Corrigé des 45 exercices sur les vecteurs en seconde : solutions détaillées à télécharger en PDF

a) Pour construire \(D\) tel que \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{BI}\), on part de \(J\) et on reproduit le déplacement qui va de \(B\) à \(I\) : \(D\) est le quatrième sommet du parallélogramme \(BIDJ\) (on trace la parallèle à \((AB)\) passant par \(J\) et on reporte la longueur \(BI\) dans le même sens).

b) \(E\) est le symétrique de \(J\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([JE]\). \(F\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([DF]\).

Les diagonales \([JE]\) et \([DF]\) du quadrilatère \(JDEF\) ont le même milieu \(C\), donc \(JDEF\) est un parallélogramme. Ensuite, on en déduit \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{FE}\).

De plus, Or \(\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{BI}\) par construction. Donc \(\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{FE}\), ce qui signifie que \(BIEF\) est un parallélogramme.

a) \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}\) : \(A\) est le milieu de \([EB]\), on place \(E\) sur la demi-droite \([BA)\) au-delà de \(A\). \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\) : \(B\) est le milieu de \([AD]\). \(C\) milieu de \([AG]\) : \(G\) est le symétrique de \(A\) par rapport à \(C\). \(C\) milieu de \([BF]\) : \(F\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(C\).

b) Les diagonales \([AG]\) et \([BF]\) du quadrilatère \(ABGF\) ont le même milieu \(C\) : \(ABGF\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FG}\).

Comme \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AB}\), on a \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{FG}\), donc \(EAGF\) est un parallélogramme et ses côtés opposés vérifient \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{EF}\).

Par ailleurs, Deux vecteurs égaux ont la même direction : les droites \((AG)\) et \((EF)\) sont parallèles.

c) \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FG}\), donc \(BDGF\) est un parallélogramme et \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{DG}\) : les droites \((BF)\) et \((DG)\) sont parallèles.

d) \(ABGF\) est un parallélogramme (question b), donc \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BG}\) : les droites \((AF)\) et \((BG)\) sont parallèles.

a) \(ABCD\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

\(I\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \(A\) : \(A\) est le milieu de \([IB]\), donc \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{AB}\).

\(J\) est le symétrique de \(D\) par rapport à \(C\) : \(C\) est le milieu de \([DJ]\), donc \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CJ}\).

On obtient la chaîne d’égalités : \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CJ}\) (et aussi \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{DJ}\)).

Par ailleurs, b) De \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{CJ}\), on déduit \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{JC}\) (vecteurs opposés de deux vecteurs égaux). Or \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{JC}\) signifie que \(AICJ\) est un parallélogramme.

Ainsi, dans le repère \((O,I,J)\), une unité vaut un carreau. Par ailleurs, on lit \(A(-2\,;3)\) et \(D(3\,;2)\). Alors :

\[ \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D-x_A \\ y_D-y_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-(-2) \\ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} \]

De plus, on le vérifie en comptant les carreaux : pour aller de \(A\) à \(D\), on avance de 5 vers la droite et on descend de 1. Puis la réponse b oublie le signe, les réponses c et d correspondent à d’autres déplacements.

Aussi, les coordonnées de \(\overrightarrow{BA}\) s’obtiennent par « extrémité moins origine », ici \(A\) moins \(B\) :

\[ \overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} x_A-x_B \\ y_A-y_B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-2 \\ -2-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -6 \end{pmatrix} \]

Ainsi, la réponse a donne les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) (opposé), c’est le piège classique.

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction (droites support parallèles), quel que soit leur sens.

• De plus, a. \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{GH}\) : les deux flèches descendent légèrement vers la droite avec quasiment la même pente, elles semblent colinéaires.
• Aussi, b. \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{KL}\) : les deux sont verticaux, de sens contraires. Ils sont colinéaires.
• c. \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) (noté « RD » sur l’énoncé) : l’un est presque horizontal, l’autre très incliné ; ils ne sont pas colinéaires.
• d. \(\overrightarrow{MN}\) monte fortement alors que \(\overrightarrow{GH}\) descend légèrement : pas colinéaires.

Ensuite, Deux vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix}\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant \(xy^{\prime}-yx^{\prime}\) est nul.

\[ \det(\vec{u},\vec{v})=3\times y-(-2)\times4{,}5=3y+9 \]
\[ 3y+9=0 \iff y=-3 \]

Ainsi, Vérification : \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4{,}5 \\ -3 \end{pmatrix}=1{,}5\,\vec{u}\), les coordonnées sont bien proportionnelles.

De plus, on utilise la relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) et le fait que \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\). Ensuite, il faut souvent réordonner les termes pour que l’extrémité de l’un soit l’origine du suivant.

Ensuite, Première série

\[ \begin{aligned} &1)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA} \\ &2)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BD}+\vec{0}=\overrightarrow{BD} \\ &3)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BB}=\vec{0} \\ &4)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD} \\ &5)\ \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BD} \\ &6)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD} \end{aligned} \]

Enfin, Deuxième série

\[ \begin{aligned} &1)\ \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DB} \\ &2)\ \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{DB} \\ &3)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0} \\ &4)\ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB} \\ &5)\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{EM}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EE}=\vec{0} \\ &6)\ -\overrightarrow{AU}+\overrightarrow{SH}-\overrightarrow{ST}+\overrightarrow{MU}=\overrightarrow{TS}+\overrightarrow{SH}+\overrightarrow{MU}+\overrightarrow{UA}=\overrightarrow{TH}+\overrightarrow{MA} \end{aligned} \]

Aussi, dans le dernier calcul, les deux vecteurs restants n’ont aucune lettre commune « bout à bout » : \(\overrightarrow{TH}+\overrightarrow{MA}\) est l’écriture la plus simple.

On multiplie chaque coordonnée par le réel, puis on soustrait coordonnée par coordonnée :

\[ 3\vec{u}\begin{pmatrix} 3\times(-5) \\ 3\times8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -15 \\ 24 \end{pmatrix} \qquad 2\vec{v}\begin{pmatrix} 2\times3 \\ 2\times5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix} \]
\[ 3\vec{u}-2\vec{v}\begin{pmatrix} -15-6 \\ 24-10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -21 \\ 14 \end{pmatrix} \]

Ainsi, Attention : aucune des quatre propositions ne donne exactement ce résultat. Puis la réponse d \(\begin{pmatrix} -21 \\ -14 \end{pmatrix}\) a la bonne abscisse mais une ordonnée de signe contraire (il s’agit sans doute d’une coquille de l’énoncé) ; la réponse b n’est que \(3\vec{u}\), et les réponses a et c ne correspondent à aucun calcul correct.

\(ABCD\) est un parallélogramme : ses côtés opposés \([AB]\) et \([DC]\) sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens quand on va de \(A\) vers \(B\) et de \(D\) vers \(C\). Donc \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et, de même, \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

• De plus, a. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) est faux : ces vecteurs sont opposés.
• b. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) : vrai.
• De plus, c. \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\) est faux : ce sont les diagonales, elles n’ont pas la même direction.
• d. \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) : vrai.

