L’étude de fonctions en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Voici le corrigé exercices étude de fonction seconde pour les dix premiers exercices de la fiche. Ils font travailler le vocabulaire des variations (croissante, décroissante), la lecture et la construction d’un tableau de variation, la recherche d’un maximum et d’un minimum sur un intervalle, et les encadrements du type \(a \leqslant f(x) \leqslant b\). Les derniers exercices portent sur les fonctions affines (signe du coefficient directeur, association droite et expression) et sur une aire qui dépend de la position d’un point, où il faut exprimer \(f(x)\) selon deux cas.

Chaque solution explique ce qu’il faut regarder dans le tableau ou sur la courbe, puis rédige la justification attendue en classe. Les figures montrent une courbe possible, les extremums repérés ou la droite tracée. Commence par résoudre l’exercice seul, puis confronte ta réponse à cette correction : vérifie surtout que tu as bien cité l’intervalle et la valeur de \(x\) où l’extremum est atteint.

Les énoncés se trouvent sur la fiche L'étude de fonction : exercices de maths en 2de corrigés en PDF. (46 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur l'étude de fonctions en seconde

Exercice 1 : Décrire le sens de variation

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

a) D’après le tableau, la fonction \(h\) est définie sur \([-4\,;\,3]\) et :

\(h\) est décroissante sur \([-4\,;\,-1]\) (elle passe de 4 à \(-1\)) ;
\(h\) est croissante sur \([-1\,;\,1]\) (de \(-1\) à 3) ;
\(h\) est décroissante sur \([1\,;\,3]\) (de 3 à 0).

b) On compare deux images en utilisant le sens de variation sur un intervalle qui contient les deux nombres.

\(0\) et \(1\) sont dans \([-1\,;\,1]\) où \(h\) est croissante ; comme \(0 \lt 1\), on a \(h(0) \leqslant h(1)\) (et même \(h(0) \lt h(1)\) pour une fonction strictement croissante).
\(2\) et \(2{,}5\) sont dans \([1\,;\,3]\) où \(h\) est décroissante ; comme \(2 \lt 2{,}5\), l’ordre est inversé : \(h(2) \geqslant h(2{,}5)\).

c) On place les points \((-4\,;\,4)\), \((-1\,;\,-1)\), \((1\,;\,3)\), \((3\,;\,0)\), puis on les relie en respectant les variations.

Une courbe possible pour h (il en existe une infinité)

Réponse : \(h\) décroissante sur \([-4\,;\,-1]\), croissante sur \([-1\,;\,1]\), décroissante sur \([1\,;\,3]\) ; \(h(0) \lt h(1)\) et \(h(2) \gt h(2{,}5)\).

Exercice 2 : Lire le maximum et le minimum

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

Sur la courbe, on lit : \(g(-2) = 2\), \(g(-1) = -1\), \(g(0) = 2\), \(g(1) = 3\), \(g(2) = -2\), \(g(4) = 1\). (L’énoncé écrit « de \(f\) », il s’agit bien de la fonction \(g\).) Le maximum est la plus grande ordonnée atteinte sur l’intervalle, le minimum la plus petite.

a) Sur \([-2\,;\,0]\) : maximum 2, atteint en \(x = -2\) et en \(x = 0\) ; minimum \(-1\), atteint en \(x = -1\).
b) Sur \([0\,;\,4]\) : maximum 3 atteint en \(x = 1\) ; minimum \(-2\) atteint en \(x = 2\).
c) Sur \([-2\,;\,4]\) : maximum 3 en \(x = 1\) ; minimum \(-2\) en \(x = 2\).
d) Sur \([2\,;\,4]\), \(g\) est croissante : minimum \(-2\) en \(x = 2\) ; maximum 1 en \(x = 4\).

Les extremums se lisent aux sommets et aux extrémités de la courbe

Réponse : a) max 2 (en −2 et 0), min −1 (en −1) ; b) et c) max 3 (en 1), min −2 (en 2) ; d) max 1 (en 4), min −2 (en 2).

