Tribus engendrées et mesurabilité : contrôle de maths en L3
Voici un contrôle de maths en L3 sur le thème « tribus engendrées et mesurabilité », avec son barème et un corrigé détaillé.
Ce contrôle continu d’une heure trente se place au milieu du semestre 5, juste après le chapitre sur les tribus et la mesure de Lebesgue, et avant toute notion d’intégrale. Vous décrirez d’abord une tribu engendrée par une partition finie, puis les fonctions qui sont mesurables pour elle. Ensuite, deux questions portent sur la tribu borélienne : une famille génératrice inhabituelle, puis l’ensemble des points de continuité d’une fonction. La continuité des mesures sert alors à calculer des mesures de Dirac pondérées et la mesure d’une réunion d’intervalles. Puis viennent les ensembles négligeables. Enfin, le problème construit un ensemble de Cantor à partir de quarts et établit la mesurabilité d’une limite simple.
Ce qu’évalue le contrôle : tribus engendrées et mesurabilité
L’essentiel du sujet
- NiveauL3
- Durée1 h 30
- Calculatriceinterdite
- Barèmesur 20
Chapitre : Tribus boréliennes et mesure de Lebesgue sur R (5 exercices)
Ce que ce devoir vérifie :
- Décrire la tribu engendrée par une partition finie et caractériser les fonctions mesurables pour cette tribu
- Montrer qu’une famille d’intervalles engendre la tribu borélienne et qu’un ensemble défini par une propriété est borélien
- Calculer une mesure par continuité croissante ou décroissante en vérifiant l’hypothèse de finitude
- Manipuler les ensembles négligeables et la notion de propriété vraie presque partout
- Établir qu’un ensemble de type Cantor est négligeable sans être dénombrable et qu’une limite simple de fonctions mesurables est mesurable
Avant de commencer le devoir
Pour montrer qu’une classe est une tribu, vérifiez les trois axiomes dans l’ordre, sans en oublier un. Pour prouver une égalité de tribus, établissez deux inclusions, car chacune repose sur un argument différent : une tribu contient sa famille génératrice, puis elle contient tout ce que l’on fabrique par opérations dénombrables. Avant d’utiliser la continuité décroissante, contrôlez que la mesure du premier ensemble est finie ; en effet, l’exercice 3 montre ce qui se passe sinon. Enfin, gardez du temps pour le problème, qui rapporte le quart des points.
Le sujet du contrôle : tribus engendrées et mesurabilité
Exercice 1 – Une partition de dix entiers (4 points)
On pose \(\Omega = \{1, 2, \ldots, 10\}\) et on range ses éléments selon leur nombre de diviseurs : \(P_1 = \{1\}\), \(P_2 = \{2, 3, 5, 7\}\) est formé des nombres premiers, puis \(P_3 = \{4, 6, 8, 9, 10\}\) regroupe les autres. On note \(\mathcal{T}\) la tribu sur \(\Omega\) engendrée par \(\{P_1, P_2, P_3\}\).
- Plus généralement, soit \((A_1, \ldots, A_m)\) une partition d’un ensemble \(E\) en parties non vides. Montrer que la classe \(\mathcal{R}\) des réunions \(\bigcup_{i \in I} A_i\), où \(I\) décrit les parties de \(\{1, \ldots, m\}\), est une tribu sur \(E\), puis qu’elle est égale à la tribu engendrée par les \(A_i\).
- Justifier que \(\mathcal{R}\) compte exactement \(2^m\) éléments. Écrire alors la liste complète des éléments de \(\mathcal{T}\).
- Soit \(d(k)\) le nombre de diviseurs positifs de \(k\). L’application \(d : \Omega \to \mathbb{R}\) est-elle mesurable de \((\Omega, \mathcal{T})\) dans \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\) ? Même question pour \(g : k \mapsto \min(d(k), 3)\).
Exercice 2 – Deux familles de boréliens (4 points)
On note \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) la tribu borélienne de \(\mathbb{R}\), engendrée par les ouverts. On admet que tout ouvert de \(\mathbb{R}\) est réunion dénombrable d’intervalles ouverts.
- Soit \(\mathcal{C}\) la famille des intervalles \(\left[a, a + 1\right[\), pour \(a \in \mathbb{R}\). Montrer que \(\sigma(\mathcal{C}) = \mathcal{B}(\mathbb{R})\). On pourra d’abord obtenir les intervalles \(\left[a, b\right[\) avec \(a < b \leq a + 1\), puis tous les intervalles \(\left]a, b\right[\).
- Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction quelconque et \(D\) l’ensemble des points où \(f\) est continue. Pour \(n \geq 1\), on note \(O_n\) l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels il existe \(\delta > 0\) tel que \(|f(y) – f(z)| < \frac{1}{n}\) pour tous \(y, z\) de \(\left]x – \delta, x + \delta\right[\).
- Montrer que chaque \(O_n\) est un ouvert.
- Prouver que \(D = \bigcap_{n \geq 1} O_n\), puis en déduire que \(D\) est un borélien.
