Le parallélogramme en 5ème : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

Construction (la figure donne DC = 3 cm, DA = 5 cm et \(\widehat{ADC} = 67^\circ\)) :

1. Tracer le segment [DC] de 3 cm.
2. Au rapporteur, tracer en D une demi-droite faisant un angle de 67° avec [DC], et y placer A tel que DA = 5 cm.
3. Tracer l’arc de centre A de rayon 3 cm et l’arc de centre C de rayon 5 cm : ils se coupent en B.
4. Tracer [AB] et [BC].

Longueurs et angles déduits. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : AB = DC = 3 cm et BC = DA = 5 cm. Les angles opposés sont égaux : \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 67^\circ\). Deux angles consécutifs sont supplémentaires :

\[ \widehat{DAB} = \widehat{BCD} = 180^\circ – 67^\circ = 113^\circ \]

L’image regroupe quatre petits exercices.

Exercice 1. 1) On trace deux segments perpendiculaires de 8 cm et 7 cm qui ont le même milieu O ; leurs extrémités sont les sommets du losange (un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires est un losange).

2) Le losange est formé de 4 triangles rectangles de côtés 4 cm et 3,5 cm, ce qui revient à la moitié du rectangle de 8 cm sur 7 cm :

\[ \mathcal{A} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \text{ cm}^2 \]

Exercice 2. Dans le triangle EFG : \(\widehat{FEG} = 180^\circ – 65^\circ – 25^\circ = 90^\circ\), donc EFG est rectangle en E. H est le symétrique de F et I celui de G par rapport à E : E est le milieu de [FH] et de [GI]. Les diagonales [FH] et [GI] de IFGH ont le même milieu, donc IFGH est un parallélogramme. De plus elles sont portées par (EF) et (EG), qui sont perpendiculaires : un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. (Ses diagonales ne sont pas de même longueur, GI = 16 cm et FH ≈ 7,5 cm, ce n’est donc pas un carré.)

Exercice 3. AEBI est un parallélogramme par construction. Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu I, donc IA = IB. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange : AEBI est un losange.

Exercice 4. 1) \(\widehat{ABC} = 180^\circ – 110^\circ – 35^\circ = 35^\circ\). Les angles \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{ACB}\) sont égaux : ABC est isocèle en A, donc AC = AB = 6 cm.

2) Par construction (BD) // (AC) et (CD) // (AB) : les côtés opposés de ABDC sont parallèles, c’est un parallélogramme. Comme AB = AC (deux côtés consécutifs égaux), ABDC est un losange.

Dans le parallélogramme OURS, les diagonales sont [OR] et [US] ; elles se coupent en leur milieu I, donc IO = IR = 8 ÷ 2 = 4 cm et IU = IS = 10 ÷ 2 = 5 cm.

1. et 2. Programme de construction :

1. Tracer un segment [OR] de 8 cm et placer son milieu I.
2. Au rapporteur, tracer la demi-droite [Ix) telle que \(\widehat{OIx} = 120^\circ\).
3. Placer U sur [Ix) tel que IU = 5 cm.
4. Prolonger (UI) au-delà de I et placer S tel que IS = 5 cm (S est le symétrique de U par rapport à I).
5. Tracer le quadrilatère OURS en joignant O, U, R, S dans cet ordre.

Les diagonales de BRUN sont [BU] et [RN], de milieu E. On commence par le triangle BER dont on connaît les trois côtés.

1. Tracer [BE] de 3,5 cm.
2. Tracer l’arc de centre B de rayon 5 cm et l’arc de centre E de rayon 4,5 cm : ils se coupent en R.
3. Prolonger [BE] au-delà de E et placer U tel que EU = EB = 3,5 cm.
4. Prolonger [RE] au-delà de E et placer N tel que EN = ER = 4,5 cm.
5. Joindre B, R, U, N dans cet ordre.

Les diagonales [BU] et [RN] ont le même milieu E : BRUN est bien un parallélogramme de centre E.

1. Construction. Tracer [DM] de 7 cm ; en D tracer un angle de 32° et en M un angle de 58° du même côté : les deux demi-droites se coupent en O. Placer K, milieu de [DM], puis I symétrique de O par rapport à K. Les diagonales [DM] et [OI] ont le même milieu K : DOMI est un parallélogramme.

2. Démonstration. Dans le triangle DOM, la somme des angles vaut 180° :

\[ \widehat{DOM} = 180^\circ – 32^\circ – 58^\circ = 90^\circ \]

Le parallélogramme DOMI a donc un angle droit. Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.

Le triangle ABC est rectangle en A (la diagonale [AC] est perpendiculaire à [AB]) : on le construit en premier.

1. Tracer [AB] de 3 cm.
2. Tracer la perpendiculaire à (AB) passant par A.
3. Tracer l’arc de centre B et de rayon 5 cm : il coupe la perpendiculaire en C.
4. Placer O, milieu de [AC], puis D symétrique de B par rapport à O.
5. Joindre A, B, C, D.

En mesurant, on trouve AC = 4 cm et donc AO = 2 cm. On vérifie : AD = BC = 5 cm et DC = AB = 3 cm.

On connaît les trois côtés du triangle IJK : IJ = 6 cm, JK = 4 cm et IK = 7 cm (diagonale).

1. Tracer [IJ] de 6 cm.
2. Arc de centre I de rayon 7 cm et arc de centre J de rayon 4 cm : ils se coupent en K.
3. Côtés opposés de même longueur : LK = IJ = 6 cm et LI = JK = 4 cm. Arc de centre K de rayon 6 cm et arc de centre I de rayon 4 cm : ils se coupent en L.
4. Joindre I, J, K, L.

Sur le schéma, J est le point d’intersection des diagonales [FH] et [GI] ; on lit FG = 6 cm, FJ = 4,3 cm et JG = 3 cm.

1. Tracer [FG] de 6 cm.
2. Arc de centre F de rayon 4,3 cm et arc de centre G de rayon 3 cm : ils se coupent en J.
3. Les diagonales se coupent en leur milieu : prolonger [FJ] et placer H avec JH = 4,3 cm ; prolonger [GJ] et placer I avec JI = 3 cm.
4. Joindre F, G, H, I.

Données : OL = 7 cm, LI = 4 cm et \(\widehat{JOL} = 75^\circ\). Les côtés opposés sont égaux, donc OJ = LI = 4 cm et JI = OL = 7 cm.

1. Tracer [OL] de 7 cm.
2. Au rapporteur, tracer en O une demi-droite faisant un angle de 75° avec [OL] et y placer J tel que OJ = 4 cm.
3. Arc de centre L de rayon 4 cm et arc de centre J de rayon 7 cm : ils se coupent en I.
4. Joindre J, O, L, I.

E est le centre du parallélogramme : on lit ED = 5 cm, EC = 2,5 cm et \(\widehat{DEC} = 80^\circ\).

1. Tracer [ED] de 5 cm.
2. En E, tracer au rapporteur une demi-droite faisant 80° avec [ED] et y placer C tel que EC = 2,5 cm.
3. Prolonger [DE] au-delà de E : placer B tel que EB = 5 cm.
4. Prolonger [CE] au-delà de E : placer A tel que EA = 2,5 cm.
5. Joindre A, B, C, D.