Exercice 3 : Tableau de variation et justification

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

Tableau de variation de f sur [−7 ; 5]

a) Sur \([-7\,;\,3]\) : \(f\) est croissante de \(-4\) à \(2\) sur \([-7\,;\,-3]\), puis décroissante de \(2\) à \(0\) sur \([-3\,;\,3]\). Sur cet intervalle, le minimum de \(f\) est \(-4\) (atteint en \(-7\)) et le maximum est \(2\) (atteint en \(-3\)). Donc pour tout \(x\) de \([-7\,;\,3]\) :

\[ -4 \leqslant f(x) \leqslant 2. \]

b) Sur \([-3\,;\,5]\) : \(f\) décroît de \(2\) à \(0\) sur \([-3\,;\,3]\), puis croît de \(0\) à \(3\) sur \([3\,;\,5]\). Le minimum est \(0\) (en \(x = 3\)) et le maximum est \(3\) (en \(x = 5\)), car \(3 \gt 2\). Donc pour tout \(x\) de \([-3\,;\,5]\) :

\[ 0 \leqslant f(x) \leqslant 3. \]

Chaque portion de courbe reste dans une bande horizontale

Réponse : les deux propositions sont vraies ; les bornes sont le minimum et le maximum de \(f\) sur chaque intervalle.

Exercice 4 : Encadrement d'images

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

Sur la courbe : \(m(-2) = 3\), \(m(-1) = -1\) (point le plus bas), \(m(0) = 2\), puis \(m\) décroît jusqu’à \(m(3) = 0\).

a) Sur \([-2\,;\,3]\), le minimum de \(m\) est \(-1\) (en \(x = -1\)) et le maximum est \(3\) (en \(x = -2\)) :

\[ -1 \leqslant m(x) \leqslant 3. \]

b) Sur \([0\,;\,3]\), \(m\) est décroissante de \(2\) à \(0\) :

\[ 0 \leqslant m(x) \leqslant 2. \]

a) bande rose : −1 ≤ m(x) ≤ 3 ; b) rectangle bleu : 0 ≤ m(x) ≤ 2

Réponse : a) \(-1 \leqslant m(x) \leqslant 3\) ; b) \(0 \leqslant m(x) \leqslant 2\).

Exercice 5 : Tableau de variation de fonctions affines

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

Une fonction affine \(x \mapsto ax + b\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) si \(a \gt 0\), décroissante si \(a \lt 0\) (constante si \(a = 0\)). Il suffit donc de lire le coefficient \(a\) devant \(x\).

\(f(x) = -\tfrac{1}{2}x + 1\) : \(a = -\tfrac{1}{2} \lt 0\), \(f\) est décroissante.
\(g(x) = -2x – \tfrac{1}{4}\) : \(a = -2 \lt 0\), \(g\) est décroissante.
\(h(x) = \tfrac{1}{5}x – 2\) : \(a = \tfrac{1}{5} \gt 0\), \(h\) est croissante.
\(k(x) = -x + 1\) : \(a = -1 \lt 0\), \(k\) est décroissante.

f est décroissante sur ℝ

g est décroissante sur ℝ

h est croissante sur ℝ

k est décroissante sur ℝ

Réponse : \(f\), \(g\) et \(k\) sont décroissantes sur \(\mathbb{R}\) ; \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 6 : Droites et représentation graphique

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

a) La droite représentant \(m\) passe par le point \((0\,;\,m(0)) = (0\,;\,1)\), car son ordonnée à l’origine est 1. Or \(d_2\) coupe l’axe des ordonnées en \(-2\), pas en 1. Andréa a donc tort.

b) On utilise l’ordonnée à l’origine \(b\) et un second point.

\(j(x) = 4x – 2\) : \(j(0) = -2\) et \(j(1) = 2\). La droite passe par \((0\,;\,-2)\) et \((1\,;\,2)\) : c’est \(d_2\).
\(k(x) = -2x\) : \(k(0) = 0\) et \(k(1) = -2\). Droite passant par l’origine et \((1\,;\,-2)\) : c’est \(d_3\).
\(\ell(x) = 2\) : fonction constante, droite horizontale à la hauteur 2 : c’est \(d_4\).
\(m(x) = -0{,}5x + 1\) : \(m(0) = 1\) et \(m(2) = 0\). Droite passant par \((0\,;\,1)\) et \((2\,;\,0)\) : c’est \(d_1\).

