QCM : Dimension et formule de Grassmann en maths sup (MPSI)

Réponse A.

Pour la bonne famille, la relation \(a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,0)=0\) donne \(a+c=0\), \(b+c=0\) et \(a+b=0\), donc \(a=b=c=0\). En revanche, \((1,1,2)\) est la somme des deux premiers vecteurs, ce qui rend l’autre triplet lié. De même, deux vecteurs colinéaires forment une famille liée. Enfin, toute famille contenant le vecteur nul est liée, quel que soit le nombre de vecteurs.

Réponse D.

Dans un espace de dimension 3, une famille libre a au plus 3 vecteurs. Par conséquent, quatre vecteurs sont toujours liés. Cependant, ils peuvent ne pas engendrer l’espace, par exemple s’ils sont tous dans un même plan. Le piège « deux à deux non colinéaires » confond liberté et absence de colinéarité par paires. Enfin, une base de \(\mathbb{R}^3\) compte exactement 3 vecteurs.

Réponse C.

On cherche \(a\) et \(b\) tels que \(a(1,1)+b(1,-1)=(3,1)\). Ainsi \(a+b=3\) et \(a-b=1\), donc \(a=2\) et \(b=1\). La réponse \((3,1)\) donne les coordonnées dans la base canonique, et non dans la base proposée. Par ailleurs, \((1,2)\) inverse l’ordre des vecteurs de la base. Enfin, \((2,-1)\) vient d’une erreur de signe dans la seconde équation.

Réponse B.

La famille est échelonnée en degré, donc c’est bien une base. Ensuite, on écrit \(X=(X-1)+1\) et l’on développe : \(X^2=(X-1)^2+2(X-1)+1\). Les coordonnées sont donc \((1,2,1)\). La réponse \((0,0,1)\) donne celles de \((X-1)^2\), pas de \(X^2\). De plus, \((1,-2,1)\) provient de l’écriture erronée \(X=(X-1)-1\), qui change le signe du terme central.

Réponse D.

On part d’une famille libre et l’on ajoute, un par un, des vecteurs pris dans une famille génératrice qui ne sont pas dans le sous-espace déjà engendré. Ainsi, on obtient une base. Compléter une famille génératrice n’a pas de sens : on en extrait une base. Par ailleurs, une seconde famille libre ne suffit pas, car elle peut ne pas engendrer \(E\). Enfin, ajouter le vecteur nul rend toute famille liée.

Réponse A.

L’espace \(\mathbb{R}_n[X]\) est de dimension \(n+1\). Or, une famille de \(n+1\) vecteurs y est une base dès qu’elle est libre, ou dès qu’elle est génératrice. Cet argument de dimension évite une moitié de la preuve. En revanche, des vecteurs non nuls et deux à deux non colinéaires peuvent encore être liés, comme \(1\), \(X\) et \(1+X\). Enfin, engendrer \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) ne suffit pas pour engendrer \(\mathbb{R}_n[X]\).

Réponse B.

Une matrice symétrique est déterminée par ses coefficients diagonaux et ceux situés au-dessus de la diagonale. Il y en a \(3+3=6\), d’où une base formée des \(E_{ii}\) et des \(E_{ij}+E_{ji}\) pour \(i<j\). La réponse 9 donne la dimension de tout \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). Par ailleurs, 3 correspond aux matrices antisymétriques, ou aux seules diagonales. Ainsi, on retrouve \(6+3=9\).

Réponse C.

Le deuxième vecteur, \((2,4,-2)\), est le double de \((1,2,-1)\). De plus, \((1,3,0)=(1,2,-1)+(0,1,1)\). La famille engendre donc le même espace que \(((1,2,-1),(0,1,1))\), qui est libre : le rang vaut 2. La réponse 4 compte les vecteurs au lieu de la dimension engendrée, alors qu’elle ne peut dépasser 3 dans \(\mathbb{R}^3\). En outre, 3 oublie la seconde relation.

Réponse B.

La troisième équation est la somme des deux premières : elle n’apporte aucune contrainte nouvelle. Il reste donc deux équations indépendantes, et la dimension vaut \(4-2=2\). D’ailleurs, les vecteurs \((1,-1,0,0)\) et \((0,0,1,1)\) forment une base. La réponse 1 retire une dimension par équation sans vérifier leur indépendance. Par ailleurs, 3 suppose une seule contrainte effective.

Réponse A.

La formule de Grassmann donne \(\dim(F\cap G)=3+4-\dim(F+G)\). Or \(F+G\) est inclus dans \(\mathbb{R}^5\), donc \(\dim(F+G)\le5\), et ainsi \(\dim(F\cap G)\ge2\). L’égalité est fausse en général : si \(F\subset G\), l’intersection vaut \(F\), de dimension 3. Par conséquent, croire l’intersection réduite à \(\{0\}\) ignore complètement ce comptage de dimensions.

Réponse D.

Puisque les plans sont distincts, \(F+G\) contient strictement \(F\), donc \(\dim(F+G)=3\). Grassmann donne alors \(\dim(F\cap G)=2+2-3=1\) : l’intersection est une droite. La réponse 0 vient de l’intuition du plan affine, où deux plans peuvent sembler sans point commun. Cependant, deux sous-espaces vectoriels contiennent toujours 0. Enfin, 2 supposerait les plans confondus.

Réponse C.

Grassmann montre que, si \(F\cap G=\{0\}\) et si les dimensions s’additionnent en \(\dim E\), alors \(F+G=E\). La concaténation d’une base de \(F\) et d’une base de \(G\) forme alors une base adaptée. En revanche, deux droites confondues de \(\mathbb{R}^2\) vérifient la seule condition de dimension. De même, deux droites distinctes de \(\mathbb{R}^3\) ont une intersection nulle sans engendrer l’espace.