origine K faisant un angle de 60° avec [KJ] (c’est l’angle \( \widehat{JKL} \)).
3. Au rapporteur centré en J, du même côté de [JK], on trace une demi-droite d’origine J faisant un angle de 55° avec [JK] (c’est l’angle \( \widehat{KJL} \)).
4. Les deux demi-droites se coupent en L.

Vérification : le troisième angle mesure

\[ \widehat{JLK} = 180^\circ – 60^\circ – 55^\circ = 65^\circ \]

On doit mesurer environ \( JL \approx 4{,}8 \text{ cm} \) et \( KL \approx 4{,}5 \text{ cm} \).

Cercle circonscrit. Le centre O du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices des côtés, car un point de la médiatrice d’un segment est à égale distance de ses extrémités : O est donc à la même distance de J, K et L. On trace au compas deux médiatrices (la troisième sert de vérification), on nomme O leur point d’intersection, puis on trace le cercle de centre O passant par J. Il passe aussi par K et L. Son rayon mesure environ 2,8 cm. Comme les trois angles sont aigus, O est à l’intérieur du triangle.

1) Construction du triangle ABC. On trace [AB] de 6 cm. Au rapporteur, on trace en A une demi-droite faisant 70° avec [AB], puis en B, du même côté, une demi-droite faisant 35° avec [BA]. Elles se coupent en C. Le troisième angle vaut

\[ \widehat{ACB} = 180^\circ – 70^\circ – 35^\circ = 75^\circ \]

On mesure environ \( AC \approx 3{,}6 \text{ cm} \) et \( BC \approx 5{,}8 \text{ cm} \).

2) Bissectrice de l’angle \( \widehat{ACB} \). C’est la demi-droite qui partage l’angle en deux angles égaux, ici deux angles de \( 75^\circ \div 2 = 37{,}5^\circ \).

• Au compas, on trace un arc de centre C qui coupe [CA] et [CB] en deux points.
• De ces deux points, avec la même ouverture, on trace deux arcs qui se coupent à l’intérieur de l’angle.
• La demi-droite d’origine C passant par ce point est la bissectrice. Elle coupe [AB].

3) Hauteur issue de A. On place l’équerre le long de (BC) et on fait glisser jusqu’à A : on trace la droite passant par A et perpendiculaire à (BC). Son pied H est sur le segment [BC] car les angles en B et en C sont aigus. On code l’angle droit en H.

Le trésor doit être à la même distance de la tour T, de l’arbre A et du puits P.

• Être à égale distance de A et de P, c’est être sur la médiatrice de [AP].
• Être à égale distance de P et de T, c’est être sur la médiatrice de [PT].

Le trésor est donc au point d’intersection des médiatrices du triangle APT, c’est-à-dire au centre du cercle circonscrit à ce triangle. La médiatrice de [AT] passe aussi par ce point, ce qui permet de vérifier la construction.

Méthode sur la carte : on relie A, P et T, on trace au compas les médiatrices de [AP] et de [PT], et on marque leur intersection d’une croix. Le cercle de centre la croix passant par A passe bien par P et par T. Sur la carte, le trésor se trouve à peu près au milieu de l’île, un peu au-dessous et à mi-chemin entre l’arbre et le puits.

On utilise la propriété : dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.

1. Triangle LNI.

\[ \begin{aligned} \widehat{N} &= 180^\circ – (\widehat{I} + \widehat{L}) \\ &= 180^\circ – (76^\circ + 45^\circ) \\ &= 180^\circ – 121^\circ \\ &= 59^\circ \end{aligned} \]

2. Triangle SAC.

\[ \begin{aligned} \widehat{S} &= 180^\circ – (\widehat{A} + \widehat{C}) \\ &= 180^\circ – (110^\circ + 28^\circ) \\ &= 180^\circ – 138^\circ \\ &= 42^\circ \end{aligned} \]

Nommons T le pied de la tour, S son sommet et H le point où le fil à plomb touche le sol. Le fil à plomb est vertical, donc perpendiculaire au sol : \( \widehat{SHT} = 90^\circ \). La tour fait avec le sol un angle \( \widehat{STH} = 84{,}7^\circ \). L’angle cherché x est l’angle \( \widehat{TSH} \) du triangle TSH.

Dans le triangle TSH, la somme des angles vaut 180° :

\[ \begin{aligned} x &= 180^\circ – (90^\circ + 84{,}7^\circ) \\ &= 180^\circ – 174{,}7^\circ \\ &= 5{,}3^\circ \end{aligned} \]

Autre façon de le voir : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires, donc \( x = 90^\circ – 84{,}7^\circ = 5{,}3^\circ \).

