Les suites en 1ère : corrigé détaillé des exercices 1 à 10 de la fiche

Suite \(u_n=-2n+7\).

1) On remplace \(n\) par \(n+1\) : \(u_{n+1}=-2(n+1)+7=\mathbf{-2n+5}\).

2) \(u_{n+1}=-2n+7-2=\mathbf{u_n-2}\) (suite arithmétique de raison \(-2\)).

Suite \(v_n=2^n\).

1) \(v_{n+1}=\mathbf{2^{n+1}}\). 2) \(v_{n+1}=2\times2^n=\mathbf{2v_n}\).

Exprimer \(u_n\) en fonction de \(u_{n-1}\) : on remplace \(n\) par \(n-1\) dans la relation.

1) \(u_{n+1}=3u_n+5n-1\) devient, pour \(n\geqslant 1\) :

\[ u_n=3u_{n-1}+5(n-1)-1=3u_{n-1}+5n-6 \]

2) Ici, le premier terme est \(u_1=2\) (l’énoncé écrit « \(u_n=2\) », il faut lire \(u_1=2\)). On remplace \(n\) par \(n-2\) dans \(u_{n+2}=(n+1)u_{n+1}+5\) :

\[ u_n=(n-2+1)u_{n-1}+5=(n-1)u_{n-1}+5 \]

Cette relation est valable dès que \(n-2\) est un indice autorisé de la relation de départ (pour \(n\geqslant 3\) si la relation vaut pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\)).

1) Dans la boucle, l’instruction « u prend la valeur … » n’utilise que le compteur \(i\), jamais l’ancienne valeur de \(u\). Chaque passage recalcule donc \(u\) directement à partir de l’indice : la suite est définie par sa forme explicite. (La boucle est d’ailleurs inutile : seule la dernière valeur, obtenue pour \(i=n\), compte.)

2) À la fin de la boucle, \(i=n\) et \(u\) contient l’expression de la boucle calculée en \(n\). On lit sur la capture « 5*i−2/i », ce qui donne :

\[ u_n=5n-\frac{2}{n} \]

Cette formule n’a de sens que pour \(n\geqslant 1\) : la suite est définie sur \(\mathbb{N}^{*}\), et il faudrait faire démarrer la boucle à 1 pour éviter la division par zéro quand \(i=0\). Par exemple \(u_1=3\), \(u_2=9\), \(u_4=19{,}5\).

1) \(u\) démarre à 5, puis à chaque tour la nouvelle valeur est calculée à partir de l’ancienne : c’est une suite définie par récurrence :

\[ u_0=5 \qquad u_{n+1}=-u_n+2 \]

2) L’algorithme lit \(n\), affiche \(u_0\), puis, dans la boucle pour \(i\) de 1 à \(n\), calcule et affiche \(u_i\). Il affiche donc tous les termes de \(u_0\) à \(u_n\). Ici : \(u_0=5\), \(u_1=-3\), \(u_2=5\), \(u_3=-3\)… la suite alterne entre 5 et \(-3\).

3) Il suffit de supprimer les deux « AFFICHER u » (avant et dans la boucle) et de placer un seul « AFFICHER u » après FIN_POUR :

• LIRE n ; u PREND_LA_VALEUR 5
• POUR i ALLANT_DE 1 A n : u PREND_LA_VALEUR −u+2
• FIN_POUR ; AFFICHER u

1) \(u_1=OA_1=1\). Dans \(OA_1A_2\) rectangle en \(A_1\), Pythagore donne \(OA_2^2=1^2+1^2=2\), donc \(u_2=\sqrt{2}\). Dans \(OA_2A_3\) rectangle en \(A_2\) : \(OA_3^2=OA_2^2+A_2A_3^2=2+1=3\), donc \(u_3=\sqrt{3}\).

2) Pour tout \(n\in\mathbb{N}^{*}\), le triangle \(OA_nA_{n+1}\) est rectangle en \(A_n\) avec \(A_nA_{n+1}=1\) :

\[ u_{n+1}^2=u_n^2+1 \quad\text{donc}\quad u_1=1 \quad\text{et}\quad u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+1} \]

3) On calcule \(u_4=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\), \(u_5=\sqrt{5}\)… Les carrés \(u_n^2\) forment la suite 1, 2, 3, 4, … qui augmente de 1 à chaque étape. On conjecture \(u_n=\sqrt{n}\) pour tout \(n\geqslant 1\).

La ligne 1 contient les indices, la ligne 2 les termes. On écrit :

• en B2 : -3 (le premier terme \(u_0\)) ;
• en C2 : =B2^2+3*B2 (le terme précédent est dans la cellule de gauche). En recopiant vers la droite, D2 contient =C2^2+3*C2, etc.

Il ne faut pas étirer B2 (qui contient une constante) mais C2. Résultats :

En effet \(u_1=(-3)^2+3\times(-3)=9-9=0\), puis \(u_2=0^2+3\times0=0\), et la suite reste nulle.

