Corrigé du brevet de maths 2000 : Liban, septembre
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Liban, septembre. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Ce que détaille le corrigé corrigé Liban 2000
Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Liban 2000 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, tu trouves la solution rédigée de « Développer et factoriser » (exercice 1). Ensuite, le corrigé explique « Visite de Paris en bus » (exercice 2). Puis la correction reprend « Fractions et puissances de 10 » (exercice 3). Par ailleurs, tu lis la démarche complète pour « Racines carrées » (exercice 4). En outre, tu trouves la solution rédigée de « Transformations sur quadrillage » (exercice 1 de géométrie).
Ensuite, le corrigé explique « Droites parallèles » (exercice 2 de géométrie). Puis la correction reprend « Hauteur d’un triangle rectangle » (exercice 3 de géométrie). Enfin, tu lis la démarche complète pour « Du triangle au carré » (problème).
Ainsi, le corrigé corrigé Liban 2000 te fait revoir les équations, les systèmes d’équations, les fractions, les puissances de 10 et les racines carrées, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.
Partie numérique
Corrigé de l’exercice 1 (Liban 2000) : développer, factoriser, résoudre
1. D’abord, on développe avec \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) :
\[G=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2-36=4x^2-12x+9-36\]
Donc \(G=4x^2-12x-27\).
2. \(36=6^2\), donc \(G\) est une différence de deux carrés. Avec \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a=2x-3\) et \(b=6\) :
\[G=\big((2x-3)-6\big)\big((2x-3)+6\big)\]
Donc \(G=(2x-9)(2x+3)\). Contrôle : \((2x-9)(2x+3)=4x^2+6x-18x-27=4x^2-12x-27\).
3. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.
\(2x-9=0\) donne \(x=\dfrac{9}{2}\) ; \(2x+3=0\) donne \(x=-\dfrac{3}{2}\).
L’équation a deux solutions : \(\dfrac{9}{2}\) (soit 4,5) et \(-\dfrac{3}{2}\) (soit −1,5).
Corrigé de l’exercice 2 : un système et une visite de Paris
1. On exprime \(y\) à partir de la première équation : \(y=40-x\). On remplace dans la seconde :
\[9x+5(40-x)=312\]
\[9x+200-5x=312\]
\[4x=112\quad\text{donc}\quad x=28\]
Puis \(y=40-28=12\). Vérification : \(28+12=40\) et \(9\times 28+5\times 12=252+60=312\).
Le système a pour solution \(x=28\) et \(y=12\).
2. Le groupe compte 40 personnes : \(x+y=40\). Les adultes paient \(90x\) euros et les enfants \(50y\) euros, pour un total de 3 120 € : \(90x+50y=3\,120\). En divisant cette équation par 10, on obtient \(9x+5y=312\).
Ensuite, on retrouve exactement le système de la question 1, dont la solution est \(x=28\) et \(y=12\). Vérification : \(90\times 28+50\times 12=2\,520+600=3\,120\) €.
Le groupe compte 28 adultes et 12 enfants.
Corrigé de l’exercice 3 (Liban 2000) : fractions et puissances de 10
Calcul de A. La multiplication est prioritaire. Puis on simplifie avant de multiplier : \(\dfrac{3}{4}\times\dfrac{20}{9}=\dfrac{3\times 4\times 5}{4\times 3\times 3}=\dfrac{5}{3}\).
Le dénominateur commun de 8 et 3 est 24 :
\[A=\dfrac{7}{8}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{21}{24}-\dfrac{40}{24}\]
Donc \(A=-\dfrac{19}{24}\), irréductible car 19 est premier et ne divise pas 24.
