Les suites : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = -2n + 7\).

1) Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\).

2) Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = 2^n\).

1) Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(n\).

2) Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).

Dans chaque cas, exprimer \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\).

1) \((u_n)\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 5n - 1\)

2) \((u_n)\) est la suite définie sur \(\mathbb{N}^*\) par \(u_n = 2\) et \(u_{n+2} = (n + 1)\,u_{n+1} + 5\)

On considère une suite \((u_n)\) dont un terme, d’indice choisi par l’utilisateur, est calculé à l’aide de l’algorithme ci-dessous.

VARIABLES
  u EST_DU_TYPE NOMBRE
  n EST_DU_TYPE NOMBRE
  i EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
  LIRE n
  AFFICHER u
  POUR i ALLANT_DE 0 A n
    DEBUT_POUR
    u PREND_LA_VALEUR 5*i-2/i
    FIN_POUR
  AFFICHER u
FIN_ALGORITHME

1) La suite \((u_n)\) est-elle définie par sa forme explicite ou par récurrence ?

2) Définir la suite \((u_n)\).

On considère une suite \((u_n)\) étudiée à l’aide de l’algorithme ci-dessous.

VARIABLES
  u EST_DU_TYPE NOMBRE
  n EST_DU_TYPE NOMBRE
  i EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
  LIRE n
  u PREND_LA_VALEUR 5
  AFFICHER u
  POUR i ALLANT_DE 1 A n
    DEBUT_POUR
    u PREND_LA_VALEUR -u+2
    AFFICHER u
    FIN_POUR
FIN_ALGORITHME

1) Comment est définie cette suite ?

2) Que fait cet algorithme ?

3) Modifier cet algorithme pour qu’il n’affiche que le terme dont l’indice a été choisi par l’utilisateur.

On considère \(OA_1A_2\) un triangle rectangle en \(A_1\) tel que \(OA_1 = A_1A_2 = 1\).

On construit ensuite une suite de points \(A_n\), \(n \in \mathbb{N}^*\) tels que \(OA_nA_{n+1}\) soit un triangle rectangle en \(A_n\) et que \(A_nA_{n+1} = 1\).

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n = OA_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).

1) Calculer \(u_2\) et \(u_3\).

2) Définir la suite \((u_n)\) par récurrence.

3) Conjecturer la forme explicite de la suite \((u_n)\).

Soit \(u\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par :

\(u_0 = -3\) et \(u_{n+1} = {u_n}^2 + 3u_n\).

Que doit-on écrire dans les cellules B2 et C2 pour qu’en étirant vers la droite le contenu de la cellule B2, on obtienne les premiers termes de la suite \(u\) ?

Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 0{,}5u_n + 2\).

On donne la feuille de calcul ci-dessous.

1) Quelle est la formule entrée dans la cellule C2 et recopiée vers la droite ?

2) Quelle est la formule entrée dans la cellule C3 et recopiée vers la droite ?

On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n = 2n^2 + (-1)^n\).

1) Écrire \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\).

2) Écrire \(u_{2n}\) en fonction de \(n\).

On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(v_n = \dfrac{(-2)^{n-1}}{3^n}\).

1) Écrire \(v_{n-1}\) en fonction de \(n\).

2) Écrire \(u_{n+2}\) en fonction de \(n\).

Soit \(w_n = \cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)\).

1) Calculer les 6 premiers termes de la suite.

2) Soit \(n\) un entier naturel. Exprimer \(w_{n+6}\) en fonction de \(w_n\).

1) Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer son mode de génération et ses quatre premiers termes :

a) \(u\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = \dfrac{2}{u_{n-1}} + 1\) et \(u_0 = 1\) ;

b) \(v\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_n = \sin\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)\).

2) À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats précédents.

On souhaite calculer à l’aide d’un tableur les premiers termes d’une suite \(v\).

Cellule C2 : =2*B1+1+B2

1) En recopiant la formule écrite en C2 vers la droite, quelle valeur obtient-on dans la case D2 ?

2) Définir la suite \(v\).

Soit \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\). On a construit ci-dessous la courbe représentative de \(f\) et les premiers termes de la suite \((u_n)\).

Lire graphiquement une valeur approchée de \(u_4\).

On a construit ci-dessous la courbe représentative de \(f\) et les premiers termes de la suite \((u_n)\). Lire graphiquement une valeur approchée de \(u_3\).

