Corrigé des 20 exercices sur les probabilités en 4ème : solutions détaillées à télécharger en PDF

Affirmation de William. Si la roue était équilibrée, chaque numéro aurait la probabilité \( \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \). Sur 1 000 expériences, les fréquences devraient donc être proches de 0,333. Or on observe 0,521 pour le 1 et seulement 0,171 pour le 2 : ces écarts sont beaucoup trop grands pour un aussi grand nombre d’essais. William a raison : la roue ne semble pas équilibrée (par exemple, le secteur 1 est peut-être plus lourd ou le mécanisme freine ailleurs).

Affirmation de Zoé. Quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d’une issue est une bonne estimation de sa probabilité. La fréquence du 1 est 0,521, très proche de \( \frac{1}{2} = 0{,}5 \). Zoé a raison : on peut estimer la probabilité d’obtenir 1 à environ \( \frac{1}{2} \). C’est une estimation, pas une valeur exacte.

L’urne contient 8 boules : 5 roses (numéros 3, 2, 1, 3, 2) et 3 bleues (numéros 5, 1, 4). Le tirage se fait au hasard : chaque boule a la même chance d’être tirée.

1. a. Les issues sont : rose et bleue.

1. b. \[ P(\text{rose}) = \frac{5}{8} \qquad P(\text{bleue}) = \frac{3}{8} \]

2. a. Les issues sont les nombres 1, 2, 3, 4 et 5.

2. b. Il y a deux boules 1 (une rose, une bleue), deux boules 2, deux boules 3, une boule 4 et une boule 5 :

\[ P(1) = P(2) = P(3) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \qquad P(4) = P(5) = \frac{1}{8} \]

3. Vérification :

\[ \frac{5}{8} + \frac{3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \qquad \frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

a. Pedro a obtenu 13 « pile » sur ses 20 lancers. On ajoute ensuite les résultats de chaque ami, dans l’ordre du tableau :

• 40 lancers : \( 13 + 11 = 24 \) ;
• 60 lancers : \( 24 + 13 = 37 \) ;
• 80 lancers : \( 37 + 8 = 45 \) ;
• 100 lancers : \( 45 + 7 = 52 \).

La fréquence est \( \frac{\text{nombre de pile}}{\text{nombre de lancers}} \), arrondie au centième :

Par exemple \( \frac{37}{60} \approx 0{,}6167 \approx 0{,}62 \) et \( \frac{45}{80} = 0{,}5625 \approx 0{,}56 \).

b. On place les points (nombre de lancers ; fréquence) :

Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence de « pile » se rapproche de 0,5. On peut en déduire que la pièce de Pedro semble équilibrée : pile et face ont chacun une probabilité de \( \frac{1}{2} \).

Lecture du diagramme (100 lancers) : bleu 15, rouge 16, jaune 20, vert 19, noir 30 (total : 100).

Probabilités. Le dé a 6 faces équiprobables ; une seule face est bleue (de même pour rouge, jaune, vert) et deux faces sont noires :

\[ P(\text{bleu}) = P(\text{rouge}) = P(\text{jaune}) = P(\text{vert}) = \frac{1}{6} \qquad P(\text{noir}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Fréquences observées. Sur 100 lancers, l’effectif divisé par 100 donne la fréquence :

Les fréquences observées sont proches des probabilités sans leur être égales : c’est normal, 100 lancers est un nombre d’essais assez faible et le hasard crée des écarts. La couleur noire sort environ deux fois plus souvent que chacune des autres, ce qui correspond bien à ses deux faces.

a. Le dé 1 doit donner un nombre entier au hasard entre 1 et 4. Dans la cellule B2 :

=ALEA.ENTRE.BORNES(1;4) (ou, de façon équivalente, =ENT(ALEA()*4)+1).

b. Même formule pour le dé 2 dans C2 : =ALEA.ENTRE.BORNES(1;4).

c. La colonne D fait la somme des deux dés : dans D2, =B2+C2. On recopie ensuite les trois formules vers le bas jusqu’à la ligne 1001.

d. On liste toutes les sommes possibles dans un tableau à double entrée :

La somme la plus petite est \( 1 + 1 = 2 \), la plus grande \( 4 + 4 = 8 \). Remarque : ces sommes ne sont pas équiprobables, 5 apparaît dans 4 cases sur 16 alors que 2 n’apparaît qu’une fois.

