Théorème de Pythagore : corrigé des exercices de maths en 4ème en PDF

Exercice 1 – théorème de Pythagore

1. Calculer AC et HB :

Utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle AHC pour calculer AC :

Pour calculer HB, utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle AHB :

2. Calculer l’aire et le périmètre du triangle ABC :

Aire :

L’aire d’un triangle est donnée par :

Périmètre :

Le périmètre du triangle est la somme de ses côtés :

Exercice 2 – pythagore – calcul

Pour calculer la longueur de AH, nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABH :

Pour calculer la longueur de AC, nous utilisons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHC :

Exercice 3 – volume et pythagore

1. Quelle est la nature de la face ABCD ? La face ABCD est un carré car le cube a des arêtes de longueur 4 cm.

2. Quelle est la nature du triangle ABC ? Le triangle ABC est un triangle isocèle rectangle, car AB = BC = 4 cm.

3. Que représente le segment [AC] pour la face ABCD ? Le segment [AC] est la diagonale du carré ABCD.

4. Que représente le segment [AC] pour le triangle ABC ? Pour le triangle ABC, [AC] est l’hypoténuse.

5. Quelle est la nature du triangle ACE ? Le triangle ACE est un triangle rectangle, car AC et CE sont des diagonales perpendiculaires dans trois dimensions.

6. Que représente le segment [CE] pour le triangle ACE ? Pour le triangle ACE, [CE] est l’hypoténuse.

7. Calculer la longueur AC au millimètre près.

8. Utiliser la valeur exacte de AC^2 pour calculer la valeur exacte de la longueur CE. Donner l’arrondi, au millimètre près, de la longueur CE.

Exercice 4 – réciproque du théorème de Pythagore

Pour déterminer si le triangle est rectangle, on applique la réciproque du théorème de Pythagore :

On sait que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Considérons les longueurs suivantes :

• AB = 7,3 cm
• AC = 5,5 cm
• BC = 4,8 cm

Calculons  AB² :

Calculons   AC² + BC²   :

Donc,

Comme , le triangle est rectangle avec l’hypoténuse   [AB]  .

Exercice 5 – réciproque du théorème de Pythagore – application

Triangle 1 :

Pour vérifier si le triangle est rectangle, nous appliquons la réciproque du théorème de Pythagore.

Si , alors le triangle est rectangle en A.

Calcul de chaque côté :

Vérification :

Donc le triangle ABC est rectangle, et l’hypoténuse est AB.

Triangle 2 :

Vérifions si pour prouver que le triangle est rectangle en B.

Calcul de chaque côté :

Vérification :

Donc le triangle ABC est rectangle, et l’hypoténuse est AC.

Exercice 6 – théorème de Pythagore

Pour démontrer que le triangle PAS est un triangle rectangle, nous devons vérifier que le carré de la plus grande longueur est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs (théorème de Pythagore).

Considérons les longueurs des côtés :

• AP :
• PS :
• AS :

Si le triangle est rectangle, alors :

Calculons chaque terme :

1. Calcul de :

2. Calcul de :

3. Calcul de :

4. Somme des carrés des deux autres côtés :

Les deux expressions sont égales, donc le triangle PAS est un triangle rectangle.

Exercice 7 – theoreme de pythagore.

Pour un triangle rectangle, nous appliquons le théorème de Pythagore :

Nous avons \(AB = 6\) cm et \(BC = 8\) cm.

Calcul :

Donc,

Par conséquent, la longueur de AC est :

Exercice 8 – le théorème de Pythagore.

Situation 1 :

Pour le triangle IJK rectangle en I, utiliser le théorème de Pythagore :

Connaissant IJ et JK :

Calculons IK :

Donc, IK = 6 cm.

Situation 2 :

a. Vérifions si le triangle ABC est rectangle :

Calculons :

Comme , le triangle est rectangle en C.

b. Vérifions si le triangle ABC est rectangle :

Calculons :

Le triangle n’est pas rectangle.

Exercice 9 – théorème de pythagore et applications.

Pour le triangle BCD :

Le triangle BCD est rectangle en C. D’après le théorème de Pythagore :

Pour le triangle ABD :

Le triangle ABD est rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore :

Calcul de CD :

En remplaçant dans l’équation du triangle BCD :

Exercice 10 – le trapèze rectangle.

1) Quelle est la nature du quadrilatère NORD ?

Le quadrilatère NORD est un trapèze rectangle car il a un angle droit en N et les côtés ND et OR sont parallèles.

2) Quelle est la nature du quadrilatère NOFD ?

Le quadrilatère NOFD est un rectangle car il a quatre angles droits.

3) En déduire les longueurs FO, DF et FR.

– FO = ND =

– DF = OR = =

– FR = FO =

4) Calculer la longueur OR.

OR = DF =