Ainsi, on note \( B(x_B \,;\, y_B) \). De plus, les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) sont les différences « extrémité moins origine » :

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix} \quad \text{donc} \quad x_B – (-2) = 4 \quad \text{et} \quad y_B – 3 = -3. \]

Ainsi, on en déduit \( x_B = 4 – 2 = 2 \) et \( y_B = -3 + 3 = 0 \) : B(2 ; 0).

Vérification : \( 2 – (-2) = 4 \) et \( 0 – 3 = -3 \).

La translation de vecteur \( \overrightarrow{AC} \) fait glisser tout le pavage : chaque point est déplacé de la même façon que A est déplacé vers C. Également, Comme les sept hexagones sont identiques et ont la même orientation, il suffit de suivre un sommet bien choisi.

1) A est le sommet « en haut à gauche » de l’hexagone 1, et C est le sommet « en haut à gauche » de l’hexagone 6. Ensuite, la translation qui envoie A sur C envoie donc l’hexagone 1 sur l’hexagone 6. (On passe de 1 à 3 puis de 3 à 6 par deux crans identiques vers le haut à droite.)

2) A est le sommet en haut à gauche de l’hexagone 1 et B celui de l’hexagone 7 : la translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \) envoie l’hexagone 1 sur l’hexagone 7, c’est-à-dire « un cran en haut à droite (de 1 à 3), puis un cran vers le haut (de 3 à 7) ». Enfin, Appliqué à l’hexagone 4 : un cran vers le haut mène de 4 à 3, un cran en haut à droite mène de 3 à 6. Par ailleurs, l’image de l’hexagone 4 est donc l’hexagone 6. Puis on le vérifie avec le sommet en haut à gauche de l’hexagone 4 : il arrive exactement en C.

Exercice 12 : Hexagone régulier et vecteurs (suite)

Ainsi, 3) D est le sommet de droite de l’hexagone 6 et E celui de l’hexagone 5 : \( \overrightarrow{DE} \) est un déplacement d’un cran vers le bas (de 6 à 5). Ensuite, l’hexagone 7 est juste au-dessus de l’hexagone 3, donc son image est l’hexagone 3.

Par ailleurs, on applique la formule \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B – x_A \\ y_B – y_A \end{pmatrix} \) (toujours « extrémité moins origine »).

1) \( x_B – x_A = 6 – 2 = 4 \) et \( y_B – y_A = 7 – 5 = 2 \), donc \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \).

2) \( x_B – x_A = -2 – (-1) = -2 + 1 = -1 \) et \( y_B – y_A = -3 – 2 = -5 \), donc \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \end{pmatrix} \).

Donc, Attention aux parenthèses quand une coordonnée est négative : \( -2 – (-1) \) n’est pas égal à \( -3 \).

Pour lire les coordonnées d’un vecteur, on part de son origine et on compte le chemin jusqu’à son extrémité (la pointe de la flèche) : d’abord le déplacement horizontal (abscisse, positif vers la droite), puis le déplacement vertical (ordonnée, positif vers le haut). Puis une unité = un carreau.

• 1) \( \vec{u} \) va de (−3 ; 1) à (−2 ; 5) : 1 carreau à droite, 4 vers le haut, donc \( \vec{u}(1 \,;\, 4) \).
• 2) \( \vec{v} \) va de (1 ; −2) à (4 ; −2) : 3 à droite, aucun déplacement vertical, donc \( \vec{v}(3 \,;\, 0) \).
• 3) \( \vec{w} \) va de (−5 ; −1) à (−1 ; −5) : 4 à droite, 4 vers le bas, donc \( \vec{w}(4 \,;\, -4) \).
• 4) \( \vec{s} \) va de (4 ; 2) à (2 ; 5) : 2 à gauche, 3 vers le haut, donc \( \vec{s}(-2 \,;\, 3) \).
• 5) \( \vec{z} \) va de (4 ; −3) à (2 ; −5) : 2 à gauche, 2 vers le bas, donc \( \vec{z}(-2 \,;\, -2) \).
• 6) \( \vec{g} \) va de (−4 ; 4) à (−4 ; −2) : aucun déplacement horizontal, 6 vers le bas, donc \( \vec{g}(0 \,;\, -6) \).

On lit d’abord les coordonnées des points (abscisse sur l’axe horizontal, ordonnée sur l’axe vertical) :

A(1 ; 2), B(2 ; 1), C(−4 ; 3), D(−2 ; −2), E(1 ; −2) et F(3 ; −3).

1) A(1 ; 2). 2) B(2 ; 1).

Aussi, pour les vecteurs, on calcule « extrémité moins origine » :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{OC} &: \ (-4 – 0 \,;\, 3 – 0) = (-4 \,;\, 3) \\ \overrightarrow{AE} &: \ (1 – 1 \,;\, -2 – 2) = (0 \,;\, -4) \\ \overrightarrow{FC} &: \ (-4 – 3 \,;\, 3 – (-3)) = (-7 \,;\, 6) \\ \overrightarrow{DO} &: \ (0 – (-2) \,;\, 0 – (-2)) = (2 \,;\, 2) \end{aligned} \]

Remarque : le vecteur \( \overrightarrow{OC} \) a les mêmes coordonnées que le point C, car son origine est O. Au contraire, \( \overrightarrow{DO} \) a les coordonnées opposées de celles de D.

Aussi, Premier problème. \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \) signifie que les coordonnées sont égales : \( x_B – 5 = -2 \) et \( y_B – 2 = 3 \). Donc \( x_B = 3 \) et \( y_B = 5 \) : B(3 ; 5).

Donc, Deuxième problème. Attention à l’ordre des lettres : c’est \( \overrightarrow{CA} \), d’origine C et d’extrémité A. De plus, on écrit \( x_A – x_C = 4 \) et \( y_A – y_C = -5 \), soit \( 1 – x_C = 4 \) et \( -2 – y_C = -5 \).

\[ x_C = 1 – 4 = -3 \qquad y_C = -2 + 5 = 3 \]

Donc C(−3 ; 3). Ensuite, Vérification : \( 1 – (-3) = 4 \) et \( -2 – 3 = -5 \).

Troisième problème. On calcule chaque vecteur puis on additionne les coordonnées :

\[ \overrightarrow{KL}\begin{pmatrix} 3 – (-2) \\ -4 – (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{LM}\begin{pmatrix} -1 – 3 \\ 5 – (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 9 \end{pmatrix} \]
\[ \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LM} \begin{pmatrix} 5 + (-4) \\ -1 + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Également, Contrôle par la relation de Chasles : \( \overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LM} = \overrightarrow{KM} \), et \( \overrightarrow{KM} \) a pour coordonnées \( (-1 – (-2) \,;\, 5 – (-3)) = (1 \,;\, 8) \). Ensuite, les deux calculs concordent.