La liste contient 8 chansons, et chacune a la même probabilité d’être choisie. Les chansons de Maen sont « La ficelle », « Fou fou fou » et « Nina » : 3 cas favorables.

\[ P(\text{chanson de Maen}) = \frac{\text{nombre de chansons de Maen}}{\text{nombre total de chansons}} = \frac{3}{8} \]

Il y a 100 jetons identiques au toucher : on est dans une situation d’équiprobabilité.

a. 8 jetons portent la lettre I :

\[ P(\text{I}) = \frac{8}{100} = \frac{2}{25} = 0{,}08 \]

b. Nombre de voyelles : \( 9 + 15 + 8 + 6 + 6 + 1 = 45 \).

\[ P(\text{voyelle}) = \frac{45}{100} = \frac{9}{20} = 0{,}45 \]

c. Obtenir une consonne est l’événement contraire d’obtenir une voyelle :

\[ P(\text{consonne}) = 1 – \frac{45}{100} = \frac{55}{100} = \frac{11}{20} = 0{,}55 \]

Les six faces portent N, O, T, O, U, S. Le dé est équilibré : chaque face a la probabilité \( \frac{1}{6} \).

a. Les issues sont les lettres que l’on peut lire : N, O, T, U et S (5 issues ; la lettre O est sur deux faces, elle n’est pas une issue de même probabilité que les autres).

b. \[ P(E_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

c. \[ P(E_2) = 1 – P(E_1) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

d. Les consonnes sont N, T et S, sur 3 faces : \( P(E_3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

e. Aucune face ne porte K, I ou W : \( E_4 \) est un événement impossible, \( P(E_4) = 0 \).

f. Les lettres de CAGOUS présentes sur le dé sont O, U et S ; elles occupent 4 faces (O compte deux fois) :

\[ P(E_5) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

On compte les secteurs de la roue (ils ont tous la même taille, donc sont équiprobables) :

a. \( P(800\text{ €}) = \frac{7}{24} \)

b. \( P(1\,500\text{ €}) = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \)

c. \( P(3\,000\text{ €}) = \frac{1}{24} \)

d. « 1 000 € et plus » regroupe 1 000 €, 1 500 € et 3 000 € : \( 6 + 2 + 1 = 9 \) secteurs.

\[ P(\text{au moins } 1\,000\text{ €}) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \]

e. On ne perd que sur le secteur noir « 0 ». Par l’événement contraire :

\[ P(\text{ne pas perdre}) = 1 – \frac{1}{24} = \frac{23}{24} \]

Si la bouteille contenait 9 rouges, 4 bleues et 7 vertes sur 20 billes, les probabilités seraient :

\[ P(\text{rouge}) = \frac{9}{20} = 0{,}45 \qquad P(\text{bleue}) = \frac{4}{20} = 0{,}2 \qquad P(\text{verte}) = \frac{7}{20} = 0{,}35 \]

Les fréquences observées sur 40 retournements sont :

\[ \frac{18}{40} = 0{,}45 \qquad \frac{8}{40} = 0{,}2 \qquad \frac{14}{40} = 0{,}35 \]

Elles sont égales à ces probabilités, donc les résultats sont compatibles avec cette composition. Mais on ne peut pas l’affirmer : une fréquence n’est qu’une estimation de la probabilité, et 40 essais c’est peu. Une bouteille de 8 rouges, 5 bleues et 7 vertes, par exemple, aurait très bien pu donner ces mêmes résultats. Seule l’ouverture de la bouteille donnerait une certitude.

L’urne contient \( 4 + 6 = 10 \) boules indiscernables au toucher : chaque boule a la même chance d’être tirée. Il y a donc 10 issues équiprobables.

\[ P(\text{rouge}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \qquad P(\text{verte}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \]

• a. Faux. Il y a 6 boules vertes et seulement 4 rouges : on a plus de chances d’avoir une boule verte (0,6 contre 0,4).
• b. Faux. On a 4 chances sur 10 d’obtenir une boule rouge ; pour une boule verte, c’est 6 chances sur 10.
• c. Vrai. Quand on répète l’expérience un grand nombre de fois, la fréquence d’apparition d’un événement se rapproche de sa probabilité, ici 0,6.
• d. Faux. « 6 chances sur 4 » n’a pas de sens : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1, et le nombre de cas favorables ne peut pas dépasser le nombre total de cas (10). Il y a 6 chances sur 10.
• e. Vrai. \( P(\text{rouge}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \) (on simplifie par 2).

