Les équations : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Les équations constituent un élément essentiel du programme de mathématiques en classe de troisième, permettant aux élèves de développer des compétences clés telles que la résolution de problèmes et la logique mathématique. Maîtriser les équations aide non seulement à obtenir de bonnes notes, mais aussi à acquérir des bases solides pour les études futures. Dans cet article, nous vous proposons des corrections d’exercices pour renforcer votre compréhension et vos compétences en matière d’équations.

Exercice 1 – les inéquations

a. 4x+3<7x

4x-7x<3
-3x<3
x>-1
b. 4(x+3)>7x

Développement : 4x+12>7x
12>7x-4x
12>3x

Division par 3 : 4>x

Simplifié : x<4

c. $4x+3\geq7x+8$

Réduction : $3\geq3x+8$

Simplifié : $-5\geq3x$

Division par 3 : $-\frac{5}{3}\geq\, x$

d. $4x+3\leq7(x+8)$

Développement : $4x+3\leq7x+56$

Réduction : $3\leq3x+56$

Simplifié : $-53\leq3x$

Division par 3 : $-\frac{53}{3}\leq\, x$

e. 4(x+3)>7(x+8)

Développement : 4x+12>7x+56
12-56>7x-4x
-44>3x

Division par 3 :
$-\frac{44}{3}>x$

f. $-4x+3\geq7x-8$

Réduction : $3\geq11x-8$

Réduction : $11\geq11x$

Division par 11 : $1\geq\, x$

g. $-4(x+3)\geq7(x-8)$

Développement : $-4x-12\geq7x-56$

Réduction : $-12\geq11x-56$

Simplifié : $44\geq11x$

Division par 11 : $4\geq\, x$

h. $-4(x-3)\leq7(x+8)$

Développement : $-4x+12\leq7x+56$

Réduction : $12\leq11x+56$

Simplifié : $-44\leq11x$

Division par 11 : $-\frac{44}{11}\leq\, x$

Simplifié : $-4\leq\, x$

i. -4(-x+3)>7(x-8)

Développement : 4x-12>7x-56

56-12>7x-4x

44>3x

Division par 3 : $\frac{44}{3}>x$
$x<\frac{44}{3}$

j. $(2x-3)^{2}\leq4x^{2}+2x-4$

Développement : $4x^{2}-12x+9\leq4x^{2}+2x-4$

Réduction : $-12x+9\leq2x-4$

Simplifié : $-16x\leq-13$

Division par -16 (changer le signe) : $x\geq\frac{13}{16}$

k. $(2x-3)^{2}\leq-4x^{2}+2x-4$

Développement : $4x^{2}-12x+9\leq-4x^{2}+2x-4$

Réduction : $8x^{2}-14x+9\leq-4$

Simplifié (équation quadratique) : Pas de solution réelle.

l. $(-3x+2)(2-6x)\geq(2x-6)(1+9x)$

Développement : $-6x+18x^{2}+4-12x\geq2x+18x^{2}-6-54x$

Réduction : $18x^{2}-18x+4\geq18x^{2}-52x-6$

Simplifié : $34x\geq-10$

Division par 34 : $x\geq-\frac{5}{17}$

Exercice 2 – résolution d’équations.

Soustrayons 2x des deux côtés :

3x+2=6

Soustrayons 2des deux côtés :

3x=4

Divisons par 3 :

$x=\frac{4}{3}$

Développons les deux côtés :

Ajoutons 2x aux deux côtés :

8x+6=14

Soustrayons 6 des deux côtés :

8x=8

Divisons par 8 :

x=1

Développons :

Ajoutons 12x aux deux côtés :

Soustrayons 6 des deux côtés :

-15=13x

Divisons par 13 :

$x=-\frac{15}{13}$

$\frac{x+3}{3}=\frac{2x+1}{4}$

Éliminons les fractions par multiplication croisée :

Développons :

Soustrayons 4x des deux côtés :

12=2x+3

Soustrayons 3 des deux côtés :

9=2x

Divisons par 2 :

$x=\frac{9}{2}$

$\frac{2x-3}{5}=-5x+1$

Multiplication croisée :

Développons :

Ajoutons 25xdes deux côtés :

27x-3=5

Ajoutons 3 des deux côtés :

27x=8

Divisons par 27 :

$x=\frac{8}{27}$

$\frac{3-4x}{5}=\frac{2x+1}{4}$

Multiplication croisée :

Développons :

Ajoutons 16x et soustrayons 5 :

7=26x

Divisons par 26 :

$x=\frac{7}{26}$

Exercice 3 – equations et calcul littéral.

1) (3x – 5)(x + 3):

$x=\frac{-4+14}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

$x=\frac{-4-14}{6}=\frac{-18}{6}=-3$

Exercice 4 – problème et résolution d’équations

Soit x le nombre de baguettes cuites pour la journée.

Le matin, le boulanger vend les deux tiers de ses baguettes :

$\frac{2}{3}x$

L’après-midi, il en vend encore 90.