Chaque droite identifiée par son ordonnée à l’origine et un second point

Réponse : a) non, \(d_2\) ne représente pas \(m\) ; b) \(j \to d_2\), \(k \to d_3\), \(\ell \to d_4\), \(m \to d_1\).

Exercice 7 : Associer fonction et tableau de variation

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

Le tableau donne : \(g(-1) = 1\), \(g(0) = 3\), \(g(1) = 0\), \(g(3) = -1\), \(g(4) = 0\), \(g(6) = 2\), avec \(g\) croissante sur \([-1\,;\,0]\), décroissante sur \([0\,;\,3]\), croissante sur \([3\,;\,6]\).

a) On place ces six points et on les relie en respectant les flèches du tableau.

Une courbe possible pour g ; en rouge, les x dont l’image est négative ou nulle

b) On cherche les \(x\) tels que \(g(x) \leqslant 0\).

Sur \([-1\,;\,0]\), \(g(x) \geqslant 1\) : aucune solution.
Sur \([0\,;\,3]\), \(g\) décroît de 3 à \(-1\) et vaut 0 en \(x = 1\) : \(g(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [1\,;\,3]\).
Sur \([3\,;\,6]\), \(g\) croît de \(-1\) à 2 et vaut 0 en \(x = 4\) : \(g(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [3\,;\,4]\).

Réponse : les nombres dont l’image est négative ou nulle sont ceux de l’intervalle \([1\,;\,4]\).

Exercice 8 : Déterminer les nombres réels et images d'une fonction

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

Le tableau donne : \(h(-3) = -5\), \(h(-2) = 0\), \(h(-1) = 2\) (maximum local), \(h(4) = 0\) (minimum local), \(h(4{,}5) = 2\), \(h(6) = 3\). On cherche les \(x\) tels que \(h(x) \geqslant 2\).

Sur \([-3\,;\,-1]\), \(h\) croît de \(-5\) à 2 : \(h(x) \geqslant 2\) seulement pour \(x = -1\).
Sur \([-1\,;\,4]\), \(h\) décroît de 2 à 0 : \(h(x) \geqslant 2\) seulement pour \(x = -1\) (déjà compté).
Sur \([4\,;\,6]\), \(h\) croît de 0 à 3 et vaut 2 en \(4{,}5\) : \(h(x) \geqslant 2\) pour \(x \in [4{,}5\,;\,6]\).

h(x) ≥ 2 pour x = −1 et pour x dans [4,5 ; 6]

Réponse : l’ensemble cherché est \(\{-1\} \cup [4{,}5\,;\,6]\).

Exercice 9 : Problème d'un trapèze et fonctions

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

a) Quand M avance de A vers B, le domaine coloré s’agrandit : on conjecture que \(f\) est croissante sur \([0\,;\,8]\).

b) Plaçons H, le pied de la hauteur issue de C sur \([AB]\) : \(AH = DC = 5\), \(CH = AD = 3\) et \(HB = 8 – 5 = 3\).

Cas \(x \in [0\,;\,5]\). Le domaine coloré est un rectangle de longueur \(x\) et de largeur \(AD = 3\) :

\[ f(x) = 3x. \]

Cas \(x \in [5\,;\,8]\). Le domaine est formé du rectangle AHCD (aire \(5 \times 3 = 15\)) et d’un trapèze rectangle de hauteur \(HM = x – 5\). Dans le triangle CHB, rectangle et isocèle en H (\(CH = HB = 3\)), la hauteur du domaine au point M vaut \(MB = 8 – x\). Le trapèze a donc pour bases \(3\) et \(8 – x\) :

\[ \begin{aligned} f(x) &= 15 + \frac{(3 + 8 – x)(x – 5)}{2} \\ &= 15 + \frac{(11 – x)(x – 5)}{2} \\ &= -0{,}5x^2 + 8x – 12{,}5. \end{aligned} \]

Vérifications : \(f(5) = 15\) (les deux formules se raccordent) et \(f(8) = 19{,}5\), qui est bien l’aire du trapèze \(\frac{(8 + 5) \times 3}{2} = 19{,}5\).

f est croissante sur [0 ; 8] : l’aire augmente quand M avance

Réponse : \(f(x) = 3x\) sur \([0\,;\,5]\) et \(f(x) = 15 + \frac{(11-x)(x-5)}{2} = -0{,}5x^2 + 8x – 12{,}5\) sur \([5\,;\,8]\) ; \(f\) est croissante.

