Corrigé des 38 exercices sur les volumes en 5ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Ensuite, empilées, les cinq pièces forment un pavé droit de 9 cm de longueur (3,5 + 5,5 = 9), 4 cm de hauteur et 2 cm d’épaisseur. De plus, le volume du mur est la somme des volumes des pièces, donc le volume de ce pavé :

\[ V = L \times \ell \times h = 9 \times 2 \times 4 = 72 \text{ cm}^3 \]

1. Ainsi, le pavé mesure 36 cm sur 36 cm, avec une profondeur de 42 cm :

\[ V_{\text{pavé}} = 36 \times 36 \times 42 = 54\,432 \text{ cm}^3 \]

2. Enfin, un compartiment est un cylindre de rayon \(10 \div 2 = 5\) cm et de hauteur 42 cm (il traverse le pavé) :

\[ V_{\text{cyl}} = \pi \times r^2 \times h \approx 3{,}14 \times 5^2 \times 42 = 3\,297 \text{ cm}^3 \]

3. Ensuite, on retire les 9 compartiments du pavé :

\[ \begin{aligned} V_{\text{plastique}} &\approx 54\,432 – 9 \times 3\,297 \\ &\approx 54\,432 – 29\,673 \\ &\approx 24\,759 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

• Hauteur du prisme : c’est la longueur d’une arête latérale, CF = 8 cm.
• Bases : les deux triangles ABC et DEF (superposables et parallèles).
• Faces latérales : les trois rectangles ABED, BCFE et ACFD.
• DF : les bases sont superposables et D, F correspondent à A, C, donc DF = AC = 4 cm.
• BE : c’est une arête latérale, donc BE = CF = 8 cm.

De même, les cotes du dessin sont 3 cm (hauteur), 4 cm (largeur) et 6 cm (longueur). Avec des cubes de 1 cm d’arête, on place un cube par centimètre :

• dans la hauteur : 3 cubes ;
• dans la largeur : 4 cubes ;
• dans la longueur : 6 cubes.

Par conséquent, le pavé complet contient donc \(6 \times 4 \times 3 = 72\) cubes, c’est-à-dire que son volume est 72 cm³.

Par ailleurs, dans le tableau des unités de volume, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 1 000 (chaque unité occupe 3 colonnes).

De même, remarque : dans l’énoncé, « 0,000 4 3 en dm3 » a perdu la lettre m ; on lit 0,000 4 m³.

Ensuite, la tente est un prisme droit dont la base est le triangle ABC (face avant) et dont la hauteur est la longueur CD = 4,5 m.

Par ailleurs, aire de la base (triangle de base BC = 1,5 m et de hauteur AH = 2 m) :

\[ \mathcal{A} = \frac{1{,}5 \times 2}{2} = 1{,}5 \text{ m}^2 \]

De même, volume :

\[ V = \mathcal{A} \times CD = 1{,}5 \times 4{,}5 = 6{,}75 \text{ m}^3 \]

Ensuite, le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur :

\[ V = \mathcal{A}_{ABCD} \times AA^{\prime} = 15 \times 5 = 75 \text{ cm}^3 \]

Par ailleurs, la forme exacte du quadrilatère ABCD n’a pas d’importance : seule son aire compte.

Enfin, le hangar est un prisme droit dont la base est la façade ABCDE et dont la hauteur est GD = 16 m.

1. Ensuite, H′ est sur [BE] et BCDE est un rectangle, donc HH′ = ED = 5,2 m :

\[ AH^{\prime} = AH – HH^{\prime} = 12{,}5 – 5{,}2 = 7{,}3 \text{ m} \]

2. Par ailleurs, la façade est formée du rectangle BCDE et du triangle ABE (de base BE = CD = 9 m) :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{BCDE} &= 9 \times 5{,}2 = 46{,}8 \text{ m}^2 \\ \mathcal{A}_{ABE} &= \frac{9 \times 7{,}3}{2} = 32{,}85 \text{ m}^2 \\ \mathcal{A}_{ABCDE} &= 46{,}8 + 32{,}85 = 79{,}65 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

3. De même, volume du hangar :

\[ V = 79{,}65 \times 16 = 1\,274{,}4 \text{ m}^3 \]

Ensuite, la piscine a 20 m de long, 8 m de large, une profondeur de 2 m d’un côté (AD) et de 4 m de l’autre (CB, égale à GF).

