Les volumes en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Empilées, les cinq pièces forment un pavé droit de 9 cm de longueur (3,5 + 5,5 = 9), 4 cm de hauteur et 2 cm d’épaisseur. Le volume du mur est la somme des volumes des pièces, donc le volume de ce pavé :

\[ V = L \times \ell \times h = 9 \times 2 \times 4 = 72 \text{ cm}^3 \]

1. Le pavé mesure 36 cm sur 36 cm, avec une profondeur de 42 cm :

\[ V_{\text{pavé}} = 36 \times 36 \times 42 = 54\,432 \text{ cm}^3 \]

2. Un compartiment est un cylindre de rayon \(10 \div 2 = 5\) cm et de hauteur 42 cm (il traverse le pavé) :

\[ V_{\text{cyl}} = \pi \times r^2 \times h \approx 3{,}14 \times 5^2 \times 42 = 3\,297 \text{ cm}^3 \]

3. On retire les 9 compartiments du pavé :

\[ \begin{aligned} V_{\text{plastique}} &\approx 54\,432 – 9 \times 3\,297 \\ &\approx 54\,432 – 29\,673 \\ &\approx 24\,759 \text{ cm}^3 \end{aligned} \]

• Hauteur du prisme : c’est la longueur d’une arête latérale, CF = 8 cm.
• Bases : les deux triangles ABC et DEF (superposables et parallèles).
• Faces latérales : les trois rectangles ABED, BCFE et ACFD.
• DF : les bases sont superposables et D, F correspondent à A, C, donc DF = AC = 4 cm.
• BE : c’est une arête latérale, donc BE = CF = 8 cm.

Les cotes du dessin sont 3 cm (hauteur), 4 cm (largeur) et 6 cm (longueur). Avec des cubes de 1 cm d’arête, on place un cube par centimètre :

• dans la hauteur : 3 cubes ;
• dans la largeur : 4 cubes ;
• dans la longueur : 6 cubes.

Le pavé complet contient donc \(6 \times 4 \times 3 = 72\) cubes, c’est-à-dire que son volume est 72 cm³.

Dans le tableau des unités de volume, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 1 000 (chaque unité occupe 3 colonnes).

Remarque : dans l’énoncé, « 0,000 4 3 en dm3 » a perdu la lettre m ; on lit 0,000 4 m³.

La tente est un prisme droit dont la base est le triangle ABC (face avant) et dont la hauteur est la longueur CD = 4,5 m.

Aire de la base (triangle de base BC = 1,5 m et de hauteur AH = 2 m) :

\[ \mathcal{A} = \frac{1{,}5 \times 2}{2} = 1{,}5 \text{ m}^2 \]

Volume :

\[ V = \mathcal{A} \times CD = 1{,}5 \times 4{,}5 = 6{,}75 \text{ m}^3 \]

Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur :

\[ V = \mathcal{A}_{ABCD} \times AA^{\prime} = 15 \times 5 = 75 \text{ cm}^3 \]

La forme exacte du quadrilatère ABCD n’a pas d’importance : seule son aire compte.

Le hangar est un prisme droit dont la base est la façade ABCDE et dont la hauteur est GD = 16 m.

1. H′ est sur [BE] et BCDE est un rectangle, donc HH′ = ED = 5,2 m :

\[ AH^{\prime} = AH – HH^{\prime} = 12{,}5 – 5{,}2 = 7{,}3 \text{ m} \]

2. La façade est formée du rectangle BCDE et du triangle ABE (de base BE = CD = 9 m) :

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{BCDE} &= 9 \times 5{,}2 = 46{,}8 \text{ m}^2 \\ \mathcal{A}_{ABE} &= \frac{9 \times 7{,}3}{2} = 32{,}85 \text{ m}^2 \\ \mathcal{A}_{ABCDE} &= 46{,}8 + 32{,}85 = 79{,}65 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

3. Volume du hangar :

\[ V = 79{,}65 \times 16 = 1\,274{,}4 \text{ m}^3 \]

La piscine a 20 m de long, 8 m de large, une profondeur de 2 m d’un côté (AD) et de 4 m de l’autre (CB, égale à GF).

1. Les bases sont les deux faces parallèles superposables ABCD et EFGH.

2. Ce sont des trapèzes rectangles (AD et BC sont parallèles et perpendiculaires à DC).

3. Bases parallèles AD = 2 m et BC = 4 m, hauteur DC = 20 m.

4. Aire d’une base :

\[ \mathcal{A} = \frac{(AD + BC) \times DC}{2} = \frac{(2 + 4) \times 20}{2} = 60 \text{ m}^2 \]

5. Aire totale du prisme (somme des aires des 6 faces) : deux bases \(2 \times 60 = 120\) m², face ADHE \(2 \times 8 = 16\) m², face BCGF \(4 \times 8 = 32\) m², surface de l’eau DCGH \(20 \times 8 = 160\) m², et le fond ABFE \(AB \times 8\). La longueur AB, mesurée sur un dessin à l’échelle (ou calculée avec le théorème de Pythagore vu en 4ème), vaut environ 20,1 m, d’où un fond d’environ 160,8 m². L’aire totale vaut environ 488,8 m².

6. Faces latérales : ADHE, DCGH, BCGF et ABFE.

7. La hauteur du prisme est la largeur de la piscine : 8 m (DH).

8. \(V = 60 \times 8 = 480 \text{ m}^3\).

9. Volume d’eau : \(\dfrac{4}{5} \times 480 = 384\) m³. Comme 1 m³ = 1 000 L :

\[ 384 \text{ m}^3 = 384\,000 \text{ L} \]

a) La base (en blanc) est un octogone régulier de côté 2,3 cm. On le découpe en 8 triangles isocèles identiques de base 2,3 cm et de hauteur 2,8 cm (distance du centre à un côté).

\[ \begin{aligned} \mathcal{A}_{\text{triangle}} &= \frac{2{,}3 \times 2{,}8}{2} = 3{,}22 \text{ cm}^2 \\ \mathcal{A}_{\text{base}} &= 8 \times 3{,}22 = 25{,}76 \text{ cm}^2 \end{aligned} \]

Volume intérieur du flacon (prisme de hauteur 12 cm) :

\[ V = 25{,}76 \times 12 = 309{,}12 \text{ cm}^3 \]

b) L’étiquette fait le tour du flacon, sur les faces extérieures de 2,5 cm de large. Déroulée, c’est un rectangle de longueur égale au périmètre extérieur \(8 \times 2{,}5 = 20\) cm et de largeur 3,5 cm :

\[ \mathcal{A}_{\text{étiquette}} = 20 \times 3{,}5 = 70 \text{ cm}^2 \]