À la fin de la journée, il reste 20 baguettes :

$x-\frac{2}{3}x-90=20$

Simplifions l’équation :

$\frac{1}{3}x=110$

Multiplions par 3 pour trouver x :

x=330

Le boulanger avait cuit 330 baguettes pour la journée.

Exercice 5 – développement,factorisation et équation de produit nul

1. Développer et réduire A :

On a

Développons chaque terme :

En combinant, on obtient :

2. Factoriser A :

On cherche à factoriser :

On commence par mettre en facteur commun :

Factorisons le trinôme :

Donc,

3. Résoudre l’équation $(2x-3)(-2x-10)=0$ :

Cette équation est un produit nul, donc :
$2x-3=0\quad\text{ou}\quad -2x-10=0$

Résolvons chaque équation :

$2x-3=0\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac{3}{2}$
$-2x-10=0\Rightarrow -2x=10\Rightarrow x=-5$

Donc les solutions sont : $x=\frac{3}{2}$ et x=-5

Exercice 6 – factorisation et equations.

1) Factoriser E = 4x² – 49 :

Cette expression est une différence de carrés, donc elle peut être factorisée ainsi :

2) Soit l’expression F= (2x-7)(-5x+9) + 4x² – 49.

a) Développer puis réduire F :

Développons d’abord le produit :

En remplaçant dans F, nous avons :

Simplifions :

b) Calculer la valeur exacte de F pour x=1 , $x=-\frac{1}{2}$ et $x=\sqrt{2}$ :

Pour x=1 :

Pour $x=-\frac{1}{2}$ :

$F=-6\left(-\frac{1}{2}\right)^2+53\left(-\frac{1}{2}\right)-112=-6\cdot\frac{1}{4}-\frac{53}{2}-112$

Ce qui donne :

$F=-\frac{3}{2}-\frac{53}{2}-112=-\frac{56}{2}-112=-28-112=-140$

Pour $x=\sqrt{2}$ :

$F=-6(\sqrt{2})^2+53(\sqrt{2})-112=-12+53\sqrt{2}-112$

Donc :

$F=53\sqrt{2}-124$

c) Écrire F sous forme d’un produit de facteurs du premier degré :

Utilisons la méthode de factorisation :

$F=-6(x^2 - \frac{53}{6}x +\frac{112}{6})$

En résolvant cette équation du second degré, nous trouvons les racines et exprimons F sous forme factorisée :

Où et sont les racines trouvées.

d) Résoudre l’équation F = 0 :

En utilisant l’expression factorisée, nous posons :

Les solutions sont : x=a et x=b .

Exercice 7 – equations produits à résoudre

a) Résolvons l’équation :

Cette équation est un carré parfait :

Donc, x+7=0

Solution : x=-7

b) Résolvons l’équation :

Cette équation est un carré parfait :

Donc, y-6=0

Solution : y=6

c) Résolvons l’équation :

Cette équation est un carré parfait :

Donc, 2x-5=0

Solution : $x=\frac{5}{2}$

d) Résolvons l’équation :

Réarrangeons pour voir ceci :

Cette équation est un carré parfait :

Donc, 3z+4=0

Solution : $z=-\frac{4}{3}$

Exercice 8 – pièces en euros et équations

Données :

Total des pièces : x+y=35

Total en euros :

Équations :

1. x+y=35

2. x+2y=65

Résolution :

Soustrayons l’équation 1 de l’équation 2 pour éliminer

y=30

En substituant y=30

x+30=35

x=5

Il y a pièce(s) de 1 euro et pièce(s) de 2 euros.

Exercice 9 – résoudre ces équations

1. Résoudre l’équation :

Utilisons l’identité remarquable : .

Posons a=x-7 et b=2x+5 .

Alors l’équation devient :

Les solutions sont x=-12 et $x=\frac{2}{3}$ .

2. Résoudre l’équation :

Posons a=7x+1 et b=3x+4 .

Alors l’équation devient :

Les solutions sont $x=\frac{3}{4}$ et $x=-\frac{1}{2}$ .

3. Résoudre l’équation :

Posons a=6x-1 et b=2x+1 .

Alors l’équation devient :

Les solutions sont $x=\frac{1}{2}$ et x=0 .

Exercice 10 – carré et équations.

1) Donner un encadrement de x :

Comme le point N est entre A et D, et R entre D et C, on a : $0\leq\, x\leq\,10$

2)a) Exprimer l’aire de NORD en fonction de x :

L’aire de NORD est $\text{largeur}\times\text{hauteur}$

Puisque AN=DR=x

alors la largeur NO et la hauteur OR sont égales à 10-x

Aire de NORD = $(10-x)\times(10-x)=(10-x)^2$

2)b) Démontrer que l’aire est égale à : 25-(x-5)².

Développer (x-5)^2

Aire de NORD =

On a donc :

3)a) Déterminer la valeur de x pour laquelle l’aire de NORD est maximale ou est alors situé le point N :

Pour maximiser

Le terme doit être le plus petit possible, c’est-à-dire 0.

Donc

x=5

3)b) Dans ce cas que peut-on dire du rectangle NORD :

Quand x=5

le rectangle NORD est en fait un carré de côté 5 cm.

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