\((u_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r=4\) et de premier terme \(u_0=16\). Donner le terme \(u_6\).

\(u\) est une suite géométrique de raison \(q=-3\) et de premier terme \(u_0=2\). Donner le terme \(u_3\).

Pour chacune des suites ci-dessous, calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

1. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par : \(u_n=\dfrac{3n+1}{2n}\).
2. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(u_n=2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\).
3. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}2^k=1+2+2^2+2^3+\dots+2^n\).

1. Pour chacune des suites ci-dessous, calculer \(u_0\), \(u_1\) et \(u_2\).
   1. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(u_n=2n^2-5n\)
   2. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(u_n=(n+1)\times(-2)^n\)
   3. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(u_n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}(2i+1)\)
2. À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats des questions a) et b).

Pour chacune des suites ci-dessous :

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. Écrire \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\).
3. À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats de la question 1.

• \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\begin{cases}u_0=-2\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3\end{cases}\).
• \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=-2u_n\end{cases}\).
• \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=nu_n+3\end{cases}\).

Pour chacune des suites ci-dessous :

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. Écrire \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\) pour les questions a) et b).
   1. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\begin{cases}u_0=-3\\u_{n+1}=-u_n-5\end{cases}\)
   2. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\begin{cases}u_0=7\\u_{n+1}=(n+1)u_n-4\end{cases}\)
   3. \(u\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \(\begin{cases}u_0=2\\u_1=-1\\u_{n+2}=2u_n-u_{n+1}\end{cases}\)

1. Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer son mode de génération et ses quatre premiers termes :
   1. \(u\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n=n^3\)
   2. \(v\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(\begin{cases}v_0=-5\\v_{n+1}=2v_n+4\end{cases}\)
   3. \(w\) définie sur \(\mathbb{N}^*\) par \(w_n=1+\dfrac{1}{2}+\dots+\dfrac{1}{n}\)
2. À l’aide de la calculatrice, contrôler les résultats précédents.

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+1}\). Calculer \(u_4\).

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \(u_n=\sqrt{n-1}\). Calculer les trois premiers termes de la suite.

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=(n-5)^2+2\). Calculer \(u_3\).

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=2u_n-4\end{cases}\). Calculer \(u_1\) puis \(u_2\).

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+1\end{cases}\). Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=(n+1)u_n\end{cases}\).

1. Calculer \(u_1\) puis \(u_2\).
2. Écrire \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\).

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \(u_n=1+2+\dots+n\). Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

\(u\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par \(u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}\dots+\dfrac{1}{2^n}\). Calculer les quatre premiers termes de cette suite.

Calculer.

1. \(\displaystyle\sum_{k=0}^{3}k^2\)
2. \(\displaystyle\sum_{k=0}^{3}(-1)^k\)
3. \(\displaystyle\sum_{k=0}^{2}\dfrac{k}{k+1}\)
4. \(\displaystyle\sum_{k=0}^{2}(2k+1)\times(-1)^k\)

Compléter.

1. \(3+4+5+\dots+9=\displaystyle\sum_{k=\dots}^{\dots}\dots\)
2. \(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}=\displaystyle\sum_{k=\dots}^{\dots}\dots\)

La suite \((w_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(w_0=-1\) et \(w_{n+1}=3w_n-2\) est :

1. géométrique de raison \(3\).
2. géométrique de raison \(-2\).
3. arithmétique de raison \(-2\).
4. ni arithmétique ni géométrique.

L’expression du terme général d’une suite arithmétique de premier terme \(u_1=2\) et de raison \(-5\) est :

1. \(u_n=2-5n\)
2. \(u_n=-5+2n\)
3. \(u_n=7-5n\)
4. \(u_n=2\times(-5)^n\)

L’expression du terme général d’une suite géométrique de premier terme \(v_1=2\) et de raison \(-5\) est :

1. \(v_n=2\times(-5)^n\)
2. \(v_n=2\times(-5)^{n-1}\)
3. \(v_n=-5\times 2^n\)
4. \(v_n=-5\times 2^{n-1}\)

La suite \((t_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(t_n=\dfrac{1}{2}n-3\) est :

1. croissante à partir de \(n=0\).
2. décroissante à partir de \(n=0\).
3. ni croissante ni décroissante.
4. croissante à partir de \(3\).

La suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=-3n+5\) :

1. est une suite arithmétique de raison \(-3\).
2. est une suite arithmétique de raison \(5\).
3. a pour premier terme \(u_0=5\).
4. a pour premier terme \(u_0=-3\).

La suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(v_n=-3\times 5^n\) :

1. est une suite géométrique de raison \(-3\).
2. est une suite géométrique de raison \(5\).
3. a pour premier terme \(v_0=5\).
4. a pour premier terme \(v_0=-3\).

La somme \(2+4+6+\dots+20\) est égale à :

1. \(110\)
2. \(2\times\dfrac{10\times 11}{2}\)
3. \(\dfrac{10\times 11}{2}\)
4. \(10\times 11\)

La somme \(1+5+5^2+\dots+5^{10}\) est égale à :

1. \(\dfrac{1}{4}(5^{11}-1)\)
2. \(\dfrac{1-5^{10}}{1-5}\)
3. \(\dfrac{1-5^{11}}{1-5}\)
4. \(\dfrac{1}{4}(5^{10}-1)\)

Pour chacune des suites suivantes définies sur \(\mathbb{N}\), calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) et \(u_{10}\).

1. \(u_n=3n+7\)
2. \(u_n=\dfrac{n}{n+1}+2\)
3. \(u_n=n^2-7n+2\)
4. \(u_n=2^n-3\)
5. \(u_n=(-1)^n-n\)
6. \(u_n=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}n\)

La suite \((u_n)\) est définie par \(\begin{cases}u_0=20\\u_{n+1}=u_n-(n-4)^2\end{cases}\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2. Conjecturer le sens de variation.
3. Démontrer cette conjecture.

Déterminer si les suites suivantes sont arithmétiques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1. \(u_n=7n-3\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. \(u_n=n^2+4\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
3. \(\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=2u_n+7\end{cases}\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
4. \(\begin{cases}u_1=-3\\u_{n+1}=u_n+n+9\end{cases}\), pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\).

Les suites suivantes sont arithmétiques de raison \(r\). Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

1. \(u_2=2\) et \(r=4\)
2. \(u_5=7\) et \(r=-\dfrac{1}{2}\)
3. \(u_3=4\) et \(r=12\)
4. \(u_8=\dfrac{37}{2}\) et \(r=-\dfrac{1}{4}\)

On donne le premier terme et la raison \(q\) des suites géométriques suivantes. Exprimer \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) puis calculer les cinq premiers termes.

1. \(v_0=3\) et \(q=4\)
2. \(v_0=2\) et \(q=-3\)
3. \(v_1=5\) et \(q=\dfrac{1}{2}\)
4. \(v_1=-\dfrac{1}{4}\) et \(q=2\)

Déterminer si les suites suivantes sont géométriques. Si oui, donner le premier terme et la raison.

1. \(v_n=8^n\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. \(v_n=n^4\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
3. \(v_n=2\times 3^n\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
4. \(v_n=-5\times 2^{n+1}\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
5. \(\begin{cases}v_0=1\\v_{n+1}=3v_n+3n\end{cases}\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
6. \(\begin{cases}v_0=2\\v_{n+1}=5+7v_n\end{cases}\), pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

On considère l’algorithme suivant :

Pour i allant de 1 à 10 :

\(U\leftarrow 2i-1\)

Fin Pour

1. Quelle sera la dernière valeur calculée par cet algorithme ?
2. On appelle \((u_n)\) la suite associée aux valeurs calculées par l’algorithme. Donner l’expression du terme général de cette suite.

Pour chacune des suites suivantes définies sur \(\mathbb{N}\), exprimer \(u_{n-1}\) et \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\) :

1. \(u_n=6n+8\)
2. \(u_n=n^2-2n+8\)
3. \(u_n=\dfrac{n(n+1)}{n+2}\)
4. \(u_n=5^n\)
5. \(u_n=\dfrac{3^{n+1}}{2^n}\)
6. \(u_n=\dfrac{9n-5}{4n+6}\)
7. \(u_n=\left(\dfrac{n^2}{n+1}\right)^{n+1}\)

Pour chacune des suites définies pour tout entier naturel \(n\), calculer les trois termes suivant le premier.