On prend un grand carreau comme unité et on lit le déplacement de chaque vecteur (horizontal ; vertical, positif vers la droite et vers le haut) :

\( \vec{u}(1 \,;\, 0) \), \( \vec{v}(2 \,;\, 3) \), \( \vec{w}(0 \,;\, 2) \), \( \vec{r}(1 \,;\, 1) \), \( \vec{t}(-1 \,;\, 0) \), \( \vec{s}(-2 \,;\, -5) \), \( \vec{m}(0 \,;\, -1) \), \( \vec{p}(-1 \,;\, -1) \).

Et pour les vecteurs définis par les points : \( \overrightarrow{CD}(1 \,;\, 1) \), \( \overrightarrow{AC}(0 \,;\, -3) \), \( \overrightarrow{BC}(2 \,;\, 0) \), \( \overrightarrow{BA}(2 \,;\, 3) \).

• 1) Un vecteur opposé à \( \overrightarrow{CD} \) a des coordonnées opposées, \( (-1 \,;\, -1) \) : c’est \( \vec{p} \). On a \( \vec{p} = -\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC} \).
• 2) \( \overrightarrow{AC} \) est vertical, vers le bas. Un vecteur de même direction et de même sens est vertical vers le bas : \( \vec{m} \) (\( \overrightarrow{AC} = 3\vec{m} \)). Le vecteur \( \vec{w} \) a la même direction mais le sens contraire.
• 3) \( \overrightarrow{BC} \) est horizontal, vers la droite. Un vecteur de même direction mais de sens contraire va vers la gauche : \( \vec{t} \) (\( \overrightarrow{BC} = -2\vec{t} \)). Le vecteur \( \vec{u} \), lui, a le même sens que \( \overrightarrow{BC} \).
• 4) \( \overrightarrow{BA}(2 \,;\, 3) \) : même direction, même sens et même longueur que \( \vec{v} \), donc \( \overrightarrow{BA} = \vec{v} \).

1) On reproduit la figure sur papier quadrillé en comptant les carreaux : on repère la position de chaque sommet du deltaplane (triangle rose et triangle noir) par rapport aux lignes du quadrillage, puis on les relie.

2) On lit les vecteurs en grands carreaux : \( \vec{u} \) = 2 carreaux à droite et 1 vers le haut, \( \vec{v} \) = 3 carreaux à droite et 1 vers le bas.

Enchaîner la translation de vecteur \( \vec{u} \) puis celle de vecteur \( \vec{v} \) revient à faire une seule translation de vecteur \( \vec{u} + \vec{v} \). Sur la figure, \( \vec{v} \) commence à l’extrémité de \( \vec{u} \) : la somme va donc de l’origine de \( \vec{u} \) à l’extrémité de \( \vec{v} \).

\[ \vec{u} + \vec{v} \ : \ (2 + 3 \,;\, 1 – 1) = (5 \,;\, 0) \]

Le deltaplane final est donc le deltaplane de départ décalé de 5 grands carreaux vers la droite, sans aucun déplacement vertical. Par ailleurs, on reporte chaque sommet 5 carreaux plus à droite et on retrace la figure : elle a la même forme, la même taille et la même orientation (une translation ne tourne pas la figure).

L’outil principal est la relation de Chasles : \( \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ} \) (l’extrémité du premier vecteur est l’origine du second). Puis on utilise aussi \( \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YX} = \vec{0} \).

• 1) \( \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} \) : on passe de I à B en faisant un détour par A.
• 2) \( \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{GF} = \overrightarrow{HF} \). On pouvait aussi écrire \( \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HF} \), car sur le quadrillage \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{GF} \) (1 carreau à droite, 1 vers le bas).
• 3) \( \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB} \) : on complète le premier vecteur par C pour pouvoir enchaîner.
• 4) On échange l’ordre des deux termes (l’addition des vecteurs est commutative) : \( \overrightarrow{EX} + \overrightarrow{YE} = \overrightarrow{YE} + \overrightarrow{EX} = \overrightarrow{YX} \). Par exemple \( \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{FD} \) (n’importe quels points X et Y conviennent).
• 5) On enchaîne trois fois Chasles pour aboutir au vecteur \( \overrightarrow{CM} \) : \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM} \).
• 6) La somme d’un vecteur et de son opposé est nulle : \( \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EF} = \vec{0} \). On pouvait aussi écrire \( \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{HI} = \vec{0} \), car \( \overrightarrow{HI} \) vaut 1 carreau vers la gauche, comme \( \overrightarrow{EF} \).

On lit les vecteurs en grands carreaux : \( \vec{v}(0 \,;\, 2) \), \( \vec{w}(-3 \,;\, -1) \) et \( \vec{r}(4 \,;\, -1) \).

Pour construire une différence, on ajoute l’opposé : \( \vec{w} – \vec{r} = \vec{w} + (-\vec{r}) \). Ensuite, on trace \( \vec{w} \), puis, à partir de son extrémité, le vecteur \( -\vec{r} \) (même direction et même longueur que \( \vec{r} \), sens contraire). Puis le vecteur cherché va de l’origine de \( \vec{w} \) à l’extrémité de \( -\vec{r} \). Avec les coordonnées :

\[ \begin{aligned} \vec{u_1} &= \vec{w} – \vec{r} = (-3 – 4 \,;\, -1 – (-1)) = (-7 \,;\, 0) \\ \vec{u_2} &= \vec{r} – \vec{v} = (4 – 0 \,;\, -1 – 2) = (4 \,;\, -3) \\ \vec{u_3} &= \vec{v} – \vec{w} = (0 – (-3) \,;\, 2 – (-1)) = (3 \,;\, 3) \\ \vec{u_4} &= \vec{r} – \vec{w} = (4 – (-3) \,;\, -1 – (-1)) = (7 \,;\, 0) \\ \vec{u_5} &= \vec{v} – \vec{r} = (0 – 4 \,;\, 2 – (-1)) = (-4 \,;\, 3) \\ \vec{u_6} &= \vec{w} – \vec{r} = (-7 \,;\, 0) \end{aligned} \]

7) Remarques.

• \( \vec{u_1} \) et \( \vec{u_6} \) sont définis par la même expression : \( \vec{u_1} = \vec{u_6} \).
• \( \vec{u_4} = -\vec{u_1} \) : \( \vec{r} – \vec{w} \) est l’opposé de \( \vec{w} – \vec{r} \).
• De même \( \vec{u_5} = -\vec{u_2} \) : \( \vec{v} – \vec{r} = -(\vec{r} – \vec{v}) \).
• En général, \( \vec{a} – \vec{b} \) et \( \vec{b} – \vec{a} \) sont opposés : la soustraction de vecteurs n’est pas commutative, échanger les termes change le sens du résultat.

