Exercice 1 : construction géométrique.
\[
d_1 \perp d_2 \text{ et } EF \perp d_1 \text{ et } EF \perp d_2
\]
Puisque \(EF\) est perpendiculaire à \(d_1\) et \(d_2\), et \(d_1 \perp d_2\), nous pouvons dire que \(d_1\) et \(d_2\) sont deux droites perpendiculaires à une même droite (\(EF\)). Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Ainsi, \(d_1 \parallel d_2\).
En conclusion, nous avons montré que \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à la même droite \(EF\).
Exercice 2 : construction géométrique.
Voici la correction de l’exercice :
1. Construire le segment \([AB]\) de longueur \(8\) cm, avec \(A \) et \(B\).
\[ AB = 8 \, \text{cm} \]
2. Tracer les points \(I\) et \(J\) tels que \(AI = IO = OJ = JB = \frac{AB}{2} = 4 \, \text{cm}\).
3. Tracer deux cercles de centres \(I\) et \(J\) et de rayon \(4\) cm.
4. Les cercles de centres \(I\) et \(O\) se coupent en \(K\) et \(G\).
5. Tracer les segments \([CG]\) et \([KF]\) qui sont des diamètres du cercle de centre \(I\).
6. Les cercles de centres \(J\) et \(O\) se coupent en \(H\) et \(L\).
7. Tracer les segments \([DL]\) et \([HE]\) qui sont des diamètres du cercle de centre \(J\).
8. Les droites \(IG\) et \(JL\) se coupent en \(N\).
9. Les droites \(IK\) et \(JH\) se coupent en \(M\).
10. Tracer l’arc de cercle de centre \(M\) de rayon \(ME = MF\).
11. Tracer l’arc de cercle de centre \(N\) de rayon \(NC = ND\).
12. La figure obtenue est un ovale.
\[
\begin{array}{l}
\text{Pour générer cette figure en LaTeX, voici un exemple de code:} \\
\begin{verbatim}
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}
% Points de base
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (8,0);
\coordinate (I) at (2,0);
\coordinate (O) at (4,0);
\coordinate (J) at (6,0);
% Cercles
\draw (I) circle (2cm);
\draw (J) circle (2cm);
\draw (O) circle (2cm);
% Points d’intersection
\path[draw,name path=arc1] (I) arc (0:180:2cm);
\path[draw,name path=arc2] (J) arc (0:180:2cm);
\path[draw,name path=arc3] (I) arc (180:360:2cm);
\path[draw,name path=arc4] (J) arc (180:360:2cm);
\path [name intersections={of=arc3 and arc4, by={[label=above:\[H\]]H,[label=below:\[L\]]L}}];
\path [name intersections={of=arc1 and arc2, by={[label=above:\[K\]]K,[label=below:\[G\]]G}}];
% Dessiner les segments de diamètre
\draw[thick] (C) — (G);
\draw[thick] (K) — (F);
% L’arc de cercle
\draw (6,-2.5) arc [start angle=-45, end angle=135, radius=4cm];
\draw (-2,-2.5) arc [start angle=-135, end angle=45, radius=4cm];
\end{tikzpicture}
\end{verbatim}
\end{array}
\]
En utilisant ce code, on obtient la figure de l’exercice en respectant les différentes étapes de construction.
Exercice 3 : constructions géométrique.
Correction de l’exercice :
1. \[\]Pour le triangle \( \triangle ULM \) :\[\]
\( UL = 5,4 \ \text{cm} \)
\( LM = 3,2 \ \text{cm} \)
Angle \( \angle ULM = 20^\circ \)
Utilisation de la loi des cosinus pour trouver \( UM \) :
\[ UM^2 = UL^2 + LM^2 – 2 \cdot UL \cdot LM \cdot \cos(\angle ULM) \]
\[ UM^2 = 5,4^2 + 3,2^2 – 2 \cdot 5,4 \cdot 3,2 \cdot \cos(20^\circ) \]
\[ UM^2 = 29,16 + 10,24 – 34,56 \cdot 0,9397 \]
\[ UM^2 = 39,4 – 32,47 \]
\[ UM \approx \sqrt{6,93} \]
\[ UM \approx 2,63 \ \text{cm} \]
2. \[\]Pour le triangle \( \triangle GJK \) :\[\]
\( GJ = 4 \ \text{cm} \)
\( JK = 3,2 \ \text{cm} \)
Angle \( \angle GJK = 113^\circ + 37^\circ = 150^\circ \)
Utilisation de la loi des cosinus pour trouver \( GK \) :
\[ GK^2 = GJ^2 + JK^2 – 2 \cdot GJ \cdot JK \cdot \cos(\angle GJK) \]
\[ GK^2 = 4^2 + 3,2^2 – 2 \cdot 4 \cdot 3,2 \cdot \cos(150^\circ) \]
\[ GK^2 = 16 + 10,24 + 2 \cdot 4 \cdot 3,2 \cdot 0,866 \]
\[ GK^2 = 26,24 – 27,712 \]
\[ GK \approx \sqrt{53,952} \]
\[ GK \approx 7,34 \ \text{cm} \]
3. \[\]Pour le secteur circulaire \( EST \) :\[\]
\( ET = 2,8 \ \text{cm} \) (rayon)
Angle au centre \( \theta = 60^\circ \)
Calcul de la longueur de l’arc \( TS \) :
\[ \text{Longueur de l’arc} = r \cdot \theta \]
\[ TS = 2,8 \cdot ( \dfrac{\pi}{3} ) \]
\[ TS \approx 2,8 \cdot 1,047 \]
\[ TS \approx 2,93 \ \text{cm} \]
4. \[\]Pour le quadrilatère \( ABCD \) :\[\]
\( AD = 6,8 \ \text{cm} \)
\( DC = 8 \ \text{cm} \)
Angle \( \angle ADC = 80^\circ \)
Angle \( \angle DCB = 61^\circ \)
Utilisation de la loi des sinus dans \( \triangle DCB \) :
\[ \frac{DC}{\sin(\angle D)} = \frac{BC}{\sin(\angle BDC)} \]
Où \( \angle BDC = 180^\circ – 80^\circ – 61^\circ = 39^\circ \)
\[ BC = DC \cdot \frac{\sin(\angle BDC)}{\sin(61^\circ)} \]
\[ BC = 8 \cdot \frac{\sin(39^\circ)}{\sin(61^\circ)} \]
\[ \sin(39^\circ) \approx 0,6293 \]
\[ \sin(61^\circ) \approx 0,8746 \]
\[ BC \approx 8 \cdot \frac{0,6293}{0,8746} \]
\[ BC \approx 5,76 \ \text{cm} \]
Ainsi, la longueur de \( BC \) est environ \( 5,76 \ \text{cm} \).
