Homothéties : corrigé des exercices de maths en 3ème en PDF

Exercice 1 – réduction et agrandissement.

Pour déterminer si une homothétie est une réduction ou un agrandissement, on regarde le rapport :

• Une homothétie est une réduction si le rapport est compris entre et (exclusif pour 0).
• Une homothétie est un agrandissement si le rapport est supérieur à ou inférieur à .

Corrigeons donc l’exercice :

0,5 : Réduction (compris entre et )

-7 : Agrandissement (inférieur à )

2,8 : Agrandissement (supérieur à )

-0,8 : Agrandissement (inférieur à )

\frac{3}{4} : Réduction (compris entre et )

-\frac{4}{3} : Agrandissement (inférieur à )

Exercice 2 – trouver les caractéristiques de l’homothétie.

a. De la figure   à la figure    :

b. De la figure à la figure :

Exercice 3 – préciser la transformation.

a. la figure en la figure ? La transformation est une symétrie axiale par rapport à l’axe vertical (en rouge).

b. la figure en la figure ? La transformation est une translation vers le haut.

c. la figure en la figure ? La transformation est une translation vers le bas.

d. la figure en la figure ? La transformation est une translation vers la droite.

Exercice 4 – préciser le rapport de l’homothétie.

a. Rapport :

Type : Agrandissement

b. Rapport :

Type : Réduction

c. Rapport :

Type : Agrandissement

d. Rapport :

Type : Réduction

e. Rapport :

Type : Agrandissement (changement de sens)

f. Rapport :

Type : Agrandissement (changement de sens)

Exercice 5 – construire le point image M’.

a. Pour , M’ se trouve à de OM. Mesurez et marquez M’ sur la droite entre O et M.

b. Pour , M’ est au-delà de M, à une distance de depuis O.

c. Pour , M’ est à une distance double de OM à partir de O, donc deux fois la distance OM.

d. Pour , M’ est situé de l’autre côté de O, à la même distance que OM. Ainsi, M’ est symétrique à M par rapport à O.

e. Pour , M’ est de l’autre côté de O, à de distance en partant de O.

f. Pour , M’ est également de l’autre côté de O et au-delà de la position symétrique, à une distance de depuis O.

Exercice 6 – image d’un triangle.

a. Pour construire l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport 2 en bleu :

Chaque sommet du triangle doit être déplacé de telle sorte que la distance entre le centre O et le nouveau sommet soit le double de la distance originale.

Si A, B, et C sont les sommets du triangle initial :

• A’ est sur la droite passant par O et A, à une distance
• B’ est sur la droite passant par O et B, à une distance
• C’ est sur la droite passant par O et C, à une distance

b. Pour construire l’image du triangle gris par l’homothétie de centre O et de rapport

en rouge :

Chaque sommet du triangle doit être déplacé de telle sorte que la distance entre le centre O et le nouveau sommet soit la moitié de la distance originale.

Si A, B, et C sont les sommets du triangle initial :

• A’ est sur la droite passant par O et A, à une distance
• B’ est sur la droite passant par O et B, à une distance
• C’ est sur la droite passant par O et C, à une distance

Exercice 7 – image d’un cercle.

Pour déterminer l’image du cercle de centre A par l’homothétie de centre O et de rapport :

• La distance entre O et A est multipliée par , ce qui inverse la position par rapport à O et réduit cette distance de moitié.

Résultat : Le nouveau centre du cercle est à mi-chemin de la ligne prolongée derrière O, dans la direction opposée à A par rapport à O.

Exercice 8 – construire l’image d’un triangle.

Pour construire l’image du triangle par l’homothétie de centre O et de rapport k (avec k variant de 2 à 8), il faut suivre ces étapes :

• Étape 1 : Trace une droite passant par le point O et chaque sommet du triangle gris.
• Étape 2 : Sur chaque droite tracée, à partir de O, mesure une distance k fois la distance entre O et chaque sommet du triangle gris.
• Étape 3 : Marque les nouveaux points obtenus. Ce sont les sommets de l’image du triangle par l’homothétie.
• Étape 4 : Relie ces nouveaux points pour former le nouveau triangle.

Répète ces étapes pour chaque valeur entière de k comprise entre 2 et 8.

Le triangle obtenu pour chaque valeur de k sera k fois plus grand que le triangle original et situé dans la même direction par rapport au point O.

Note : Colorie chaque image de triangle obtenue pour bien distinguer les différentes transformations.

Voici un exemple avec k = 3 :

Exercice 9 – homothétie et construction.

1. Homothétie de centre O et de rapport -1 :

On réalise une symétrie centrale de la figure par rapport au point O. Les dimensions de la figure restent inchangées, mais chaque point est inversé à travers O.

2. Homothétie de centre O’ et de rapport -1,5 :

On agrandit la figure par rapport au centre O’ avec un rapport de -1,5. Chaque point de la figure est éloigné du point O’ de 1,5 fois sa distance initiale, tout en étant inversé :

• Si un point A a une distance \text{OA}, son image A’ est à une distance de O’, dans la direction opposée.

Exercice 10 – quadrilatère et homothétie.

a. Complète le tableau suivant :

Le quadrilatère BELO est l’image du quadrilatère RAMI par une homothétie de rapport . Ainsi :

Justification : Chaque point du quadrilatère RAMI est associé à un point du quadrilatère BELO à travers l’homothétie.

b. Quelle est la longueur du segment [LE] ?

La longueur de [LE] est l’image de la longueur de [RI] par l’homothétie de rapport .

La longueur de [RI] est 4,2 cm, donc :

Calcul :

c. Quelle autre longueur peux-tu déterminer ?

On peut déterminer la longueur de [BO] :

La longueur de [AM] est 3 cm, alors :

Calcul :