Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Paris

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Paris. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Plan du corrigé corrigé Paris 2000

Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Paris 2000 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 10 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Factorisation et équation » (partie numérique). Ensuite, la correction reprend « Puissances de 10 et fractions » (exercice 1). Puis tu lis la démarche complète pour « Lots de timbres (PGCD) » (exercice 2). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Racines carrées et triangle KLM » (exercice 3). En outre, le corrigé explique « Transformations du nombre 2000 » (exercice 4).

Ensuite, la correction reprend « Thalès dans un parallélogramme » (partie géométrique). Puis tu lis la démarche complète pour « Terrain de javelot » (exercice 1 de géométrie). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Fontaine : volumes » (exercice 2 de géométrie). En outre, le corrigé explique « Fontaine : faces équilatérales » (exercice 3 de géométrie). Enfin, la correction reprend « Fontaine : fonction affine » (problème).

En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Paris 2000 sont les puissances de 10, les fractions, les racines carrées, le théorème de Pythagore et les transformations du plan, rédigées comme sur une copie.

Corrigé de la partie numérique (Paris 2000)

Corrigé de l’exercice 1 : développer, factoriser, résoudre

1. D’abord, on développe chaque morceau :

\((x-5)^2=x^2-10x+25\)

\((2x-7)(x-5)=2x^2-10x-7x+35=2x^2-17x+35\)

Le signe « moins » devant le produit change tous les signes : \(A=x^2-10x+25-2x^2+17x-35\), donc \(A=-x^2+7x-10\).

2. Le facteur commun est \((x-5)\), présent dans le carré et dans le produit :

\(A=(x-5)\big[(x-5)-(2x-7)\big]=(x-5)(x-5-2x+7)\), donc \(A=(x-5)(-x+2)\).

Vérification : \((x-5)(-x+2)=-x^2+2x+5x-10=-x^2+7x-10\).

3. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x-5=0\) donne \(x=5\) ; \(-x+2=0\) donne \(x=2\).

L’équation a deux solutions : 5 et 2.

Corrigé de l’exercice 2 : puissances de 10 et fractions

1. Tout d’abord, on sépare les nombres et les puissances de 10 :

\[B=\dfrac{5\times125}{3}\times\dfrac{10^{-3}\times10^{4}}{10^{5}}=\dfrac{625}{3}\times10^{-3+4-5}=\dfrac{625}{3}\times10^{-4}\]

La division de 625 par 3 ne tombe pas juste : \(\dfrac{625}{3}\approx208{,}33\). Donc \(B\approx208{,}33\times10^{-4}=0{,}020833\ldots\) (la valeur exacte est \(\dfrac{1}{48}\)).

En écriture scientifique, \(B\approx2{,}08\times10^{-2}\) (à \(10^{-4}\) près).

2. Le produit est prioritaire : \(\dfrac{3}{4}\times7=\dfrac{21}{4}\).

On réduit au dénominateur commun 20 : \(C=\dfrac{9\times4}{5\times4}-\dfrac{21\times5}{4\times5}=\dfrac{36}{20}-\dfrac{105}{20}\), donc \(C=-\dfrac{69}{20}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Paris 2000) : les lots de timbres

1. Le nombre de lots doit diviser à la fois 1 631 et 932 (tous les timbres sont vendus, répartis de la même façon). Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 1 631 et 932. Algorithme d’Euclide :

\(1631=932\times1+699\)
\(932=699\times1+233\)
\(699=233\times3+0\)

Le dernier reste non nul est 233 : il pourra réaliser au maximum 233 lots.

2. \(1631\div233=7\) et \(932\div233=4\). Chaque lot contiendra 7 timbres français et 4 timbres étrangers.

Contrôle : \(233\times7=1631\) et \(233\times4=932\).

Corrigé de l’exercice 4 : racines carrées et triangle rectangle

1. a. Avec les identités remarquables, et sachant que \((\sqrt{3})^2=3\) :

\(D^2=(\sqrt{3}-1)^2=3-2\sqrt{3}+1\), donc \(D^2=4-2\sqrt{3}\).

\(E^2=(\sqrt{3}+1)^2=3+2\sqrt{3}+1\), donc \(E^2=4+2\sqrt{3}\).

b. Ensuite, on reconnaît \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :

\(D\times E=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2-1^2=3-1\), donc \(D\times E=2\), qui est bien un nombre entier.