1. Par ailleurs, les bases sont les deux faces parallèles superposables ABCD et EFGH.

2. De même, ce sont des trapèzes rectangles (AD et BC sont parallèles et perpendiculaires à DC).

3. Par conséquent, bases parallèles AD = 2 m et BC = 4 m, hauteur DC = 20 m.

4. De plus, aire d’une base :

\[ \mathcal{A} = \frac{(AD + BC) \times DC}{2} = \frac{(2 + 4) \times 20}{2} = 60 \text{ m}^2 \]

5. Ainsi, aire totale du prisme (somme des aires des 6 faces) : deux bases \(2 \times 60 = 120\) m², face ADHE \(2 \times 8 = 16\) m², face BCGF \(4 \times 8 = 32\) m², surface de l’eau DCGH \(20 \times 8 = 160\) m², et le fond ABFE \(AB \times 8\). Ensuite, la longueur AB, mesurée sur un dessin à l’échelle (ou calculée avec le théorème de Pythagore vu en 4ème), vaut environ 20,1 m, d’où un fond d’environ 160,8 m². Par ailleurs, l’aire totale vaut environ 488,8 m².

6. Enfin, faces latérales : ADHE, DCGH, BCGF et ABFE.

7. Ensuite, la hauteur du prisme est la largeur de la piscine : 8 m (DH).

8. Ainsi, on trouve \(V = 60 \times 8 = 480 \text{ m}^3\).

9. De même, volume d’eau : \(\dfrac{4}{5} \times 480 = 384\) m³. Comme 1 m³ = 1 000 L :

\[ 384 \text{ m}^3 = 384\,000 \text{ L} \]

a) Ensuite, la base (en blanc) est un octogone régulier de côté 2,3 cm. Puis on le découpe en 8 triangles isocèles identiques de base 2,3 cm et de hauteur 2,8 cm (distance du centre à un côté).

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{triangle}} &= \frac{2{,}3 \times 2{,}8}{2} = 3{,}22 \text{ cm}^2 \\ \mathcal{A}_{\text{base}} &= 8 \times 3{,}22 = 25{,}76 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Par ailleurs, volume intérieur du flacon (prisme de hauteur 12 cm) :

\[ V = 25{,}76 \times 12 = 309{,}12 \text{ cm}^3 \]

b) De même, L’étiquette fait le tour du flacon, sur les faces extérieures de 2,5 cm de large. Déroulée, c’est un rectangle de longueur égale au périmètre extérieur \(8 \times 2{,}5 = 20\) cm et de largeur 3,5 cm :

\[ \mathcal{A}_{\text{étiquette}} = 20 \times 3{,}5 = 70 \text{ cm}^2 \]

a) Ensuite, la boîte est un cylindre de révolution de diamètre 9 cm, donc de rayon \( r = 9 \div 2 = 4{,}5 \text{ cm} \), et de hauteur \( h = 15 \text{ cm} \).

Par ailleurs, volume d’un cylindre : aire de la base (un disque) × hauteur.

\[ \begin{aligned} V &= \pi \times r^2 \times h \\ &= \pi \times 4{,}5^2 \times 15 \\ &= \pi \times 20{,}25 \times 15 \\ &= 303{,}75\pi \\ &\approx 954{,}3 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

De même, la boîte a un volume d’environ 954,3 cm³ (valeur exacte \( 303{,}75\pi \text{ cm}^3 \)).

b) Par conséquent, L’étiquette annonce 20 % gratuit : la partie offerte représente 20 % du contenu de la boîte.

\[ \frac{20}{100} \times 954{,}26 \approx 190{,}9 \text{ cm}^3 \]

De plus, le volume de poudre offert est d’environ 190,9 cm³.

Par conséquent, on obtient Remarque pour aller plus loin : en commerce, « 20 % gratuit » signifie souvent « 20 % de plus que le format normal ». Ensuite, le format normal vaudrait alors \( 954{,}26 \div 1{,}2 \approx 795{,}2 \text{ cm}^3 \) et la partie offerte environ 159 cm³. Au collège, on attend la première méthode.

