Probabilités et variables aléatoires en première : corrigé des exercices 1 à 10

L’événement contraire est réalisé exactement quand l’événement ne l’est pas : on inverse l’inégalité en faisant attention au cas d’égalité.

• 1) Le contraire de \((X \gt 5)\) est \((X \leqslant 5)\).
• 2) Le contraire de « \(X\) est supérieur ou égal à 2 », c’est-à-dire \((X \geqslant 2)\), est \((X \lt 2)\) : « \(X\) est strictement inférieur à 2 ».
• 3) Le contraire de \((X \leqslant 3)\) est \((X \gt 3)\).
• 4) Le contraire de « \(X\) est inférieur ou égal à 4 » est \((X \gt 4)\) : « \(X\) est strictement supérieur à 4 ».

La négation de « tous … » (ou « chaque », « tous les jours ») est « au moins un … ne … pas ». La négation de « jamais » est « au moins une fois ».

• 1) « Au moins un élève de la classe ne sera pas admis au bac. »
• 2) « Il y a au moins un jour où Paul ne mange pas à la cantine. »
• 3) « Je vais au moins une fois au cinéma le dimanche » (autrement dit : il m’arrive d’aller au cinéma le dimanche).
• 4) « Au moins un élève de la classe ne possède pas de téléphone portable. »

Attention : le contraire de « tous seront admis » n’est pas « aucun ne sera admis ».

Pour une loi de probabilité, chaque \(p_i\) est compris entre 0 et 1 et la somme des \(p_i\) vaut 1 :

\[ 0{,}15 + 0{,}2 + a + 0{,}05 + 0{,}35 = 1 \iff 0{,}75 + a = 1 \iff a = 0{,}25. \]

On vérifie que \(0 \leqslant 0{,}25 \leqslant 1\).

1) L’arbre donne \(P(A) = \frac{2}{7}\), \(P_A\left(\overline{B}\right) = \frac{3}{5}\) et \(P_{\overline{A}}(B) = \frac{1}{3}\).

2) La somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1 :

\[ P\left(\overline{A}\right) = 1 – \frac{2}{7} = \frac{5}{7}, \qquad P_A(B) = 1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5}, \qquad P_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \]

3) D’après la formule des probabilités totales (on additionne les chemins qui mènent à \(B\)) :

\[ \begin{aligned} P(B) &= P(A) \times P_A(B) + P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(B) \\ &= \frac{2}{7} \times \frac{2}{5} + \frac{5}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{35} + \frac{5}{21} = \frac{12}{105} + \frac{25}{105} = \frac{37}{105}. \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0{,}3 + 0{,}6 – 0{,}2 = 0{,}7 \\ P_B(A) &= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}2}{0{,}6} = \frac{1}{3} \\ P_A(B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}2}{0{,}3} = \frac{2}{3} \end{aligned} \]

Remarque : \(P_B(A)\) et \(P_A(B)\) sont différents, car on ne divise pas par la même probabilité.

\(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).

\[ P(A) \times P(B) = \frac{7}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{14}{56} = \frac{1}{4} = P(A \cap B). \]

L’égalité est vérifiée : \(A\) et \(B\) sont indépendants (et on a bien \(P_A(B) = \frac{1/4}{7/8} = \frac{2}{7} = P(B)\)).

1) On utilise les totaux (lignes et colonnes) :

• \(P\left(\overline{A_1}\right) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\) et \(P(A_2) = 1 – 0{,}8 = 0{,}2\) ;
• \(P\left(A_1 \cap A_2\right) = 0{,}2 – 0{,}15 = 0{,}05\) ;
• \(P\left(A_1 \cap \overline{A_2}\right) = 0{,}7 – 0{,}05 = 0{,}65\) et \(P\left(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}\right) = 0{,}3 – 0{,}15 = 0{,}15\).

Contrôle : \(0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}65 + 0{,}15 = 1\).

2)

\[ P_{A_1}(A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)} = \frac{0{,}05}{0{,}7} = \frac{1}{14} \approx 0{,}071 \qquad P_{A_2}(A_1) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0{,}05}{0{,}2} = 0{,}25. \]

1) De \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\), on tire :

\[ P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = 0{,}45 + 0{,}6 – 0{,}9 = 0{,}15. \]

2)

\[ P_B(A) = \frac{0{,}15}{0{,}6} = 0{,}25 \qquad P_A(B) = \frac{0{,}15}{0{,}45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}. \]

1) Sur chaque nœud, les probabilités des branches ont pour somme 1 : \(P\left(\overline{A}\right) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\), \(P_A(B) = 1 – 0{,}2 = 0{,}8\), \(P_{\overline{A}}(B) = 1 – 0{,}6 = 0{,}4\). La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches :

\[ \begin{aligned} P(A \cap B) &= 0{,}7 \times 0{,}8 = 0{,}56 & P\left(A \cap \overline{B}\right) &= 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14 \\ P\left(\overline{A} \cap B\right) &= 0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12 & P\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right) &= 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18 \end{aligned} \]

2) Probabilités totales : \(P(B) = P(A \cap B) + P\left(\overline{A} \cap B\right) = 0{,}56 + 0{,}12 = 0{,}68\).

1) \(A\) et \(B\) sont indépendants, donc \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}7 = 0{,}35\).

2) Première méthode : \(B\) est la réunion disjointe de \(A \cap B\) et \(\overline{A} \cap B\), donc

\[ P\left(\overline{A} \cap B\right) = P(B) – P(A \cap B) = 0{,}7 – 0{,}35 = 0{,}35. \]

Seconde méthode : si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(\overline{A}\) et \(B\) le sont aussi, donc

\[ P\left(\overline{A} \cap B\right) = P\left(\overline{A}\right) \times P(B) = (1 – 0{,}5) \times 0{,}7 = 0{,}35. \]