On prend un grand carreau comme unité et on place l’origine en bas à gauche du quadrillage. De plus, on lit : A(5 ; 1), B(1 ; 5), C(6 ; 3), D(5 ; 2), E(7 ; 3), et \( \vec{u}(-1 \,;\, 2) \), \( \vec{v}(-2 \,;\, 0) \), \( \vec{w}(1 \,;\, 0) \).

On calcule d’abord les trois vecteurs :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AB}(1 – 5 \,;\, 5 – 1) = (-4 \,;\, 4) & \quad \text{donc} \quad \vec{u_1} = \vec{u} – \overrightarrow{AB} = (-1 + 4 \,;\, 2 – 4) = (3 \,;\, -2) \\ \overrightarrow{CD}(5 – 6 \,;\, 2 – 3) = (-1 \,;\, -1) & \quad \text{donc} \quad \vec{u_2} = \vec{v} – \overrightarrow{CD} = (-2 + 1 \,;\, 0 + 1) = (-1 \,;\, 1) \\ \overrightarrow{DE}(7 – 5 \,;\, 3 – 2) = (2 \,;\, 1) & \quad \text{donc} \quad \vec{u_3} = \vec{w} – \overrightarrow{DE} = (1 – 2 \,;\, 0 – 1) = (-1 \,;\, -1) \end{aligned} \]

Un représentant d’origine P s’obtient en ajoutant les coordonnées du vecteur à celles de P ; un représentant d’extrémité P s’obtient en les retranchant.

• 1) \( \vec{u_1} \) d’origine E(7 ; 3) : extrémité \( (7 + 3 \,;\, 3 – 2) = (10 \,;\, 1) \).
• 2) \( \vec{u_2} \) d’origine A(5 ; 1) : extrémité \( (5 – 1 \,;\, 1 + 1) = (4 \,;\, 2) \).
• 3) \( \vec{u_3} \) d’origine C(6 ; 3) : extrémité \( (6 – 1 \,;\, 3 – 1) = (5 \,;\, 2) \), c’est le point D : \( \vec{u_3} = \overrightarrow{CD} \).
• 4) \( \vec{u_1} \) d’extrémité C(6 ; 3) : origine \( (6 – 3 \,;\, 3 + 2) = (3 \,;\, 5) \).
• 5) \( \vec{u_2} \) d’extrémité E(7 ; 3) : origine \( (7 + 1 \,;\, 3 – 1) = (8 \,;\, 2) \).
• 6) \( \vec{u_3} \) d’extrémité A(5 ; 1) : origine \( (5 + 1 \,;\, 1 + 1) = (6 \,;\, 2) \).

1) On trace deux axes perpendiculaires, on place I et J (unités), puis A à l’abscisse −3 et à l’ordonnée 4.

2) Un représentant de \( \vec{u} \) : par exemple depuis O, on avance de 4 unités vers la droite et de 3 vers le bas ; la flèche va de O au point (4 ; −3).

3) et 4) \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \) donne \( x_B + 3 = 4 \) et \( y_B – 4 = -3 \) :

\[ x_B = 4 – 3 = 1 \qquad y_B = -3 + 4 = 1 \qquad \text{donc } B(1 \,;\, 1) \]

\( \overrightarrow{CA} = \vec{u} \) donne \( -3 – x_C = 4 \) et \( 4 – y_C = -3 \) :

\[ x_C = -3 – 4 = -7 \qquad y_C = 4 + 3 = 7 \qquad \text{donc } C(-7 \,;\, 7) \]

Graphiquement : B est l’extrémité du représentant de \( \vec{u} \) d’origine A, et C est l’origine du représentant de \( \vec{u} \) d’extrémité A.

5) On a \( \overrightarrow{CA} = \vec{u} = \overrightarrow{AB} \). L’égalité \( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} \) signifie que A est le milieu de [CB]. Ensuite, on le vérifie par la formule du milieu :

\[ \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + (-7)}{2} = -3 = x_A \qquad \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4 = y_A \]

1) On compte les carreaux de l’origine à l’extrémité de chaque flèche :

• \( \vec{u} \) va de (−3 ; 1) à (−1 ; 5) : \( \vec{u}(2 \,;\, 4) \) ;
• \( \vec{v} \) va de (1 ; −2) à (4 ; −4) : \( \vec{v}(3 \,;\, -2) \) ;
• \( \vec{w} \) va de (−4 ; −4) à (−2 ; 0) : \( \vec{w}(2 \,;\, 4) \).

On remarque que \( \vec{u} \) et \( \vec{w} \) ont les mêmes coordonnées : \( \vec{u} = \vec{w} \) (les deux flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur).

2) On ajoute ou on soustrait les coordonnées une à une :

\[ \begin{aligned} \text{a)} \ \vec{u} + \vec{v} &= (2 + 3 \,;\, 4 + (-2)) = (5 \,;\, 2) \\ \text{b)} \ \vec{u} – \vec{v} &= (2 – 3 \,;\, 4 – (-2)) = (-1 \,;\, 6) \\ \text{c)} \ \vec{u} + \vec{w} &= (2 + 2 \,;\, 4 + 4) = (4 \,;\, 8) \\ \text{d)} \ \vec{u} – \vec{w} &= (2 – 2 \,;\, 4 – 4) = (0 \,;\, 0) \end{aligned} \]

Comme \( \vec{u} = \vec{w} \), on retrouve \( \vec{u} + \vec{w} = 2\vec{u} \) et \( \vec{u} – \vec{w} = \vec{0} \) (le vecteur nul).

On lit A(−4 ; 1). Par ailleurs, le vecteur \( \vec{u} \) va de A à (−3 ; −1), donc \( \vec{u}(1 \,;\, -2) \) ; le vecteur \( \vec{v} \) va de A à (2 ; 4), donc \( \vec{v}(6 \,;\, 3) \).

Construction de B (règle du « bout à bout ») : à partir de l’extrémité de \( \vec{u} \), le point (−3 ; −1), on trace un représentant de \( \vec{v} \) : 6 carreaux à droite et 3 vers le haut. Puis on arrive au point (3 ; 2) : c’est B, puisque \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} + \vec{v} \) (relation de Chasles).

Lecture des coordonnées : de A(−4 ; 1) à B(3 ; 2), on se déplace de 7 carreaux vers la droite et de 1 vers le haut, donc \( \overrightarrow{AB}(7 \,;\, 1) \).

Contrôle par le calcul : \( \vec{u} + \vec{v} = (1 + 6 \,;\, -2 + 3) = (7 \,;\, 1) \).

Deux vecteurs \( \vec{u}(x \,;\, y) \) et \( \vec{v}(x^{\prime} \,;\, y^{\prime}) \) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant \( x y^{\prime} – y x^{\prime} \) est nul.

1) \( \det(\vec{u}, \vec{v}) = (-2) \times (-4{,}5) – 3 \times 3 = 9 – 9 = 0 \). Ensuite, les vecteurs sont colinéaires ; d’ailleurs \( \vec{v} = -1{,}5\,\vec{u} \).