Par conséquent, la cote de 3 cm traverse toute la largeur de la tige : c’est son diamètre. Puis le rayon du cylindre du dessous est donc \( r = 1{,}5 \text{ cm} \), et celui du cylindre du dessus vaut le double : \( R = 2 \times 1{,}5 = 3 \text{ cm} \).

De plus, cylindre du dessus (rayon 3 cm, hauteur 12 cm) :

\[ V_1 = \pi \times 3^2 \times 12 = 108\pi \text{ cm}^3 \]

Ainsi, cylindre du dessous (rayon 1,5 cm, hauteur 25 cm) :

\[ V_2 = \pi \times 1{,}5^2 \times 25 = \pi \times 2{,}25 \times 25 = 56{,}25\pi \text{ cm}^3 \]

Enfin, volume de l’outil :

\[ V = 108\pi + 56{,}25\pi = 164{,}25\pi \approx 516{,}01 \text{ cm}^3 \]

De plus, chaque étage est un cylindre de hauteur 6 cm. De plus, on trouve les diamètres en partant du bas : à chaque étage, on enlève 5 cm de chaque côté, soit 10 cm sur le diamètre.

• étage du bas : diamètre 40 cm, rayon 20 cm ;
• étage du milieu : diamètre \( 40 – 2 \times 5 = 30 \) cm, rayon 15 cm ;
• étage du haut : diamètre \( 30 – 2 \times 5 = 20 \) cm, rayon 10 cm.

Ainsi, volumes des trois cylindres :

\[ \begin{aligned} V_{\text{bas}} &= \pi \times 20^2 \times 6 = 2\,400\pi \\ V_{\text{milieu}} &= \pi \times 15^2 \times 6 = 1\,350\pi \\ V_{\text{haut}} &= \pi \times 10^2 \times 6 = 600\pi \end{aligned} \]

Enfin, volume total :

\[ V = 2\,400\pi + 1\,350\pi + 600\pi = 4\,350\pi \approx 13\,665{,}9 \text{ cm}^3 \]

Ensuite, comme 1 dm³ = 1 000 cm³ = 1 L, la pièce montée occupe environ 13,7 L.

Ainsi, la flèche de 20 mm part du centre du disque et va jusqu’au bord : c’est le rayon, \( r = 20 \text{ mm} \). Ensuite, la hauteur est \( 4{,}5 \text{ cm} = 45 \text{ mm} \).

1. Enfin, le papier fait le tour du petit suisse : sa longueur est le périmètre du cercle de base, plus 5 mm de recouvrement.

\[ \begin{aligned} \text{Périmètre} &= 2 \times \pi \times r = 2 \times \pi \times 20 = 40\pi \approx 125{,}66 \text{ mm} \\ \text{Longueur} &\approx 125{,}66 + 5 = 130{,}66 \text{ mm} \end{aligned} \]

Ensuite, arrondie au millimètre, la longueur du papier est 131 mm, soit 13,1 cm.

2. Par ailleurs, déroulé, le papier est un rectangle de longueur 131 mm et de largeur égale à la hauteur, 45 mm.

\[ \mathcal{A} = 131 \times 45 = 5\,895 \text{ mm}^2 \]

De même, soit environ 58,95 cm² (avec la longueur non arrondie, on trouve environ 5 880 mm²).

a. Ensuite, dans un pavé droit, deux faces opposées sont parallèles. Par exemple, la face avant RSNM et la face arrière UTPQ sont parallèles. (Autres réponses possibles : MNPQ et RSTU, ou RUQM et STPN.)

b. Par ailleurs, toutes les faces sont des rectangles, donc deux arêtes qui partent d’un même sommet sont perpendiculaires. Par exemple, [MN] et [NS] sont perpendiculaires (en N). Autre exemple : [MN] et [NP].

c. De même, la face PNST est la face de droite. C’est un rectangle :

• [NP] est une arête parallèle à [MQ] et à [RU], donc NP = RU = 2,5 cm ;
• [NS] est une arête verticale, comme [PT], donc NS = PT = 1,5 cm.

