Fonction exponentielle : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Mis à jour le 23 novembre 2025

Dans cet article, nous allons explorer la fonction exponentielle, un concept mathématique essentiel pour les élèves de terminale. Comprendre cette fonction permet de développer des compétences clés en analyse et modélisation, indispensables pour réussir l’épreuve du baccalauréat. Grâce à nos corrections d’exercices, vous renforcerez votre maîtrise des propriétés et applications de la fonction exponentielle, et ainsi, vous serez mieux préparé pour vos futurs défis académiques.

Exercice 1 – position relative de courbes et étude.

Réponse a) :

Pour comparer les fonctions $f(x)=e^{-2x}$ et $g(x)=e^{-3x}$ , on écrit l’inégalité :

$e^{-2x}\geq\, e^{-3x}$

Cela revient à :

$x\leq\,0$

Ainsi, $f(x)\geq\, g(x)$ pour $x\leq\,0$ et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)<g(x)" alt="f(x) pour 0″ alt= »x>0″>.

Réponse b) :

Pour comparer les fonctions $h(x)=e^{-x^2}$ et $g(x)=e^{-3x}$ , on écrit l’inégalité :

$e^{-x^2}\geq\, e^{-3x}$

En prenant le logarithme de chaque côté, on obtient :

$-x^2\geq\,-3x$

Ce qui se simplifie en :

$x(x-3)\leq\,0$

L’étude de signes nous donne :

$0\leq\, x \leq\,3$

Donc, $h(x)\geq\, g(x)$ pour $0\leq\, x \leq\,3$ et <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?h(x)<g(x)" alt="h(x) pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0" alt="x ou 3″ alt= »x>3″>.

Exercice 2 – fonction et étude de la position relative de la courbe.

La fonction est définie par $f(x)=e^{-x^4}$ .

La dérivée de la fonction est : $f'(x)=-4x^3e^{-x^4}$ .

La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation :

Calculons f(0) : $f(0)=e^{0}=1$

Calculons f'(0) :

L’équation de la tangente T en 0 est donc :

Puisque la dérivée a le même signe que , la fonction $f(x)=e^{-x^4}$ croit pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0" alt="x et décroît pour 0″ alt= »x>0″>.

Donc, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la tangente T pour $x\neq0$ .

Exercice 3 – aire maximale d’un rectangle et fonctions.

Soit le rectangle OMNP inscrit sous la courbe de la fonction $f(x)=2e^{-x}$ .

L’aire du rectangle OMNP est donnée par :

$A(x)=x\cdot f(x)=x\cdot 2e^{-x}$

Pour maximiser l’aire, nous devons dériver et trouver où la dérivée s’annule :

$A'(x)=\frac{d}{dx}(x\cdot 2e^{-x})=2e^{-x}-2xe^{-x}$

On factorise :

$A'(x)=2e^{-x}(1-x)$

Les solutions de sont :

$1-x=0\Rightarrow x=1$

Pour vérifier qu’il s’agit d’un maximum, nous regardons les variations de . On constate que change de signe de positif à négatif autour de .

Conclusion : L’aire maximale du rectangle OMNP est atteinte pour

Les dimensions du rectangle sont :

– Longueur OM =

– Hauteur MP = $f(1)=2e^{-1}=2\cdot \frac{1}{e}$

Exercice 4 – la température d’ébullition de l’eau et exponentielle.

1. Température initiale de la casserole : Lorsqu’on plonge la casserole dans l’évier, c’est pour $ t = 0 $. Donc, on a :

$T(0)=55\exp(-0,2\times 0)+45$

La température initiale est donc 100°C.

2. Vitesse de refroidissement : La vitesse de refroidissement est la dérivée, soit :

$T'(t)=\frac{d}{dt}[55\exp(-0,2t)+45]$

$T'(t)=-11\exp(-0,2t)$

a) Proportionnalité :

La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart de température entre la casserole et l’eau de l’évier ().

$T'(t)\prop\to(T(t)-45)$

On a alors :

b) Coefficient de proportionnalité :

Le coefficient de proportionnalité est donc -0.2.

