Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie d’Orléans-Tours

Corrigé de maths – Brevet 2000 : Académie d'Orléans-Tours – Maths-pdf.fr

Sommaire

Ce corrigé du brevet de juin 2000 de l’académie d’Orléans-Tours explique chaque réponse pas à pas. Tu y vois que \(K(x)\) se réduit à \(25x^2-9\), que la moyenne des latinistes vaut 12 alors que la médiane vaut 10, et comment l’algorithme d’Euclide (PGCD 593) transforme \(M\) en \(\dfrac{29}{16}\), un nombre décimal. En géométrie, l’angle inscrit dans un demi-cercle et l’angle au centre mènent à un carré OMLP, la composée de deux symétries centrales se révèle être une translation, et le QCM contient une coquille qu’il faut savoir repérer. Dans le problème, la droite des milieux et le théorème de Thalès donnent les dimensions du pavé inscrit dans la pyramide, puis la courbe de \(V(x)=3x^2-0{,}25x^3\) permet de lire un volume maximal de 64 cm³ pour \(x=8\).

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie d’Orléans-Tours. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Ce que détaille le corrigé corrigé Orléans 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Orléans 2000 est découpé en 9 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Développer et calculer » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Moyenne et médiane » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « PGCD et fraction » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Racines carrées » (exercice 4). En outre, la correction reprend « Cercle et translation » (exercice 1 de géométrie).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Drapeaux et symétries » (exercice 2 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « QCM » (exercice 3 de géométrie). Par ailleurs, le corrigé explique « Pyramide et triangle OSM » (partie A). Enfin, la correction reprend « Pavé inscrit et volume » (partie B).

Ainsi, le corrigé corrigé Orléans 2000 te fait revoir la médiane et les statistiques, les diviseurs communs, les angles inscrits, les transformations du plan et le théorème de Thalès, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Corrigé de la partie numérique (Orléans 2000)

Corrigé de l’exercice 1 : développer puis calculer en racine de 2

1. \((5x-3)^2=25x^2-30x+9\) (identité \((a-b)^2\)) et \(6(5x-3)=30x-18\). Donc :

\[K(x)=25x^2-30x+9+30x-18\]

Les termes en \(x\) s’annulent : \(K(x)=25x^2-9\).

2. Ensuite, on utilise la forme réduite, avec \(\left(\sqrt{2}\right)^2=2\) :

\[K\left(\sqrt{2}\right)=25\times 2-9=50-9\]

Donc \(K\left(\sqrt{2}\right)=41\).

À retenir : pour calculer une valeur d’une expression, on choisit la forme la plus simple (ici la forme développée réduite, où il ne reste qu’un carré).

Corrigé de l’exercice 2 : moyenne et médiane des notes

1. D’abord, on additionne les onze notes : \(7+9+9{,}5+9{,}5+10+10+12+14+16+16+19=132\).

\[\text{moyenne}=\dfrac{132}{11}=12\]

La moyenne du groupe est 12.

2. Les notes sont déjà rangées dans l’ordre croissant et il y en a 11 (nombre impair). La médiane est la valeur du milieu, la 6^e : il y a 5 notes avant et 5 notes après.

La 6^e note est 10 : la médiane est 10. La moitié des élèves au moins a donc 10 ou moins, alors que la moyenne est tirée vers le haut par quelques très bonnes notes.

À retenir : pour une série de \(n\) valeurs rangées, avec \(n\) impair, la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{n+1}{2}\) ; moyenne et médiane peuvent être assez différentes.

Corrigé de l’exercice 3 (Orléans 2000) : PGCD et fraction irréductible

1. Algorithme d’Euclide :

\[20\,755=2\times 9\,488+1\,779\]

\[9\,488=5\times 1\,779+593\]

\[1\,779=3\times 593+0\]

Le dernier reste non nul est 593, donc \(D=593\).

