Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Nantes

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Nantes. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Nantes 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Nantes 2000 est découpé en 11 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Puissances de 10 » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Nombres premiers entre eux » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Racines carrées » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Kayaks et pagaies » (exercice 4). En outre, la correction reprend « Développer et factoriser » (exercice 5).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Rotation et carré » (exercice 1 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Route dans un champ » (exercice 2 de géométrie). Par ailleurs, le corrigé explique « Boîte de chocolats » (exercice 3 de géométrie). En outre, la correction reprend « Triangle dans un cercle » (première partie). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Aire en fonction de x » (deuxième partie). Enfin, tu trouves la solution rédigée de « Graphique et inéquation » (troisième partie).

Ainsi, le corrigé corrigé Nantes 2000 te fait revoir les puissances de 10, les racines carrées, les systèmes d’équations, les équations et les transformations du plan, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Nantes 2000) : puissances de 10

On regroupe d’un côté les nombres « ordinaires », de l’autre les puissances de 10, en utilisant \(10^m\times 10^n=10^{m+n}\) et \(\dfrac{10^m}{10^n}=10^{m-n}\).

\[A=\dfrac{1{,}5\times 4}{25}\times\dfrac{10^{7}\times 10^{-5}}{10^{2}}=\dfrac{6}{25}\times\dfrac{10^{2}}{10^{2}}=0{,}24\times 1\]

Donc \(A=0{,}24\).

Corrigé de l’exercice 2 : nombres premiers entre eux

1. Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Ensuite, on décompose : \(65=5\times 13\) et \(42=2\times 3\times 7\). Les diviseurs premiers de 65 (5 et 13) ne divisent pas 42, donc 65 et 42 n’ont aucun diviseur commun autre que 1. 65 et 42 sont premiers entre eux.

Tu peux aussi le vérifier avec l’algorithme d’Euclide : \(65=42\times 1+23\), \(42=23\times 1+19\), \(23=19\times 1+4\), \(19=4\times 4+3\), \(4=3\times 1+1\) ; le dernier reste non nul est 1, donc PGCD(65 ; 42) = 1.

2. Puis on cherche un facteur commun à 520 et 336 : \(520=8\times 65\) et \(336=8\times 42\).

\[\dfrac{520}{336}=\dfrac{8\times 65}{8\times 42}=\dfrac{65}{42}\]

On a bien \(\dfrac{520}{336}=\dfrac{65}{42}\), et d’après la question 1 cette fraction est irréductible.

Corrigé de l’exercice 3 (Nantes 2000) : racines carrées

D’abord, on fait apparaître \(\sqrt{5}\) dans chaque racine en cherchant un carré parfait : \(20=4\times 5\) et \(125=25\times 5\).

\[\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}\qquad 2\sqrt{125}=2\times\sqrt{25}\times\sqrt{5}=2\times 5\sqrt{5}=10\sqrt{5}\]

\[A=2\sqrt{5}-12\sqrt{5}+10\sqrt{5}=(2-12+10)\sqrt{5}=0\times\sqrt{5}\]

Donc \(A=0\).

Corrigé de l’exercice 4 : système d’équations

Tout d’abord, on note \(k\) le prix d’un kayak et \(p\) le prix d’une pagaie, en francs. Les deux commandes se traduisent par le système :

\[3k+5p=8\,500\qquad\text{et}\qquad 2k+3p=5\,600\]

Méthode par combinaison : on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3 pour avoir le même nombre de kayaks.

\[6k+10p=17\,000\qquad\text{et}\qquad 6k+9p=16\,800\]

En soustrayant membre à membre : \(10p-9p=17\,000-16\,800\), donc \(p=200\).

Alors on remplace dans la première équation : \(3k+5\times 200=8\,500\), soit \(3k=7\,500\) et \(k=2\,500\).

Vérification avec la seconde commande : \(2\times 2\,500+3\times 200=5\,000+600=5\,600\). C’est correct.

Un kayak coûte 2 500 francs et une pagaie 200 francs.

Corrigé de l’exercice 5 (Nantes 2000) : développer, factoriser, résoudre

1. On développe le produit par double distributivité, puis on regroupe les termes de même degré.

\[(3x+5)(2x-1)=6x^2-3x+10x-5=6x^2+7x-5\]

\[E=6x^2+7x-5+9x^2-25\]

Donc \(E=15x^2+7x-30\).

2. \(9x^2-25\) est de la forme \(a^2-b^2\) avec \(a=3x\) et \(b=5\). L’identité \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) donne \(9x^2-25=(3x-5)(3x+5)\).

