La trigonométrie en seconde : corrigé détaillé des exercices 1 à 10

On ramène chaque réel à une mesure comprise entre \(0\) et \(2\pi\) (ou entre \(-\pi\) et \(\pi\)) en ajoutant ou retirant des multiples de \(2\pi\) : deux réels qui diffèrent de \(2k\pi\) ont le même point image.

• a) \(\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}\) : M est à 240°, dans le quart en bas à gauche.
• b) \(\frac{19\pi}{2} = \frac{16\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 8\pi + \frac{3\pi}{2}\) : N a la même image que \(\frac{3\pi}{2}\), c’est le point \((0\,;\,-1)\).
• c) \(-\frac{3\pi}{4}\) : on tourne de 135° dans le sens indirect ; P est à 225°.
• d) \(\frac{29\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = 6\pi + \frac{5\pi}{4}\), et \(\frac{5\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi\) : R est confondu avec P.

• a) \(\frac{\pi}{5}\) : M est à 36°, entre I et le point de \(\frac{\pi}{4}\).
• b) \(\frac{11\pi}{6} = 2\pi – \frac{\pi}{6}\) : N a la même image que \(-\frac{\pi}{6}\) (330°).
• c) \(-\frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6}\) : P est à 150°.
• d) \(-\frac{17\pi}{3} + 6\pi = -\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\) : R est à 60°.

Les réels ayant le même point image que \(x\) sont les nombres \(x + 2k\pi\), \(k\) entier. On ajoute \(2\pi\) (ou \(4\pi\)) pour les positifs et on retire \(2\pi\) (ou plus) pour un négatif.

• a) \(\pi\) : par exemple \(3\pi\) et \(5\pi\) ; négatif : \(-\pi\).
• b) \(\frac{\pi}{2}\) : \(\frac{5\pi}{2}\) et \(\frac{9\pi}{2}\) ; négatif : \(-\frac{3\pi}{2}\).
• c) \(\frac{\pi}{4}\) : \(\frac{9\pi}{4}\) et \(\frac{17\pi}{4}\) ; négatif : \(-\frac{7\pi}{4}\).
• d) \(-\frac{3\pi}{5}\) : \(-\frac{3\pi}{5} + 2\pi = \frac{7\pi}{5}\) et \(\frac{17\pi}{5}\) ; négatif : \(-\frac{13\pi}{5}\).

a) Calculatrice réglée en mode radian : \(\cos\frac{3\pi}{4} \approx -0{,}707\), soit \(-0{,}71\) au centième près.

b) \(\frac{3\pi}{4} = \pi – \frac{\pi}{4}\) : le point M image de \(\frac{3\pi}{4}\) est le symétrique, par rapport à l’axe des ordonnées, du point image de \(\frac{\pi}{4}\), qui a pour coordonnées \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Même ordonnée, abscisse opposée :

\[ \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad \sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

a) Le triangle OHM est rectangle en H avec \(OH = HM\) et \(OM = 1\). Théorème de Pythagore :

\[ OH^2 + HM^2 = OM^2 \iff 2\,OH^2 = 1 \iff OH^2 = \frac{1}{2} \iff OH = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

b) Le triangle est rectangle et isocèle : ses deux angles aigus sont égaux et leur somme vaut 90°, donc \(\widehat{HOM} = 45°\).

c) \(45° = \frac{\pi}{4}\) rad. Si M est placé sur le cercle trigonométrique (\(OM = 1\)) avec H sur l’axe des abscisses, alors \(\cos\frac{\pi}{4} = OH\) et \(\sin\frac{\pi}{4} = HM\) :

\[ \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

La figure rouge est formée de la corde \([AB]\), de la corde \([CD]\) et des deux arcs latéraux \(\overset{\frown}{AD}\) (passant par I) et \(\overset{\frown}{BC}\) (passant par L), qui ont la même longueur par symétrie.