2. \(20\,755=593\times 35\) et \(9\,488=593\times 16\), donc \(\dfrac{20\,755}{9\,488}=\dfrac{35}{16}\). On réduit ensuite au dénominateur commun 16 :

\[M=\dfrac{35}{16}-\dfrac{3\times 2}{8\times 2}=\dfrac{35}{16}-\dfrac{6}{16}=\dfrac{29}{16}\]

29 est un nombre premier qui ne divise pas 16, donc la fraction est irréductible : \(M=\dfrac{29}{16}\).

3. \(16=2^4\), donc \(M=\dfrac{29}{2^4}=\dfrac{29\times 5^4}{10^4}=\dfrac{18\,125}{10\,000}=1{,}8125\). M est décimal (il s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule).

M est aussi rationnel, puisqu’il s’écrit comme quotient de deux entiers (\(\dfrac{29}{16}\)). D’ailleurs, tout nombre décimal est rationnel.

À retenir : une fraction irréductible est un nombre décimal quand son dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5 ; tout décimal est rationnel, mais la réciproque est fausse (\(\dfrac{1}{3}\)).

Corrigé de l’exercice 4 : somme de racines carrées

Tout d’abord, on fait apparaître \(\sqrt{5}\) : \(20=4\times 5\) et \(45=9\times 5\), donc \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) et \(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).

\[N=2\sqrt{5}-3\sqrt{5}-7\sqrt{5}=(2-3-7)\sqrt{5}\]

Donc \(N=-8\sqrt{5}\) (\(p=-8\) et \(q=5\)).

À retenir : \(\sqrt{a^2\times b}=a\sqrt{b}\) pour \(a\) positif ; on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre sous la racine.

Corrigé de la partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 (Orléans 2000) : angle inscrit, angle au centre et carré

1. K est un point du cercle de diamètre [MN], distinct de M et de N. Un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est rectangle ; le sommet de l’angle droit est opposé au diamètre. Donc MKN est rectangle en K et \(\widehat{MKN}=90°\).

2. La bissectrice partage l’angle droit en deux angles égaux : \(\widehat{MKP}=45°\).

L’angle inscrit \(\widehat{MKP}\) et l’angle au centre \(\widehat{MOP}\) interceptent le même arc \(\overset{\frown}{MP}\). Or la mesure d’un angle au centre est le double de celle d’un angle inscrit qui intercepte le même arc :

\[\widehat{MOP}=2\times\widehat{MKP}=2\times 45°\]

Donc \(\widehat{MOP}=90°\).

3. L est l’image de M par la translation qui transforme O en P, donc \(\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{OP}\). O, M, P ne sont pas alignés, donc OMLP est un parallélogramme.

De plus, OM = OP = 5 cm (deux rayons du cercle) : deux côtés consécutifs sont égaux, c’est donc un losange. Enfin \(\widehat{MOP}=90°\) : ce losange a un angle droit.

Un losange qui a un angle droit est un carré : OMLP est un carré de côté 5 cm.

À retenir : un angle au centre mesure le double d’un angle inscrit interceptant le même arc ; pour prouver un carré, on montre parallélogramme, puis deux côtés consécutifs égaux, puis un angle droit.

Corrigé de l’exercice 2 : drapeaux et transformations

1. Pour construire Δ₂, on prend chaque sommet du drapeau D₂ et on construit son symétrique par rapport à O : le point O est le milieu du segment qui joint un point à son image. Sur le quadrillage, on compte les pas pour aller du sommet à O, puis on refait les mêmes pas au-delà de O. La hampe de D₂, qui descend à partir de C, devient une hampe qui monte, et le drapeau, tourné vers la gauche dans D₂, est tourné vers la droite dans Δ₂ (figure en rouge).

2. a. D₁ et D₂ sont « tête-bêche » : la hampe de D₁ part de A vers le haut, celle de D₂ part de C vers le bas, et B est le milieu de [AC]. Le drapeau D₂ est donc l’image de D₁ par la symétrie centrale de centre B (ou, ce qui revient au même, la rotation de centre B et d’angle 180°).

b. Δ₂ a la même orientation que D₁ (hampe vers le haut, drapeau vers la droite) : on passe de l’un à l’autre en faisant « glisser » le drapeau, c’est une translation. Enchaîner la symétrie de centre B puis la symétrie de centre O revient à faire la translation de vecteur \(2\overrightarrow{BO}\). Sur la figure, O est le milieu de [BE], donc \(2\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BE}\).