2. a. Le triangle KLM est rectangle en L, d’hypoténuse [KM], avec \(KL=D\) et \(LM=E\). D’après le théorème de Pythagore :

\[KM^2=KL^2+LM^2=(4-2\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})=8\]

donc \(KM=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

b. Les côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur : \(\mathcal{A}=\dfrac{KL\times LM}{2}=\dfrac{D\times E}{2}=\dfrac{2}{2}\), donc l’aire du triangle KLM vaut 1 (unité d’aire).

Corrigé de la partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 (Paris) : transformations du nombre 2000

La feuille annexe n’étant pas disponible, voici la méthode à appliquer pour chaque transformation. Dans tous les cas, on transforme les points caractéristiques des chiffres (extrémités des segments, points des arrondis), puis on redessine chaque chiffre : les quatre transformations conservent les longueurs et les formes.

1. Symétrie de centre O : chaque point M a pour image le point M′ tel que O soit le milieu de [MM′]. Sur quadrillage, on compte les carreaux de M à O et on reporte le même déplacement au-delà de O. Le nombre 2000 apparaît retourné d’un demi-tour (il se lit « à l’envers »).

2. Symétrie d’axe \(\Delta\) : chaque point M a pour image M′ tel que \(\Delta\) soit la médiatrice de [MM′] (M′ sur la perpendiculaire à \(\Delta\) passant par M, à la même distance de \(\Delta\)). Le nombre obtenu est vu « dans un miroir ».

3. Translation qui transforme A en C : chaque point subit le même déplacement que celui qui va de A à C (même direction, même sens, même longueur). Le nombre 2000 est simplement glissé, sans être tourné ni retourné.

4. Rotation de centre O qui transforme A en B : on mesure l’angle \(\widehat{AOB}\) et on repère son sens. Chaque point M a pour image M′ avec \(OM^{\prime}=OM\) et \(\widehat{MOM^{\prime}}=\widehat{AOB}\), dans le même sens. Le nombre 2000 tourne autour de O de l’angle \(\widehat{AOB}\).

Corrigé de l’exercice 2 : Thalès dans le parallélogramme

1. E est sur la droite (AD) mais pas sur [AD] : les points E, A, D sont alignés dans cet ordre, donc \(ED=EA+AD=1{,}5+4{,}5=6\) cm.

Dans le triangle EDC, M est sur [EC], A est sur [ED], et (AM) est parallèle à (DC) car les côtés opposés [AB] et [DC] du parallélogramme sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{EA}{ED}=\dfrac{EM}{EC}=\dfrac{AM}{DC}\quad\text{donc}\quad\dfrac{1{,}5}{6}=\dfrac{AM}{8}\]

\(AM=\dfrac{1{,}5\times8}{6}\), soit \(AM=2\ \text{cm}\).

2. Dans le parallélogramme, DC = AB = 8 cm, donc \(DN=\dfrac{3}{4}\times8=6\) cm.

Dans le triangle DEC, A est sur [DE] et N est sur [DC], dans le même ordre. Puis on compare :

\(\dfrac{DA}{DE}=\dfrac{4{,}5}{6}=0{,}75\) et \(\dfrac{DN}{DC}=\dfrac{6}{8}=0{,}75\).

Les rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AN) et (EC) sont parallèles.

Autre justification : \(NC=8-6=2=AM\), et [AM] et [NC] sont parallèles et de même sens, donc AMCN est un parallélogramme et (AN) est parallèle à (MC), c’est-à-dire à (EC).

Corrigé de l’exercice 3 : le terrain de javelot

1. a. L’angle \(\widehat{AOE}\) mesure 30°, et un disque complet correspond à 360°. La portion OAE représente donc \(\dfrac{30}{360}=\dfrac{1}{12}\) du disque de rayon OA : la fraction est \(\dfrac{1}{12}\).

\[\mathcal{A}_{OAE}=\dfrac{1}{12}\times\pi\times8^2=\dfrac{64}{12}\pi=\dfrac{16}{3}\pi\ \text{m}^2\]

b. La portion OBF, de même angle, a pour aire \(\dfrac{1}{12}\times\pi\times90^2=\dfrac{8100}{12}\pi=675\pi\ \text{m}^2\).

Le gazon est la portion OBF privée de la portion OAE :

\[675\pi-\dfrac{16}{3}\pi=\dfrac{2025}{3}\pi-\dfrac{16}{3}\pi=\dfrac{2009}{3}\pi\ \text{m}^2\]

Alors on retrouve bien \(\dfrac{2009}{3}\pi\ \text{m}^2\) (environ 2 104 m²).

