Corrigé du brevet de maths 2016 : France

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Sommaire

Ce corrigé du brevet du 22 juin 2016 (France, La Réunion, Antilles-Guyane) traite les sept exercices en détail. Tu y verras comment choisir le bon effectif de référence dans une probabilité, comment mettre un programme de calcul en équation, et quel outil appliquer à chacune des trois figures codées : Pythagore avec le cercle circonscrit, sinus, périmètre du cercle. Les soldes permettent de revoir le coefficient multiplicateur et les formules de tableur. Le terrain communal combine aire d’un triangle rectangle et théorème de Thalès. Les polygones en ficelle mènent à une fonction et à des lectures graphiques, et le vase se règle en comparant le volume intérieur utile au volume des 150 billes.

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2016 : France. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Corrigé de l’exercice 1 : contrôle qualité et probabilités

1. On se limite aux 500 composants de l’usine A, dont 27 sont défectueux. Chaque composant a la même chance d’être choisi : \[p=\dfrac{27}{500}=0{,}054\] La probabilité est \(\dfrac{27}{500}=0{,}054\), soit 5,4 %.

2. Cette fois, on choisit parmi les composants défectueux : il y en a \(27+38=65\), dont 27 viennent de l’usine A. \[p=\dfrac{27}{65}\approx 0{,}415\] La probabilité est \(\dfrac{27}{65}\approx 0{,}42\), soit environ 41,5 %.

3. Dans l’usine A, le pourcentage de défectueux est 5,4 % (question 1), ce qui est bien inférieur à 7 %. Dans l’usine B : \(\dfrac{38}{500}=0{,}076\), soit 7,6 %, ce qui dépasse 7 %. La condition doit être remplie dans chaque usine, donc le contrôle n’est pas satisfaisant à cause de l’usine B.

À retenir : dans un tableau croisé, repère d’abord le groupe dans lequel on tire au hasard : c’est son effectif qui va au dénominateur.

Corrigé de l’exercice 2 : programmes de calcul et équation

1. Avec 2 : \(2\times(-2)=-4\), puis \(-4+13=9\). On obtient bien 9.

2. Si on choisit \(x\), le programme B donne \(3(x-7)\). On résout : \[3(x-7)=9\] \[x-7=3\] \[x=10\] Il faut choisir 10. Vérification : \(10-7=3\) et \(3\times 3=9\).

3. Pour un nombre \(x\), le programme A donne \(-2x+13\) et le programme B donne \(3(x-7)=3x-21\). On cherche \(x\) tel que : \[-2x+13=3x-21\] \[13+21=3x+2x\] \[34=5x\] \[x=\dfrac{34}{5}=6{,}8\] Oui, avec le nombre 6,8 les deux programmes donnent le même résultat. Contrôle : \(-2\times 6{,}8+13=-0{,}6\) et \(3\times(6{,}8-7)=3\times(-0{,}2)=-0{,}6\).

À retenir : pour comparer deux programmes de calcul, traduis chacun par une expression en \(x\), puis résous l’équation qui les égale.

Corrigé de l’exercice 3 : longueurs dans trois figures codées

Figure 1. Le codage indique CB = CJ = JA. Comme BC = 6 cm, on a CJ = JA = 6 cm, donc CA = 12 cm (J est le milieu de [CA]). Le triangle ABC est rectangle en B, d’hypoténuse [CA]. D’après le théorème de Pythagore : \[\text{AB}^2=\text{CA}^2-\text{CB}^2=12^2-6^2=144-36=108\] \[\text{AB}=\sqrt{108}\approx 10{,}39\] Au millimètre près, AB ≈ 10,4 cm.

Figure 2. Le triangle ABC est rectangle en A, d’hypoténuse [CB] = 36 cm. Pour l’angle \(\widehat{ACB}=53^\circ\), le côté [AB] est le côté opposé : on utilise le sinus. \[\sin 53^\circ=\dfrac{\text{AB}}{\text{CB}}\quad\text{donc}\quad \text{AB}=36\times\sin 53^\circ\approx 28{,}75\] Au millimètre près, AB ≈ 28,8 cm.

Figure 3. [AB] est un diamètre, et la longueur d’un cercle vaut \(\pi\times\text{diamètre}\). Donc \(\pi\times\text{AB}=154\) : \[\text{AB}=\dfrac{154}{\pi}\approx 49{,}02\] Au millimètre près, AB ≈ 49,0 cm.

À retenir : lis attentivement le codage d’une figure (segments de même longueur, angle droit) avant de choisir entre Pythagore, la trigonométrie ou une formule de périmètre.

Corrigé de l’exercice 4 : soldes et tableur

1. Baisser un prix de 30 %, c’est le multiplier par \(1-\dfrac{30}{100}=0{,}7\) : \(54\times 0{,}7=37{,}8\). Le prix après réduction est de 37,80 €.

2. a. La réduction vaut 30 % du prix de la ligne 1 (par exemple \(12\times 0{,}3=3{,}60\)). On a pu saisir =B1*0,3 dans B2 (ou =B1*30/100).

2. b. Le prix soldé est le prix initial moins la réduction : =B1-B2 dans B3 (ou =B1*0,7).

3. Si \(p\) est le prix initial, le prix soldé est \(0{,}7p\). On résout \(0{,}7p=42\) : \[p=\dfrac{42}{0{,}7}=60\] Le prix initial était de 60 €. Contrôle : 30 % de 60 € font 18 €, et \(60-18=42\).