Calcul de C. Alors on sépare les nombres et les puissances de 10. Au numérateur, \(10^{-4}\times 10^{3}=10^{-1}\) ; au dénominateur, \(10^{2}\times 10^{-3}=10^{-1}\). Ces deux puissances se simplifient :
\[C=\dfrac{36\times 22}{33\times 30}\times\dfrac{10^{-1}}{10^{-1}}=\dfrac{36\times 22}{33\times 30}\]
Ensuite, on décompose pour simplifier : \(36=6\times 6\), \(22=2\times 11\), \(33=3\times 11\), \(30=6\times 5\).
\[C=\dfrac{6\times 6\times 2\times 11}{3\times 11\times 6\times 5}=\dfrac{6\times 2}{3\times 5}=\dfrac{12}{15}\]
Donc \(C=\dfrac{4}{5}\).
Corrigé de l’exercice 4 : réduire des racines carrées
Tout d’abord, on fait apparaître \(\sqrt{7}\) dans chaque racine : \(28=4\times 7\) et \(700=100\times 7\).
\[3\sqrt{28}=3\times\sqrt{4}\times\sqrt{7}=3\times 2\sqrt{7}=6\sqrt{7}\]
\[2\sqrt{700}=2\times\sqrt{100}\times\sqrt{7}=2\times 10\sqrt{7}=20\sqrt{7}\]
\[D=6\sqrt{7}-20\sqrt{7}=(6-20)\sqrt{7}\]
Donc \(D=-14\sqrt{7}\), avec \(a=-14\).
Partie géométrique
Corrigé de l’exercice 1 : trois transformations sur quadrillage
Pour commencer, on lit sur la figure : A(5 ; 6), B(5 ; 2), C(2 ; 3), D(−5 ; 2) et E(−5 ; 6).
1. L’axe (OI) est l’axe des abscisses. Le symétrique d’un point garde la même abscisse et prend l’ordonnée opposée. Le triangle bleu a pour sommets \(A_1(5\,;\,-6)\), \(B_1(5\,;\,-2)\) et \(C_1(2\,;\,-3)\).
2. Pour aller de D à E, on monte de 4 carreaux. Chaque sommet monte donc de 4 carreaux. Le triangle vert a pour sommets \(A_2(5\,;\,10)\), \(B_2(5\,;\,6)\) et \(C_2(2\,;\,7)\) (B arrive exactement en A).
3. Un quart de tour de centre O dans le sens contraire des aiguilles d’une montre envoie le point \((x\,;\,y)\) sur le point \((-y\,;\,x)\) : par exemple, A est à 5 carreaux à droite et 6 en haut de O, son image est à 6 carreaux à gauche et 5 en haut. Le triangle rouge a pour sommets \(A_3(-6\,;\,5)\), \(B_3(-2\,;\,5)\) et \(C_3(-3\,;\,2)\).
Corrigé de l’exercice 2 (Liban 2000) : les droites (BE) et (CD)
Les points A, B, C sont alignés, ainsi que A, E, D, et dans le même ordre (B entre A et C, E entre A et D). Puis on calcule séparément les deux rapports :
\[\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{6{,}4}=0{,}625\qquad\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{5}{8}=0{,}625\]
Les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BE) et (CD) sont parallèles.
Corrigé de l’exercice 3 : triangle rectangle et hauteur
1. [BH] est une hauteur, donc le triangle ABH est rectangle en H, d’hypoténuse [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[AH^2=AB^2-BH^2=8^2-4^2=64-16=48\]
\(AH=\sqrt{48}\approx 6{,}928\), donc AH ≈ 6,9 cm au millimètre près.
2. Le triangle BHC est rectangle en H. Par rapport à l’angle \(\widehat{BCH}=60^\circ\), [BH] est le côté opposé et [HC] le côté adjacent :
\[\tan 60^\circ=\dfrac{BH}{HC}\quad\text{donc}\quad HC=\dfrac{4}{\tan 60^\circ}\approx 2{,}309\ \text{cm}\]
Approchée à 0,1 près par défaut (on tronque) : HC ≈ 2,3 cm.
