Lois normales en terminale : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

\(L\) suit la loi \(\mathcal{N}(0\,;\,1)\). On utilise la calculatrice (fonction de répartition normale avec \(\mu=0\) et \(\sigma=1\)).

a) \(P(-0{,}1\leqslant L\leqslant 0{,}1)\approx 0{,}0797\).

b) \(P(L\leqslant 0{,}05)\approx 0{,}5199\).

c) \(P(L\geqslant 0{,}2)=1-P(L\lt 0{,}2)\approx 1-0{,}5793=0{,}4207\).

Interprétation du a) : environ 8 % des vis ont une longueur comprise entre 34,9 mm et 35,1 mm.

1) \(T\geqslant 0{,}25\) signifie \(t-3\geqslant 0{,}25\), soit \(t\geqslant 3{,}25\) h. L’événement est donc : « le participant a mis au moins 3 h 15 min pour faire la course » (soit au moins un quart d’heure de plus que le temps moyen).

2) À la calculatrice, avec \(T\) de loi \(\mathcal{N}(0\,;\,1)\) :

• a) \(P(T\geqslant 0{,}25)\approx 0{,}40\) ;
• b) \(P(T\leqslant -0{,}5)\approx 0{,}31\) ;
• c) \(P(-0{,}1\leqslant T\leqslant 0{,}2)\approx 0{,}12\).

\(X\) est exprimée en milliers d’euros et suit \(\mathcal{N}(0\,;\,1)\).

1) Être à découvert, c’est avoir un solde négatif : \(P(X\lt 0)=0{,}5\) par symétrie de la courbe autour de 0.

2) a) Entre 200 et 500 euros : \(P(0{,}2\leqslant X\leqslant 0{,}5)\approx 0{,}1122\).

b) À découvert d’entre 100 et 600 euros : le solde est entre −600 et −100 euros, soit \(P(-0{,}6\leqslant X\leqslant -0{,}1)\approx 0{,}1859\).

3) Recevoir un SMS, c’est l’événement \(X\lt 0\). Être à découvert de plus de 500 euros, c’est \(X\lt -0{,}5\), événement inclus dans \(X\lt 0\). Donc

\[ P_{X\lt 0}(X\lt -0{,}5)=\frac{P(X\lt -0{,}5)}{P(X\lt 0)}\approx\frac{0{,}308\,54}{0{,}5}\approx 0{,}6171. \]

1) \(X\) suit \(\mathcal{N}(2\,;\,3^2)\) : \(\mu=2\) et \(\sigma=3\). Calculatrice, arrondis au millième :

• a) \(P(0\leqslant X\leqslant 3)\approx 0{,}378\) ;
• b) \(P(X\lt 2)=0{,}5\) (car \(2=\mu\)) ;
• c) \(P(4\geqslant X)=P(X\leqslant 4)\approx 0{,}748\) ;
• d) \(P(X\lt 1)\approx 0{,}369\) ;
• e) \(P(X\geqslant 3)\approx 0{,}369\) (même valeur que d) par symétrie : 1 et 3 sont symétriques par rapport à 2) ;
• f) \(P(X\gt -2)\approx 0{,}909\) ;
• g) \(P_{1\lt X\lt 3}(X\geqslant 2)=\dfrac{P(2\leqslant X\lt 3)}{P(1\lt X\lt 3)}=0{,}5\), car l’intervalle \(]1\,;\,3[\) est coupé en deux parties de même aire par \(\mu=2\) ;
• h) \(P_{X\geqslant 2}(X\gt 3)=\dfrac{P(X\gt 3)}{P(X\geqslant 2)}\approx\dfrac{0{,}3694}{0{,}5}\approx 0{,}739\).

2) \(Y\) suit \(\mathcal{N}(10\,;\,4^2)\). On se ramène toujours à une égalité du type \(P(Y\leqslant t)=p\), puis on utilise la fonction « inverse normale » de la calculatrice.

• a) \(P(Y\lt t)=0{,}2\) donne \(t\approx 6{,}634\).
• b) \(P(Y\geqslant t)=0{,}7\) équivaut à \(P(Y\lt t)=0{,}3\), d’où \(t\approx 7{,}902\).
• c) \(P(-t\lt Y-10\lt t)=P(10-t\lt Y\lt 10+t)=0{,}9\). Par symétrie, \(P(Y\lt 10+t)=0{,}95\), donc \(10+t\approx 16{,}579\) et \(t\approx 6{,}579\).
• d) \(P(t\leqslant Y\leqslant 10)=0{,}35\) équivaut à \(0{,}5-P(Y\lt t)=0{,}35\), soit \(P(Y\lt t)=0{,}15\) : \(t\approx 5{,}854\).
• e) \(P(t\leqslant Y\lt 9)=P(Y\lt 9)-P(Y\lt t)=0{,}1\). Or \(P(Y\lt 9)\approx 0{,}4013\), donc \(P(Y\lt t)\approx 0{,}3013\) et \(t\approx 7{,}917\).

\(Z\) suit \(\mathcal{N}(8\,;\,4)\) : la variance vaut 4, donc \(\sigma=2\) (et non 4).

1) a) \(P(6\leqslant Z\leqslant 12)\approx 0{,}8186\).

b) \(P(Z\gt 9)\approx 0{,}3085\).

c) \(P(Z\leqslant 7{,}5)\approx 0{,}4013\).

d) \(P_{Z\geqslant 8}(Z\lt 10)=\dfrac{P(8\leqslant Z\lt 10)}{P(Z\geqslant 8)}=\dfrac{P(8\leqslant Z\lt 10)}{0{,}5}\approx\dfrac{0{,}341\,34}{0{,}5}\approx 0{,}6827\). On retrouve la probabilité de l’intervalle \([\mu-\sigma\,;\,\mu+\sigma]\).