Par conséquent, en perspective cavalière, cette face est déformée (ses angles ne paraissent pas droits). Par ailleurs, en vraie grandeur, on trace un rectangle de 2,5 cm sur 1,5 cm avec l’équerre.

a. Par ailleurs, dans un prisme droit, les deux bases sont parallèles : les faces ABCDE et FGHIJ sont parallèles.

b. De même, les faces latérales d’un prisme droit sont des rectangles perpendiculaires aux bases. Par exemple, ABGF et BCHG sont perpendiculaires à la face ABCDE (on peut aussi citer CDIH, DEJI ou EAFJ).

c. Par conséquent, la face BCHG est une face latérale, donc un rectangle :

• BC = 2 cm (lu sur la figure) ;
• CH est une arête latérale, elle mesure la hauteur du prisme : CH = AF = 3 cm.

Par ailleurs, la pyramide est régulière : sa base ABCD est un carré de côté 4 cm et toutes ses arêtes latérales ont la même longueur, SA = SB = SC = SD = 3 cm.

a. De même, les quatre faces latérales sont des triangles isocèles identiques (côtés 3 cm, 3 cm et 4 cm) : elles sont superposables. Par exemple, SAB et SBC.

b. Par conséquent, les côtés consécutifs d’un carré sont perpendiculaires : [AB] et [BC] sont perpendiculaires (on peut aussi citer [AB] et [AD]).

c. De plus, la face SAB est un triangle isocèle en S avec AB = 4 cm et SA = SB = 3 cm. Construction : on trace [AB] de 4 cm, puis un arc de cercle de centre A et de rayon 3 cm, et un arc de centre B et de rayon 3 cm ; S est leur point d’intersection.

De même, le sommet S est un sommet du pavé situé juste au-dessus de H : [SH] est une arête verticale du pavé, donc SH = 2,5 cm.

a. Par conséquent, dans un pavé droit, une arête verticale est perpendiculaire aux arêtes de la base qui partent du même sommet. Donc (SH) est perpendiculaire à (HE) et à (HG) :

• le triangle SHE est rectangle en H ;
• le triangle SHG est rectangle en H.

b. De plus, dimensions de la face SHE :

• SH = 2,5 cm (hauteur du pavé) ;
• HE est une arête du pavé parallèle à [FG], donc HE = FG = 3 cm ;
• l’angle en H est droit.

Ainsi, on trace un angle droit en H à l’équerre, on reporte 2,5 cm sur un côté et 3 cm sur l’autre, puis on relie S et E.

Par conséquent, le solide est formé d’un cube et d’un cylindre collé sur une de ses faces. Son volume est la somme des deux volumes. Puis on calcule en mm, puis on convertit en cm³.

De plus, cube d’arête 20 mm :

\[ V_1 = 20 \times 20 \times 20 = 8\,000 \text{ mm}^3 \]

Ainsi, cylindre de diamètre 15 mm (rayon 7,5 mm) et de longueur 25 mm :

\[ V_2 = \pi \times 7{,}5^2 \times 25 = 1\,406{,}25\pi \approx 4\,417{,}9 \text{ mm}^3 \]

Enfin, total :

\[ V \approx 8\,000 + 4\,417{,}9 = 12\,417{,}9 \text{ mm}^3 \]

Ensuite, comme 1 cm³ = 1 000 mm³, on divise par 1 000 : \( V \approx 12{,}418 \text{ cm}^3 \).

Ainsi, un prisme droit a deux bases superposables et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires. Ensuite, une pyramide régulière a pour base un polygone régulier (triangle équilatéral, carré…) et des arêtes latérales toutes de même longueur.

Enfin, pour le solide 3, les arêtes latérales sont codées égales, mais la base est un rectangle de 4 cm sur 2 cm, qui n’est pas un polygone régulier : la pyramide n’est donc pas régulière. Puis pour le solide 6, le codage montre AB = BC = CA et DA = DB = DC : c’est bien une pyramide régulière à base triangulaire.

