Nombres relatifs en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Sommaire

Voici le corrigé exercices nombres relatifs 5ème pour les dix premières séries de la fiche. On y retrouve tout le programme de l’année sur les relatifs : lire et placer des abscisses sur une droite graduée, se repérer dans le plan avec des coordonnées, comparer et ranger des nombres positifs et négatifs, et surtout additionner et soustraire des nombres relatifs, y compris dans des expressions avec parenthèses et crochets.

La règle centrale est rappelée à chaque fois : soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé. On transforme donc chaque différence en somme, puis on regroupe les termes positifs d’un côté, les négatifs de l’autre. Les droites graduées et le repère sont redessinés avec les réponses, pour vérifier d’un coup d’œil.

Conseil d’utilisation : traite l’exercice sur ton cahier, puis confronte ta résolution à celle-ci. Si ton résultat diffère, reprends la ligne où tu as changé une soustraction en addition : c’est là que se cachent la plupart des erreurs de signe.

Les énoncés se trouvent sur la fiche Nombres relatifs : exercices de maths en 5ème corrigés en PDF. (56 exercices au total). Cherchez d’abord chaque exercice au brouillon, puis comparez avec la correction.

Corrigé des exercices 1 à 10 sur les nombres relatifs en 5ème

Exercice 1 : Opérations sur les nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 1

Situation 1. Pour soustraire, on ajoute l’opposé.

\[ \begin{aligned} A &= (+17) + (-4) = \mathbf{+13} \\ B &= (-6) + (-5) = \mathbf{-11} \\ C &= (-7) + (+3) + (-2) = (-4) + (-2) = \mathbf{-6} \\ D &= (+4) + (-3) + (+2) + (-1) = (+6) + (-4) = \mathbf{+2} \\ E &= (-7) + (-10) + (+5) + (-1) + (+2) = (-18) + (+7) = \mathbf{-11} \\ F &= (+7) – (-5) = (+7) + (+5) = \mathbf{+12} \\ G &= (+12{,}3) – (+5{,}6) = (+12{,}3) + (-5{,}6) = \mathbf{+6{,}7} \\ H &= (+35{,}3) – (-4{,}5) = (+35{,}3) + (+4{,}5) = \mathbf{+39{,}8} \\ I &= (-13) – (+55) = (-13) + (-55) = \mathbf{-68} \\ J &= (-25) – (-47) = (-25) + (+47) = \mathbf{+22} \end{aligned} \]

Situation 2.

\[ \begin{aligned} A &= (+27) – (+53) – (-2{,}9) – (+13{,}7) = 27 – 53 + 2{,}9 – 13{,}7 = 29{,}9 – 66{,}7 = \mathbf{-36{,}8} \\ B &= (-25) – (-47) – (-17{,}7) – (+3{,}4) = -25 + 47 + 17{,}7 – 3{,}4 = 64{,}7 – 28{,}4 = \mathbf{+36{,}3} \\ C &= (-13) – (+55) + 17 – 32 + 56 – 32 + 12{,}87 = (17 + 56 + 12{,}87) – (13 + 55 + 32 + 32) = 85{,}87 – 132 = \mathbf{-46{,}13} \\ D &= (-26) + (+75) – (+6) + (-27) – (-48) = -26 + 75 – 6 – 27 + 48 = 123 – 59 = \mathbf{+64} \end{aligned} \]

Situation 3. On supprime les parenthèses puis on regroupe les termes qui « vont bien ensemble » :

\[ \begin{aligned} A &= 503 + 343{,}8 + 415{,}5 – 743{,}8 – 203 – 84{,}5 \\ &= (503 – 203) + (343{,}8 – 743{,}8) + (415{,}5 – 84{,}5) \\ &= 300 + (-400) + 331 \\ &= \mathbf{231} \end{aligned} \]

Situation 4. On calcule d’abord l’intérieur des parenthèses, en respectant les priorités.