1. \(\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=3u_n-4n\end{cases}\)
2. \(\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=u_n^2+\dfrac{1}{2n+1}\end{cases}\)
3. \(\begin{cases}u_0=3\\u_n=5u_{n-1}-2\end{cases}\)
4. \(\begin{cases}u_0=1\\u_1=2\\u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n\end{cases}\)
5. \(\begin{cases}u_0=1\\u_1=2\\u_{n+2}=u_{n+1}+n\end{cases}\)

On considère l’algorithme ci-contre définissant une suite \((u_n)\) :

\(U\leftarrow 1\)

Pour i allant de 1 à 10 :

\(U\leftarrow\dfrac{U-1}{U-2}\)

Fin Pour

1. Que calcule cet algorithme ?
2. Écrire une relation entre \(u_{n+1}\) et \(u_n\).

On considère les suites suivantes définies sur \(\mathbb{N}\).

1. \(\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=5u_n-3\end{cases}\)
2. \(\begin{cases}u_0=1\\u_{n+1}=4u_n-(n-3)\end{cases}\)
3. \(\begin{cases}u_0=-1\\u_{n+1}=(n+1)u_n+2\end{cases}\)
4. \(\begin{cases}u_0=-1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{2n+3}\end{cases}\)

1. Pour chacune des suites, exprimer \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\), pour tout entier \(n\geqslant 1\) puis \(u_{n+2}\) en fonction de \(u_{n+1}\) pour tout entier \(n\).
2. En déduire une expression de \(u_{n+2}\) en fonction de \(u_n\) et de l^{\prime}entier \(n\).

Dans chaque cas, déterminer le sens de variation de la suite \((u_n)\) définie par :

1. \(u_n=\dfrac{n+1}{n+2}\) pour tout \(n\geq 0\).
2. \(u_n=\dfrac{3^{n}}{n}\) pour tout \(n\geq 1\).
3. \(u_n=n^{2}-3n+12\) pour tout \(n\geq 0\).
4. \(u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\) pour tout \(n\geq 1\).

Dans un repère orthonormé, on a représenté la fonction \(f\) définie sur \(\left]-2\,;\,+\infty\right[\) par \(f(x)=\dfrac{6}{x+2}-1\) et la droite d’équation \(y=x\).

On définit la suite \((u_n)\) par \[\begin{cases}u_0=5\\ u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}\]

1. Reproduire et représenter les cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.
2. Émettre une conjecture sur le sens de variation de la suite, puis sur sa limite.

On souhaite empiler des canettes de soda de cette manière. On note \(c_n\) le nombre de canettes sur la rangée \(n\) pour \(n\in \mathbb{N}^{*}\).

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite \((c_n)\).
2. Conjecturer une expression de \(c_{n+1}\) en fonction de \(c_n\) pour \(n\in \mathbb{N}^{*}\). Quelle est la nature de la suite ?
3. En déduire le terme général \(c_n\) en fonction de \(n\).
4. Quel est le nombre total de canettes utilisées pour sept rangées ?
5. À l’aide de la calculatrice, déterminer combien de rangées on peut dresser avec 91 canettes.

On souhaite empiler des allumettes. Pour \(n\in \mathbb{N}^{*}\), on note \(a_n\) le nombre d’allumettes nécessaire pour construire la ligne du niveau \(n\). Ainsi, \(a_1=2\) et \(a_2=4\).

1. Déterminer les quatre premiers termes de la suite.
2. Exprimer \(a_n\) en fonction de \(n\) avec \(n\in \mathbb{N}^{*}\) puis en déduire la nature de la suite.
3. Combien d’allumettes totales seront nécessaires pour construire la dixième étape ?

Déterminer le sens de variation des suites arithmétiques suivantes définies sur \(\mathbb{N}\).

1. 1. \(u_n=4n-2\)
   2. \(u_n=\dfrac{-3n+5}{8}\)
   3. \(u_n=\dfrac{n^{2}+4n+3}{n+3}\)
   4. \(u_n=\dfrac{3n^{2}+5n-2}{n+2}\)
2. 1. \(u_3=4\) et \(u_8=24\)
   2. \(u_5=\dfrac{7}{4}\) et \(u_9=\dfrac{1}{4}\)
   3. \(u_{13}=16\) et \(u_{32}=-7\)
   4. \(u_{50}=159\) et \(u_{100}=309\)