Cordes. A a pour ordonnée 0,5, donc pour abscisse \(\sqrt{1 – 0{,}5^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) : \(AB = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\). D a pour ordonnée \(-0{,}6\), donc pour abscisse \(\sqrt{1 – 0{,}36} = 0{,}8\) : \(CD = 1{,}6\).

Arcs. Sur le cercle de rayon 1, la longueur d’un arc est égale à la mesure de l’angle en radians. A est l’image de \(\frac{\pi}{6}\) (car \(\sin\frac{\pi}{6} = 0{,}5\)) ; D est l’image d’un réel \(-a\) avec \(\sin a = 0{,}6\), la calculatrice donne \(a \approx 0{,}6435\). D’où :

\[ \overset{\frown}{AD} = \frac{\pi}{6} + a \approx 0{,}5236 + 0{,}6435 \approx 1{,}1671. \]
\[ \ell = \sqrt{3} + 1{,}6 + 2 \times 1{,}1671 \approx 5{,}67. \]

La figure rouge est formée de \([OI]\), de l’arc \(\overset{\frown}{IB}\), de \([BA]\) et de \([AO]\).

• \(OI = 1\).
• B est sur le cercle de rayon 1 avec une ordonnée 0,6 : son abscisse vaut \(\sqrt{1 – 0{,}36} = 0{,}8\), donc \(AB = 0{,}8\) et \(OA = 0{,}6\).
• L’arc \(\overset{\frown}{IB}\) a pour longueur l’angle \(\widehat{IOB}\) en radians, avec \(\sin\widehat{IOB} = 0{,}6\) : la calculatrice donne \(\widehat{IOB} \approx 0{,}6435\).

\[ L \approx 1 + 0{,}6435 + 0{,}8 + 0{,}6 \approx 3{,}04. \]

L’algorithme ajoute \(\cos\frac{k\pi}{n}\) pour \(k\) allant de 0 à \(n\) :

\[ S = \cos 0 + \cos\frac{\pi}{n} + \cos\frac{2\pi}{n} + \cdots + \cos\frac{n\pi}{n}. \]

a) \(n = 4\) :

\[ S = \cos 0 + \cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{2} + \cos\frac{3\pi}{4} + \cos\pi = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 – \frac{\sqrt{2}}{2} – 1 = 0. \]

b) \(n = 5\) : \(S = \cos 0 + \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{3\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5} + \cos\pi\). Les points images de \(\frac{\pi}{5}\) et \(\frac{4\pi}{5}\) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, donc \(\cos\frac{4\pi}{5} = -\cos\frac{\pi}{5}\) ; de même \(\cos\frac{3\pi}{5} = -\cos\frac{2\pi}{5}\), et \(\cos\pi = -\cos 0\). Les termes s’annulent deux à deux : \(S = 0\) (la calculatrice confirme).

Un angle de 180° correspond à \(\pi\) radians, donc \(\alpha\) degrés correspondent à \(\frac{\alpha \times \pi}{180}\) radians.

• a) 180° : \(\pi\)
• b) 90° : \(\frac{\pi}{2}\)
• c) 10° : \(\frac{10\pi}{180} = \frac{\pi}{18}\)
• d) 60° : \(\frac{\pi}{3}\)
• e) 30° : \(\frac{\pi}{6}\)
• f) 45° : \(\frac{\pi}{4}\)

a) \(\pi\) rad correspond à 180°, donc \(\frac{\pi}{10}\) rad correspond à \(\frac{180°}{10} = 18°\). Donc \(\widehat{IOM} = 18°\).

b) \(135° = 3 \times 45°\) et \(45°\) correspond à \(\frac{\pi}{4}\) : N est l’image de \(\frac{3\pi}{4}\) (ou de \(\frac{3\pi}{4} + 2k\pi\)).

Remarque : on en déduit aussi \(\widehat{MON} = 135° – 18° = 117°\).