Ensuite, on remplace dans \(E\) : le facteur \((3x+5)\) apparaît deux fois.

\[E=(3x+5)(2x-1)+(3x+5)(3x-5)=(3x+5)\left[(2x-1)+(3x-5)\right]\]

Donc \(E=(3x+5)(5x-6)\). En redéveloppant, \(15x^2-18x+25x-30=15x^2+7x-30\) : on retrouve bien la question 1.

3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

\[3x+5=0\iff x=-\dfrac{5}{3}\qquad\qquad 5x-6=0\iff x=\dfrac{6}{5}\]

L’équation a deux solutions : \(-\dfrac{5}{3}\) et \(\dfrac{6}{5}\) (soit 1,2).

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : rotation, triangle équilatéral et carré

1. Construction : on trace au rapporteur la demi-droite d’origine A qui fait un angle de 60° avec [AD], en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre, c’est-à-dire vers C. Au compas, on reporte sur cette demi-droite la longueur AD : le point obtenu est B, avec AB = AD et \(\widehat{DAB}=60^\circ\).

2. Une rotation conserve les distances : A est le centre, donc AB = AD. Le triangle ABD est donc isocèle en A. Ses deux angles à la base sont égaux et valent \(\dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\). Ses trois angles mesurent 60°, donc ABD est équilatéral.

3. On place E en partant de D et en reproduisant le déplacement de A vers C : même direction, même sens, même longueur. Comme \(\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AC}\), le quadrilatère ACED est un parallélogramme. Ce parallélogramme a un angle droit en A (le triangle ACD est rectangle en A) : c’est un rectangle. Il a aussi deux côtés consécutifs égaux, AC = AD (triangle isocèle en A) : c’est un losange. Un quadrilatère à la fois rectangle et losange est un carré, donc ACED est un carré.

Corrigé de l’exercice 2 (Nantes 2000) : Pythagore et Thalès dans un champ

1. ABCD est un rectangle, donc le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :

\[AC^2=AB^2+BC^2=100^2+40^2=10\,000+1\,600=11\,600\]

\[AC=\sqrt{11\,600}\approx 107{,}703\ \text{m}\]

Au décimètre près (un décimètre = 0,1 m), AC ≈ 107,7 m.

2. M est sur le segment [AB], donc \(MB=AB-AM=100-24\) : MB = 76 m.

3. Dans le triangle ABC, M est sur [BA], N est sur [BC], et les droites (MN) et (AC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{MN}{AC}\quad\text{donc}\quad\dfrac{76}{100}=\dfrac{BN}{40}\]

\[BN=\dfrac{76\times 40}{100}=30{,}4\]

Donc BN = 30,4 m.

Corrigé de l’exercice 3 : boîte de chocolats pyramidale

1. Le volume d’une pyramide vaut \(\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}\). La base est un carré de côté 30 cm, d’aire \(30^2=900\ \text{cm}^2\), et la hauteur est SO = 18 cm.

\[V=\dfrac{900\times 18}{3}=5\,400\]

Le volume de la pyramide SABCD est 5 400 cm³.

2. La section par un plan parallèle à la base donne une pyramide SEFGH qui est une réduction de SABCD. Le coefficient de réduction est le rapport des hauteurs :

\[k=\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\]

Dans une réduction de rapport \(k\), les volumes sont multipliés par \(k^3\) :

\[V^{\prime}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times 5\,400=\dfrac{5\,400}{27}=200\]

Le volume de la pyramide SEFGH est 200 cm³. Contrôle : la base EFGH a pour côté \(30\times\dfrac{1}{3}=10\) cm, et \(\dfrac{10^2\times 6}{3}=200\).

3. Le récipient est la grande pyramide privée du couvercle :

\[5\,400-200=5\,200\]

De même, le récipient contenant les chocolats a un volume de 5 200 cm³.

Problème

Corrigé de la première partie (Nantes 2000) : triangle inscrit dans un demi-cercle

1. On trace au compas un cercle de centre O et de rayon 3 cm, puis un diamètre [AB] (6 cm, passant par O). À l’équerre, on trace en O la perpendiculaire à (AB) : elle coupe le cercle en C, et [OC] est le rayon demandé.

2. Le triangle ACB est inscrit dans le cercle et l’un de ses côtés, [AB], est un diamètre : d’après la propriété du cercle circonscrit, il est rectangle en C. De plus, la droite (OC) est perpendiculaire à [AB] en son milieu O : c’est la médiatrice de [AB]. C est sur cette médiatrice, donc CA = CB. Le triangle ACB est rectangle et isocèle en C.

