Examen de topologie du semestre 5 : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « examen de topologie du semestre 5 », avec son barème et un corrigé détaillé.
Cet examen terminal de trois heures clôt le semestre 5 et reprend tout le bloc de topologie : espaces métriques, complétude, espaces de Banach, compacité et connexité. Vous commencerez par deux démonstrations de cours rédigées intégralement, dont le théorème de Heine. Ensuite, une distance fabriquée à partir d’une fonction cubique vous fera distinguer distances équivalentes et distances topologiquement équivalentes. Le troisième exercice calcule la norme d’une forme linéaire sur un espace de fonctions continues, puis une hyperbole sert de terrain pour la connexité par arcs. Enfin, le problème étudie l’espace des fonctions lipschitziennes : norme, complétude, compacité d’une boule grâce au théorème d’Ascoli et point fixe d’un opérateur intégral. Ce contrôle se prépare donc pendant les révisions de janvier.
Ce qu’évalue le contrôle : examen de topologie du semestre 5
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée3 heures
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitres : Distances, topologie métrique et continuité et Suites de Cauchy, espaces complets et point fixe et Espaces de Banach et opérateurs linéaires continus et Borel-Lebesgue, compacité séquentielle et connexité (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Démontrer qu’un compact est fermé borné, puis redémontrer le théorème de Heine par les suites
- Comparer une distance construite par un homéomorphisme de R avec la distance usuelle
- Calculer la norme d’une forme linéaire continue sur C([0, 1]) et prouver qu’elle n’est pas atteinte
- Prouver la non-connexité d’une hyperbole et la connexité par arcs d’une réunion de parties
- Étudier la norme lipschitzienne : complétude, compacité d’une boule par Ascoli et point fixe d’un opérateur intégral
Avant de commencer le devoir
Lisez d’abord tout le sujet, car le problème rapporte sept points et mérite au moins une heure. Dans les questions de cours, énoncez précisément les hypothèses avant de les utiliser, puis citez chaque théorème par son nom. Pour une norme d’opérateur, prouvez ensuite une majoration, puis exhibez une suite qui l’approche : les deux moitiés sont notées séparément. Quand une question demande un contre-exemple, donnez des fonctions explicites et vérifiez-les. Enfin, gardez dix minutes pour relire les inégalités et les signes.
Le sujet du contrôle : examen de topologie du semestre 5
Exercice 1 – Deux démonstrations de cours (3 points)
Dans cet exercice, \((X, d)\) et \((Y, \delta)\) sont des espaces métriques. Une partie \(K\) de \(X\) est dite compacte lorsque toute suite de \(K\) admet une sous-suite convergeant dans \(K\). Les démonstrations doivent être complètes, mais vous pouvez utiliser sans preuve la caractérisation séquentielle des fermés.
- Démontrer que toute partie compacte \(K\) de \(X\) est fermée et bornée.
- Soit \(f : K \to Y\) continue, avec \(K\) compact. Démontrer, en raisonnant par l’absurde avec des suites, que \(f\) est uniformément continue sur \(K\) (théorème de Heine).
- On munit \(C([0, 1])\) de la norme \(\|\cdot\|_\infty\). En étudiant la suite \(u_n(x) = x^n\), montrer alors que la boule unité fermée de cet espace, pourtant fermée et bornée, n’est pas compacte.
Exercice 2 – Une distance tordue par un cube (3,5 points)
On note \(\varphi(x) = x^3 + x\) pour tout réel \(x\), et l’on pose, pour tous réels \(x\) et \(y\) :
\[d(x, y) = \left|\varphi(x) – \varphi(y)\right| = \left|x^3 + x – y^3 – y\right|.\]
La figure représente la courbe de \(\varphi\) ainsi que les droites horizontales d’ordonnées \(\pm 2\) et \(\pm 10\).
- Montrer d’abord que \(d\) est une distance sur \(\mathbb{R}\).
- Établir que \(d(x, y) \geq |x – y|\) pour tous réels \(x, y\), puis en déduire que l’identité de \((\mathbb{R}, d)\) dans \((\mathbb{R}, |\cdot|)\) est lipschitzienne.
- Prouver qu’il n’existe aucune constante \(C > 0\) telle que \(d(x, y) \leq C\,|x – y|\) pour tous réels \(x, y\). Que peut-on dire des deux distances ?
- Montrer cependant que \(d\) et la distance usuelle définissent les mêmes ouverts de \(\mathbb{R}\).
- Déterminer les boules ouvertes \(B_d(0, 2)\) et \(B_d(0, 10)\) à l’aide de la figure, puis démontrer que l’espace \((\mathbb{R}, d)\) est complet.
Exercice 3 – Une forme linéaire à poids affine (3,5 points)
On munit \(E = C([0, 1], \mathbb{R})\) de la norme \(\|f\|_\infty = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t)|\) et l’on définit, pour \(f \in E\) :
\[L(f) = \int_0^1 (1 – 2t)\, f(t)\, \mathrm{d}t.\]
Pour tout entier \(n \geq 2\), on note \(f_n\) la fonction continue et affine par morceaux qui vaut \(1\) sur \(\left[0, \frac{1}{2} – \frac{1}{n}\right]\), puis \(n\left(\frac{1}{2} – t\right)\) sur \(\left[\frac{1}{2} – \frac{1}{n}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}\right]\), et enfin \(-1\) sur \(\left[\frac{1}{2} + \frac{1}{n}, 1\right]\). La figure montre le poids \(g(t) = 1 – 2t\) et la fonction \(f_4\).