Exercice 3 – Masses de Dirac et intervalles centrés (4 points)
Sur \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\), on note \(\lambda\) la mesure de Lebesgue, \(\delta_k\) la mesure de Dirac au point \(k\), et l’on pose \(\mu = \sum_{k = 0}^{+\infty} 3^{-k}\,\delta_k\), c’est-à-dire \(\mu(A) = \sum_{k \in A \cap \mathbb{N}} 3^{-k}\).
- Montrer que \(\mu\) est une mesure. Calculer ensuite \(\mu(\mathbb{R})\) et \(\mu(2\mathbb{N})\), où \(2\mathbb{N}\) désigne l’ensemble des entiers naturels pairs.
- Pour \(n \in \mathbb{N}\), soit \(A_n = \left[n, +\infty\right[\). Calculer \(\mu(A_n)\) et \(\lambda(A_n)\), puis comparer leurs limites à la mesure de \(\bigcap_{n} A_n\). Expliquer pourquoi la continuité décroissante s’applique à \(\mu\) mais pas à \(\lambda\).
- Pour \(k \geq 1\), soit \(I_k = \left]k – 2^{-k}, k + 2^{-k}\right[\), et \(U = \bigcup_{k \geq 1} I_k\). Vérifier que les \(I_k\) sont deux à deux disjoints, puis calculer \(\lambda(U)\) par continuité croissante.
- On numérote les rationnels : \(\mathbb{Q} = \{r_k,\ k \in \mathbb{N}\}\). Pour \(\varepsilon > 0\), construire de même un ouvert \(V\) contenant \(\mathbb{Q}\) et tel que \(\lambda(V) \leq \varepsilon\). En déduire que \(\lambda\left([0, 1] \setminus V\right) \geq 1 – \varepsilon\).
Exercice 4 – Égalité presque partout (3 points)
Une partie \(N\) de \(\mathbb{R}\) est dite négligeable lorsqu’il existe un borélien \(B\) tel que \(N \subset B\) et \(\lambda(B) = 0\).
- Montrer qu’une réunion dénombrable de parties négligeables est négligeable.
- En déduire que toute partie dénombrable de \(\mathbb{R}\) est négligeable, puis que la fonction indicatrice \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est nulle presque partout.
- Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), égales presque partout. Démontrer que \(f = g\) en tout point.
Exercice 5 – Problème : le Cantor des quarts (5 points)
On pose \(K_0 = [0, 1]\). Ensuite, \(K_{n+1}\) s’obtient en remplaçant chaque segment \([a, b]\) de \(K_n\) par ses deux quarts extrêmes \(\left[a, a + \frac{b – a}{4}\right]\) et \(\left[b – \frac{b – a}{4}, b\right]\). On note enfin \(K = \bigcap_{n \geq 0} K_n\).
On admet que \(K_n\) est la réunion disjointe des \(2^n\) segments \(\left[s, s + 4^{-n}\right]\), où \(s = \sum_{k=1}^{n} 3\,\varepsilon_k\,4^{-k}\) et où \((\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n)\) décrit \(\{0, 1\}^n\).
- Écrire \(K_1\) et \(K_2\) comme réunions de segments, puis calculer \(\lambda(K_n)\) pour tout \(n\).
- Montrer que \(K\) est un compact, donc un borélien, puis que \(\lambda(K) = 0\) en précisant le théorème utilisé et ses hypothèses.
- À toute suite \(\varepsilon = (\varepsilon_k)_{k \geq 1}\) de \(\{0, 1\}^{\mathbb{N}^*}\), on associe \(\varphi(\varepsilon) = \sum_{k=1}^{+\infty} 3\,\varepsilon_k\,4^{-k}\).
- Justifier que \(\varphi(\varepsilon)\) appartient à \(K\).
- Montrer que \(\varphi\) est injective, puis conclure que \(K\) est un négligeable non dénombrable.
- Mesurabilité d’une limite simple.
- Soit \((f_n)\) une suite de fonctions boréliennes de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) qui converge simplement vers \(f\). Pour \(a \in \mathbb{R}\), établir l’égalité \(\{f > a\} = \bigcup_{p \geq 1} \bigcup_{N \geq 0} \bigcap_{n \geq N} \left\{f_n > a + \frac{1}{p}\right\}\), puis en déduire que \(f\) est borélienne.
- On pose \(h_n = 2^n\,\mathbf{1}_{K_n}\). Déterminer la limite simple \(h\) de \((h_n)\) dans \([0, +\infty]\), puis montrer que \(h = 0\) presque partout.
Réviser tribus engendrées et mesurabilité avant le contrôle
Si un exercice vous a bloqué, relisez le cours tribus boréliennes et mesure de lebesgue sur r ; entraînez-vous sur les exercices tribus boréliennes et mesure de lebesgue sur r avant de retenter le sujet.
La page contrôles de maths en L3 regroupe les 25 sujets de l’année, et la page maths post-bac permet de changer d’année.
Sujets proches à faire ensuite
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