\[ \begin{aligned} A &= (-5) + (3 – 2 \times 4 – 6) – (-12) = (-5) + (3 – 8 – 6) + 12 = -5 – 11 + 12 = \mathbf{-4} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (+7{,}4) – [2 + (3 – 4 \times 2{,}6)] + (-7) + (-11) \\ &= 7{,}4 – [2 + (3 – 10{,}4)] – 7 – 11 \\ &= 7{,}4 – [2 – 7{,}4] – 18 \\ &= 7{,}4 + 5{,}4 – 18 = \mathbf{-5{,}2} \end{aligned} \]

Situation 5. Ramsès II meurt en \( -1\,304 + 67 = -1\,237 \). Ramsès III meurt en \( -1\,134 \) (sa durée de vie n’est pas utile ici). L’écart entre les deux décès est :

\[ (-1\,134) – (-1\,237) = -1\,134 + 1\,237 = 103 \]

Réponse : 103 ans séparent la mort de Ramsès II (−1 237) de celle de Ramsès III (−1 134) ; en situation 3, A = 231 ; en situation 4, A = −4 et B = −5,2.

Exercice 2 : Nombres relatifs – axe gradué

Revoir l’énoncé de l’exercice 2

Axes gradués. On repère d’abord la valeur d’une graduation grâce aux deux nombres écrits (0 et +1, 0 et +5, 0 et +100), puis on compte les graduations.

Axe 1 : entre 0 et +1 il y a deux intervalles, une graduation vaut 0,5. B(−4) ; H(−3,5) ; F(−3) ; C(−2) ; D(0) ; A(+2) ; E(+3) ; G(+3,5).
Axe 2 : une graduation vaut 5. F(−20) ; A(−15) ; B(−10) ; G(−5) ; H(0) ; C(+10) ; D(+15) ; E(+20).
Axe 3 : une graduation entière vaut 100 et certains points sont au milieu (50). A(−400) ; C(−250) ; H(−150) ; F(0) ; E(+100) ; G(+250) ; B(+300) ; D(+400).

Abscisses lues sur les trois droites graduées

Axe gradué (bis). Les nombres vont de −4 000 à +3 500 : on choisit une graduation de 500 (par exemple 1 cm pour 500).

Axe gradué (bis) : un pas représente 500

Rangement. Les négatifs sont plus petits que 0, et parmi eux le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro : \( -5{,}8 \lt -5{,}35 \) car \( 5{,}8 \gt 5{,}35 \).

\[ -5{,}8 \lt -5{,}35 \lt -3{,}7 \lt 0 \lt +6{,}28 \lt +6{,}4 \]

Réponse : ordre croissant : −5,8 ; −5,35 ; −3,7 ; 0 ; +6,28 ; +6,4.

Exercice 3 : Somme de nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 3

On regroupe les nombres positifs d’un côté, les négatifs de l’autre.

\[ \begin{aligned} A &= (-8) + (+9) + (+4) + (-6) = [(+9) + (+4)] + [(-8) + (-6)] = (+13) + (-14) = \mathbf{-1} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= (-25) + (-75) + (+37) + (+13) = (-100) + (+50) = \mathbf{-50} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= (-6{,}4) + (+1{,}2) + (-12{,}3) + (-8) = (-26{,}7) + (+1{,}2) = \mathbf{-25{,}5} \end{aligned} \]

Réponse : A = −1 ; B = −50 ; C = −25,5.

Exercice 4 : Relatif et repère orthonormal

Revoir l’énoncé de l’exercice 4

1) Le premier nombre est l’abscisse (lue sur l’axe horizontal), le second l’ordonnée (axe vertical). Par exemple, pour placer P(5 ; −3), on avance de 5 vers la droite puis on descend de 3.

2) On relie dans l’ordre R → B → P → S → E → R → H → M → Z.

Le tracé R-B-P-S-E-R-H-M-Z dessine un voilier

3) La ligne R-B-P-S-E-R forme la coque (un trapèze), le segment [RH] le mât, et le triangle H-M-Z la voile.

Réponse : le dessin représente un voilier (un bateau à voile).