1. Dans le triangle ABC :

\[ \widehat{C} = 180^\circ – (28^\circ + 73^\circ) = 180^\circ – 101^\circ = 79^\circ \]

2. Le triangle GHI est rectangle en H, donc \( \widehat{H} = 90^\circ \) :

\[ \widehat{I} = 180^\circ – (90^\circ + 34^\circ) = 180^\circ – 124^\circ = 56^\circ \]

3. Le triangle MNO est isocèle de sommet principal N : ses angles à la base sont égaux, \( \widehat{M} = \widehat{O} \).

\[ \begin{aligned} \widehat{M} + \widehat{O} &= 180^\circ – 44^\circ = 136^\circ \\ \widehat{M} = \widehat{O} &= 136^\circ \div 2 = 68^\circ \end{aligned} \]

4. Lecture des codages : AB = AC ; AE = CE = ED = CD ; l’angle \( \widehat{AEC} \) est droit ; B, C et D sont alignés.

• Triangle CDE : CE = ED = CD, il est équilatéral, donc \( \widehat{ECD} = \widehat{CDE} = \widehat{CED} = 60^\circ \).
• Triangle ACE : il est rectangle en E et AE = CE, il est donc rectangle isocèle. Ses deux angles aigus sont égaux : \( \widehat{EAC} = \widehat{ECA} = (180^\circ – 90^\circ) \div 2 = 45^\circ \).
• Angle \( \widehat{ACB} \) : B, C, D sont alignés, donc \( \widehat{BCA} + \widehat{ACE} + \widehat{ECD} = 180^\circ \), d’où \( \widehat{ACB} = 180^\circ – 45^\circ – 60^\circ = 75^\circ \).
• Triangle ABC : AB = AC, il est isocèle en A, donc \( \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 75^\circ \) et \( \widehat{BAC} = 180^\circ – 2 \times 75^\circ = 30^\circ \).

Construction. On trace [AB] de 6 cm, puis au rapporteur une demi-droite en A à 95° de [AB] et une demi-droite en B à 55° de [BA], du même côté. Elles se coupent en C. Le triangle est grand : on mesure \( AC \approx 9{,}8 \text{ cm} \) et \( BC \approx 12 \text{ cm} \), il faut donc placer [AB] en bas de la feuille.

• a) Hauteur issue de A (vert) : droite passant par A et perpendiculaire à (BC), tracée à l’équerre.
• b) Médiane passant par B (bleu) : on place le milieu de [AC] (environ 4,9 cm de A) et on le relie à B.
• c) Bissectrice de l’angle ACB (noir) : au compas, arcs de même rayon depuis deux points pris sur [CA] et [CB] à même distance de C ; elle partage l’angle en deux angles de 15°.
• d) Médiatrice de [BC] (rouge) : perpendiculaire à [BC] en son milieu, tracée au compas.

e) Calcul de \( \widehat{ACB} \). Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180° :

\[ \begin{aligned} \widehat{ACB} &= 180^\circ – (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) \\ &= 180^\circ – (95^\circ + 55^\circ) \\ &= 180^\circ – 150^\circ \\ &= 30^\circ \end{aligned} \]

On lit sur la figure que ABCD est un parallélogramme (côtés opposés parallèles), que E est sur la droite (CD) prolongée au-delà de D, que F est sur la droite (AD) et que (EF) est perpendiculaire à (AD).

Étape 1 : l’angle \( \widehat{ABC} \). L’angle de 105° est marqué entre [BC] et le prolongement de [AB] au-delà de B. Ces deux angles sont adjacents et forment un angle plat :

\[ \widehat{ABC} = 180^\circ – 105^\circ = 75^\circ \]

Étape 2 : l’angle \( \widehat{ADC} \). Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure : \( \widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 75^\circ \).

Étape 3 : l’angle \( \widehat{EDF} \). Les droites (CE) et (AF) se coupent en D. Les angles \( \widehat{ADC} \) et \( \widehat{EDF} \) sont opposés par le sommet, donc égaux : \( \widehat{EDF} = 75^\circ \).

Étape 4 : dans le triangle DEF, rectangle en F :

\[ \begin{aligned} \widehat{DEF} &= 180^\circ – (\widehat{EFD} + \widehat{EDF}) \\ &= 180^\circ – (90^\circ + 75^\circ) \\ &= 15^\circ \end{aligned} \]

Dans le triangle ABC, la somme des mesures des angles est égale à 180° :

\[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \]

On remplace par les valeurs connues :

\[ \begin{aligned} \widehat{C} &= 180^\circ – (28^\circ + 73^\circ) \\ &= 180^\circ – 101^\circ \\ &= 79^\circ \end{aligned} \]

Vérification : \( 28^\circ + 73^\circ + 79^\circ = 180^\circ \). Le triangle a trois angles aigus : c’est un triangle acutangle.