Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Grenoble

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Grenoble. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Grenoble 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Grenoble 2000 est découpé en 9 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Fractions, racines et factorisation » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Trafic et histogramme » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Musée du jouet » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Triangle et translation » (exercice 1 de géométrie). En outre, la correction reprend « Thalès et réciproque » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Jouet cône et demi-boule » (exercice 3 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Aire et masse de la boîte » (partie A). Par ailleurs, le corrigé explique « Coussin et fonction affine » (partie B). Enfin, la correction reprend « Compartiments de la boîte » (partie C).

Ainsi, le corrigé corrigé Grenoble 2000 te fait revoir les diviseurs communs, les racines carrées, le calcul littéral, les pourcentages et les équations, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Grenoble 2000) : fractions, racines et identité remarquable

1. a. La somme des chiffres de 117 est \(1+1+7=9\) et celle de 63 est \(6+3=9\) : les deux nombres sont divisibles par 9. Le numérateur et le dénominateur ont donc un diviseur commun autre que 1, la fraction \(A\) n’est pas irréductible.

b. Ensuite, on divise en haut et en bas par 9 : \(117=9\times 13\) et \(63=9\times 7\).

\[A=\dfrac{9\times 13}{9\times 7}=\dfrac{13}{7}\]

Donc \(A=\dfrac{13}{7}\), irréductible car 13 et 7 sont deux nombres premiers différents.

c. Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé :

\[A-B=\dfrac{13}{7}-\left(-\dfrac{8}{7}\right)=\dfrac{13}{7}+\dfrac{8}{7}=\dfrac{21}{7}=3\]

Donc \(A-B=3\), qui est bien un nombre entier.

2. a. Tu cherches un carré parfait dans chaque radicande : \(27=9\times 3\) et \(75=25\times 3\).

\[C=\sqrt{9}\times\sqrt{3}-3\times\sqrt{25}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\times 5\sqrt{3}=3\sqrt{3}-15\sqrt{3}\]

Donc \(C=-12\sqrt{3}\), avec \(a=-12\) et \(b=3\).

b. Le carré d’un produit est le produit des carrés, et \((\sqrt{3})^2=3\) :

\[C^2=(-12)^2\times(\sqrt{3})^2=144\times 3=432\]

Donc \(C^2=432\), un nombre entier.

3. a. Avec l’identité \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :

\[D=9x^2-30x+25-16\]

Donc \(D=9x^2-30x+9\).

b. Comme \(16=4^2\), l’expression est une différence de deux carrés \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=3x-5\) et \(b=4\).

\[D=(3x-5-4)(3x-5+4)\]

Donc \(D=(3x-9)(3x-1)\). Contrôle : \((3x-9)(3x-1)=9x^2-3x-27x+9=9x^2-30x+9\).

c. La forme factorisée est la plus rapide : pour \(x=\dfrac{1}{3}\), le facteur \(3x-1\) vaut \(3\times\dfrac{1}{3}-1=0\).

\[D=\left(3\times\dfrac{1}{3}-9\right)\times 0=0\]

Donc pour \(x=\dfrac{1}{3}\), \(D=0\). On le retrouve avec la forme développée : \(9\times\dfrac{1}{9}-30\times\dfrac{1}{3}+9=1-10+9=0\).

Corrigé de l’exercice 2 : statistiques sur le trafic

1. Toutes les tranches ont la même amplitude (1 heure) : chaque rectangle a la même largeur et sa hauteur est proportionnelle au nombre de véhicules.

2. La fréquence d’une classe est son effectif divisé par l’effectif total :

\[f=\dfrac{900}{6\,400}=0{,}140\,625\approx 0{,}14\]

La fréquence est environ 0,14, soit 14 % des véhicules.

3. Entre 16 h et 20 h, on additionne les quatre premières tranches : \(1\,100+2\,000+1\,600+900=5\,600\) véhicules.

\[\dfrac{5\,600}{6\,400}=0{,}875\]

87,5 % des véhicules ont quitté la ville entre 16 h et 20 h. Vérification : les deux dernières tranches regroupent \(450+350=800\) véhicules, soit \(\dfrac{800}{6\,400}=12{,}5\ \%\), et \(87{,}5+12{,}5=100\).

Corrigé de l’exercice 3 (Grenoble 2000) : le musée du jouet

1. La réduction sur le billet enfant est de \(50-35=15\) F. Puis on la compare au prix adulte :

\[\dfrac{15}{50}=0{,}30\]

La réduction est de 30 %. Contrôle : 30 % de 50 F font 15 F, et \(50-15=35\) F.