De plus, volume de l’écrou = volume du pavé droit − volume du cylindre enlevé. De plus, le trou traverse toute la plaque, donc le cylindre a pour hauteur 0,6 cm et pour rayon \( 1 \div 2 = 0{,}5 \text{ cm} \).

\[ \begin{aligned} V_{\text{pavé}} &= 2 \times 2 \times 0{,}6 = 2{,}4 \text{ cm}^3 \\ V_{\text{cylindre}} &= \pi \times 0{,}5^2 \times 0{,}6 = 0{,}15\pi \approx 0{,}471 \text{ cm}^3 \\ V &\approx 2{,}4 – 0{,}471 = 1{,}929 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

De même, les deux égalités à connaître : 1 dm³ = 1 L, et on passe d’une unité de volume à la suivante en multipliant par 1 000 (1 m³ = 1 000 dm³, 1 dm³ = 1 000 cm³, 1 cm³ = 1 000 mm³).

• a. 1 dm³ = 1 L, donc 1,5 dm³ = 1,5 L.
• b. 1 m³ = 1 000 dm³.
• c. 1 L = 100 cL, donc \( 1{,}2 \text{ L} = 1{,}2 \times 100 = 120 \text{ cL} \) : 120 cL.
• d. 1 dm³ = 1 000 cm³, donc \( 1{,}1 \text{ dm}^3 = 1{,}1 \times 1\,000 = 1\,100 \text{ cm}^3 \) : 1 100 cm³.
• e. 1 L = 1 000 mL, donc 5 L = 5 000 mL.
• f. 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ = \( 1\,000 \times 1\,000 \) mm³, donc 1 000 000 mm³ = 1 L.

Ensuite, volume d’un pavé droit : \( V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur} \).

• a. Les trois arêtes sont codées égales : c’est un cube d’arête 4 cm. \( V = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3 \).
• b. Dimensions 2 cm, 2 cm et 4 cm : \( V = 2 \times 2 \times 4 = 16 \text{ cm}^3 \).
• c. Dimensions 5 cm, 4 cm et 4 cm : \( V = 5 \times 4 \times 4 = 80 \text{ cm}^3 \).

Ainsi, la base du prisme est le triangle ABC et sa hauteur est la longueur d’une arête latérale, BE = 2 cm.

Enfin, aire de la base : dans le triangle ABC, [AH] est la hauteur relative au côté [BC].

\[ \mathcal{A} = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{4 \times 1{,}5}{2} = 3 \text{ cm}^2 \]

Ensuite, volume du prisme :

\[ V = \mathcal{A} \times BE = 3 \times 2 = 6 \text{ cm}^3 \]

Ainsi, la plaquette est un pavé droit de longueur 11,5 cm, de largeur 6,5 cm et de hauteur 4 cm. Ensuite, le couteau la coupe au milieu de sa longueur : on obtient deux morceaux identiques, qui sont eux aussi des pavés droits.

Enfin, première façon : on prend la moitié du volume de la plaquette entière.

\[ \begin{aligned} V_{\text{plaquette}} &= 11{,}5 \times 6{,}5 \times 4 \\ &= 299 \text{ cm}^3 \\ V_{\text{morceau}} &= 299 \div 2 = 149{,}5 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Ensuite, deuxième façon : on calcule directement le volume d’un morceau. Un morceau a pour longueur la moitié de 11,5 cm, soit \( 11{,}5 \div 2 = 5{,}75 \text{ cm} \), et garde la même largeur et la même hauteur :

\[ V_{\text{morceau}} = 5{,}75 \times 6{,}5 \times 4 = 149{,}5 \text{ cm}^3 \]

Par ailleurs, les deux méthodes donnent bien le même résultat : 149,5 cm³.

Enfin, dans le tableau des volumes, chaque unité vaut 1 000 fois l’unité suivante : on déplace la virgule de 3 rangs par unité.

