Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie d’Aix-Marseille

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Sommaire

Ce corrigé du brevet 2000 d’Aix-Marseille détaille chaque réponse comme en classe. Tu verras comment la priorité de la multiplication simplifie le calcul de A, pourquoi l’identité \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) fait disparaître les racines de B, et comment un facteur commun mène à une équation produit nul. Le système des tarifs de spectacles est interprété puis résolu par substitution. En géométrie, le sinus donne un angle, la réciproque de Thalès prouve un parallélisme et les angles alternes-internes concluent ; la section d’une sphère se construit au compas avant le calcul de son rayon. Le problème combine réciproque de Pythagore, Thalès et aires exprimées en fonction de x jusqu’à une valeur exacte \(\dfrac{16}{3}\).

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie d’Aix-Marseille. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Marseille 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Marseille 2000 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Fraction et racines » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Factorisation » (exercice 2). Puis la correction reprend « Système des spectacles » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Sinus et Thalès » (exercice 1 de géométrie). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Section d’une sphère » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, le corrigé explique « Triangle ABC rectangle » (partie 1). Puis la correction reprend « Cas CF = 4 cm » (partie 2). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Aires en fonction de x » (partie 3).

Ainsi, le corrigé corrigé Marseille 2000 te fait revoir les racines carrées, les équations, les systèmes d’équations, la trigonométrie et le théorème de Thalès, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Marseille 2000) : fraction et racines carrées

1. La multiplication passe avant l’addition : \(\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{15}\).

\[A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{5}{15}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3\times 3}{3\times 5}\]

Donc \(A=\dfrac{3}{5}\), fraction irréductible.

2. Ensuite, on reconnaît l’identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) avec \(a=5\sqrt{2}\) et \(b=7\).

\[B=\left(5\sqrt{2}\right)^2-7^2=25\times 2-49=50-49\]

Donc \(B=1\).

À retenir : \(\left(k\sqrt{a}\right)^2=k^2\times a\) ; et un produit du type \((a-b)(a+b)\) avec des racines se transforme souvent en entier.

Corrigé de l’exercice 2 : factorisation et équation produit nul

1. Le facteur \((2x-3)\) est commun aux deux termes, puisque \((2x-3)^2=(2x-3)(2x-3)\).

\[D=(2x-3)\left[(5x+4)+(2x-3)\right]=(2x-3)(5x+4+2x-3)\]

Donc \(D=(2x-3)(7x+1)\).

2. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

\(2x-3=0\) donne \(x=\dfrac{3}{2}\) ; \(7x+1=0\) donne \(x=-\dfrac{1}{7}\).

L’équation a deux solutions : \(\dfrac{3}{2}\) et \(-\dfrac{1}{7}\).

À retenir : pour factoriser, repère d’abord le facteur commun, écris-le devant un grand crochet, puis recopie ce qu’il reste de chaque terme.

Corrigé de l’exercice 3 (Marseille 2000) : système et tarifs de spectacles

1. \(x\) est le prix, en francs, d’un spectacle au tarif A et \(y\) le prix, en francs, d’un spectacle au tarif B.

2. L’équation \(x+3y=480\) traduit l’achat de Laura : 1 spectacle au tarif A et 3 au tarif B lui coûtent 480 F.

3. L’équation \(2x+y=410\) traduit l’achat de Michel : 2 spectacles au tarif A et 1 au tarif B lui coûtent 410 F.

4. Puis on isole \(y\) dans la seconde équation : \(y=410-2x\). On remplace dans la première :

\[x+3(410-2x)=480 \iff x+1\,230-6x=480 \iff -5x=-750 \iff x=150\]

Puis \(y=410-2\times 150=410-300=110\).

Vérification : \(150+3\times 110=150+330=480\) et \(2\times 150+110=410\). La solution du système est \(x=150\) et \(y=110\) : un spectacle coûte 150 F au tarif A et 110 F au tarif B.

À retenir : la substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, puis à remplacer dans l’autre équation.

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : sinus, Thalès et angles alternes-internes

1. Le triangle OKJ est rectangle en K : son hypoténuse est [OJ]. Pour l’angle \(\widehat{OJK}\), le côté opposé est [OK].

\[\sin\widehat{OJK}=\dfrac{OK}{OJ}=\dfrac{2}{3}\]

La calculatrice donne \(\widehat{OJK}\approx 41{,}8^\circ\), donc \(\widehat{OJK}\approx 42^\circ\).

2. Alors on calcule les deux rapports :

\[\dfrac{OK}{OL}=\dfrac{2}{3{,}6}=\dfrac{20}{36}=\dfrac{5}{9} \qquad \dfrac{OJ}{ON}=\dfrac{3}{5{,}4}=\dfrac{30}{54}=\dfrac{5}{9}\]

Les rapports sont égaux, et les points K, O, L d’une part, J, O, N d’autre part sont alignés dans le même ordre (O est entre K et L, et entre J et N). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (JK) et (LN) sont parallèles.

3. Les droites (JK) et (LN) sont parallèles et la droite (JN) les coupe. Les angles \(\widehat{OJK}\) et \(\widehat{ONL}\) sont situés de part et d’autre de la sécante (JN), entre les deux parallèles : ce sont des angles alternes-internes. Or deux angles alternes-internes formés par deux droites parallèles sont égaux, donc \(\widehat{OJK}=\widehat{ONL}\).