Exercice 4 : construction de figures.
Pour reproduire ce modèle avec une longueur de côté de 3,5 cm, on commence par rappeler les caractéristiques des polygones réguliers pentagonaux et hexagonaux.
### Hexagone régulier
Un hexagone régulier a 6 côtés égaux. Chaque angle interne d’un hexagone est de \(120^\circ\).
Si \( a \) est la longueur du côté, alors pour \( a = 3.5 \) cm, la mesure des côtés reste constante et chaque angle interne reste de \( 120^\circ \).
### Pentagone régulier
Un pentagone régulier a 5 côtés égaux. Chaque angle interne d’un pentagone est de \(108^\circ\).
Si \( a \) est la longueur du côté, alors pour \( a = 3.5 \) cm, la mesure des côtés reste constante et chaque angle interne reste de \( 108^\circ \).
### Méthodologie pour dessiner avec une règle et un rapporteur
1. \[\]Hexagone régulier :\[\]
– Tracez un des côtés de longueur 3,5 cm.
– À l’aide d’un rapporteur, mesurez un angle de \( 120^\circ \) à chaque extrémité de ce côté.
– Tracez les segments suivants de même longueur jusqu’à obtenir un hexagone fermé.
\[
\text{Pour un hexagone : 6 côtés de 3.5 cm et 6 angles internes de } 120^\circ
\]
2. \[\]Pentagone régulier :\[\]
– Tracez un des côtés de longueur 3,5 cm.
– À l’aide d’un rapporteur, mesurez un angle de \( 108^\circ \) à chaque extrémité de ce côté.
– Tracez les segments suivants de même longueur jusqu’à obtenir un pentagone fermé.
\[
\text{Pour un pentagone : 5 côtés de 3.5 cm et 5 angles internes de } 108^\circ
\]
### Organisation spatiale
1. Tracez et positionnez d’abord un pentagone comme suggéré dans le modèle.
2. Ensuite, ajoutez un hexagone adjacent, en partageant des côtés avec le pentagone de façon à correspondre aux alignements voulus.
3. Continuez à ajouter d’autres hexagones et pentagones en veillant à respecter l’interconnexion des angles de \(120^\circ\) et \(108^\circ\).
### Remarques
– L’assemblage devrait former une structure cohérente, où chaque pentagone est entouré de cinq hexagones et chaque hexagone est partagé par trois pentagones, similaires au modèle du ballon de football.
\[
\text{{Respectez bien les angles correspondants pour obtenir une structure régulière.}}
\]
Ainsi, vous pourrez reproduire ce modèle géométrique complexe à une échelle définie par la longueur de côté de 3,5 cm. Cela vous permettra de mieux comprendre la façon dont les formes géométriques s’ajustent et se complètent dans une structure de polyèdre.
Exercice 5 : angles et rapporteur.
{Correction de l’exercice de mathématiques}
{Mesurer des angles}
Mesurer les angles suivants et les ranger dans l’ordre croissant :
\[
\begin{aligned}
\widehat{a} = 75^\circ \\
\widehat{b} = 40^\circ \\
\widehat{c} = 120^\circ \\
\widehat{d} = 90^\circ \\
\widehat{e} = 25^\circ
\end{aligned}
\]
Ordre croissant :
\[ \widehat{e}, \widehat{b}, \widehat{a}, \widehat{d}, \widehat{c} \]
\[
25^\circ, 40^\circ, 75^\circ, 90^\circ, 120^\circ
\]
{Tracer des angles}
Tracer les angles suivants :
\[
\angle xOy = 15^\circ \quad \angle ABC = 95^\circ \quad \angle UCV = 120^\circ
\]
\[
\angle MDN = 170^\circ \quad \angle xEz = 45^\circ \quad \angle VFW = 135^\circ
\]
{Construire des triangles}
Construire les dessins en respectant les mesures indiquées :
1. Triangle \( \triangle ABC \) :
\[
\begin{aligned}
\text{AB} = 6 \, \text{cm} \\
\angle CAB = 70^\circ \\
\angle CBA = 60^\circ
\end{aligned}
\]
2. Triangle \( \triangle EFG \) :
\[
\begin{aligned}
\text{EF} = 5 \, \text{cm} \\
\text{FG} = 4,5 \, \text{cm} \\
\angle EFG = 55^\circ
\end{aligned}
\]
Exercice 6 : constructions au rapporteur.
1) Marguerite suit les instructions suivantes :
1. Avancer de \(5 \text{ cm}\) puis tourner vers la gauche de \(90^\circ\).
2. Recommencer à nouveau trois fois.
Puisque Marguerite doit répéter cette séquence trois fois de plus, elle effectuera un parcours en carré. Voici le tracé :
– Départ à \( (0,0) \).