2) \( \det(\vec{s}, \vec{t}) = 7 \times 4 – (-2) \times 14 = 28 + 28 = 56 \neq 0 \). Puis les vecteurs ne sont pas colinéaires. (Piège : \( 14 = 2 \times 7 \), mais \( 4 \neq 2 \times (-2) \).)

3) \( \det(\vec{w}, \vec{r}) = (-1{,}5) \times (-10) – 5 \times 3 = 15 – 15 = 0 \). De plus, les vecteurs sont colinéaires ; d’ailleurs \( \vec{r} = -2\,\vec{w} \).

1) Construction en vraie grandeur. On trace le carré ABCD de côté 5 cm (équerre et règle). Ensuite, pour I : deux arcs de cercle de rayon 5 cm, de centres A et B, qui se coupent à l’intérieur du carré. Par ailleurs, pour V : deux arcs de rayon 5 cm, de centres B et C, qui se coupent à l’extérieur du carré.

2) Dans le repère (A ; B, D), l’unité est le côté du carré : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1), D(0 ; 1).

• Point I : le triangle ABI est équilatéral, donc I est sur la médiatrice de [AB], d’où \( x_I = \frac{1}{2} \). La hauteur issue de I mesure, par le théorème de Pythagore dans le demi-triangle : \( \sqrt{1^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Donc \( I\left(\frac{1}{2} \,;\, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \).
• Point V : le triangle BCV est équilatéral, [BC] est vertical (sur la droite \( x = 1 \)), V est à droite. V est sur la médiatrice de [BC], d’où \( y_V = \frac{1}{2} \), et à la distance \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) de (BC). Donc \( V\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \,;\, \frac{1}{2}\right) \).

3) On montre que \( \overrightarrow{DI} \) et \( \overrightarrow{DV} \) sont colinéaires :

\[ \overrightarrow{DI}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} – 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{DV}\begin{pmatrix} 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \]
\[ \begin{aligned} \det(\overrightarrow{DI}, \overrightarrow{DV}) &= \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) – \left(\frac{\sqrt{3}}{2} – 1\right)\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -\frac{1}{4} – \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{4} – 1 – \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -\frac{1}{4} – \left(-\frac{1}{4}\right) = 0 \end{aligned} \]

Le déterminant est nul : \( \overrightarrow{DI} \) et \( \overrightarrow{DV} \) sont colinéaires, et comme ils ont le point D en commun, les points D, I et V sont alignés.

1) \( \vec{u}(a \,;\, b) \) et \( \vec{v}(c \,;\, d) \) sont colinéaires si et seulement si \( ad – bc = 0 \). Puis la ligne 6 devient :

6. Si a × d − b × c = 0 Alors

2) Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires. Ensuite, on calcule donc les coordonnées de ces deux vecteurs, puis on teste leur déterminant :

1. Variables : xA, yA, xB, yB, xC, yC, a, b, c, d : nombres
2. Entrées : Demander xA, yA, xB, yB, xC, yC
3. Traitements : a prend la valeur xB − xA ; b prend la valeur yB − yA ; c prend la valeur xC − xA ; d prend la valeur yC − yA
4. Si a × d − b × c = 0 Alors Afficher (« alignés »)
5. Sinon Afficher (« non alignés »)
6. Fin Si

3) a) \( \overrightarrow{AB}(-2 – 2 \,;\, 3 – (-7)) = (-4 \,;\, 10) \) et \( \overrightarrow{AC}(1 – 2 \,;\, -7{,}5 – (-7)) = (-1 \,;\, -0{,}5) \).

\[ \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = (-4) \times (-0{,}5) – 10 \times (-1) = 2 + 10 = 12 \neq 0 \]

Les points A, B et C ne sont pas alignés.

3) b) \( \overrightarrow{JK}\left(\frac{1}{2} \,;\, \frac{\sqrt{3}}{2} – 1\right) \) et \( \overrightarrow{JL}\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \,;\, \frac{1}{2} – 1\right) = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \,;\, -\frac{1}{2}\right) \).

\[ \begin{aligned} \det(\overrightarrow{JK}, \overrightarrow{JL}) &= \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) – \left(\frac{\sqrt{3}}{2} – 1\right)\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= -\frac{1}{4} – \left(\frac{3}{4} – 1\right) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0 \end{aligned} \]

Les points J, K et L sont alignés. (Ce sont exactement les points D, I et V de l’exercice 26.)

Dans le repère (A ; D, B) : A(0 ; 0), D(1 ; 0), B(0 ; 1) et, comme ABCD est un parallélogramme, \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \), donc C(1 ; 1).

1) a) \( \overrightarrow{AB}(0 \,;\, 1) \) et \( \overrightarrow{AD}(1 \,;\, 0) \).

• \( \overrightarrow{BE} = a\overrightarrow{AB} \) : \( x_E – 0 = a \times 0 \) et \( y_E – 1 = a \times 1 \), donc \( E(0 \,;\, 1 + a) \).
• \( \overrightarrow{DF} = b\overrightarrow{AD} \) : \( x_F – 1 = b \) et \( y_F – 0 = 0 \), donc \( F(1 + b \,;\, 0) \).

1) b) I milieu de [BC] : \( I\left(\frac{0 + 1}{2} \,;\, \frac{1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2} \,;\, 1\right) \). J milieu de [DC] : \( J\left(1 \,;\, \frac{1}{2}\right) \).

\[ \overrightarrow{IE}\begin{pmatrix} 0 – \frac{1}{2} \\ 1 + a – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ a \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{JF}\begin{pmatrix} 1 + b – 1 \\ 0 – \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \]

2) Les droites (EI) et (FJ) sont parallèles si et seulement si \( \overrightarrow{IE} \) et \( \overrightarrow{JF} \) sont colinéaires, c’est-à-dire si leur déterminant est nul :

\[ \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) – a \times b = 0 \iff \frac{1}{4} – ab = 0 \iff ab = \frac{1}{4} \]

Par exemple, avec \( a = \frac{1}{2} \) il faut \( b = \frac{1}{2} \) ; avec \( a = 1 \) il faut \( b = \frac{1}{4} \).

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes coordonnées. Puis on calcule donc \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D-x_C \\ y_D-y_C \end{pmatrix} \), puis on compare.

1. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 8-5 \\ 4-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 3-0 \\ 12-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix} \) : mêmes coordonnées, donc \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \).

2. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 30-10 \\ 40-20 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 70-50 \\ 80-60 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix} \) : \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \).

3. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -6-(-5) \\ 7-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2-1 \\ 1-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \) : les coordonnées sont différentes, les vecteurs ne sont pas égaux. De plus, ils sont même opposés : \( \overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB} \).

4. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3-1 \\ 4-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 7-5 \\ -8-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ -14 \end{pmatrix} \) : les ordonnées diffèrent, les vecteurs ne sont pas égaux.

\( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \) signifie que les deux vecteurs ont la même abscisse et la même ordonnée : on écrit deux équations et on les résout.

1. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-5 \\ y+6 \end{pmatrix} \) :

\[ x-5=4 \iff x=9 \qquad \text{et} \qquad y+6=-5 \iff y=-11 \]

Donc D(9 ; −11).

2. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -12 \\ 6 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x+4 \\ y-1 \end{pmatrix} \) :

\[ x+4=-12 \iff x=-16 \qquad \text{et} \qquad y-1=6 \iff y=7 \]

Donc D(−16 ; 7).

3. On calcule d’abord \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4-(-5) \\ 2-(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \), puis \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-5 \end{pmatrix} \).

\[ x-1=1 \iff x=2 \qquad \text{et} \qquad y-5=4 \iff y=9 \]

Donc D(2 ; 9). Vérification : \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 2-1 \\ 9-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \).

1. \( \overrightarrow{RS}=\overrightarrow{TU} \) : on égalise abscisses et ordonnées.

• a. \( 4-x=-5 \iff x=9 \) et \( 6-y=7 \iff y=-1 \) : T(9 ; −1).
• b. \( -10-x=10 \iff x=-20 \) et \( -4-y=-12 \iff y=8 \) : T(−20 ; 8).
• c. \( \overrightarrow{RS}\begin{pmatrix} -4-(-5) \\ 2-(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{TU}\begin{pmatrix} 1-x \\ 5-y \end{pmatrix} \), donc \( 1-x=1 \iff x=0 \) et \( 5-y=4 \iff y=1 \) : T(0 ; 1).

2. Dans un repère orthonormé, la norme d’un vecteur \( \vec{u}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) est \( \|\vec{u}\|=\sqrt{a^2+b^2} \).

• a. \( \|\overrightarrow{RS}\|=\sqrt{(-5)^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74} \approx 8{,}60 \).
• b. \( \|\overrightarrow{RS}\|=\sqrt{10^2+(-12)^2}=\sqrt{100+144}=\sqrt{244}=2\sqrt{61} \approx 15{,}62 \).
• c. \( \|\overrightarrow{RS}\|=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17} \approx 4{,}12 \).

On utilise la propriété : ABCD est un parallélogramme si et seulement si \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \) (attention à l’ordre des lettres).

1. RSTU est un parallélogramme \( \iff \overrightarrow{RS}=\overrightarrow{UT} \).

\[ \overrightarrow{RS}\begin{pmatrix} -20-10 \\ 9-15 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -30 \\ -6 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{UT}\begin{pmatrix} 4-x_U \\ -6-y_U \end{pmatrix} \]

\( 4-x_U=-30 \iff x_U=34 \) et \( -6-y_U=-6 \iff y_U=0 \). Donc U(34 ; 0).

2. RTSV est un parallélogramme \( \iff \overrightarrow{RT}=\overrightarrow{VS} \).

\[ \overrightarrow{RT}\begin{pmatrix} 4-10 \\ -6-15 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\ -21 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{VS}\begin{pmatrix} -20-x_V \\ 9-y_V \end{pmatrix} \]

\( -20-x_V=-6 \iff x_V=-14 \) et \( 9-y_V=-21 \iff y_V=30 \). Donc V(−14 ; 30).

Contrôle avec les milieux : les diagonales [RT] et [SU] de RSTU ont le même milieu \( \left(\frac{10+4}{2} ; \frac{15-6}{2}\right)=\left(\frac{-20+34}{2} ; \frac{9+0}{2}\right)=(7 ; 4{,}5) \).

On lit les coordonnées de chaque vecteur en comptant les carreaux (déplacement horizontal, puis vertical, vers le haut compté positivement) :

1.

• Vecteurs égaux (même direction, même sens, même longueur) : \( \overrightarrow{AB}=\vec{k} \) et \( \vec{c}=\vec{p} \).
• Vecteurs opposés (même direction, même longueur, sens contraires) : \( \vec{w}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{k} \) et \( \overrightarrow{LM}=-\vec{c}=-\vec{p} \).
• Vecteurs de même norme : \( \overrightarrow{AB} \), \( \vec{k} \) et \( \vec{w} \) (norme 2) ; \( \overrightarrow{LM} \), \( \vec{c} \) et \( \vec{p} \) (norme 1) ; \( \overrightarrow{FG} \) et \( \overrightarrow{HI} \) (norme √2, mais de directions différentes, donc ni égaux ni opposés). \( \vec{v} \) est deux fois plus long que \( \overrightarrow{FG} \) : il n’a la même norme qu’aucun autre.

2. \( \overrightarrow{LM} \) correspond à un déplacement d’un carreau vers le haut. Ensuite, en partant de F et en montant d’un carreau, on arrive en A. Par ailleurs, on a bien \( \overrightarrow{FA}=\overrightarrow{LM} \) : l’image de F est le point A.

Exercice 33 : Image et translation (corrigé vecteurs seconde) (suite)

3. A est l’image de B par la translation de vecteur \( \overrightarrow{BA} \) (deux carreaux vers la gauche). Or \( \vec{w} \) a les mêmes coordonnées (−2 ; 0) : \( \vec{w}=\overrightarrow{BA} \). Puis le point A est donc l’image de B par la translation de vecteur \( \overrightarrow{BA} \), c’est-à-dire par la translation de vecteur \( \vec{w} \) (on peut aussi dire de vecteur \( -\vec{k} \)).

1. On cherche un vecteur d’origine G, dont l’extrémité est un point nommé, et qui envoie D sur un autre point nommé. Ensuite, le segment [GK] suit les côtés des petits triangles, parallèlement au côté [AE] : de G à K, on descend de deux petits côtés vers la gauche. Puis en partant de D et en effectuant le même déplacement (parallèle à [AE], deux petits côtés vers le bas), on arrive en B.

Les vecteurs \( \overrightarrow{GK} \) et \( \overrightarrow{DB} \) ont même direction, même sens et même longueur : \( \overrightarrow{DB}=\overrightarrow{GK} \).

« Le point D a pour image le point B par la translation de vecteur \( \overrightarrow{GK} \). »

2. C’est la définition de la translation : \( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \) signifie que D est l’image de C par la translation de vecteur \( \overrightarrow{AB} \). Avec la question 1 : \( \overrightarrow{GK}=\overrightarrow{DB} \) signifie que B est l’image de D par la translation de vecteur \( \overrightarrow{GK} \).

1. I′ est l’image de I par la translation de vecteur \( \overrightarrow{BC} \) : \( \overrightarrow{II^{\prime}}=\overrightarrow{BC} \). De plus, on trace depuis I une flèche parallèle à [BC], de même sens et de même longueur (au compas ou avec le quadrillage) : BCI′I est un parallélogramme.