2. Note \(a\) le nombre d’adultes. Il y a 125 visiteurs en tout, donc \(125-a\) enfants. La recette donne l’équation :

\[50a+35(125-a)=5\,125\]

\[50a+4\,375-35a=5\,125\quad\text{soit}\quad 15a=750\quad\text{donc}\quad a=50\]

Il y a donc \(125-50=75\) enfants : 50 adultes et 75 enfants ont visité le musée. Vérification : \(50\times 50+75\times 35=2\,500+2\,625=5\,125\) F.

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : un carré dans un repère

1. Les points A, B, C (et le point E de la question 4) sont placés sur la figure ci-dessous.

2. Dans un repère orthonormé, \(AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}\).

\[AC=\sqrt{(0-(-2))^2+(-1-2)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\]

Donc \(AC=\sqrt{13}\).

3. Alors on a \(AC=BC=\sqrt{13}\) : le triangle a deux côtés égaux, il est isocèle en C.

Le plus grand côté est [AB]. Ensuite, on compare : \(AB^2=26\) et \(AC^2+BC^2=13+13=26\). L’égalité \(AB^2=AC^2+BC^2\) permet d’appliquer la réciproque du théorème de Pythagore : le triangle est rectangle en C.

Conclusion : ABC est rectangle et isocèle en C.

4. La translation qui transforme C en B correspond au déplacement de C vers B : 3 unités vers la droite et 2 vers le haut (\(\overrightarrow{CB}\) a pour coordonnées \((3\ ;\ 2)\)). Puis on applique ce déplacement à A :

\[x_E=-2+3=1\qquad y_E=2+2=4\]

Donc E(1 ; 4).

5. Par définition de la translation, \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CB}\) : le quadrilatère ACBE est un parallélogramme. Ce parallélogramme a un angle droit en C (question 3), c’est donc un rectangle ; il a de plus deux côtés consécutifs égaux, CA = CB, c’est donc aussi un losange. Un quadrilatère à la fois rectangle et losange est un carré : ACBE est un carré.

Corrigé de l’exercice 2 (Grenoble 2000) : Thalès et sa réciproque

1. E est sur [AB], D est sur [AC] et (ED) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :

\[\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}\]

Ici \(AB=AE+EB=3+2=5\). Tu utilises l’égalité qui contient ED :

\[\dfrac{3}{5}=\dfrac{ED}{3}\quad\text{donc}\quad ED=\dfrac{3\times 3}{5}=\dfrac{9}{5}=1{,}8\]

Ensuite, on a bien ED = 1,8 cm.

2. F est sur la demi-droite [DE) avec DF = 3 : comme DE = 1,8, F est au-delà de E et \(EF=3-1{,}8=1{,}2\).

Les droites (AB) et (DF) se coupent en E. Les points A, E, B d’une part, et D, E, F d’autre part, sont alignés dans le même ordre (E au milieu). Puis on compare les rapports :

\[\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{3}{2}=1{,}5\qquad\dfrac{ED}{EF}=\dfrac{1{,}8}{1{,}2}=1{,}5\]

Les deux rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AD) et (BF) sont parallèles.

Corrigé de l’exercice 3 : le jouet cône et demi-boule

1. a. O est le milieu du diamètre [BC], donc \(OB=6\div 2=3\) cm. Pour construire AOB en vraie grandeur : trace [OB] de 3 cm, trace la perpendiculaire à (OB) en O, puis prends le compas avec un écartement de 7 cm, pointe en B : l’arc coupe la perpendiculaire en A.

b. Le triangle AOB est rectangle en O, d’hypoténuse [AB]. D’après le théorème de Pythagore :

\[AB^2=AO^2+OB^2\quad\text{donc}\quad AO^2=7^2-3^2=49-9=40\]

\[AO=\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10}\]

Donc \(AO=2\sqrt{10}\) cm (environ 6,32 cm).

c. Dans le triangle AOB rectangle en O, pour l’angle \(\widehat{BAO}\), le côté opposé est [OB] et l’hypoténuse est [AB] :

\[\sin\widehat{BAO}=\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{3}{7}\]

La valeur exacte est \(\sin\widehat{BAO}=\dfrac{3}{7}\). La calculatrice (\(\sin^{-1}\), mode degrés) donne \(\widehat{BAO}\approx 25{,}4^\circ\), soit \(\widehat{BAO}\approx 25^\circ\) au degré près.

2. Le cône et la demi-boule ont le même rayon \(r=3\) cm.

Volume du cône : \(V_1=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 9\times 2\sqrt{10}=6\sqrt{10}\,\pi\).