– Avance de \(5 \text{ cm}\) vers le haut.
– Tourne à gauche et avance de \(5 \text{ cm}\) vers la gauche.
– Tourne à gauche et avance de \(5 \text{ cm}\) vers le bas.
– Tourne à gauche et avance de \(5 \text{ cm}\) vers la droite.
Ce cycle est répété trois fois, donc au final, Marguerite revient à sa position initiale après avoir tracé un carré.
2) Marguerite doit maintenant suivre ce programme :
1. Avancer de \(4 \text{ cm}\) puis tourner vers la droite de \(60^\circ\).
2. Recommencer à nouveau cinq fois.
Les rotations totalisent \(60^\circ \times 5 = 300^\circ\), ce qui est équivalent à tourner de \(-60^\circ\) (ou \(360^\circ – 60^\circ\)). Le parcours ressemble à une étoile ou une figure fermée à la fin car les angles et les longueurs des marches créent une symétrie répétitive.
3) Léon prévoit ce mouvement pour Marguerite :
1. Avancer de \(4 \text{ cm}\) puis tourner vers la droite de \(135^\circ\).
2. Avancer de \(4 \text{ cm}\) puis tourner vers la gauche de \(90^\circ\).
3. Recommencer à nouveau tout ceci 7 fois.
Chaque étape se décompose comme suit :
– Avancer de \(4 \text{ cm}\), tourner à droite de \(135^\circ\).
– Avancer de \(4 \text{ cm}\), tourner à gauche de \(90^\circ\).
Les rotations globales sont \(135^\circ\) à droite et \(90^\circ\) à gauche pour une séquence nette de \(45^\circ\) à droite. Répété 7 fois, on a \(45^\circ \times 7 = 315^\circ\), ce qui est équivalent à tourner de \(-45^\circ\).
Le parcours final devrait être une figure complexe reliant plusieurs points après chaque segment de \(4 \text{ cm}\) en des angles alternés et asymétriques.
Schémas :
1. \(5 \text{ cm}\) côté carré
\[
\begin{array}{ccc}
* * \\
* * \\
* * *
\end{array}
\]
2. \(4 \text{ cm}\) en angles de \(60^\circ\) : étoile ou hexagone
3. Alternance \(4 \text{ cm}\) \(135^\circ\) puis \(90^\circ\) x 7 : figure fermée.
Exercice 7 : les droites parallèles
Soit \( LU = 10 \) cm.
1. Placer le point \( E \) tel que \( EU = 6.4 \) cm. Alors \( LE = 10 – 6.4 = 3.6 \) cm.
2. Construire la droite perpendiculaire en \( E \) à la droite \( (LU) \).
3. Placer un point \( B \) sur cette droite à 4.8 cm de \( E \).
4. Tracer les segments \( [BL] \) et \( [BU] \).
a. Y a-t-il une seule construction possible ?
Non, pour construire la droite perpendiculaire en \( E \), il y a deux possibilités : soit en haut, soit en bas par rapport au segment \( [LU] \). Donc, il existe effectivement deux constructions possibles pour \( B \).
b. Que peut-on dire des droites \( (BL) \) et \( (BU) \) ? (à justifier)
Les droites \( (BL) \) et \( (BU) \) sont les mêmes dans les deux constructions possibles car dans chaque cas, elles forment des triangles rectangles isocèles avec \( (LU) \) et \( (EB) \).
\[
LU = 10 \text{ cm}, \quad EU = 6.4 \text{ cm}, \quad LE = 3.6 \text{ cm}, \quad BE = 4.8 \text{ cm}.
\]
Puisque \( B \) est placé sur la perpendiculaire en \( E \), les droites résultantes \( (BL) \) et \( (BU) \) seront symétriques par rapport à la perpendiculaire en \( E \). Donc, dans chaque configuration, elles seront toujours symétriques et équidistantes par rapport à cette perpendiculaire.
Exercice 8 : droites parallèles, perpendiculaires et codage .
Les droites perpendiculaires à \( (IC) \) sont \( (CH) \) et \( (IH) \) car elles sont toutes deux représentées avec un carré indiquant un angle droit avec \( (IC) \).
Les droites qui semblent parallèles sont \( (IJ) \) et \( (HC) \). Pour démontrer que ces deux droites sont parallèles, nous pouvons utiliser la propriété des angles alternes internes : si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes internes égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Dans notre cas, puisque les angles \( \angle CIH \) et \( \angle IJC \) sont alternes internes et égaux (d’après le codage de la figure), les droites \( (IJ) \) et \( (HC) \) sont parallèles.
Ci-dessous, nous complétons en utilisant les symboles \( \in \) (appartient) et \( \notin \) (n’appartient pas) :
a) A \( \notin \) [IJ]
b) I \( \in \) [AJ]
c) H \( \in \) [IB]
d) J \( \notin \) [IA]
Exercice 9 : construction et démonstration
1.
Pour cette question, il suffit de reproduire la figure géométrique en respectant les mesures données dans l’image.
2.
Pour démontrer que les droites \( BE \) et \( CF \) sont parallèles, nous allons utiliser le théorème de Thalès.
Dans le triangle \( ABD \), les points \( E \) et \( F \) sont tels que :
– \( AE \) est parallèle à \( CF \),
– \( BE \) et \( CF \) sont les segments visés à être prouvés parallèles.
Les longueurs sont comme suit :
– \( AE = 17 \text{ mm} \),
– \( ED = 31 \text{ mm} \),
– \( EF = 31 \text{ mm} \),
– \( FB = 15 \text{ mm} \),
– \( FC = 15 \text{ mm} \).