À retenir : dans un triangle rectangle, choisis cosinus, sinus ou tangente selon les deux longueurs connues : ici l’opposé et l’hypoténuse, donc le sinus.

Corrigé de l’exercice 2 : section d’une sphère par un plan

1. On connaît OH = 6 cm, l’angle droit en H, et OA = 10 cm, car A est sur la sphère de rayon 10 cm. La construction se fait en trois étapes :

trace un segment [OH] de 6 cm ;
trace la perpendiculaire à (OH) passant par H (équerre) ;
trace au compas un arc de centre O et de rayon 10 cm : il coupe la perpendiculaire en A.

2. Le rayon du cercle (C) est HA. Le triangle OHA est rectangle en H, d’hypoténuse [OA]. D’après le théorème de Pythagore :

\[OA^2=OH^2+HA^2 \quad\text{donc}\quad HA^2=10^2-6^2=100-36=64\]

Le rayon du cercle (C) est HA = 8 cm. Tu peux le contrôler sur ta construction en mesurant [HA].

À retenir : la section d’une sphère par un plan est un cercle ; son rayon, la distance OH et le rayon de la sphère forment un triangle rectangle en H.

Problème

Corrigé de la partie 1 (Marseille 2000) : triangle rectangle et parallèles

1. Le plus long côté est [AC]. Ensuite, on compare \(AC^2\) à la somme des carrés des deux autres côtés :

\[AC^2=20^2=400 \qquad AB^2+BC^2=12^2+16^2=144+256=400\]

Puis on a \(AC^2=AB^2+BC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

2. Les côtés de l’angle droit sont [AB] et [BC] :

\[\text{aire}(ABC)=\dfrac{AB\times BC}{2}=\dfrac{12\times 16}{2}=96\]

L’aire du triangle ABC est 96 cm².

3. D’après la question 1, (AB) est perpendiculaire à (BC). Par construction, (EF) est aussi perpendiculaire à (BC). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Donc (EF) est parallèle à (AB).

À retenir : la réciproque de Pythagore se rédige en calculant séparément le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés.

Corrigé de la partie 2 : le cas CF = 4 cm

1. Les points C, F, B sont alignés, les points C, E, A sont alignés et les droites (EF) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{EF}{AB} \quad\text{soit}\quad \dfrac{4}{16}=\dfrac{EF}{12}\]

\[EF=\dfrac{4\times 12}{16}=\dfrac{48}{16}=3\]

Ensuite, on a bien EF = 3 cm.

2. Dans le triangle EBC, on prend [BC] comme base. La hauteur correspondante est [EF], puisque (EF) est perpendiculaire à (BC).

\[\text{aire}(EBC)=\dfrac{BC\times EF}{2}=\dfrac{16\times 3}{2}=24\]

L’aire du triangle EBC est 24 cm².

À retenir : la hauteur d’un triangle n’est pas forcément un de ses côtés : ici c’est le segment [EF], perpendiculaire à la base [BC].

Corrigé de la partie 3 : aires en fonction de x

1. Le même raisonnement qu’à la partie 2 (théorème de Thalès avec \((EF)\parallel(AB)\)) donne :

\[\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{EF}{AB} \quad\text{soit}\quad \dfrac{x}{16}=\dfrac{EF}{12} \quad\text{donc}\quad EF=\dfrac{12x}{16}=\dfrac{3}{4}x\]

Puis on a bien \(EF=\dfrac{3}{4}x\).

2. Base [BC], hauteur [EF] :

\[\text{aire}(EBC)=\dfrac{16\times\dfrac{3}{4}x}{2}=\dfrac{12x}{2}=6x\]

L’aire du triangle EBC est bien \(6x\) cm². (Pour \(x=4\), on retrouve 24 cm² comme dans la partie 2.)

3. On résout \(6x=33\), d’où \(x=\dfrac{33}{6}=5{,}5\). L’aire de EBC vaut 33 cm² pour \(x=5{,}5\) cm.

4. Le point E est sur le segment [AC], donc le triangle ABC est partagé par [BE] en deux triangles EAB et EBC :

\[\text{aire}(EAB)=\text{aire}(ABC)-\text{aire}(EBC)=96-6x\]

L’aire du triangle EAB est \(96-6x\) cm². (Autre méthode : dans EAB, de base [AB], la hauteur issue de E est la distance BF \(=16-x\), et \(\dfrac{12\times(16-x)}{2}=96-6x\).)

Alors on veut que l’aire de EAB soit le double de celle de EBC :

\[96-6x=2\times 6x \iff 96=18x \iff x=\dfrac{96}{18}=\dfrac{16}{3}\]

La valeur exacte cherchée est \(x=\dfrac{16}{3}\) cm (environ 5,33 cm). Vérification : \(6\times\dfrac{16}{3}=32\) et \(96-32=64=2\times 32\).

À retenir : quand une figure est découpée en deux, l’aire d’un morceau s’obtient souvent par différence avec l’aire totale ; une « valeur exacte » se donne sous forme de fraction, pas d’un arrondi.

Retour à l’énoncé : Sujet du brevet de maths 2000 : Académie d’Aix-Marseille.

Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Marseille 2000

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Quant aux racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Dans les questions sur les équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Pour les systèmes d’équations, choisis la substitution ou la combinaison selon les coefficients, puis vérifie le couple trouvé dans les deux équations. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de racine carrée, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Marseille 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Marseille 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Marseille 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les racines carrées, les équations, les systèmes d’équations et la trigonométrie. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Marseille 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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