Exercice 10 : Dresser le tableau de variation

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

a) \(f(x) = -2x + 3{,}5\) est une fonction affine de coefficient directeur \(a = -2\). Comme \(a \lt 0\), \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).

f est décroissante sur ℝ (a = −2 négatif)

b) Deux points suffisent pour tracer une droite : \(f(0) = 3{,}5\) et \(f(1) = -2 + 3{,}5 = 1{,}5\). On trace la droite passant par \(A(0\,;\,3{,}5)\) et \(B(1\,;\,1{,}5)\) ; elle coupe l’axe des abscisses en \(x = 1{,}75\) (car \(-2x + 3{,}5 = 0 \iff x = 1{,}75\)).

La droite « descend » : cohérent avec f décroissante

La droite « descend » de gauche à droite : quand \(x\) augmente de 1, \(f(x)\) diminue de 2. C’est cohérent avec le tableau de variation.

Réponse : \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) ; sa courbe est la droite passant par \((0\,;\,3{,}5)\) et \((1\,;\,1{,}5)\).

La méthode à retenir sur l'étude de fonctions

Pour comparer deux images, place les deux nombres dans un même intervalle où la fonction est monotone : croissante, l’ordre est conservé ; décroissante, il est inversé.
Un maximum (ou minimum) se donne avec sa valeur et la valeur de \(x\) où il est atteint, en précisant l’intervalle étudié.
Pour un encadrement \(a \leqslant f(x) \leqslant b\) le plus précis possible, \(a\) et \(b\) sont le minimum et le maximum de \(f\) sur l’intervalle.
Fonction affine \(ax + b\) : le signe de \(a\) donne les variations, \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
Quand une aire change de forme selon la position d’un point, on traite les cas séparément et on vérifie que les formules se raccordent.

Les erreurs fréquentes

Oublier que l’ordre des images s’inverse sur un intervalle où la fonction est décroissante.
Prendre l’extrémité de l’intervalle pour le maximum alors qu’un sommet intérieur est plus haut (exercice 3 b : le maximum est 3, pas 2).
Confondre la valeur du maximum (une ordonnée) avec l’endroit où il est atteint (une abscisse).
Oublier une solution isolée, comme \(x = -1\) dans l’exercice 8.
Associer une droite à une fonction affine en regardant seulement la pente, sans vérifier l’ordonnée à l’origine.

Les exercices 11 à 46 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Un tableau de variation suffit-il pour tracer la courbe exacte ?

Non : il donne les points importants et le sens de variation, mais pas la forme précise entre ces points. C’est pourquoi l’énoncé demande « une courbe susceptible de représenter » la fonction : plusieurs courbes différentes conviennent.

Quelle différence entre maximum et majorant ?

Un maximum est une valeur réellement atteinte par la fonction, en un point précis. Un majorant est seulement un nombre plus grand que toutes les images : 10 est un majorant de \(m\) dans l’exercice 4, mais son maximum est 3.

Faut-il justifier les variations d’une fonction affine en seconde ?

Oui, par le signe du coefficient directeur \(a\) : c’est une propriété du cours qu’il suffit de citer. Une phrase comme « \(a = -2 \lt 0\) donc \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) » est la justification attendue.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : L'étude de fonction : exercices de maths en 2de corrigés en PDF.
Tous les exercices de maths en seconde
Les cours de maths en seconde
Se tester avec les QCM de maths en seconde

Autre corrigé : Équations et inéquations en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
Autre corrigé : Fonction carré et polynômes en seconde : corrigé des exercices 1 à 10
Autre corrigé : La fonction inverse en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10
Autre corrigé : La trigonométrie en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Voter.. post

Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «l'étude de fonctions en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.