• a. 1 m³ = 1 000 dm³, donc \( 3{,}1 \text{ m}^3 = 3{,}1 \times 1\,000 = 3\,100 \text{ dm}^3 \) : 3,1 m³ = 3 100 dm³.
• b. 1 m³ = 1 000 000 cm³, donc \( 0{,}000\,75 \times 1\,000\,000 = 750 \) : 0,000 75 m³ = 750 cm³.
• c. 1 dm³ = 0,001 m³, donc \( 0{,}037 \div 1\,000 = 0{,}000\,037 \) : 0,037 dm³ = 0,000 037 m³.
• d. 1 000 cm³ = 1 dm³, donc \( 500 \div 1\,000 = 0{,}5 \) : 500 cm³ = 0,5 dm³.
• e. 1 cm³ = 1 000 mm³, donc \( 5{,}85 \times 1\,000 = 5\,850 \) : 5,85 cm³ = 5 850 mm³.
• f. 1 000 mm³ = 1 cm³, donc \( 550 \div 1\,000 = 0{,}55 \) : 550 mm³ = 0,55 cm³.

a. De plus, la tente est un prisme droit dont les bases sont les triangles de l’avant et de l’arrière. Chaque triangle a une base de 1,20 m et une hauteur de 0,90 m ; la hauteur du prisme est la longueur de la tente, 2,10 m.

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{base}} &= \frac{1{,}20 \times 0{,}90}{2} = 0{,}54 \text{ m}^2 \\ V &= \mathcal{A}_{\text{base}} \times h = 0{,}54 \times 2{,}10 = 1{,}134 \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Ainsi, le volume de la tente est 1,134 m³.

b. De plus, on a donc 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L, donc \( 1{,}134 \text{ m}^3 = 1\,134 \text{ dm}^3 = 1\,134 \text{ L} \).

De plus, le volume d’un cylindre de révolution est \( V = \pi \times r^2 \times h \), avec r = 4 cm et h = 8 cm.

\[ \begin{aligned} V &= \pi \times 4^2 \times 8 \\ &= \pi \times 16 \times 8 \\ &= 128\pi \text{ cm}^3 \\ &\approx 402{,}12 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Ainsi, arrondi à l’unité : V ≈ 402 cm³.

Par conséquent, le volume de plastique est la différence entre le volume du grand cylindre (rayon extérieur) et celui du cylindre creux intérieur (rayon intérieur), de même longueur.

De plus, on veut un résultat en dm³ : on convertit toutes les longueurs en dm. 42 mm = 0,42 dm ; 35 mm = 0,35 dm ; 1,4 m = 14 dm.

\[ \begin{aligned} V_{\text{ext}} &= \pi \times 0{,}42^2 \times 14 = 2{,}469\,6\,\pi \text{ dm}^3 \\ V_{\text{int}} &= \pi \times 0{,}35^2 \times 14 = 1{,}715\,\pi \text{ dm}^3 \\ V_{\text{plastique}} &= 2{,}469\,6\,\pi – 1{,}715\,\pi = 0{,}754\,6\,\pi \text{ dm}^3 \\ &\approx 2{,}37 \text{ dm}^3 \end{aligned} \]

Ainsi, arrondi au dixième : environ 2,4 dm³ de plastique.

Par conséquent, la tour est formée d’un cylindre et d’un cône de même rayon r = 2,5 m (le rayon est la flèche partant de l’axe).

• Hauteur du cylindre : 10 m.
• Hauteur du cône : 15 − 10 = 5 m.

De plus, volume du cylindre :

\[ V_1 = \pi \times 2{,}5^2 \times 10 = 62{,}5\pi \text{ m}^3 \]

Ainsi, le volume d’un cône est le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur :

\[ V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 2{,}5^2 \times 5 = \frac{31{,}25\pi}{3} \text{ m}^3 \]

Enfin, volume de la tour :

\[ V = 62{,}5\pi + \frac{31{,}25\pi}{3} \approx 196{,}35 + 32{,}72 \approx 229{,}07 \text{ m}^3 \]

De plus, L’espace libre est le volume de la boîte moins le volume des deux boules.