Pour appliquer le théorème de Thalès, nous devons montrer que les rapports suivants sont égaux :
\[ \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{BF}{FC} \]
Calculons ces deux rapports :
\[ AE = 17 \text{ mm}\]
\[ ED = ( 31 \text{ mm} + ED ) = 31 \text{ mm}\]
\[ BE = 23 \text{ mm}\]
\[ CF = 15 \text{ mm}\]
Calculons :
\[ \dfrac{AE}{ED} = \dfrac{17}{31 + 23} = \dfrac{17}{54} = \dfrac{17}{54} \]
\[ \dfrac{BE}{CF} = \dfrac{23}{15}.\]
Il semble que les rapports viennent de la même figure.
Puisque ces deux rapports sont égaux, nous pouvons conclure que le théorème de Thalès est vérifié et donc que les droites \( BE \) et \( CF \) sont parallèles.
\[ \boxed{BE \parallel CF} \]
Exercice 10 : tracer des droites
{Correction de l’exercice :}
[{a.}] Les quatre points \( M \), \( N \), \( S \) et \( T \) sont placés comme indiqué sur la figure.
[{b.}] Traçons les segments \([MT]\) et \([SN]\).
Pour les vérifier, notons leurs équations respectives. Soient \( M(x_1, y_1) \), \( T(x_2, y_2) \), \( S(x_3, y_3) \) et \( N(x_4, y_4) \).
Equation de \([MT]\) : \( y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} (x – x_1) \)
Equation de \([SN]\) : \( y – y_3 = \frac{y_4 – y_3}{x_4 – x_3} (x – x_3) \)
En résolvant ces deux équations simultanément pour \( x \) et \( y \), nous pouvons déterminer si les segments se coupent. D’après la figure, ces segments ne se coupent pas. Donc, il n’y a pas de point \( P \) commun entre les segments \([MT]\) et \([SN]\).
[{c.}] Traçons les droites \((MN)\) et \((ST)\).
Pour les vérifier, notons leurs équations respectives. Soient \( M(x_1, y_1) \), \( N(x_2, y_2) \), \( S(x_3, y_3) \) et \( T(x_4, y_4) \).
Equation de \((MN)\) : \( y – y_1 = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} (x – x_1) \)
Equation de \((ST)\) : \( y – y_3 = \frac{y_4 – y_3}{x_4 – x_3} (x – x_3) \)
En résolvant ces deux équations simultanément pour \( x \) et \( y \), nous déterminons si les droites se coupent. D’après la figure et ces équations, les droites \((MN)\) et \((ST)\) semblent se couper en un point unique. Notons ce point \( R \).
\[
R = (x_R, y_R)
\]
où \( x_R \) et \( y_R \) sont les solutions de l’équation simultanée des deux droites.
Ainsi, les segments \([MT]\) et \([SN]\) ne se coupent pas, mais les droites \((MN)\) et \((ST)\) se coupent en un point \( R \).
Exercice 11 : placer un point
Pour corriger cet exercice, il est nécessaire de trouver le point D qui est commun à la droite (AM) et à la demi-droite [ER). Voici les étapes pour accomplir cela :
1. Tracer la droite (AM).
2. Tracer la demi-droite [ER).
3. Identifier le point d’intersection de ces deux lignes.
### Étape 1 : Tracer la droite (AM)
Observons les coordonnées des points :
– \( A \) est à \((1, 1)\)
– \( M \) est à \((4, 3)\)
Pour tracer la droite \( (AM) \), nous utilisons la formule de la droite passant par deux points :
\[
y – y_A = \frac{y_M – y_A}{x_M – x_A} (x – x_A)
\]
où \( A (x_A, y_A) \) et \( M (x_M, y_M) \).
Remplaçons \( A \) et \( M \) dans l’équation :
\[
y – 1 = \frac{3 – 1}{4 – 1} (x – 1)
\]
\[
y – 1 = \frac{2}{3} (x – 1)
\]
\[
y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}
\]
### Étape 2 : Tracer la demi-droite [ER)
– \( E \) est à \( (6, 2) \)
– \( R \) est à \( (5, 3) \)
La demi-droite part de E et passe par R. La pente de cette demi-droite est :
\[
\text{Pente} = \frac{y_R – y_E}{x_R – x_E} = \frac{3 – 2}{5 – 6} = -1
\]
Donc l’équation de la demi-droite [ER) est
\[
y – y_E = -1(x – x_E)
\]
\[
y – 2 = -1(x – 6)
\]
\[
y = -x + 8
\]
### Étape 3 : Trouver le point d’intersection
Pour trouver le point D, nous devons résoudre le système d’équations constitué par les équations des deux lignes :
\[
y = \frac{2}{3} x + \frac{1}{3}
\]
\[
y = -x + 8
\]
Égalisons les deux équations :
\[
\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} = -x + 8
\]
Multipliant par 3 pour se débarrasser du dénominateur :
\[
2x + 1 = -3x + 24
\]
Regroupement des termes \( x \) :
\[
2x + 3x = 24 – 1
\]
\[
5x = 23
\]
\[
x = \frac{23}{5} = 4.6
\]
Maintenant, substituons \( x \) dans l’une des équations pour trouver \( y \) :
\[
y = -4.6 + 8
\]
\[
y = 3.4
\]
Le point D est donc à \((4.6, 3.4)\).
### Placement du point D
Sur la grille donnée, placez le point D entre les points existants selon les coordonnées approximatives :
\[
D(4.6, 3.4)
\]
### Conclusion
Le point D se trouve à l’intersection de la droite (AM) et la demi-droite [ER), très près du point \( (4.6, 3.4) \).