1) \(u_{n+1}=0{,}5u_n+2\) : le terme de la colonne C se calcule à partir de celui de la colonne B. En C2 : =0,5*B2+2 (ou =B2/2+2). Vérification : \(0{,}5\times1+2=2{,}5\), puis \(0{,}5\times2{,}5+2=3{,}25\) : c’est bien la feuille.

2) La ligne 3 contient \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) : \(1\), \(1+2{,}5=3{,}5\), \(3{,}5+3{,}25=6{,}75\)… Chaque somme est la somme précédente plus le nouveau terme : en C3 : =B3+C2. Vérification : \(6{,}75+3{,}625=10{,}375\).

Suite \(u_n=2n^2+(-1)^n\).

1) \(u_{n+1}=2(n+1)^2+(-1)^{n+1}=2n^2+4n+2-(-1)^n\).

2) \(u_{2n}=2(2n)^2+(-1)^{2n}=8n^2+1\), car \((-1)^{2n}=\left((-1)^2\right)^n=1\).

Suite \(v_n=\dfrac{(-2)^{n-1}}{3^n}\).

1) \(v_{n-1}=\dfrac{(-2)^{n-2}}{3^{n-1}}\) (pour \(n\geqslant 1\)).

2) L’énoncé écrit \(u_{n+2}\) mais il s’agit de \(v_{n+2}\) : \(v_{n+2}=\dfrac{(-2)^{n+1}}{3^{n+2}}\). (Pour la suite \(u\), on aurait \(u_{n+2}=2(n+2)^2+(-1)^{n+2}=2n^2+8n+8+(-1)^n\).)

Suite \(w_n=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)\).

1) À l’aide du cercle trigonométrique :

2) \(w_{n+6}=\cos\left(\dfrac{(n+6)\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}+2\pi\right)=\cos\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)=w_n\) : la suite est périodique de période 6.

1) a) \(u_n=\dfrac{2}{u_{n-1}}+1\) avec \(u_0=1\) : chaque terme dépend du précédent, la suite est définie par récurrence.

\[ u_0=1,\quad u_1=\frac{2}{1}+1=3,\quad u_2=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3},\quad u_3=\frac{2}{5/3}+1=\frac{6}{5}+1=\frac{11}{5} \]

b) \(v_n=\sin\left(\dfrac{n\pi}{3}\right)\) : \(v_n\) se calcule directement à partir de \(n\), c’est une forme explicite.

\[ v_0=\sin 0=0,\quad v_1=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad v_2=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad v_3=\sin\pi=0 \]

2) À la calculatrice, en mode Suite (ou Récurrence) et en radians pour \(v\) : on saisit \(u(n)=2/u(n-1)+1\) avec \(u(0)=1\) et \(v(n)=\sin(n\pi/3)\), puis on affiche la table. On lit \(u_2\approx1{,}667\), \(u_3=2{,}2\) et \(v_1=v_2\approx0{,}866\), ce qui confirme les valeurs exactes.

1) La formule en C2 est =2*B1+1+B2. Recopiée vers la droite, les références se décalent d’une colonne : D2 contient =2*C1+1+C2, soit :

\[ D2=2\times 2+1+(-2)=3 \]

(Vérification de C2 : \(2\times1+1+(-5)=-2\), la valeur affichée.)

2) La ligne 1 contient l’indice \(n\), la ligne 2 le terme \(v_n\). La cellule de la colonne suivante calcule \(v_{n+1}\) avec l’indice \(n\) et le terme \(v_n\) de la colonne précédente :

\[ v_1=-5 \qquad v_{n+1}=v_n+2n+1 \quad (n\geqslant 1) \]

On obtient \(v_1=-5\), \(v_2=-2\), \(v_3=3\), \(v_4=10\), \(v_5=19\). Remarque : ces valeurs vérifient \(v_n=n^2-6\) (car \(n^2+2n+1=(n+1)^2\)).

Méthode de la construction en escalier : on part de \(u_0\) sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe de \(f\) pour lire \(u_1=f(u_0)\) sur l’axe des ordonnées, puis on rabat \(u_1\) sur l’axe des abscisses grâce à la droite \(y=x\), et on recommence.

Sur le quadrillage (un carreau pour une unité sur chaque axe), on lit :

• \(u_0=1\) et \(u_1=f(1)\approx 3\) ;
• \(u_2=f(u_1)\approx 5{,}2\) ;
• \(u_3=f(u_2)\approx 6{,}8\) ;
• \(u_4=f(u_3)\approx 7{,}8\).

Les lectures sont compatibles avec \(f(x)=3\sqrt{x}\) : \(u_4=3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}\approx 7{,}85\). Les termes augmentent et se rapprochent de l’abscisse 9 du point d’intersection de la courbe avec la droite \(y=x\).