2. A′ est l’image de A par la translation de vecteur \( \overrightarrow{I^{\prime}I} \) : \( \overrightarrow{AA^{\prime}}=\overrightarrow{I^{\prime}I}=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB} \). Ensuite, on trace depuis A une flèche parallèle à [BC], de même longueur, mais dans le sens de C vers B.

3. D’après la question 2, \( \overrightarrow{AA^{\prime}}=\overrightarrow{CB} \), donc \( \overrightarrow{A^{\prime}A}=\overrightarrow{BC} \). Par ailleurs, on calcule alors \( \overrightarrow{A^{\prime}B} \) avec la relation de Chasles :

\[ \overrightarrow{A^{\prime}B}=\overrightarrow{A^{\prime}A}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \]

On a \( \overrightarrow{A^{\prime}B}=\overrightarrow{AC} \). Or un quadrilatère XYZW est un parallélogramme si et seulement si \( \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{WZ} \) ; pour A′BCA, cette condition s’écrit justement \( \overrightarrow{A^{\prime}B}=\overrightarrow{AC} \). Donc A′BCA est un parallélogramme (A, B, C ne sont pas alignés, il n’est pas aplati).

4. Dans le parallélogramme A′BCA, les diagonales sont [A′C] et [BA]. Puis les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ensuite, le milieu de [AB] est I, donc I est aussi le milieu de [A′C]. Par conséquent :

\[ \overrightarrow{A^{\prime}I}=\overrightarrow{IC} \]

1. On reproduit les figures en comptant les carreaux pour celle de gauche, et avec règle et compas pour celle de droite.

2. Quand deux vecteurs sont placés bout à bout (l’extrémité du premier est l’origine du second), leur somme va de l’origine du premier à l’extrémité du second : c’est la relation de Chasles.

• \( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} \) : on trace la flèche de A vers C.
• \( \vec{w} \) et \( \vec{a} \) sont déjà bout à bout : \( \vec{w}+\vec{a} \) va de l’origine de \( \vec{w} \) à l’extrémité de \( \vec{a} \), soit 3 carreaux vers la droite et 3 vers le bas.
• \( \vec{b}+\vec{c}=\vec{c}+\vec{b} \) : l’extrémité de \( \vec{c} \) est l’origine de \( \vec{b} \), donc la somme va de l’origine de \( \vec{c} \) à l’extrémité de \( \vec{b} \).
• \( \overrightarrow{JK}+\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{JL} \) : c’est la flèche de J vers L (portée par la droite (JK)).

3. On reporte chaque vecteur somme à partir du point donné.

Exercice 36 : Somme de vecteurs (suite)

• a. \( \overrightarrow{MR}=\vec{w}+\vec{a} \) : depuis M, on avance de 3 carreaux vers la droite et 3 vers le bas : c’est le point R.
• b. \( \overrightarrow{NS}=\vec{b}+\vec{c} \) : depuis N, on reporte la flèche bleue (parallèle, même sens, même longueur) : c’est le point S.
• c. \( \overrightarrow{NT}=\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{JL} \) : depuis N, on reporte le vecteur \( \overrightarrow{JL} \) : c’est le point T (NTLJ est un parallélogramme).

Les deux vecteurs de chaque somme ont la même origine. Puis on utilise la règle du parallélogramme : \( \overrightarrow{OX}+\overrightarrow{OY}=\overrightarrow{OZ} \) où OXZY est un parallélogramme. De plus, on construit Z en traçant la parallèle à (OY) passant par X et la parallèle à (OX) passant par Y (ou au compas : XZ = OY et YZ = OX).

• a. ABPC est un parallélogramme : P est le 4^e sommet construit à partir de B et de C. En comptant les graduations : \( \overrightarrow{AB} \) fait 2 vers la gauche et 2 vers le bas, \( \overrightarrow{AC} \) 1 vers la droite et 4 vers le bas, donc \( \overrightarrow{AP} \) fait 1 vers la gauche et 6 vers le bas.
• b. DERF est un parallélogramme : \( \overrightarrow{DE} \) fait 2 vers la droite, \( \overrightarrow{DF} \) 2 vers la gauche et 3 vers le haut, donc \( \overrightarrow{DR} \) est vertical, 3 vers le haut : R est à la verticale de D, au niveau de F.
• c. J, K, L sont alignés : \( \overrightarrow{JK} \) fait 2 vers la gauche et \( \overrightarrow{JL} \) 5 vers la droite. Leur somme fait \( 5-2=3 \) vers la droite : T est sur [JL], à 3 graduations à droite de J.

Exercice 37 : Tracer la somme de vecteurs (suite)

• d. GHWM est un parallélogramme : W est construit à partir de H et de M.
• e. GMXI est un parallélogramme : X est construit à partir de M et de I.
• f. GIZH est un parallélogramme : Z est construit à partir de I et de H.

1. On lit sur le quadrillage : \( \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \), \( \vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \vec{w}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \). Ensuite, pour tracer une somme, on place le second vecteur au bout du premier (relation de Chasles) ; la somme va de l’origine du premier à l’extrémité du second. Par ailleurs, les coordonnées s’additionnent :

\[ \vec{a}=\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \vec{b}=\vec{u}+\vec{w}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \qquad \vec{c}=\vec{v}+\vec{w}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

2. Sans quadrillage, on utilise la règle et le compas : pour placer \( \vec{v_1} \) au bout de \( \vec{u_1} \), on trace la parallèle à \( \vec{v_1} \) passant par l’extrémité de \( \vec{u_1} \) et on reporte la longueur de \( \vec{v_1} \) au compas, dans le même sens. Puis on procède de même pour les deux autres sommes.

Les vecteurs \( \vec{u_1} \), \( \vec{v_1} \), \( \vec{w_1} \) ont les mêmes longueurs et directions que \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \) : on retrouve les mêmes sommes qu’à la question 1.

Deux représentants d’un même vecteur ont les mêmes coordonnées : \( \vec{u}=\vec{v} \), on égalise abscisses et ordonnées.

1. \( x-6=-3 \iff x=3 \) et \( y+9=5 \iff y=-4 \). Donc x = 3 et y = −4.

2. \( 2x+5=11 \iff 2x=6 \iff x=3 \) et \( 3-2y=-13 \iff -2y=-16 \iff y=8 \). Donc x = 3 et y = 8.

3. \( -3x-2=5x-10 \iff -8x=-8 \iff x=1 \). Ensuite, les ordonnées valent 5 toutes les deux : l’égalité \( 5=5 \) est toujours vraie et y n’intervient pas. Donc x = 1 (et y peut être n’importe quel réel). Vérification : \( -3\times 1-2=-5 \) et \( 5\times 1-10=-5 \).

