Fonctions sinus et cosinus : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF

Exercice 1 – f dérivable et tableau de variation.

1) Démontrer la limite :

Pour montrer que les limites sont \(+\infty\), on considère le comportement du numérateur et du dénominateur lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) et \(-\infty\).

Quand \(x \to +\infty\) :

Le numérateur \(x^2 + 2x + 5\) se comporte comme \(x^2\), et le dénominateur \(\sqrt{x^2 + 1}\) se comporte aussi comme \(|x|\). Donc :

\[f(x) = \frac{x^2 + 2x + 5}{\sqrt{x^2 + 1}} \sim \frac{x^2}{x} = x \to +\infty \]

Similairement, quand \(x \to -\infty\), le comportement est identique :

\[f(x) = \frac{x^2 + 2x + 5}{\sqrt{x^2 + 1}} \sim \frac{x^2}{|x|} = -x \to +\infty \]

Donc, \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty\).

2) Dérivabilité de \(f\) :

La fonction \(f(x) = \frac{x^2 + 2x + 5}{\sqrt{x^2 + 1}}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) par composition et division de fonctions dérivables.

La dérivée de \(f\) est :

\[f'(x) = \frac{(x – 1)(x^2 + x – 2)}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}\]

3) Tableau de variation :

Analysons les variations de \(f(x)\) à l’aide de \(f'(x)\) :

– Les racines de \(f'(x)\) fournissent les points critiques.

– Posons \(g(x) = (x – 1)(x^2 + x – 2)\). Les racines de \(g(x) = 0\) sont obtenues par :

\[(x – 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1\]

\[x^2 + x – 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2, \, x = 1\]

(puisque \(x = 1\) est déjà trouvé)

Évaluation des signes via \(f'(x)\) :

• \(x < -2\) : \ \((x-1)(x+2)(x-1)\) négatif.
• \(-2 < x < 1\) : \ \((x-1)(x+2)(x-1)\) positif.
• \(x > 1\) : \ \((x-1)(x+2)(x-1)\) positif.

Conclusion : \(f(x)\) décroît sur \((-\infty, -2)\), croît sur \((-2, 1)\) et \((1, +\infty)\).

Exercice 2 – déterminer les limites suivantes.

1) Réponse : Nous utilisons la règle de l’Hôpital en raison de la forme indéterminée \(\frac{0}{0}\).

2) Réponse : Utilisons la limite remarquable \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\).

3) Réponse : Appliquons la règle de l’Hôpital.

4) Réponse : Utilisons l’identité \(\cos^2 x – 1 = -\sin^2 x\) et simplifions.

Exercice 3 – résoudre les équations.

1) Résoudre :

2) Résoudre :

3) Résoudre :

Ce qui donne :

4) Résoudre :

5) Résoudre :

Donc :

Ce qui donne :

6) Résoudre :

Ce qui donne :

7) Résoudre :

Ce qui donne :

8) Résoudre :

Ce qui donne une solution complexe nécessitant plus de calculs pour chaque cas.

Exercice 4 – une étude de la dérivabilité de la fonction cosinus.

Commençons par réécrire la fonction :

Nous voulons déterminer la limite de lorsque .

Remarquons que nous avons une forme indéterminée à première vue. Nous allons donc utiliser la formule de Taylor pour le cosinus :

Ce qui simplifie à :

Ensuite, nous remplaçons dans l’expression de :

Simplifions :

La limite est donc :

Exercice 5 – fonction homographique et polynôme.

1) Fonction affine :

Une fonction affine \( x \mapsto ax + b \) est :

– Paire : Jamais.

– Impaire : Si et seulement si \( b = 0 \).

2) Polynôme du second degré :

Une fonction polynomiale de degré 2 \( x \mapsto ax^2 + bx + c \) est :

– Paire : Si et seulement si \( b = 0 \).

– Impaire : Jamais (car le terme de degré 2 ne permet pas l’imparité).

3) Fonction homographique :

Une fonction homographique \( x \mapsto \frac{ax + b}{cx + d} \) est :

– Paire : Si et seulement si \( b = 0 \) et \( d = 0 \).

– Impaire : Si et seulement si \( a = 0 \) et \( c = 0 \).