2. a. Le triangle OAE est isocèle en O (OA = OE), donc la médiane (OI) est aussi la bissectrice de \(\widehat{AOE}\) : \(\widehat{AOI}=15^\circ\).

b. Dans le triangle isocèle, la médiane (OI) est aussi la hauteur : le triangle OIA est rectangle en I, d’hypoténuse [OA]. Le côté [AI] est opposé à l’angle \(\widehat{AOI}\) :

\[\sin\widehat{AOI}=\dfrac{AI}{OA}\quad\text{donc}\quad AI=8\times\sin15^\circ\approx2{,}0706\]

\(AI\approx2{,}07\ \text{m}\) à 1 cm près. Comme I est le milieu de [AE], \(AE=2\times AI=16\sin15^\circ\approx4{,}141\), soit \(AE\approx4{,}14\ \text{m}\).

Corrigé du problème (Paris 2000) : la fontaine

Corrigé de la partie A : volumes avec OT = 6

1. a. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}\). La base ABCD est un carré de côté 6, d’aire 36 dm², et la hauteur du bassin est OT = 6 :

\(V_{TABCD}=\dfrac{1}{3}\times36\times6\), donc \(V_{TABCD}=72\ \text{dm}^3\).

b. Comme \(1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}\), le bassin contient 72 litres.

2. La grande pyramide a pour volume \(V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}\times36\times9=108\ \text{dm}^3\).

La pierre est ce qui reste une fois le bassin creusé : \(108-72=36\). Le volume de pierre est 36 dm³ (l’énoncé écrit « dm² », mais il s’agit bien d’un volume, en dm³).

Corrigé de la partie B : faces équilatérales

1. La face TAB est un triangle équilatéral, donc ses trois côtés sont égaux : AT = AB = 6 dm.

2. Le triangle ABC est rectangle en B (angle d’un carré). D’après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2=36+36=72\), donc \(AC=\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}\), soit \(AC=6\sqrt{2}\ \text{dm}\).

3. Dans le triangle ACT, AT = CT = 6 (faces équilatérales) et \(AC=6\sqrt{2}\), qui est le plus grand côté.

\(AT^2+CT^2=36+36=72\) et \(AC^2=72\).

Comme \(AC^2=AT^2+CT^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACT est rectangle en T (il est même rectangle isocèle).

Corrigé de la partie C : volume de pierre en fonction de x

1. T est sur la hauteur [OS], entre O et S. La distance OT = \(x\) est donc comprise entre 0 et SO = 9. Pour qu’il y ait un bassin et qu’il reste de la pierre sous lui, \(x\) est compris entre 0 et 9 : \(0\lt x\lt 9\).

2. Le bassin a pour volume \(\dfrac{1}{3}\times36\times x=12x\). Le volume de pierre vaut donc \(V(x)=108-12x\) (en dm³).

3. \(f\) est une fonction affine, représentée par une droite : elle passe par (0 ; 108) et (9 ; 0).

4. On part de \(x=6\) sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la droite puis on se dirige horizontalement vers l’axe des ordonnées : on lit 36. Ensuite, on retrouve bien 36 dm³ de pierre pour OT = 6, comme dans la partie A.

5. a. On part de 80 sur l’axe des ordonnées, on rejoint la droite puis on descend sur l’axe des abscisses : \(x\approx2{,}3\).

b. \(108-12x=80\) donne \(12x=28\), donc \(x=\dfrac{28}{12}\), soit \(x=\dfrac{7}{3}\) (environ 2,33 dm), ce qui confirme la lecture graphique.

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Bien réviser avec le corrigé corrigé Paris 2000

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

En ce qui concerne les puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Quant aux fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Dans les questions sur les racines carrées, décompose le nombre sous la racine en produit d’un carré parfait, ainsi la simplification devient immédiate. Au besoin, la définition de la notion de notation scientifique sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.

Une fois le corrigé corrigé Paris 2000 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.

Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Paris 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Paris 2000 en entier ?

Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.

Où se trouve le sujet original ?

Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2000. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.

Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?

Les solutions s’appuient surtout sur les puissances de 10, les fractions, les racines carrées et le théorème de Pythagore. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.

Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?

Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.

D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Paris 2000

La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.

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