Les fractions en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Les dénominateurs sont égaux : on ajoute (ou on soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{3}{5} + \frac{6}{5} = \frac{3 + 6}{5} = \mathbf{\frac{9}{5}} \\ B &= \frac{7}{9} – \frac{2}{9} = \frac{7 – 2}{9} = \mathbf{\frac{5}{9}} \\ C &= \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = \mathbf{\frac{7}{10}} \\ D &= \frac{8}{13} – \frac{3}{13} = \mathbf{\frac{5}{13}} \end{aligned} \]

Un dénominateur est multiple de l’autre : on transforme la fraction qui a le plus petit dénominateur.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{2}{3} – \frac{1}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} – \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \mathbf{\frac{1}{2}} \\ B &= \frac{2}{3} + \frac{7}{30} = \frac{20}{30} + \frac{7}{30} = \frac{27}{30} = \frac{9 \times 3}{10 \times 3} = \mathbf{\frac{9}{10}} \\ C &= \frac{17}{18} – \frac{1}{6} = \frac{17}{18} – \frac{3}{18} = \frac{14}{18} = \mathbf{\frac{7}{9}} \\ D &= \frac{1}{21} + \frac{2}{3} = \frac{1}{21} + \frac{14}{21} = \frac{15}{21} = \mathbf{\frac{5}{7}} \end{aligned} \]

Pour A, 24 est un multiple de 6 (\( 6 \times 4 \)) et de 4 (\( 4 \times 6 \)) : on écrit tout sur 24.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{1}{6} + \frac{3}{4} – \frac{7}{24} = \frac{4}{24} + \frac{18}{24} – \frac{7}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \mathbf{\frac{5}{8}} \end{aligned} \]

Pour B, 18 est un multiple de 3 et de 9 : on écrit tout sur 18.

\[ \begin{aligned} B &= \frac{2}{3} – \frac{7}{18} + \frac{2}{9} = \frac{12}{18} – \frac{7}{18} + \frac{4}{18} = \frac{9}{18} = \mathbf{\frac{1}{2}} \end{aligned} \]

Un entier s’écrit comme une fraction de même dénominateur : \( 7 = \frac{14}{2} \), \( 4 = \frac{12}{3} \), etc.

\[ \begin{aligned} A &= 7 + \frac{1}{2} = \frac{14}{2} + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{15}{2}} \\ B &= 4 – \frac{1}{3} = \frac{12}{3} – \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{11}{3}} \\ C &= \frac{3}{4} + 3 = \frac{3}{4} + \frac{12}{4} = \mathbf{\frac{15}{4}} \\ D &= \frac{15}{7} – 2 = \frac{15}{7} – \frac{14}{7} = \mathbf{\frac{1}{7}} \end{aligned} \]

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{5}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{5 \times 1}{4 \times 3} = \mathbf{\frac{5}{12}} \\ B &= \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \mathbf{\frac{3}{8}} \\ C &= \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100} = 0{,}21 \\ D &= \frac{5}{7} \times \frac{4}{3} = \frac{5 \times 4}{7 \times 3} = \mathbf{\frac{20}{21}} \end{aligned} \]

Aucune de ces fractions ne peut se simplifier.

Il faut d’abord compter en combien de parts égales est partagée chaque figure :

• le disque est partagé en 2 : on colorie 1 demi-disque ;
• le rectangle est partagé en 8 bandes : \( \frac{1}{2} = \frac{4}{8} \), on colorie 4 bandes ;
• le segment est partagé en 6 morceaux : on en colorie 2 ;
• le pavé contient \( 4 \times 3 = 12 \) cubes : \( \frac{3}{6} = \frac{6}{12} \), on colorie 6 cubes.

N’importe quelles parts conviennent, pourvu que leur nombre soit le bon.

On quadrille le carré : les traits verticaux le partagent en largeurs 2, 1, 1, 2 et les traits horizontaux en trois bandes de hauteur 2. Le carré mesure donc 6 carreaux sur 6, soit 36 carreaux.