Exercice 5 : Calculs – nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 5

\[ \begin{aligned} A &= (-6) + (+7) + (+10) + (-11) = (+17) + (-17) = \mathbf{0} \\ B &= (-2) + (-7) + (+9) = (-9) + (+9) = \mathbf{0} \\ C &= (-3) + (-7) + (+3{,}5) + (+8) + (-1) = (-11) + (+11{,}5) = \mathbf{+0{,}5} \end{aligned} \]

Pour D et E, on transforme d’abord les soustractions en additions de l’opposé :

\[ \begin{aligned} D &= (-4) + (+9) – (-2) = (-4) + (+9) + (+2) = \mathbf{+7} \\ E &= (+8) – (-5) – (+12) + (-2) = (+8) + (+5) + (-12) + (-2) = (+13) + (-14) = \mathbf{-1} \end{aligned} \]

Réponse : A = 0 ; B = 0 ; C = +0,5 ; D = +7 ; E = −1.

Exercice 6 : Addition et soustractions de nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 6

On écrit chaque expression comme une somme simplifiée, puis on regroupe.

\[ \begin{aligned} A &= -27 + 12 – (-4) + (-55) + 5 = -27 + 12 + 4 – 55 + 5 = 21 – 82 = \mathbf{-61} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} B &= 10{,}2 + (-33) – (+4{,}7) + 8{,}9 + (-7{,}8) – (-10{,}5) \\ &= 10{,}2 – 33 – 4{,}7 + 8{,}9 – 7{,}8 + 10{,}5 \\ &= 29{,}6 – 45{,}5 = \mathbf{-15{,}9} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C &= -101 + 23{,}7 + (-42{,}8) + (-32{,}9) + 74{,}2 = 97{,}9 – 176{,}7 = \mathbf{-78{,}8} \end{aligned} \]

Réponse : A = −61 ; B = −15,9 ; C = −78,8.

Exercice 7 : Parenthèses emboitées et nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 7

On calcule en partant des parenthèses les plus intérieures.

\[ \begin{aligned} A &= (5 – 7) + (-9) = (-2) + (-9) = \mathbf{-11} \\ B &= [(-4) + (5 – 3)] – (7 + 8) = [(-4) + 2] – 15 = (-2) – 15 = \mathbf{-17} \\ C &= [(8 – 9) – 3] – (8 + 4) = [(-1) – 3] – 12 = (-4) – 12 = \mathbf{-16} \\ D &= [(1 – 3) + 7 – 2] + (7 – 8) = [(-2) + 7 – 2] + (-1) = 3 + (-1) = \mathbf{2} \end{aligned} \]

Réponse : A = −11 ; B = −17 ; C = −16 ; D = 2.

Exercice 8 : Comparaison de nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 8

1. Plusieurs réponses sont possibles ; en voici une par ligne (tout entier qui convient est accepté) :

\[ -5 \lt -4 \qquad -14 \gt -15 \qquad -3 \lt 0 \qquad 0 \gt -1 \qquad 4 \gt 3 \qquad -12 \gt -13 \]

2. Ordre décroissant (du plus grand au plus petit). Parmi les négatifs, \( -25{,}4 \lt -25 \) car 25,4 est plus éloigné de zéro.

\[ 16{,}4 \gt +5{,}2 \gt 4{,}2 \gt 0 \gt -4{,}2 \gt -25 \gt -25{,}4 \]

3. On cherche les entiers relatifs \( a \) tels que \( -2{,}9 \lt a \lt 2{,}1 \). Sur la droite graduée, ce sont les entiers situés entre les deux bornes.

Les entiers compris entre −2,9 et 2,1 (croix bleues)

Réponse : 2. 16,4 > 5,2 > 4,2 > 0 > −4,2 > −25 > −25,4 ; 3. a peut valoir −2, −1, 0, 1 ou 2.

Exercice 9 : Opération sur les nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 9

\[ \begin{aligned} A &= -7 + 9 + (+4) + (-2) + (-9) \\ &= -7 + 9 + 4 – 2 – 9 \\ &= (9 + 4) – (7 + 2 + 9) \\ &= 13 – 18 = \mathbf{-5} \end{aligned} \]

Réponse : A = −5.