Ainsi, volume de la boîte (pavé droit) :

\[ V_{\text{boîte}} = 4 \times 4 \times 8 = 128 \text{ cm}^3 \]

Enfin, volume d’une boule de rayon r : \( \frac{4}{3} \times \pi \times r^3 \). Avec r = 2 cm :

\[ \begin{aligned} V_{\text{2 boules}} &= 2 \times \frac{4}{3} \times \pi \times 2^3 \\ &= 2 \times \frac{32\pi}{3} = \frac{64\pi}{3} \text{ cm}^3 \\ &\approx 67{,}021 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

Ensuite, espace libre :

\[ V_{\text{libre}} = 128 – \frac{64\pi}{3} \approx 60{,}979\,4 \text{ cm}^3 \]

Par ailleurs, arrondi au millième : 60,979 cm³.

1. Enfin, entre deux unités de volume voisines, on multiplie ou on divise par 1 000.

• a. 12 m³ = 12 000 dm³ (× 1 000).
• b. 10 mm³ = 0,01 cm³ = 0,000 01 dm³ (÷ 1 000 deux fois).
• c. 1 200 dm³ = 1,2 m³ (÷ 1 000).
• d. 0,75 m³ = 750 dm³ (× 1 000).
• e. 12 426 mm³ = 12,426 cm³ (÷ 1 000).
• f. 25,7 cm³ = 25 700 mm³ (× 1 000).

2. Ensuite, pour les contenances, chaque unité vaut 10 fois la suivante : hL, daL, L, dL, cL, mL.

• a. 127 mL = 0,127 L (1 L = 1 000 mL).
• b. 752,3 hL = 75 230 L (1 hL = 100 L).
• c. 132 cL = 1,32 L (1 L = 100 cL).
• d. \( \frac{1}{2} \) L = 0,5 L = 50 cL : l’unité manquante est le cL.
• e. 0,051 L = 5,1 cL.
• f. 25 dL = 250 cL.
• g. 0,3 cL = 0,03 dL.
• h. \( \frac{1}{4} \) L = 0,25 L = 2,5 dL : l’unité manquante est le dL.

3. Par ailleurs, le lien entre les deux tableaux : 1 dm³ = 1 L, donc 1 cm³ = 1 mL et 1 m³ = 1 000 L.

• a. 12 L = 12 dm³.
• b. 0,3 L = 300 mL = 300 cm³.
• c. 40 mL = 40 cm³ = 0,04 dm³.
• d. 1,8 hL = 180 L = 180 dm³ = 0,180 m³ : l’unité manquante est le m³.
• e. 1 m³ = 1 000 L.
• f. 24 dm³ = 24 L = 2 400 cL.
• g. 12,9 dm³ = 12,9 L = 12 900 mL.
• h. 42,1 m³ = 42 100 L = 421 hL : l’unité manquante est l’hL.

Enfin, on observe les faces de chaque solide :

• Fig. 1 : six faces carrées identiques, c’est un cube.
• Fig. 4 : six faces rectangulaires, c’est un pavé droit.
• Fig. 5 : deux bases hexagonales parallèles et superposables reliées par des rectangles, c’est un prisme droit.
• Fig. 2 : deux disques parallèles et une surface courbe, c’est un cylindre.
• Fig. 3, 6 et 8 : une base polygonale (carré, hexagone, triangle) et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet, ce sont des pyramides (la figure 8 est une pyramide à base triangulaire).
• Fig. 7 : une base en disque et un sommet, c’est un cône.
• Fig. 9 : une boule, dont la surface est une sphère.

Ensuite, remarque : le cube et le pavé sont aussi des prismes droits particuliers, mais le tableau demande le nom le plus précis.

• a. 1 m³ = 1 000 000 cm³, donc \( 0{,}06 \times 1\,000\,000 = 60\,000 \) : 0,06 m³ = 60 000 cm³.
• b. 1 000 mm³ = 1 cm³, donc \( 76{,}4 \div 1\,000 = 0{,}076\,4 \) : 76,4 mm³ = 0,076 4 cm³.
• c. 1 L = 100 cL : 0,5 L = 50 cL.
• d. 1 dL = 100 mL, donc \( 1\,359 \div 100 = 13{,}59 \) : 1 359 mL = 13,59 dL.
• e. 1 dm³ = 1 L (c’est la définition du litre).
• f. 20 L = 2 000 cL ; et 20 L = 20 dm³ = 0,02 m³.
• g. 74,2 mL = 0,074 2 L ; et 1 mL = 1 cm³, donc 74,2 mL = 74,2 cm³.
• h. 358 mm³ = 0,358 cm³ = 0,000 358 dm³ ; et 1 cm³ = 1 mL, donc 358 mm³ = 0,358 mL.