Exercice 12 : tracés de droites
Voici la correction de l’exercice :
Tracer cette figure où (d) est une droite qui passe par le point C.
\[
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2,0) — (2,0); % Droite (d)
\node[above] at (0,0) {C}; % Point C
\draw[fill] (0,0) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point C
\node[above] at (-1,1) {A}; % Point A
\draw[fill] (-1,1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point A
\node[above] at (1,-1) {B}; % Point B
\draw[fill] (1,-1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point B
\end{tikzpicture}
\]
Tracer la perpendiculaire à la droite (d) qui passe :
par A ;
\[
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2,0) — (2,0); % Droite (d)
\node[above] at (0,0) {C}; % Point C
\draw[fill] (0,0) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point C
\node[above] at (-1,1) {A}; % Point A
\draw[fill] (-1,1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point A
\node[above] at (1,-1) {B}; % Point B
\draw[fill] (1,-1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point B
\draw[dashed] (-1,1) — (-1,-1); % Perpendiculaire par A
\end{tikzpicture}
\]
par B ;
\[
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2,0) — (2,0); % Droite (d)
\node[above] at (0,0) {C}; % Point C
\draw[fill] (0,0) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point C
\node[above] at (-1,1) {A}; % Point A
\draw[fill] (-1,1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point A
\node[above] at (1,-1) {B}; % Point B
\draw[fill] (1,-1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point B
\draw[dashed] (1,-1) — (1,1); % Perpendiculaire par B
\end{tikzpicture}
\]
par C.
\[
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-2,0) — (2,0); % Droite (d)
\node[above] at (0,0) {C}; % Point C
\draw[fill] (0,0) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point C
\node[above] at (-1,1) {A}; % Point A
\draw[fill] (-1,1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point A
\node[above] at (1,-1) {B}; % Point B
\draw[fill] (1,-1) circle [radius=0.05]; % Indicateur du point B
\draw[dashed] (0,-1) — (0,1); % Perpendiculaire par C
\end{tikzpicture}
\]
Exercice 13 : tracer des droites
Pour la question (a), nous devons tracer les droites perpendiculaires à \((d_1)\) et \((d_2)\) passant par le point \(S\).
1. Tracer une droite perpendiculaire à \((d_1)\) et passant par \(S\). Appelons cette droite \((d_3)\).
2. Tracer une droite perpendiculaire à \((d_2)\) et passant également par \(S\). Appelons cette droite \((d_4)\).
Pour la question (b), nous devons tracer les droites perpendiculaires à \((d_1)\) et \((d_2)\) passant par le point \(T\).
1. Tracer une droite perpendiculaire à \((d_1)\) et passant par \(T\). Appelons cette droite \((d_5)\).
2. Tracer une droite perpendiculaire à \((d_2)\) et passant également par \(T\). Appelons cette droite \((d_6)\).
En résumé :
– Les droites perpendiculaires à \((d_1)\) et \((d_2)\) passant par \(S\) sont \((d_3)\) et \((d_4)\).
– Les droites perpendiculaires à \((d_1)\) et \((d_2)\) passant par \(T\) sont \((d_5)\) et \((d_6)\).
Exercice 14 : affirmations vraies ou fausses
a. Faux. Les points \( A \), \( O \) et \( D \) ne sont pas alignés. Les points alignés sont \( C \), \( D \) et \( O \) ainsi que \( A \), \( O \) et \( B \).
b. Faux. \( O \notin [AB] \). Le point \( O \) appartient à la droite \( (AB) \) mais pas au segment \( [AB] \).
c. Vrai. \( O \in [DC] \). Le point \( O \) appartient au segment \( [DC] \).
d. Faux. Les segments \( [AB] \) et \( [CD] \) ont un point commun qui est \( O \).
e. Vrai. Les droites \( (AB) \) et \( (CD) \) sont sécantes en \( O \).
Exercice 15 : nommer des droites
a. La droite \( (d) \) :
1. \( (AE) \)
2. \( (EC) \)
3. \( (AC) \)
b. La droite \( (d’) \) :
1. \( (AB) \)
2. \( (BD) \)
3. \( (AD) \)
Exercice 16 : qui a raison ?
Dans cet exercice, nous devons déterminer qui a raison entre Zoé et Arthur concernant les figures présentées.
Pour la figure 1, on voit deux droites \[(d_1)\] et \[(d_2)\] se croisant, mais il n’y a aucun symbole indiquant qu’elles sont perpendiculaires. Il est donc impossible d’affirmer qu’elles le sont simplement en les regardant. Arthur a raison : nous ne pouvons pas être sûrs que les droites \[(d_1)\] et \[(d_2)\] sont perpendiculaires dans cette figure.
Pour la figure 2, nous voyons les droites \[(d_1)\] et \[(d_2)\] se croisant et il y a un symbole de carré rouge indiquant que l’angle formé est de \[90^\circ\], ce qui signifie que les droites sont perpendiculaires. Zoé a raison : dans ce cas, les droites \[(d_1)\] et \[(d_2)\] sont bien perpendiculaires.
En conclusion:
– Pour la figure 1, il n’y a pas suffisamment d’information pour affirmer que \[(d_1)\] et \[(d_2)\] sont perpendiculaires ; Arthur a donc raison.
– Pour la figure 2, un symbole indique que \[(d_1)\] et \[(d_2)\] sont perpendiculaires ; Zoé a donc raison.
Exercice 17 : la médiatrice d’un segment
a. La médiatrice \( (d) \) du segment \([AB]\) est correctement tracée sur la figure 2.
b. Voici les erreurs sur les autres figures :
– \[\]Figure 1\[\] : La médiatrice n’est pas perpendiculaire au segment \([AB]\). Il est essentiel que la médiatrice soit perpendiculaire au segment qu’elle coupe en deux parties égales.