1. On calcule d’abord :

\[ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-(-8) \\ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 11-4 \\ -3-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ -5 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 11-(-8) \\ -3-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19 \\ -6 \end{pmatrix} \]

Les coordonnées d’une somme sont les sommes des coordonnées :

• \( \vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \) : \( \begin{pmatrix} 12+7 \\ -1-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 19 \\ -6 \end{pmatrix} \) (on retrouve \( \overrightarrow{AC} \), relation de Chasles) ;
• \( \vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \) : \( \begin{pmatrix} 12+19 \\ -1-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 31 \\ -7 \end{pmatrix} \) ;
• \( \vec{w}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC} \) : \( \begin{pmatrix} 19+7 \\ -6-5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 26 \\ -11 \end{pmatrix} \).

2. Un vecteur de coordonnées \( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \) s’écrit \( a\vec{i}+b\vec{j} \) :

\[ \vec{u}=19\vec{i}-6\vec{j} \qquad \vec{v}=31\vec{i}-7\vec{j} \qquad \vec{w}=26\vec{i}-11\vec{j} \]

3. \( \vec{z}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} \) : \( \begin{pmatrix} 19+31+26 \\ -6-7-11 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 76 \\ -24 \end{pmatrix} \).

On constate que \( 76=4\times 19 \) et \( -24=4\times(-6) \) : \( \vec{z}=4\overrightarrow{AC} \). C’était prévisible : \( \vec{z}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+2\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AC} \).

1. \( \overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -3-2 \\ -1-(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \), donc :

\[ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -5+4 \\ 1+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} \]

2. \( \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} x_D-2 \\ y_D+2 \end{pmatrix} \) doit être égal à \( \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} \) : \( x_D-2=-1 \iff x_D=1 \) et \( y_D+2=4 \iff y_D=2 \). Donc D(1 ; 2).

3. \( \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} x_E+3 \\ y_E+1 \end{pmatrix}=\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \) : \( x_E+3=-5 \iff x_E=-8 \) et \( y_E+1=1 \iff y_E=0 \). Donc E(−8 ; 0).

4. On compare \( \overrightarrow{AE} \) et \( \overrightarrow{CD} \) :

\[ \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 1-6 \\ 2-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\( \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CD} \), donc AEDC est un parallélogramme (les points A, E, C ne sont pas alignés car \( \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix} \) ne sont pas colinéaires : \( -5\times 2-1\times 9=-19 \neq 0 \)).

Ce n’est pas un losange : \( AE=\sqrt{26} \) et \( AC=\sqrt{81+4}=\sqrt{85} \), deux côtés consécutifs de longueurs différentes. Puis ce n’est pas un rectangle : les diagonales \( AD=\sqrt{4^2+3^2}=5 \) et \( EC=\sqrt{14^2+1^2}=\sqrt{197} \) n’ont pas la même longueur.

1. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 7-(-8) \\ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 \\ -1 \end{pmatrix} \).

2. \( \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 9-(-5) \\ -1-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ -4 \end{pmatrix} \).

3. Deux vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} \) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant \( xy^{\prime}-yx^{\prime} \) est nul.

\[ \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=15\times(-4)-(-1)\times 14=-60+14=-46 \neq 0 \]

Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \) ne sont pas colinéaires.

4. Les droites (AB) et (CD) ont pour vecteurs directeurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \), non colinéaires : elles ne sont pas parallèles, elles sont sécantes.

1. \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 11-(-5) \\ 4-(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 \\ 8 \end{pmatrix} \).

2. \( \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1-(-5) \\ -2-(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \).

3. \( \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=16\times 2-8\times 4=32-32=0 \) : les vecteurs sont colinéaires. De plus, on le voit aussi directement : \( \overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AC} \).

4. Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont colinéaires et ont le point A en commun : les points A, B et C sont alignés.

1. Pour chaque vecteur, on lit le déplacement de l’origine à l’extrémité : horizontal (abscisse), puis vertical (ordonnée).

• \( \vec{u} \) : de (5 ; 1) à (8 ; 3), donc \( \vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \) ;
• \( \vec{v} \) : de (−3 ; 3) à (−5 ; −1), donc \( \vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix} \) ;
• \( \vec{w} \) : de (1 ; 3) à (4 ; 3), donc \( \vec{w}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \) ;
• \( \vec{k} \) : de (−4 ; −2) à (0 ; −2), donc \( \vec{k}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \) ;
• \( \vec{r} \) : de (−8 ; 2) à (−8 ; −3), donc \( \vec{r}\begin{pmatrix} 0 \\ -5 \end{pmatrix} \) ;
• \( \vec{s} \) : de (1 ; −4) à (4 ; 2), donc \( \vec{s}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} \).

2. On cherche les vecteurs dont les coordonnées sont proportionnelles (déterminant nul).

• \( \vec{w} \) et \( \vec{k} \) : \( 3\times 0-0\times 4=0 \), ils sont colinéaires (tous deux horizontaux). \( \vec{k}=\frac{4}{3}\vec{w} \), ou \( 3\vec{k}=4\vec{w} \).
• \( \vec{v} \) et \( \vec{s} \) : \( -2\times 6-(-4)\times 3=-12+12=0 \), ils sont colinéaires. \( \vec{s}=-\frac{3}{2}\vec{v} \), ou \( 2\vec{s}=-3\vec{v} \) (sens contraires).
• \( \vec{u} \) et \( \vec{r} \) ne sont colinéaires à aucun autre : par exemple \( \det(\vec{u},\vec{s})=3\times 6-2\times 3=12 \neq 0 \) et \( \vec{r} \) est le seul vecteur vertical.

\( \vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{pmatrix} \) sont colinéaires si et seulement si \( xy^{\prime}-yx^{\prime}=0 \). Ensuite, on écrit cette condition et on résout l’équation d’inconnue a.

1. \( 5\times 25-(-8)\times a=0 \iff 125+8a=0 \iff a=-\frac{125}{8} \).

2.

\[ \frac{3}{5}\times a-\left(-\frac{7}{12}\right)\times\left(-\frac{2}{7}\right)=0 \iff \frac{3}{5}a-\frac{14}{84}=0 \iff \frac{3}{5}a=\frac{1}{6} \iff a=\frac{1}{6}\times\frac{5}{3}=\frac{5}{18} \]

3.

\[ \frac{3}{4}\times\left(-\frac{2}{3}\right)-\frac{1}{6}\times a=0 \iff -\frac{1}{2}-\frac{a}{6}=0 \iff \frac{a}{6}=-\frac{1}{2} \iff a=-3 \]

4.

\[ \begin{aligned} 7(-3a+2)-3(2a+5)=0 &\iff -21a+14-6a-15=0 \\ &\iff -27a-1=0 \\ &\iff a=-\frac{1}{27} \end{aligned} \]

Vérification pour le 4 : avec \( a=-\frac{1}{27} \), \( \vec{v}\begin{pmatrix} \frac{133}{27} \\ \frac{19}{9} \end{pmatrix} \) et \( \frac{133}{27}=\frac{19}{27}\times 7 \), \( \frac{19}{9}=\frac{19}{27}\times 3 \) : \( \vec{v}=\frac{19}{27}\vec{u} \).