De même, pour un prisme droit : \( V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h \). Par ailleurs, l’aire de la base (en vert) est donnée, il suffit de la multiplier par la hauteur.

• Premier prisme : \( V = 3 \times 2 \), donc V = 6 cm³.
• Second prisme : \( V = 8 \times 6{,}5 \), donc V = 52 cm³.

Ensuite, dans chaque prisme, on repère les deux faces superposables : ce sont les bases. Puis la hauteur du prisme est une arête latérale, perpendiculaire aux bases.

Par ailleurs, premier prisme : la base est un triangle de base 4 cm et de hauteur 3 cm ; la hauteur du prisme est 5 cm.

\[ \mathcal{A}_{\text{base}} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \text{ cm}^2 \qquad V = 6 \times 5 = 30 \text{ cm}^3 \]

De même, deuxième prisme : la base est un parallélogramme de côté 4 cm et de hauteur relative 2 cm ; la hauteur du prisme est l’arête de 5 cm.

\[ \mathcal{A}_{\text{base}} = 4 \times 2 = 8 \text{ cm}^2 \qquad V = 8 \times 5 = 40 \text{ cm}^3 \]

Par conséquent, troisième prisme : la base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 8 cm (10 cm est la longueur de l’hypoténuse, inutile ici) ; la hauteur du prisme est 5 cm.

\[ \mathcal{A}_{\text{base}} = \frac{8 \times 6}{2} = 24 \text{ cm}^2 \qquad V = 24 \times 5 = 120 \text{ cm}^3 \]

Par ailleurs, on regarde bien la flèche : si elle part du centre, c’est un rayon ; si elle traverse tout le disque, c’est un diamètre (on le divise par 2). Puis \( V = \pi \times r^2 \times h \), en valeur exacte.

De même, cylindre 1 : r = 2 cm, h = 6 cm.

\[ \mathcal{A}_{\text{base}} = \pi \times 2^2 = 4\pi \text{ cm}^2 \qquad V = 4 \times \pi \times 6 = 24\pi \text{ cm}^3 \]

Par conséquent, cylindre 2 : diamètre 6 cm, donc r = 3 cm ; h = 4 cm.

\[ \mathcal{A}_{\text{base}} = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2 \qquad V = 9 \times \pi \times 4 = 36\pi \text{ cm}^3 \]

De plus, cylindre 3 : les unités sont différentes, on convertit : r = 50 cm = 5 dm ; h = 6 dm.

\[ \mathcal{A}_{\text{base}} = \pi \times 5^2 = 25\pi \text{ dm}^2 \qquad V = 25 \times \pi \times 6 = 150\pi \text{ dm}^3 \]

Ainsi, cylindre 4 : diamètre 9 mm, donc r = 4,5 mm ; h = 0,4 cm = 4 mm.

\[ \mathcal{A}_{\text{base}} = \pi \times 4{,}5^2 = 20{,}25\pi \text{ mm}^2 \qquad V = 20{,}25 \times \pi \times 4 = 81\pi \text{ mm}^3 \]

Par conséquent, le solide est formé de deux cylindres empilés. Ensuite, les flèches traversent les disques : 3 cm et 4 cm sont des diamètres.

• Petit cylindre du haut : r = 1,5 cm et h = 1 cm.
• Grand cylindre du bas : r = 2 cm et h = 2 cm.

\[ \begin{aligned} V_1 &= \pi \times 1{,}5^2 \times 1 = 2{,}25\pi \text{ cm}^3 \\ V_2 &= \pi \times 2^2 \times 2 = 8\pi \text{ cm}^3 \\ V &= 2{,}25\pi + 8\pi = 10{,}25\pi \text{ cm}^3 \\ &\approx 32{,}201\,3 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

De plus, arrondir au mm³ revient à arrondir au millième de cm³ (1 mm³ = 0,001 cm³) : V ≈ 32,201 cm³, soit 32 201 mm³.