– \[\]Figure 3\[\] : La médiatrice ne coupe pas le segment \([AB]\) en son milieu. Les distances de chaque côté du point d’intersection de la médiatrice avec le segment ne sont pas égales (\(0.8 \, \text{cm}\) et \(1.2 \, \text{cm}\)).
Exercice 18 : notations mathématiques
1. Placer six points comme ci-contre.
2. Dans chaque cas, écrire avec les notations mathématiques et compléter la figure.
a. Le segment d’extrémités les points A et B.
\[ [AB] \]
b. La droite passant par les points C et D.
\[ (CD) \]
c. La demi-droite d’origine B passant par E.
\[ [BE) \]
d. Un point I appartenant à la droite qui passe par les points E et F.
\[ (EF) \]
Nommons \( I \) un point appartenant à cette droite.
Exercice 19 : appartient ou n’appartient pas
\[ \text{a. } M \in [AB] \]
\[ \text{b. } P \notin [MN] \]
\[ \text{c. } B \in (AN) \]
\[ \text{d. } N \notin (BP) \]
\[ \text{e. } M \notin [AN] \]
\[ \text{f. } A \notin [PM] \]
Exercice 20 : droites sécantes
Les droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) se coupent en {D}.
Le point commun aux droites \( (d_3) \) et \( (d_4) \) est {E}.
D est le point commun aux droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \).
Les droites \( (d_2) \) et \( (d_3) \) se coupent au point {F}.
A est le point {commun} aux {droites} \( (d_1) \) et \( (d_2) \).
Exercice 21 : vocabulaire et droite sécantes
a. Les droites \((d_1)\) et \((d_2)\) sont sécantes en \(A\).
b. Le point d’intersection des droites \((d_2)\) et \((d_3)\) est \(D\).
c. \(B\) est le point d’intersection des droites \((d_1)\) et \((d_3)\).
d. \(C\) est le point d’intersection des droites \((d_3)\) et \((d_4)\).
e. Les droites \((d_3)\) et \((d_4)\) sont perpendiculaires.
f. Les droites \((d_2)\) et \((d_4)\) sont parallèles.
Exercice 22 : tracer des droites parallèles
\[\]Correction :\[\]
\[\]a.\[\] La figure ayant été tracée dans l’énoncé, nous allons passer aux étapes suivantes.
\[\]b.\[\] Tracer la droite \( (d_{1}) \) parallèle à la droite \( (AC) \) et passant par \( D \).
À l’aide d’une règle et d’une équerre, placez l’équerre le long de la droite \( AC \), faites glisser l’équerre jusqu’à ce qu’un des côtés de l’équerre coïncide avec le point \( D \). Tracez ensuite la droite \( (d_{1}) \) de sorte qu’elle soit parallèle à \( AC \) et passe par \( D \).
\[\] (d_{1}) \parallel AC \quad \text{et} \quad D \in (d_{1}) \[\]
\[\]c.\[\] Tracer la droite \( (d_{2}) \) parallèle à la droite \( (BC) \) et passant par \( D \).
Utilisez de nouveau une règle et une équerre. Placez l’équerre le long de la droite \( BC \), faites glisser l’équerre jusqu’à ce qu’un des côtés de l’équerre passe par le point \( D \). Tracez la droite \( (d_{2}) \) de sorte qu’elle soit parallèle à \( BC \) et passe par \( D \).
\[\] (d_{2}) \parallel BC \quad \text{et} \quad D \in (d_{2}) \[\]
Votre figure devrait alors ressembler à ceci :
\[
\begin{tikzpicture}[scale=1]
\coordinate [label=above left:A] (A) at (1,4);
\coordinate [label=below left:B] (B) at (0,0);
\coordinate [label=below right:C] (C) at (5,0);
\coordinate [label=above right:D] (D) at (2,1.6);
% Draw the triangle
\draw (A) — (B) — (C) — cycle;
% Draw parallel lines
\draw[dashed] (D) — +(2.5,4);
\draw[dashed] (D) — +(5,0);
% Additional labels
\node at (2.5,3.2) [] {\[(d_{1})\]};
\node at (4,1.6) [] {\[(d_{2})\]};
\end{tikzpicture}
\]
Les droites \( (d_{1}) \) et \( (d_{2}) \) sont parallèles respectivement à \( AC \) et \( BC \), tout en passant par le point \( D \).
Exercice 23 : propriété des droites perpendiculaires
Pour vérifier si les droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont parallèles, nous devons examiner les angles formés par ces droites avec une droite transversale \( (d) \).
Dans la figure, nous observons que les angles formés entre \( (d) \) et \( (d_1) \) ainsi que ceux entre \( (d) \) et \( (d_2) \) sont des angles droits (90°). En d’autres termes, \( (d) \) est perpendiculaire à \( (d_1) \) et \( (d_2) \).
Si \( (d) \) est perpendiculaire à deux droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \), alors ces deux droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont parallèles entre elles.
Voici la démonstration sous forme mathématique:
– Soit \( (d) \) une droite perpendiculaire à \( (d_1) \) : \( (d) \perp (d_1) \)
– Soit \( (d) \) également perpendiculaire à \( (d_2) \) : \( (d) \perp (d_2) \)
Par la propriété des angles perpendiculaires consécutifs (si deux droites sont chacune perpendiculaires à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles):
\[ (d_1) \parallel (d_2) \]
En conclusion, Emma a raison. Les droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) sont effectivement parallèles.
Exercice 24 : participer à un débat
Pour savoir qui a raison entre Enzo et Inès, examinons les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires.
Puisque les droites \( (d) \) et \( (d’) \) sont parallèles, les droites qui sont perpendiculaires à \( (d) \) seront également perpendiculaires à \( (d’) \).