Le plateau a 13 cases (numérotées de 0 à 12) et la boule a la même probabilité de s’arrêter sur chacune : chaque case a une probabilité de \( \frac{1}{13} \). On calcule donc :

\[ P = \frac{\text{nombre de cases favorables}}{13} \]

a. Une seule case porte le numéro 8 : \( P(\text{8}) = \frac{1}{13} \).

b. Les numéros impairs entre 0 et 12 sont 1, 3, 5, 7, 9 et 11 : il y en a 6 (0 est pair).

\[ P(\text{impair}) = \frac{6}{13} \]

c. Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Entre 0 et 12, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11 (0 et 1 ne sont pas premiers, 9 = 3 × 3 non plus). Il y en a 5 :

\[ P(\text{premier}) = \frac{5}{13} \]

d. Non. Le plateau n’a pas de mémoire : les résultats des lancers précédents n’influencent pas le lancer suivant. À chaque nouveau lancer, la probabilité de s’arrêter sur la case 9 reste \( \frac{1}{13} \), exactement comme celle de s’arrêter sur la case 7. On n’a pas plus de chances d’obtenir 9 que 7 (ni moins).

a. On regarde la lettre inscrite sur le gâteau tiré. Les lettres possibles sont les lettres différentes du mot BAKLAVA : les issues sont B, A, K, L et V.

Attention : ces 5 issues ne sont pas équiprobables, car la lettre A est écrite sur 3 gâteaux sur 7.

b. Les 7 gâteaux sont indiscernables au toucher : chacun a la même probabilité \( \frac{1}{7} \) d’être tiré.

• Un seul gâteau porte la lettre L : \( P(\text{L}) = \frac{1}{7} \).
• Trois gâteaux portent la lettre A, donc \( P(\text{A}) = \frac{3}{7} \). « La lettre tirée n’est pas un A » est l’événement contraire :

\[ P(\text{pas A}) = 1 – \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \]

On le vérifie : B, K, L et V sont sur 4 gâteaux sur 7.

c. Au départ, le sachet contient 10 baklavas : 2 à la pistache, 4 aux noisettes, donc \( 10 – 2 – 4 = 4 \) aux noix. La probabilité de tirer un gâteau aux noix était :

\[ \frac{4}{10} = 0{,}4 \]

Enzo a mangé un gâteau aux noix. Il reste \( 10 – 1 = 9 \) gâteaux, dont \( 4 – 1 = 3 \) aux noix. La nouvelle probabilité est :

\[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \]

Or \( 0{,}33 \lt 0{,}4 \) : il a maintenant moins de chances de piocher un gâteau aux noix.

L’urne D contient les boules 1, 2 et 3 (chiffre des dizaines) et l’urne U les boules 2, 3, 5 et 6 (chiffre des unités). Chaque boule d’une urne a la même chance d’être tirée. On dresse le tableau de tous les nombres possibles : il y a \( 3 \times 4 = 12 \) issues, toutes équiprobables.

a. Un nombre est pair si son chiffre des unités est pair. La parité ne dépend donc que de l’urne U : 2 boules paires (2 et 6) et 2 boules impaires (3 et 5).

\[ P(\text{pair}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \qquad P(\text{impair}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

On le vérifie dans le tableau : 6 nombres pairs et 6 nombres impairs sur 12. On n’a pas plus de chances de former un nombre pair qu’un nombre impair.

b. Les nombres premiers que l’on peut former sont 13 et 23.

c. Il y a 2 issues favorables (13 et 23) sur 12 issues équiprobables :

\[ P(\text{premier}) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]

d. Il faut un événement réalisé par \( \frac{1}{3} \times 12 = 4 \) issues. Par exemple : « le nombre formé est supérieur à 30 », réalisé par 32, 33, 35 et 36. Comme l’urne D contient 3 boules, c’est aussi la probabilité de tirer la boule 3 dans l’urne D :

\[ P(\text{nombre} \gt 30) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

(Autres réponses possibles : « le chiffre des dizaines est 1 », « le nombre est compris entre 20 et 29 »…)

L’urne contient \(5+3+2=10\) boules, toutes équiprobables.