![Graphique sur [0 ; 1] du poids affine g(t) = 1 - 2t et de la fonction trapèze f4 qui vaut 1, décroît puis vaut -1](https://maths-pdf.fr/wp-content/uploads/controles-maths-pdf/sup/examen-topologie-semestre-5-controle-maths-l3-ex3-poids.png)
- Montrer que \(L\) est une forme linéaire continue sur \(E\) et que sa norme subordonnée vérifie \(\|L\| \leq \frac{1}{2}\).
- Calculer \(L(f_n)\) pour \(n \geq 2\), puis en déduire la valeur exacte de \(\|L\|\).
- Démontrer qu’il n’existe aucune fonction \(f \in E\) telle que \(\|f\|_\infty \leq 1\) et \(L(f) = \frac{1}{2}\) : la norme de \(L\) n’est donc pas atteinte.
Exercice 4 – Hyperbole, projection et connexité (3 points)
Dans \(\mathbb{R}^2\), muni de sa topologie usuelle, on considère l’hyperbole \(H = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 1\}\), ses deux branches \(H_+ = H \cap \{x > 0\}\) et \(H_- = H \cap \{x < 0\}\), ainsi que la droite \(D\) d’équation \(y = x\). On note enfin \(p(x, y) = x\) la première projection.
- Montrer tout d’abord que \(H\) est une partie fermée et non bornée de \(\mathbb{R}^2\).
- Démontrer que \(H\) n’est pas connexe.
- Vérifier que \(p(H)\) n’est pas un fermé de \(\mathbb{R}\). Rappeler ensuite pourquoi l’image d’un compact par \(p\) est compacte, et conclure.
- Démontrer que \(H \cup D\) est connexe par arcs.
Exercice 5 – Problème : l’espace des fonctions lipschitziennes (7 points)
On note \(\mathrm{Lip}\) l’ensemble des fonctions \(f : [0, 1] \to \mathbb{R}\) lipschitziennes. Pour \(f \in \mathrm{Lip}\), on pose :
\[\lambda(f) = \sup_{0 \leq x < y \leq 1} \frac{|f(y) – f(x)|}{y – x} \quad \text{et} \quad N(f) = |f(0)| + \lambda(f).\]
Ainsi \(\lambda(f)\) est la plus petite constante de Lipschitz de \(f\). Les parties sont liées, mais vous pouvez admettre un résultat pour traiter la suite.
Partie A – Une norme plus fine que la norme uniforme
- Montrer que \(\mathrm{Lip}\) est un sous-espace vectoriel de \(C([0, 1])\) et que \(N\) est une norme sur \(\mathrm{Lip}\).
- Prouver que \(\|f\|_\infty \leq N(f)\) pour toute \(f \in \mathrm{Lip}\).
- En utilisant \(g_n(x) = x^n\), montrer que \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes sur \(\mathrm{Lip}\).
Complétude de l’espace (partie B)
- Soit \((f_n)\) une suite de Cauchy de \((\mathrm{Lip}, N)\). Montrer qu’elle converge uniformément vers une fonction continue \(f\).
- Démontrer ensuite que \(f\) est lipschitzienne et que \(N(f_n – f)\) tend vers \(0\). Conclure.
Partie C – Une boule compacte pour une norme, pas pour l’autre
On pose \(\mathcal{B} = \{f \in \mathrm{Lip} : f(0) = 0 \text{ et } \lambda(f) \leq 1\}\), c’est-à-dire la boule unité fermée de \(N\) restreinte aux fonctions nulles en \(0\).
- À l’aide du théorème d’Ascoli, dont vous vérifierez soigneusement les hypothèses, montrer que \(\mathcal{B}\) est une partie compacte de \((C([0, 1]), \|\cdot\|_\infty)\).
- Avec \(h_n(x) = \frac{x^n}{n}\), montrer que \(\mathcal{B}\) n’est pas compacte dans \((\mathrm{Lip}, N)\).
Point fixe d’un opérateur intégral (partie D)
Pour \(f \in C([0, 1])\), on définit la fonction \(T(f)\) par \(T(f)(x) = x + \frac{1}{2}\displaystyle\int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t\).
- Montrer que \(T\) envoie \(C([0, 1])\) dans \(\mathrm{Lip}\), puis que \(T\) est contractante de rapport \(\frac{1}{2}\) pour \(\|\cdot\|_\infty\). En déduire que \(T\) possède un unique point fixe \(h\) dans \(C([0, 1])\), et que \(h\) est lipschitzienne.
- Montrer que \(h\) est de classe \(C^1\), écrire l’équation différentielle qu’elle vérifie, puis donner \(h\) explicitement.
- On part de \(f_0 = 0\) et l’on pose \(f_{k+1} = T(f_k)\). Calculer \(f_1\) et \(f_2\), puis donner un entier \(k\) à partir duquel \(\|f_k – h\|_\infty \leq 10^{-3}\) est garanti par le théorème du point fixe.
Réviser examen de topologie du semestre 5 avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours distances, topologie métrique et continuité puis suites de cauchy, espaces complets et point fixe puis espaces de banach et opérateurs linéaires continus puis borel-lebesgue, compacité séquentielle et connexité ; entraînez-vous sur les exercices distances, topologie métrique et continuité et suites de cauchy, espaces complets et point fixe et espaces de banach et opérateurs linéaires continus et borel-lebesgue, compacité séquentielle et connexité avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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