La figure montre que la droite \( (d_2) \) coupe \( (d) \) et \( (d’) \) à angle droit, ce qui signifie que \( (d_2) \) est perpendiculaire à \( (d) \) et \( (d’) \).
En revanche, la droite \( (d_3) \) est oblique et forme un angle différent de 90 degrés avec \( (d) \). De ce fait, \( (d_3) \) n’est pas perpendiculaire à \( (d)\.
Ainsi, la bonne réponse est :
\[ \text{Inès a raison.} \]
\[ (d_2) \text{ est perpendiculaire à } (d). \]
Exercice 25 : problème ouvert
Pour retrouver les noms des huit points, analysons chaque information fournie.
1. Les points \( A \), \( B \) et \( G \) sont alignés.
2. Les droites \( (CG) \) et \( (BE) \) sont sécantes en \( H \).
3. \( (DF) \perp (BD) \)
4. \( F \in [CE] \)
5. \( (AB) \parallel (CE) \)
6. \( C \in [EF] \)
Détaillons chaque étape :
1. Nous savons que \( A \), \( B \) et \( G \) sont alignés.
– Si nous plaçons \( G \) en \( 7 \), \( B \) doit être en \( 6 \) et \( A \) en \( 4 \) car ils doivent être alignés et verticalement.
2. Les droites \( (CG) \) et \( (BE) \) se coupent en \( H \).
– En plaçant \( C \) en \( 1 \), \( G \) en \( 7 \), \( H \) sera le point d’intersection, soit \( 4 \).
3. Si \( (DF) \perp (BD) \), alors \( F \) et \( D \) devront être sur des droites avec cette relation d’orthogonalité.
– \( (BD) \) devient \( 6-4 \). Donc, on vérifie les autres compatibilités.
4. \( F \in [CE] \).
– Avec \( C \) en \( 1 \) et \( E \) doit être en \( 3 \) pour avoir \( F \) entre les deux. Donc, on teste avec \( 2 \) ou \( 5 \).
5. \( (AB) \parallel (CE) \),
– Si \( A \) est en \( 4 \) et \( B \) en \( 6 \), alors \( C \) en \( 1 \) nécessite \( E \) en \( 3 \). Donc, on peut tester aligner parallèlement \( F \) en \( 2 \).
6. \( C \in [EF] \),
– Cela valide bien \( F =2 \) pour \( C=1\).
Corrigeons avec ces étapes :
\begin{align*}
\text{Point } 1 = C \\
\text{Point } 2 = F \\
\text{Point } 3 = E \\
\text{Point } 4 = H \\
\text{Point } 5 = D \\
\text{Point } 6 = B \\
\text{Point } 7 = G \\
\text{Point } 8 = A.
\end{align*}
Finalement, la correspondance des points est :
– \(A = 8\)
– \(B = 6\)
– \(C = 1\)
– \(D = 5\)
– \(E = 3\)
– \(F = 2\)
– \(G = 7\)
– \(H = 4\)
Ceci respecte toutes les contraintes géométriques et les alignements requis.
Exercice 26 : comprendre le vocabulaire
a. Tracer cette figure où \( A \), \( B \), \( C \) sont trois points alignés.
b. Tracer le segment \([MC]\) en noir, la droite \((AM)\) en vert, la demi-droite \([MB)\) en bleu.
### Correction:
Pour l’exercice demandé, nous devons réaliser plusieurs tracés différents sur la figure où \( A \), \( B \), \( C \), et \( M \) sont des points particuliers.
#### Tracé 1 :
Représentation de la figure initiale où \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés.
#### Tracé 2 :
\- Le segment \([MC]\) qui relie les points \( M \) et \( C \) en noir.
\- La droite \((AM)\) qui passe par les points \( A \) et \( M \) en vert (cette droite n’a pas de bornes, elle s’étend à l’infini de part et d’autre).
\- La demi-droite \([MB)\) qui commence au point \( M \) et passe par le point \( B \) en bleu (cette demi-droite s’étend à l’infini à partir de \( B \)).
Pour formaliser cela avec des équations et des représentations:
1. \[\]Segment \([MC]\)\[\]: une portion de droite avec des points de départ et d’arrivée définis (modifier cela selon les coordonnées réelles si elles sont données).
\[ [MC] = \{ M \leq\, x \leq\, C \} \]
2. \[\]Droite \((AM)\)\[\]: toute la ligne passant par \( A \) et \( M \).
\[ (AM) = \{ x \mid x \in \mathbb{R} \} \]
3. \[\]Demi-droite \([MB)\)\[\]: commence à \( M \) et passe par \( B \).
\[ [MB) = \{ x \mid x \geq\, M \} \]
Les tracés sur la figure seraient visualisés comme demandé: \( [MC] \) en noir, \( (AM) \) en vert et \( [MB) \) en bleu.
Exercice 27 : argumenter
D’après les codages, les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires à la droite (AB), donc je peux affirmer qu’elles sont parallèles.
Exercice 28 : problème ouvert
1. Selon le premier indice, la première ville se situe sur la même latitude que Toulouse (T) et Saint-Étienne (S). Ainsi, la première ville est Toulouse (T).
2. Selon le deuxième indice, la deuxième ville est à droite perpendiculaire de la ligne (TS) qui passe par Limoges (L). Nous devons tracer une ligne perpendiculaire (c’est-à-dire nord-sud) vers Limoges. Ainsi, la ville la plus proche au nord de Limoges est Paris.
3. Selon le troisième indice, la troisième ville se trouve à droite perpendiculairement à la droite (XD) qui passe par Paris. Cela semble signifier qu’elle est sur une droite perpendiculaire aux lignes de longitude et latitude de Paris. La ville la plus à droite perpendiculairement à cette ligne est Dijon.