3. Température après 5 minutes : Pour $ t = 5 $ minutes, soit $ t = 300 $ secondes :

$T(300)=55\exp(-0,2\times 300)+45$

Calculons :

$\approx 45$. La température est donc d’environ 45°C.

Exercice 5 – simplifier des exponentielles et écrire l’expression.

a) $e^4\times e^6=e^{4+6}=e^{10}$

b) $e\times (e^5)^2=e\times e^{10}=e^{1+10}=e^{11}$

c) $\frac{e^{30}\times e^{-10}}{e^{10}}=\frac{e^{30-10}}{e^{10}}=e^{20-10}=e^{10}$

Pour déterminer le signe de $f(x)=-xe^{-x}$ :

Le signe de est donné par le facteur puisque $e^{-x}$ est toujours positif.

– Si 0″ alt= »x>0″> alors <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?-x<0" alt="-x donc <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x)<0" alt="f(x).

– Si <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<0" alt="x alors 0″ alt= »-x>0″> donc 0″ alt= »f(x)>0″>.

– Si alors .

a) $e^{2a}\times e^{-a}=e^{2a-a}=e^a$

b) $\frac{e^{2a}+1}{e^{1-a}}=\frac{e^{2a}}{e^{1-a}}+\frac{1}{e^{1-a}}=e^{2a-(1-a)}+e^{a-1}$

c) $(e^a)^3\times e=e^{3a}\times e=e^{3a+1}$

Exercice 6 – relation fonctionnelle et conjecture.

a) Pour conjecturer le signe de $f(x)=(x-1)e^{x}$ selon les valeurs de x, observons que la fonction exponentielle $e^{x}$ est toujours strictement positive. Le signe de est donc déterminé par le facteur .

Il en résulte que :

Pour 1″ alt= »x>1″>, est positif, donc est positif.
Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x, est négatif, donc est négatif.
Pour , .

Conjecture : Le signe de est le même que celui de

b) Pour démontrer cette conjecture, nous analysons $f(x)=(x-1)e^{x}$ :

Comme $e^{x}$ est strictement positif pour tout $x\in\mathbb{R}$ , alors le signe de (x)=((x-1)e^{x}) dépend uniquement du signe de .

Donc :

Pour 1″ alt= »x>1″>, est positif, et donc est positif.
Pour <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?x<1" alt="x, est négatif, et donc est négatif.
Pour , nous avons déjà vu que .

La démonstration est alors achevée, vérifiant ainsi notre conjecture initiale.

Exercice 7 – fonction rationnelle avec une exponentielle.

a) Justification que la fonction est définie sur $ \mathbb{R} $ :

La fonction $f(x)=\frac{2}{e^x+1}$ est définie pour tout $ x \in \mathbb{R} $ car le dénominateur $ e^x + 1 $ est strictement positif pour tout $ x $. En effet, $ e^x > 0 $ pour tout $ x $, donc $ e^x + 1 > 0 $.

b) Démonstration que $ f(-x) + f(x) = 2 $ :

Calculons $ f(-x) $ :

$f(-x)=\frac{2}{e^{-x}+1}$

Donc :

$f(-x)+f(x)=\frac{2}{e^{-x}+1}+\frac{2}{e^x+1}$

Le dénominateur commun est $(e^x+1)(e^{-x}+1)$. Calculons :

$f(-x)+f(x)=\frac{2(e^x+1)+2(e^{-x}+1)}{(e^x+1)(e^{-x}+1)}$

Simplifions le numérateur :

$=2(e^x+e^{-x}+2)$

Et le dénominateur, qui est égal à $(e^x e^{-x} + e^x + e^{-x} + 1)$ :

$=2(e^x+e^{-x}+2)$

Donc :

$f(-x)+f(x)=\frac{2(e^x+e^{-x}+2)}{e^x+e^{-x}+2}=2$

c) Conséquence pour la courbe représentative de $ f $ dans un repère :

La relation $ f(-x) + f(x) = 2 $ implique que la courbe représentative de $ f $ est symétrique par rapport à la droite horizontale $ y = 1 $. Cela signifie que pour chaque point $ (x, y) $ sur la courbe, il existe un point symétrique $(-x, 2-y)$.