Vérification par Pythagore dans le triangle AOC rectangle en O : \(CA^2=3^2+3^2=18\) ; de même \(CB^2=18\), et \(CA^2+CB^2=36=AB^2\).

3. On prend [AB] comme base : la hauteur correspondante est [OC], puisque (OC) est perpendiculaire à (AB).

\[\mathcal{A}_{ACB}=\dfrac{AB\times OC}{2}=\dfrac{6\times 3}{2}=9\]

L’aire du triangle ACB est 9 cm².

Corrigé de la deuxième partie : l’aire en fonction de x

1. M appartient à la droite (OC), médiatrice de [AB]. Il est donc à égale distance de A et de B : MA = MB. Le triangle AMB est isocèle en M. (Si M est en O, les trois points sont alignés et le triangle est aplati ; si M est en C, on retrouve le triangle rectangle isocèle de la première partie.)

2. a. M se déplace sur [OC], de C (où CM = 0) jusqu’à O (où CM = OC = 3). Donc \(0\leqslant x\leqslant 3\).

b. M est sur [OC], donc OM = OC − CM, soit \(OM=3-x\).

c. Dans le triangle AMB, on prend [AB] comme base. La hauteur issue de M est [MO], car (MO) est perpendiculaire à (AB).

\[\mathcal{A}(x)=\dfrac{AB\times OM}{2}=\dfrac{6(3-x)}{2}\]

C’est bien la formule demandée. En simplifiant, \(\mathcal{A}(x)=3(3-x)=9-3x\), qui s’écrit \(ax+b\) avec \(a=-3\) et \(b=9\) : \(\mathcal{A}(x)=-3x+9\) est une fonction affine de \(x\).

3. a. On résout \(9-3x=3\) : \(-3x=3-9=-6\), donc \(x=2\). Cette valeur est bien comprise entre 0 et 3. L’aire vaut 3 cm² pour \(x=2\), c’est-à-dire CM = 2 cm et OM = 1 cm.

b. Pour \(x=2\), on a \(\mathcal{A}_{AMB}=3\) cm². Dans le triangle AMC, on prend [CM] comme base (CM = 2 cm) : la hauteur issue de A est [AO], car (AO) est perpendiculaire à (OC), et AO = 3 cm.

\[\mathcal{A}_{AMC}=\dfrac{CM\times AO}{2}=\dfrac{2\times 3}{2}=3\]

De même, dans le triangle BMC, la hauteur issue de B est [BO], avec BO = 3 cm : \(\mathcal{A}_{BMC}=\dfrac{2\times 3}{2}=3\).

Les trois triangles ont donc la même aire, 3 cm². Cohérence : ils recouvrent exactement le triangle ACB, et \(3+3+3=9\) cm².

Corrigé de la troisième partie : représentation graphique et inéquation

1. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite : deux points suffisent. Pour \(x=0\), \(9-3\times 0=9\) ; pour \(x=3\), \(9-3\times 3=0\). On trace la droite passant par (0 ; 9) et (3 ; 0). Dans le problème, seules les valeurs de \(x\) entre 0 et 3 ont un sens, d’où le segment ci-dessous.

2. Puis on isole \(x\). Attention : en divisant par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.

\[9-3x\gt 4{,}5\iff -3x\gt 4{,}5-9\iff -3x\gt -4{,}5\iff x\lt\dfrac{-4{,}5}{-3}\iff x\lt 1{,}5\]

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à 1,5.

3. L’aire de AMB est \(9-3x\). On cherche \(9-3x\geqslant 4{,}5\) : le même calcul qu’à la question 2, avec une inégalité large, donne \(x\leqslant 1{,}5\). Comme de plus \(0\leqslant x\leqslant 3\), on obtient \(0\leqslant x\leqslant 1{,}5\). Sur le graphique, ce sont les abscisses des points de la droite situés au-dessus de la ligne horizontale d’ordonnée 4,5 (ou sur elle).

L’aire de AMB est supérieure ou égale à 4,5 cm² lorsque CM ≤ 1,5 cm, c’est-à-dire lorsque M est sur le segment qui va de C au milieu de [OC], extrémités comprises.

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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Nantes 2000

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Pour les puissances de 10, regroupe les puissances de 10 à part et applique \(10^a\times 10^b=10^{a+b}\), puis écris le résultat en notation scientifique. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant aux systèmes d’équations, choisis la substitution ou la combinaison selon les coefficients, puis vérifie le couple trouvé dans les deux équations. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de notation scientifique, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Nantes 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Nantes 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Nantes 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les puissances de 10, les racines carrées, les systèmes d’équations et les équations. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Nantes 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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