4) Polynôme du troisième degré :

Une fonction polynomiale de degré 3 \( x \mapsto ax^3 + bx^2 + cx + d \) est :

– Paire : Jamais (car la présence de termes impairs empêche la parité).

– Impaire : Si et seulement si \( b = 0 \) et \( d = 0 \).

Exercice 6 – exprimer les nombres en fonction de cosx et sinx.

1.a)

1.b)

1.c)

1.d)

2.a)

2.b)

Exercice 7 – simplifier les cos et sin suivants.

1) Simplification de :

2) Simplification de :

3) Simplification de :

4) Simplification de :

Exercice 8 – déterminer la valeur de cosinus et sinus.

1) Calcul de \(\cos(\frac{\pi}{12})\) et \(\sin(\frac{\pi}{12})\)

On utilise l’identité \(\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}\).

Formule de différence :

\[
\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\]
Appliquons-la pour \(a = \frac{\pi}{3}\) et \(b = \frac{\pi}{4}\) :

\[
\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})
\]

Valeurs connues :
\(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\), \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\[
\cos(\frac{\pi}{12}) = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})
\]

\[
= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}
\]

Formule de différence pour le sinus :

\[
\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b
\]
Appliquons-la pour \(\sin(\frac{\pi}{12})\) :

\[
\sin(\frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) – \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})
\]

\[
= (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) – (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})
\]

\[
= \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}
\]

2) Calcul de \(\cos(\frac{7\pi}{12})\) et \(\sin(\frac{7\pi}{12})\)

Utilisons l’identité \(\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\).

Formule de somme pour le cosinus :

\[
\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b
\]
Appliquons-la pour \(\cos(\frac{7\pi}{12})\) :

\[
\cos(\frac{7\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) – \sin(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})
\]

\[
= (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) – (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})
\]

\[
= \frac{\sqrt{2}}{4} – \frac{\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}
\]

Formule de somme pour le sinus :

\[
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
Appliquons-la pour \(\sin(\frac{7\pi}{12})\) :

\[
\sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\frac{\pi}{4})
\]

\[
= (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})
\]

\[
= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

Exercice 9 – simplifier et résoudre des équations.

1) Simplifier l’expression suivante :

On utilise la formule de différence de cosinus :

Donc, on a :

Simplification :

2) Établir l’égalité suivante :

Écrivons et avec les identités d’angle multiples :

On simplifie chaque terme en développant avec les formules connues pour

Il reste à vérifier l’égalité par substitution et manipulation algébrique des termes.

3) Résoudre dans ]-\pi ; \pi] l’équation suivante :

On exprime le membre de gauche comme un seul cosinus :

où

et

Donc, l’équation devient :

Ce qui donne les solutions :

2x – \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{7} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad 2x – \frac{\pi}{6} = – \frac{\pi}{7} + 2k\pi

On résout pour dans chaque cas pour obtenir les valeurs entre et .

Exercice 10 – déterminer les coordonnées d’un vecteur.

1) a) Déterminer les coordonnées d’un vecteur \(\vec{u}\) telles que \(\mathcal{C}_f\) est invariante par translation de vecteur \(\vec{u}\).

Pour que la courbe soit invariante par translation, il faut que le vecteur \(\vec{u}\) soit le vecteur période de la fonction. En analysant le graphique, on observe que la fonction recommence son motif toutes les 4 unités sur l’axe des abscisses.

Donc, un vecteur \(\vec{u}\) qui traduit la fonction de la même manière est :

b) Déterminer la valeur de \(T\).

La période \(T\) de la fonction est donc de 4. Ainsi,

2) Donner l’image par \(f\) des entiers : 14, -16, 56 et 58.

Étant donné que la fonction est périodique de période 4, on calcule chacune de ces valeurs modulo 4 pour trouver leur équivalent dans une période.

• Pour 14 : donc
• Pour -16 : donc
• Pour 56 : donc
• Pour 58 : donc

Conclusion :

• \(f(14) = f(2)\)
• \(f(-16) = f(0)\)
• \(f(56) = f(0)\)
• \(f(58) = f(2)\)

En se référant au graphe, on lit :
\(f(2) = 2\) et \(f(0) = 0\).

Donc, les images finales sont :
\(f(14) = 2\), \(f(-16) = 0\), \(f(56) = 0\), \(f(58) = 2\).