3. J est sur [AC], K est sur [AB] et les droites (JK) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :
\[\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{JK}{CB}\quad\text{donc}\quad\dfrac{AK}{8}=\dfrac{1}{4}\]
Donc \(AK=\dfrac{8}{4}\), c’est-à-dire AK = 2 cm.
Corrigé du problème : du triangle rectangle isocèle au carré
1. D’abord, on trace le repère avec O au centre de la feuille et on place A(1 ; −3), B(−3 ; 5) et C(3 ; 3) (voir la figure en fin de corrigé).
2. Dans un repère orthonormal, \(MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\).
\[AC=\sqrt{(3-1)^2+(3-(-3))^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\]
\[BC=\sqrt{(3-(-3))^2+(3-5)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\]
\[AB=\sqrt{(-3-1)^2+(5-(-3))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\]
Donc \(AC=BC=2\sqrt{10}\) cm et \(AB=4\sqrt{5}\) cm.
Comme \(AC=BC\), le triangle est isocèle en C. De plus \(AC^2+BC^2=40+40=80=AB^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en C. ABC est rectangle isocèle en C.
3. \(x_K=\dfrac{1+(-3)}{2}=-1\) et \(y_K=\dfrac{-3+5}{2}=1\) : on a bien \(K(-1\,;\,1)\).
\(\overrightarrow{CK}\) a pour coordonnées \((x_K-x_C\,;\,y_K-y_C)=(-1-3\,;\,1-3)\), soit \(\overrightarrow{CK}(-4\,;\,-2)\).
4. \(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{CK}\) donne \(x_D-(-1)=-4\) et \(y_D-1=-2\), soit \(D(-5\,;\,-1)\).
L’égalité \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{KD}\) signifie qu’on va de C à K comme de K à D : K est le milieu de [CD]. D est donc le symétrique de C par rapport à K. Contrôle : le milieu de [CD] est \(\left(\dfrac{3-5}{2}\,;\,\dfrac{3-1}{2}\right)=(-1\,;\,1)\).
Les diagonales [AB] et [CD] du quadrilatère ADBC ont le même milieu K : ADBC est un parallélogramme. Deux côtés consécutifs sont égaux (CA = CB), c’est donc un losange. Il a un angle droit en C, c’est donc un rectangle. Un losange qui est aussi un rectangle est un carré : ADBC est un carré.
5. Le symétrique d’un point M par rapport à C est le point M’ tel que C soit le milieu de [MM’], donc \(M^{\prime}=(2x_C-x_M\,;\,2y_C-y_M)\) :
\(A^{\prime}(6-1\,;\,6+3)=(5\,;\,9)\), \(B^{\prime}(6+3\,;\,6-5)=(9\,;\,1)\) et \(D^{\prime}(6+5\,;\,6+1)=(11\,;\,7)\).
Le centre C est son propre symétrique : C’ = C. De même, le quadrilatère A’D’B’C’ est donc l’image du carré ADBC par la symétrie de centre C.
Résultats de cours utilisés : une symétrie centrale conserve les longueurs (les quatre côtés restent égaux) et conserve les angles (l’angle droit reste droit) ; l’image d’un carré est donc un carré de mêmes dimensions. A’D’B’C’ est un carré.
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Comment utiliser le corrigé corrigé Liban 2000
Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.
Quant aux équations, isole l’inconnue étape par étape, puis vérifie la solution en la remplaçant dans l’équation de départ. Dans les questions sur les systèmes d’équations, choisis la substitution ou la combinaison selon les coefficients, puis vérifie le couple trouvé dans les deux équations. Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de équation du premier degré, puis reviens à la question.
Après avoir lu le corrigé corrigé Liban 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.
Tes questions sur le corrigé corrigé Liban 2000
Faut-il lire le corrigé corrigé Liban 2000 en entier ?
Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.
Où trouver l’énoncé de ce sujet ?
L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.
Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?
On y retrouve principalement les équations, les systèmes d’équations, les fractions et les puissances de 10. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.
Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?
C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.
Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Liban 2000
Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.
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