À retenir : une baisse de \(t\) % revient à multiplier par \(1-\dfrac{t}{100}\) ; pour retrouver le prix de départ, on divise par ce même coefficient (et on ne rajoute surtout pas 30 %).

Corrigé de l’exercice 5 : aire de jeux et skatepark

1. La zone de jeux PAS est un triangle rectangle en A : ses côtés de l’angle droit [PA] et [AS] servent de base et de hauteur. \[\mathcal{A}_{PAS}=\dfrac{30\times 18}{2}=270\ \text{m}^2\] Un sac couvre environ 140 m² : \(\dfrac{270}{140}\approx 1{,}93\). Un sac ne suffit pas, il en faut 2 (qui couvrent 280 m²). Le budget est \(2\times 13{,}90=27{,}80\), soit 27,80 €.

2. Les droites (AS) et (RC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (PR) : elles sont donc parallèles. Les points P, A, R et P, S, C sont alignés, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles PAS et PRC, avec PR = PA + AR = 40 m : \[\dfrac{\text{PA}}{\text{PR}}=\dfrac{\text{AS}}{\text{RC}}\quad\text{soit}\quad\dfrac{30}{40}=\dfrac{18}{\text{RC}}\] \[\text{RC}=\dfrac{18\times 40}{30}=24\ \text{m}\] Le triangle PRC est rectangle en R : \[\mathcal{A}_{PRC}=\dfrac{40\times 24}{2}=480\ \text{m}^2\] Le skatepark est le triangle PRC privé du triangle PAS : \(480-270=210\). L’aire du skatepark est de 210 m².

À retenir : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles, ce qui ouvre la porte au théorème de Thalès ; l’aire d’une zone « en creux » s’obtient souvent par différence de deux aires.

Corrigé de l’exercice 6 : polygones en ficelle

Partie 1

1. Le morceau n°1 mesure 8 cm : le carré a 4 côtés égaux, chacun mesure \(8\div 4=2\) cm. Le morceau n°2 mesure \(20-8=12\) cm : le triangle équilatéral a 3 côtés égaux de \(12\div 3=4\) cm. Il faut donc tracer un carré de 2 cm de côté et un triangle équilatéral de 4 cm de côté. Pour le triangle : trace un segment de 4 cm, puis deux arcs de cercle de rayon 4 cm centrés à ses extrémités ; leur intersection est le troisième sommet. Voici les deux polygones (ici à échelle réduite) :

2. L’aire du carré est \(2\times 2=4\). Elle vaut 4 cm².

3. Sur le dessin, on mesure la hauteur du triangle issue du sommet du haut : environ 3,5 cm. L’aire d’un triangle est \(\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\) : \[\dfrac{4\times 3{,}5}{2}=7\] L’aire du triangle est d’environ 7 cm². La valeur exacte, \(4\sqrt{3}\approx 6{,}93\) cm², confirme l’estimation ; selon la précision de la mesure (3,4 ou 3,5 cm), on trouve entre 6,8 et 7 cm².

Partie 2

1. Si le morceau n°1 mesure \(x\) cm, le côté du carré mesure \(\dfrac{x}{4}\) cm, donc son aire est : \(\left(\dfrac{x}{4}\right)^2=\dfrac{x^2}{16}\) (en cm²). Contrôle avec la partie 1 : \(\dfrac{8^2}{16}=4\).

2. a. On part de l’aire 14 sur l’axe vertical, on rejoint horizontalement la courbe B (celle du triangle), puis on descend sur l’axe horizontal : on lit environ 3 cm.

2. b. Les deux aires sont égales au point où les courbes A et B se coupent. Son abscisse se lit environ 9,4 cm (les deux aires valent alors environ 5,5 cm²).

À retenir : pour lire un antécédent sur un graphique, pars de la valeur sur l’axe des ordonnées, rejoins la bonne courbe puis descends vers l’axe des abscisses ; une égalité entre deux fonctions se lit au point d’intersection des courbes.

Corrigé de l’exercice 7 : le vase et les billes

Il faut comparer le volume disponible dans le vase avec celui occupé par les billes plus un litre d’eau.

Volume intérieur du vase. L’intérieur est un pavé droit. Sa base est un carré de côté \(9-2\times 0{,}2=8{,}6\) cm (on retire l’épaisseur des deux bords) et sa hauteur vaut \(21{,}7-1{,}7=20\) cm (on retire l’épaisseur du fond) : \[V_{\text{vase}}=8{,}6\times 8{,}6\times 20=1\,479{,}2\ \text{cm}^3\]

Volume des billes. Le rayon d’une bille est \(1{,}8\div 2=0{,}9\) cm : \[V_{\text{bille}}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times 0{,}9^3=0{,}972\pi\approx 3{,}054\ \text{cm}^3\] \[V_{\text{billes}}=150\times 0{,}972\pi=145{,}8\pi\approx 458{,}0\ \text{cm}^3\]

Place restante. \[1\,479{,}2-458{,}0\approx 1\,021{,}2\ \text{cm}^3\] Or 1 litre = 1 dm³ = 1 000 cm³, et \(1\,021{,}2\gt 1\,000\). Antoine peut ajouter un litre d’eau colorée sans débordement (il reste environ 21 cm³ de marge).

À retenir : pour un récipient, calcule le volume intérieur en retirant les épaisseurs des parois ; pense à la conversion 1 L = 1 000 cm³ avant de comparer.

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