• Pièce 1 : triangle rectangle de côtés 2 et 6, aire \( \frac{2 \times 6}{2} = 6 \) carreaux, soit \( \frac{6}{36} = \mathbf{\frac{1}{6}} \) de la figure.
• Pièce 2 : rectangle \( 1 \times 2 = 2 \) carreaux, soit \( \frac{2}{36} = \mathbf{\frac{1}{18}} \) de la figure.
• Pièce 3 : rectangle \( 2 \times 6 = 12 \) carreaux, soit \( \frac{12}{36} = \mathbf{\frac{1}{3}} \) de la figure.
• Une quatrième pièce hachurée, sans numéro (en haut, à droite de la pièce 2), mesure aussi \( 1 \times 2 = 2 \) carreaux.

Ensemble des pièces hachurées : \( 6 + 2 + 12 + 2 = 22 \) carreaux, soit \( \frac{22}{36} = \frac{11}{18} \).

Nombre total d’animaux : \( 3 + 4 + 7 + 3 = 17 \). Nombre de poules : \( 3 + 7 = 10 \).

• Il y a 3 oies sur 17 animaux : \( \frac{3}{17} \) des animaux sont des oies.
• Il y a 10 poules sur 17 animaux : \( \frac{10}{17} \) des animaux sont des poules.
• Il y a 3 poules blanches sur 10 poules : \( \frac{3}{10} \) des poules sont blanches.

Attention au dernier cas : le « tout » n’est plus l’ensemble des animaux mais seulement les poules.

On cherche par quel nombre on a multiplié (ou divisé) et on fait de même en haut et en bas.

\[ \frac{5}{2} = \frac{30}{12} \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \quad \frac{7}{6} = \frac{14}{12} \quad \frac{5}{4} = \frac{15}{12} \quad \frac{2}{7} = \frac{18}{63} \quad \frac{9}{2} = \frac{18}{4} \]

Par exemple, \( 12 = 2 \times 6 \) donc \( \frac{5}{2} = \frac{5 \times 6}{2 \times 6} = \frac{30}{12} \) ; et \( 18 = 2 \times 9 \) donc \( \frac{2}{7} = \frac{2 \times 9}{7 \times 9} = \frac{18}{63} \).

\[ \frac{6}{5} = \frac{18}{15} \qquad \frac{3}{11} = \frac{18}{66} \]

Chaîne de \( \frac{4}{3} \) : \( 12 = 4 \times 3 \), \( 8 = 4 \times 2 \), \( 21 = 3 \times 7 \), \( 40 = 4 \times 10 \), \( 1{,}6 = 4 \times 0{,}4 \), \( 111 = 3 \times 37 \).

\[ \frac{4}{3} = \frac{12}{9} = \frac{8}{6} = \frac{28}{21} = \frac{40}{30} = \frac{1{,}6}{1{,}2} = \frac{148}{111} \]

Chaîne de \( \frac{7}{6} \) : \( 18 = 6 \times 3 \), \( 98 = 7 \times 14 \), \( 14 = 7 \times 2 \), \( 102 = 6 \times 17 \), \( 3 = 6 \times 0{,}5 \).

\[ \frac{7}{6} = \frac{21}{18} = \frac{98}{84} = \frac{14}{12} = \frac{119}{102} = \frac{3{,}5}{3} \]

\[ \begin{aligned} a)\ & 35 = 5 \times 7 \text{ donc } \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \mathbf{\frac{14}{35}} \\ b)\ & 20 = 4 \times 5 \text{ donc } \frac{4}{3} = \frac{4 \times 5}{3 \times 5} = \mathbf{\frac{20}{15}} \\ c)\ & 28 = 4 \times 7 \text{ donc } \frac{11}{4} = \frac{11 \times 7}{4 \times 7} = \mathbf{\frac{77}{28}} \end{aligned} \]