Exercice 10 : Opérations sur les nombres relatifs

Revoir l’énoncé de l’exercice 10

\[ \begin{aligned} A &= (-5) – (+7) – (-3) + (+11) = -5 – 7 + 3 + 11 = 14 – 12 = \mathbf{2} \\ B &= (-2) + (-1) – (+4) + (-3) – (-8) = -2 – 1 – 4 – 3 + 8 = 8 – 10 = \mathbf{-2} \\ C &= (-28) – (-32) + (-25) + (+28) + (-32) = -28 + 32 – 25 + 28 – 32 = \mathbf{-25} \\ D &= (-25) – (-36) + (+12) – (+13) – (-10) = -25 + 36 + 12 – 13 + 10 = 58 – 38 = \mathbf{20} \end{aligned} \]

Pour C, on peut remarquer que \( -28 + 28 = 0 \) et \( 32 – 32 = 0 \) : il ne reste que \( -25 \).

\[ \begin{aligned} E &= 15 + 7 – 12 + 18 = 40 – 12 = \mathbf{28} \\ F &= -9 + 3 – 4 + 7 = 10 – 13 = \mathbf{-3} \\ G &= 18 + 12 – 9 + 11 – 15 + 10 = 51 – 24 = \mathbf{27} \end{aligned} \]

Réponse : A = 2 ; B = −2 ; C = −25 ; D = 20 ; E = 28 ; F = −3 ; G = 27.

La méthode à retenir sur les nombres relatifs

Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : \( (-25) – (-47) = (-25) + (+47) \).
Pour une somme de plusieurs relatifs, regroupe les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre, puis fais une seule différence.
Deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro.
Sur une droite graduée, calcule d’abord la valeur d’une graduation à partir de deux repères connus.
Pour comparer deux négatifs, le plus petit est celui qui est le plus loin de zéro.
Dans un repère, un point s’écrit (abscisse ; ordonnée) : horizontal d’abord, vertical ensuite.

Les erreurs fréquentes

Oublier de changer le signe du nombre qui suit un « − » : \( (+7) – (-5) \) vaut \( +12 \), pas \( +2 \).
Croire que \( -25{,}4 \) est plus grand que \( -25 \) parce que 25,4 est plus grand que 25.
Supposer qu’une graduation vaut toujours 1 : sur le premier axe, elle vaut 0,5.
Inverser abscisse et ordonnée : placer P(5 ; −3) en (−3 ; 5).
Dans un calcul de dates avant J.-C., soustraire dans le mauvais sens : l’écart est « date la plus récente moins date la plus ancienne ».

Les exercices 11 à 56 de la fiche ne sont pas corrigés ici : ce sont de bons entraînements en autonomie une fois la méthode comprise. Retrouver tous les énoncés.

Questions fréquentes

Pourquoi moins par moins donne-t-il plus dans une soustraction ?

Retirer une dette revient à gagner de l’argent : enlever \( -5 \) équivaut à ajouter 5. C’est pour cela qu’on remplace « \( -(-5) \) » par « \( +5 \) ». La règle des signes de la multiplication sera vue en 4ème.

Peut-on supprimer les parenthèses autour des nombres relatifs ?

Oui, une fois les soustractions transformées : \( (+8) + (-5) \) s’écrit simplement \( 8 – 5 \). Cette écriture simplifiée est plus rapide et c’est celle qu’on utilisera en 4ème et 3ème. Il faut juste que chaque signe devant un nombre soit le bon.

À quoi servent les nombres relatifs dans la vie courante ?

Ils servent pour les températures sous zéro, les altitudes sous le niveau de la mer, les soldes bancaires et les dates avant notre ère, comme dans l’exercice sur Ramsès. Savoir les additionner permet de calculer un écart de température ou une durée entre deux dates.

Pour aller plus loin :

Les énoncés : Nombres relatifs : exercices de maths en 5ème corrigés en PDF.
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