Volume de la demi-boule : la moitié de \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\), soit \(V_2=\dfrac{2}{3}\times\pi\times 27=18\pi\).

\[V=V_1+V_2=\left(18+6\sqrt{10}\right)\pi\approx 59{,}6+56{,}5\approx 116{,}2\]

Le volume du jouet est environ 116 cm³.

Problème

Corrigé de la partie A (Grenoble 2000) : aire et masse de la boîte

1. a. Dans un parallélépipède rectangle, toutes les faces sont des rectangles. Les quatre faces latérales sont des rectangles identiques de 15 cm sur 6 cm (le côté de la base par la hauteur).

b. La boîte n’a pas de couvercle : elle compte le fond carré et les quatre faces latérales.

\[\mathcal{A}=15\times 15+4\times(15\times 6)=225+360=585\]

L’aire totale est bien de 585 cm².

2. Le métal forme une plaque de 585 cm² d’aire et de 0,3 mm d’épaisseur. Attention aux unités : \(0{,}3\ \text{mm}=0{,}03\ \text{cm}\).

\[V_{\text{métal}}=585\times 0{,}03=17{,}55\ \text{cm}^3\]

Chaque centimètre cube pèse 7 g : \(17{,}55\times 7=122{,}85\).

La boîte a une masse de 122,85 g.

Corrigé de la partie B : le coussin et la fonction affine

1. \(V=15\times 15\times 6=1\,350\). Le volume de la boîte est 1 350 cm³.

2. a. Le coussin a une base de 15 cm sur 15 cm et une hauteur \(x\) : son volume est \(225x\) cm³.

b. Les bonbons occupent ce qui reste de la boîte : \(1\,350-225x\) cm³.

3. a. La représentation de \(f\) est un segment de droite. Deux points suffisent : \(f(0)=1\,350\) et \(f(6)=1\,350-1\,350=0\). On trace le segment joignant (0 ; 1 350) à (6 ; 0), avec 2 cm par unité en abscisse et 1 cm pour 100 en ordonnée.

b. La partie à colorier est le morceau de segment dont les abscisses vont de 0,5 à 2,5 : elle va du point (0,5 ; 1 237,5) au point (2,5 ; 787,5) (en rouge ci-dessus).

c. \(f(0{,}5)=1\,350-225\times 0{,}5=1\,350-112{,}5=1\,237{,}5\) et \(f(2{,}5)=1\,350-225\times 2{,}5=1\,350-562{,}5=787{,}5\).

Donc \(f(0{,}5)=1\,237{,}5\) et \(f(2{,}5)=787{,}5\).

d. Le coefficient \(-225\) est négatif, donc \(f\) est décroissante : plus le coussin est épais, moins il reste de place. Le volume minimal correspond au coussin le plus épais, \(x=2{,}5\). Dans la pratique, les bonbons disposent au minimum de 787,5 cm³.

Corrigé de la partie C : les trois compartiments

Longueur EF. Sur la vue de dessus, l’angle en C est droit, avec CE = 9 et CF = 12. Dans le triangle CEF rectangle en C, le théorème de Pythagore donne :

\[EF^2=CE^2+CF^2=81+144=225\quad\text{donc}\quad EF=\sqrt{225}=15\]

Donc EF = 15 cm.

1. Chaque séparation est verticale : c’est un rectangle dont la longueur est le segment tracé sur le fond et la largeur la hauteur de la boîte. Pour la seconde, le triangle GAH est rectangle en A avec GA = 9 et AH = 12, donc de la même façon GH = 15. Les deux séparations sont des rectangles de 15 cm sur 6 cm.

2. a. Le prisme a pour base le triangle CEF et pour hauteur la hauteur de la boîte, 6 cm.

\[\mathcal{A}_{CEF}=\dfrac{CE\times CF}{2}=\dfrac{9\times 12}{2}=54\qquad V=54\times 6=324\]

Le prisme de base CEF a bien un volume de 324 cm³.

b. De même, le prisme de base GAH a les mêmes dimensions (9, 12 et 6), donc le même volume, 324 cm³. Le compartiment central est ce qui reste de la boîte :

\[V_{\text{central}}=1\,350-2\times 324=1\,350-648=702\]

Le compartiment central a un volume de 702 cm³.

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Bien réviser avec le corrigé corrigé Grenoble 2000

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Pour les diviseurs communs, décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis garde les facteurs communs. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant au calcul littéral, repère d’abord la forme de l’expression (produit, carré, différence de deux carrés), puis choisis l’identité adaptée. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de plus grand commun diviseur, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Grenoble 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Grenoble 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Grenoble 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les diviseurs communs, les racines carrées, le calcul littéral et les pourcentages. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Grenoble 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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