Exercice 8 – vrai ou faux avec les propriétés de l’exponentielle.

a) $e^{x^2}=e^x\times e^x$

Faux. L’égalité est $e^{x^2}\neq(e^x)^2$ .

b) Il existe un nombre réel tel que $e^{x^2}=e^{-x}\times e^x$ .

Vrai. Pour , l’égalité est vérifiée.

c) Pour tout nombre réel , $e^x\geq\, x+2$ .

Faux. Par exemple, pour , <img class="LatexImg" src="https://maths-pdf.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?e^0=1<0+2" alt="e^0=1.

d) Il existe un nombre réel tel que $e^x\geq\, x+2$ .

Vrai. Pour des valeurs de suffisamment grandes, l’inégalité est vérifiée.

Exercice 9 – axe de symétrie et position relative d’une courbe.

1. Axe de symétrie :

Soit $f(x)=e^x+e^{-x}-2$ .

Pour démontrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie, il faut vérifier que pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

Calculons :

$f(-x)=e^{-x}+e^x-2$

On observe que :

$f(-x)=e^x+e^{-x}-2=f(x)$ .

Cela montre que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de $\mathcal{C}$ .

2. a) Expression démontrée :

Nous devons démontrer l’expression suivante :

$f(x)=\frac{(e^x-1)^2}{e^x}$

En développant :

$\frac{(e^x-1)^2}{e^x}=\frac{e^{2x}-2e^x+1}{e^x}$

En simplifiant, nous obtenons :

$=e^x+e^{-x}-2$

Ceci est bien , donc l’expression est correcte.

2. b) Position par rapport à l’axe des abscisses :

Vu que $f(x)=\frac{(e^x-1)^2}{e^x}$ est toujours positif (car le carré est toujours positif ou nul), la courbe $\mathcal{C}$ est toujours au-dessus de l’axe des abscisses.

Exercice 10 – le tracé d’une courbe et signe de f(x).

1. a) Déterminer $ f(0) $ :

En substituant $ x = 0 $ dans la fonction $ f(x) = (ax + b)e^x $, on obtient :

$f(0)=(a\times 0+b)e^0=b$

Donc, $ f(0) = b $ .

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $ f(x) = 0 $ :

L’équation est $ (ax + b)e^x = 0 $.

Pour que $ (ax + b)e^x = 0 $, il faut que $ ax + b = 0 $ car $ e^x \neq 0 $ pour tout $ x $.

Résolvons $ ax + b = 0 $ :

$ax+b=0\Rightarrow ax=-b\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$

Donc, la solution est $ x = -\frac{b}{a} $ .

2. a) Sachant que la courbe $\mathscr{C}$ passe par les points $ C(0 ; 2) $ et $ D(\frac{5}{2} ; 0) $, déterminer $ a $ et $ b $ :

Pour le point $ C(0 ; 2) $, on a :

Donc, $ b = 2 $ .

Pour le point $ D(\frac{5}{2} ; 0) $, on a :

$f(\frac{5}{2})=a\times \frac{5}{2}+2=0$

$\frac{5a}{2}+2=0\Rightarrow\frac{5a}{2}=-2\Rightarrow5a=-4\Rightarrow a=-\frac{4}{5}$

Donc, $ a = -\frac{4}{5} $ .

b) Déterminer le signe de $ f(x) $ selon les valeurs de $ x $ :

La fonction est définie par $ f(x) = (ax + b)e^x $.

Signe de $ ax + b $ :

Pour $ x 0 $
Pour $ x = -\frac{b}{a} \Rightarrow ax + b = 0 $
Pour $ x > -\frac{b}{a} \Rightarrow ax + b < 0 $

Comme $ e^x > 0 $ pour tout $ x $, le signe de $ f(x) $ est déterminé uniquement par $ ax + b $.

En utilisant les valeurs trouvées $ a = -\frac{4}{5} $, $ b = 2 $, on a :

$ -\frac{b}{a} = -\frac{2}{-\frac{4}{5}} = \frac{5}{2} $.

$\forall x=\frac{5}{2},f(x)=0$

\frac{5}{2},f(x)\frac{5}{2},f(x)

Donc, le signe de $ f(x) $ est positif pour $ x \frac{5}{2} $.

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