4. Selon le quatrième indice, la quatrième ville se trouve dans l’alignement de la droite (XB) qui passe par Nancy. Cela signifie que X et B se trouvent sur la même ligne horizontale. Donc, la ville qui se trouve à droite sur cette ligne horizontale à Nancy est La Rochelle.
5. Enfin, selon le cinquième indice, la cinquième ville appartient à la médiatrice du segment [ZL], avec Z étant sur une ligne qui passe entre Dijon et Marseille. Nous devons trouver la médiatrice perpendiculaire qui passe entre Dijon et Marseille, et une des villes plus proches est Bordeaux.
En conclusion, les cinq villes que l’agent secret doit se rendre sont :
\[ Toulouse, Paris, Dijon, La Rochelle, Bordeaux \]
Exercice 29 : programme de construction
1. Tracer une droite \[(d_1)\].
2. Tracer un point \[A\] sur la droite \[(d_1)\].
3. Tracer une droite \[(d_3)\] passant par le point \[A\].
4. Tracer un point \[B\] sur la droite \[(d_3)\], différent de \[A\].
5. Tracer une droite \[(d_2)\] perpendiculaire à \[(d_3)\] passant par \[B\].
6. Tracer une droite \[(d_4)\] perpendiculaire à \[(d_2)\] passant par \[B\]. Cette droite coupe \[(d_1)\] en un point \[O\].
7. Tracer une droite \[(d_5)\] passant par le point \[O\] et perpendiculaire à \[(d_1)\].
Cela donne la figure finale.
Exercice 30 : recopier et compléter
a. \( (d_5) \) est \[\]parallèle\[\] à la droite \( (d_1) \) passant par le point \[\]A\[\] ;
b. \( (d_4) \) est la droite \[\]perpendiculaire\[\] à la droite \( (d_2) \) en \[\]B\[\] ;
c. \( (d_3) \) est \[\]parallèle\[\] à la droite \( (d_4) \).
Exercice 31 : les étapes d’une construction
Phrase A : Étape 4
La droite \( (d) \) est tracée perpendiculairement à la droite \( (AB) \) passant par le point \( M \).
Phrase B : Étape 1
Les deux points distincts \( A \) et \( B \) sont placés.
Phrase C : Étape 3
Le point \( M \) n’appartenant pas à la droite \( (AB) \) est placé.
Phrase D : Étape 2
La droite \( (AB) \) est tracée.
Exercice 32 : construction
Pour réaliser ce dessin en traçant juste des segments à partir d’un carré de 20 carreaux de côté, voici les étapes détaillées :
1. Diviser les côtés du carré en 20 parties égales, soit 20 carreaux.
2. Traçons des segments reliant chaque point de division d’un côté à tous les autres points de division des côtés adjacents.
Utilisons les coordonnées pour décrire précisément les étapes et traçons les segments :
– Le carré a pour sommets les points : \( A(0, 0) \), \( B(20, 0) \), \( C(20, 20) \), \( D(0, 20) \).
– Partageons chaque côté du carré en 20 parts égales, chaque carreau ayant une longueur de 1 unité.
Les segments internes sont les droites reliant les points divisant les côtés opposés du carré :
1. Les segments reliant les points \( (x, 0) \) sur le côté \( AB \) aux points \( (0, 20 – x) \) sur le côté \( AD \) :
\[ (0, 0) \to (20, 20), (1, 0) \to (0, 19), (2, 0) \to (0, 18), \ldots, (19, 0) \to (0, 1), (20, 0) \to (0, 0) \]
2. Les segments reliant les points \( (x, 20) \) sur le côté \( CD \) aux points \( (20, 20 – x) \) sur le côté \( BC \) :
\[ (0, 20) \to (20, 0), (1, 20) \to (20, 1), (2, 20) \to (20, 2), \ldots, (19, 20) \to (20, 19), (20, 20) \to (20, 20) \]
Voici comment vous pouvez structurer le dessin en LaTeX avec `tikz` :
« `latex
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
% Dessin du carré
\draw[step=1cm,gray,very thin] (0,0) grid (20,20);
\draw[thick] (0,0) rectangle (20,20);
% Dessin des segments diagonaux
\foreach \i in {0,…,20} {
\draw (0,\i) — (\i,20);
\draw (0,\i) — (20-\i,0);
\draw (\i,20) — (20,20-\i);
\draw (\i,0) — (20,20-\i);
}
\end{tikzpicture}
« `
Ce code produit un dessin identique à celui de l’image avec des segments reliant les points spécifiés sur les côtés opposés du carré de 20 carreaux de côté.
Exercice 33 : faisceau de droites
a.
– Le point d’intersection des droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \) est \( C \).
– Le point d’intersection des droites \( (d_2) \) et \( (d_3) \) est \( E \).
– Le point d’intersection des droites \( (d_3) \) et \( (d_4) \) est \( S \).
b.
– \( N \) est le point d’intersection des droites \( (d_1) \) et \( (d_3) \).
– \( E \) est le point d’intersection des droites \( (d_2) \) et \( (d_3) \).
– \( S \) est le point d’intersection des droites \( (d_3) \) et \( (d_4) \).
Exercice 34 : un pentagone
a. Quatre autres façons de nommer la droite (EC) sont :
\[
\overline{CE}, \overline{EG}, \overline{GH}, \overline{HI}
\]
b. Les points qui sont alignés avec \( I \) et \( B \) sont \( H \), \( I \), et \( D \). Ceci signifie que \( H \), \( I \), et \( D \) sont sur la même droite.
c. Le point d’intersection des droites (AC) et (BD) est \( J \).
Le point d’intersection des droites (CE) et (AD) est \( H \).
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