2) a) \(P(Z\leqslant t)=0{,}3\) : fonction inverse normale, \(t\approx 6{,}9512\).

b) \(P(Z\geqslant 2t)=0{,}4\) équivaut à \(P(Z\lt 2t)=0{,}6\), donc \(2t\approx 8{,}5067\) et \(t\approx 4{,}2533\).

1) \(X\) suit \(\mathcal{N}(5\,;\,1{,}3^2)\). À la calculatrice :

\(P(X\gt 2)\approx 0{,}989\).

\[ P_{X\gt 1}(X\gt 3)=\frac{P\big((X\gt 3)\cap(X\gt 1)\big)}{P(X\gt 1)}=\frac{P(X\gt 3)}{P(X\gt 1)}\approx\frac{0{,}938\,03}{0{,}998\,95}\approx 0{,}939. \]

2) Si la loi était sans vieillissement, on aurait \(P_{X\gt 1}(X\gt 1+2)=P(X\gt 2)\). Or \(0{,}939\neq 0{,}989\). La loi de \(X\) n’est donc pas sans vieillissement (seule la loi exponentielle a cette propriété parmi les lois à densité).

La courbe de densité est symétrique par rapport à \(x=\mu\), donc \(P(Y\lt\mu)=0{,}5\), et \(\mu-a\), \(\mu+a\) sont symétriques par rapport à \(\mu\).

1) \(P(\mu\leqslant Y\leqslant \mu+a)=P(Y\lt\mu+a)-P(Y\lt\mu)=0{,}8-0{,}5=0{,}3\).

2) \(P(Y\gt\mu+a)=1-0{,}8=0{,}2\).

3) Par symétrie, \(P(Y\leqslant\mu-a)=P(Y\geqslant\mu+a)=0{,}2\).

4) \(P(\mu-a\leqslant Y\leqslant\mu+a)=2\times 0{,}3=0{,}6\) (ou \(1-0{,}2-0{,}2\)).

1) a) \(P(0\lt X\leqslant 2)=P(X\leqslant 2)-P(X\leqslant 0)=0{,}266-0{,}0304=0{,}2356\).

b) \(P(X\geqslant 1)=1-P(X\lt 1)=1-0{,}1056=0{,}8944\).

c) Les événements \(X\lt -1\) et \(X\gt 0\) sont incompatibles :

\[ P\big((X\lt -1)\cup(X\gt 0)\big)=P(X\lt -1)+1-P(X\leqslant 0)=0{,}0062+1-0{,}0304=0{,}9758. \]

2) Pour une loi normale, \(P(X\leqslant\mu)=0{,}5\). Le tableau donne \(P(X\leqslant 3)=0{,}5\), donc \(\mu=3\).

3) \(\sigma\) est l’un des nombres 1,1 ; 1,2 ; … ; 1,9. On teste à la calculatrice \(P(X\leqslant 2)\) pour \(X\) de loi \(\mathcal{N}(3\,;\,\sigma^2)\) : avec \(\sigma=1{,}6\), on obtient \(P(X\leqslant 2)\approx 0{,}266\), \(P(X\leqslant 1)\approx 0{,}1056\), \(P(X\leqslant 0)\approx 0{,}0304\) et \(P(X\leqslant -1)\approx 0{,}0062\) : tout le tableau est retrouvé. (Avec \(\sigma=1{,}5\), \(P(X\leqslant 2)\approx 0{,}252\) ; avec \(\sigma=1{,}7\), environ 0,278 : ces valeurs ne conviennent pas.)

1) Les trois lois ont la même espérance \(\mu=6\). Chaque courbe est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x=\mu\), et les trois courbes ont le même axe de symétrie passant par \(t\). Donc \(t=6\).

2) L’aire sous chaque courbe vaut 1. Plus l’écart-type \(\sigma\) est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de \(\mu\) : la courbe est haute et étroite (son maximum vaut \(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)). Plus \(\sigma\) est grand, plus elle est basse et étalée.

• \(\mathcal{C}_1\), la plus pointue, correspond à \(\sigma=1\) : c’est la courbe de \(Z\).
• \(\mathcal{C}_2\), intermédiaire, correspond à \(\sigma=2{,}5\) : courbe de \(X\).
• \(\mathcal{C}_3\), la plus aplatie, correspond à \(\sigma=5\) : courbe de \(Y\).

Notons \(V\) la durée à vélo, de loi \(\mathcal{N}(43\,;\,3^2)\), et \(B\) la durée en bus, de loi \(\mathcal{N}(38\,;\,15^2)\).

1) Le temps moyen est l’espérance : 43 min à vélo et 38 min en bus.

2) Il faut comparer les probabilités d’arriver à l’heure, c’est-à-dire de mettre au plus 45 minutes :

• \(P(V\leqslant 45)\approx 0{,}748\) (risque de retard \(\approx 0{,}252\)) ;
• \(P(B\leqslant 45)\approx 0{,}680\) (risque de retard \(\approx 0{,}320\)).

Bien que le bus soit plus rapide en moyenne, sa durée est beaucoup plus irrégulière (\(\sigma=15\)). Le vélo donne la plus grande probabilité d’arriver à l’heure.

3) Au retour, il n’y a plus d’horaire à respecter : le critère devient le temps de trajet moyen. On lui conseille alors le bus, dont la durée moyenne (38 min) est inférieure à celle du vélo (43 min).