1. 10 boules. \[ P(\text{rouge})=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\qquad P(\text{bleue})=\dfrac{3}{10}\qquad P(\text{jaune})=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5} \]
2. « Ne pas tirer rouge » est l’évènement contraire de « tirer rouge » : \[ 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \] La probabilité est \(\dfrac{1}{2}\).
3. Il y a \(5+2=7\) boules rouges ou jaunes : \[ P=\dfrac{7}{10} \] La probabilité est \(\dfrac{7}{10}\).
4. Après l’ajout de \(x\) boules vertes, il y a \(10+x\) boules dont 5 rouges. On veut \[ \dfrac{5}{10+x}=\dfrac{1}{3} \] donc \(10+x=15\) et \(x=5\). Il faut ajouter 5 boules vertes. (Vérification : \(\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\).)

1. Les issues sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Le dé est équilibré donc chaque face a la même probabilité, \(\dfrac{1}{6}\) : les issues sont équiprobables.
2. Nombres pairs : 2, 4, 6, soit 3 issues. \[ P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \]
3. Multiples de 3 : 3 et 6, soit 2 issues. \[ P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \]
4. Nombres premiers : 2, 3 et 5 (1 n’est pas premier), soit 3 issues. \[ P=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \]
5. Évènement contraire de « obtenir 6 » : \[ 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6} \] La probabilité est \(\dfrac{5}{6}\).
6. La fréquence d’apparition du 6 se rapproche de \(\dfrac{1}{6}\) quand le nombre de lancers est grand : \[ 600\times\dfrac{1}{6}=100 \] On peut s’attendre à obtenir 6 environ 100 fois.

1. Fréquence \(=\dfrac{\text{nombre de «\ pile\ »}}{\text{nombre de lancers}}\) : \[ \dfrac{27}{50}=0{,}54\quad \dfrac{56}{100}=0{,}56\quad \dfrac{98}{200}=0{,}49\quad \dfrac{251}{500}=0{,}502\quad \dfrac{497}{1\,000}=0{,}497 \]
2. Pour peu de lancers, les fréquences varient assez (de \(0{,}49\) à \(0{,}56\)). Quand le nombre de lancers augmente, elles se stabilisent autour de \(0{,}5\).
3. On peut proposer une probabilité de \(0{,}5\) (une chance sur deux). Léa a donc tort : sur 1\,000 lancers, la fréquence \(0{,}497\) est très proche de \(0{,}5\), la pièce semble équilibrée.

Les 8 secteurs sont identiques : 3 rouges, 2 verts, 2 jaunes et 1 bleu (\(3+2+2+1=8\)).

1. \[ P(\text{rouge})=\dfrac{3}{8}\quad P(\text{vert})=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\quad P(\text{jaune})=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\quad P(\text{bleu})=\dfrac{1}{8} \]
2. \[ 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \] La probabilité est \(\dfrac{3}{4}\) (on retrouve \(\dfrac{6}{8}\)).
3. \(3+1=4\) secteurs sur 8 : \[ P=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} \] La probabilité est \(\dfrac{1}{2}\).
4. \[ 400\times\dfrac{3}{8}=150 \] Camille peut s’attendre à obtenir du rouge environ 150 fois.

1. Vélo : 8 ; bus : 10 ; à pied : 5 ; voiture : 2. \[ 8+10+5+2=25 \] Le total est bien 25.
2. \[ P(\text{bus})=\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}\qquad P(\text{vélo})=\dfrac{8}{25} \]
3. Évènement contraire de « venir en bus » : \[ 1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{15}{25}=0{,}6 \] La probabilité est \(\dfrac{3}{5}\), soit 60 %.
4. \(5+2=7\) élèves : \[ P=\dfrac{7}{25} \] La probabilité est \(\dfrac{7}{25}\).

Le jeu compte 32 cartes équiprobables.

1. 4 rois : \[ P=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8} \]
2. 8 cœurs : \[ P=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4} \]
3. 3 figures par couleur, soit \(3\times 4=12\) figures : \[ P=\dfrac{12}{32}=\dfrac{3}{8} \]
4. Une seule carte convient : \[ P=\dfrac{1}{32} \]
5. Cartes « cœur ou as » : 8 cœurs et 3 as qui ne sont pas des cœurs, soit \(8+3=11\) cartes. Les autres sont au nombre de \(32-11=21\) : \[ P=\dfrac{21}{32} \] La probabilité est \(\dfrac{21}{32}\).