Δ₂ est l’image de D₁ par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BE}\) : le pied de la hampe passe de A au point situé sous A, décalé exactement comme E l’est par rapport à B.

À retenir : une symétrie centrale retourne la figure « tête-bêche » ; deux symétries centrales successives de centres B puis O donnent une translation de vecteur \(2\overrightarrow{BO}\).

Corrigé de l’exercice 3 : QCM

Question Q. Le milieu de [AB] a pour coordonnées la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées :

\[\left(\dfrac{1+3}{2}~;~\dfrac{-4+(-6)}{2}\right)=(2~;~-5)\]

Avec les coordonnées imprimées, le milieu est \((2~;~-5)\) : aucune des trois réponses ne convient. L’énoncé contient une coquille : avec \(B(3~;~6)\), le milieu serait \(\left(\dfrac{1+3}{2}~;~\dfrac{-4+6}{2}\right)=(2~;~1)\), c’est-à-dire la réponse 2, qui était certainement la réponse attendue.

Question R. Dans un agrandissement ou une réduction de rapport \(k\), toutes les longueurs, et donc le périmètre, sont multipliées par \(k\) (ce sont les aires qui sont multipliées par \(k^2\)). Le périmètre est multiplié par \(\dfrac{1}{5}\) : réponse 3.

Question S. D’après la règle du parallélogramme, la somme de deux vecteurs de même origine F est le vecteur qui va de F au quatrième sommet du parallélogramme construit sur eux. Le rectangle FGHI est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{FH}\) : réponse 1.

On peut vérifier avec la relation de Chasles : \(\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{GH}\) (côtés opposés du rectangle), donc \(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{FH}\).

À retenir : milieu = moyenne des coordonnées ; une réduction de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(k\) ; \(\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{FI}\) est la diagonale issue de F du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs.

Corrigé du problème (Orléans 2000)

Corrigé de la partie A : le triangle OSM

1. a. O est le centre du carré ABCD, donc le milieu de la diagonale [AC]. M est le milieu de [BC]. Dans le triangle ABC, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de sa longueur :

\[OM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}\]

Donc OM = 3 cm.

b. Construction : trace [OM] de 3 cm, la perpendiculaire à (OM) en O, place S sur cette perpendiculaire à 12 cm de O, puis relie S et M.

2. a. O′ est sur le segment [OS], donc \(OO^{\prime}=OS-O^{\prime}S\), soit \(OO^{\prime}=12-x\).

b. Dans le triangle SOM, O′ est sur [SO], M′ est sur [SM] et (O′M′) est parallèle à (OM). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{SO^{\prime}}{SO}=\dfrac{O^{\prime}M^{\prime}}{OM} \quad\text{soit}\quad \dfrac{x}{12}=\dfrac{O^{\prime}M^{\prime}}{3}\]

\[O^{\prime}M^{\prime}=\dfrac{3x}{12}=\dfrac{x}{4}\]

Donc \(O^{\prime}M^{\prime}=0{,}25x\).

À retenir : le théorème des milieux donne directement une longueur égale à la moitié d’un côté ; une parallèle à un côté dans un triangle appelle le théorème de Thalès.

Corrigé de la partie B : le pavé inscrit dans la pyramide

1. a. On admet A′B′ = 2 O′M′, donc \(A^{\prime}B^{\prime}=2\times 0{,}25x\) : \(A^{\prime}B^{\prime}=0{,}5x\).

b. L’aire du carré vaut \((0{,}5x)^2\) : \(0{,}25x^2\).

c. Le pavé a pour base le carré A′B′C′D′ et pour hauteur la distance entre le plan de coupe et la base, c’est-à-dire \(OO^{\prime}=12-x\) :

\[V(x)=0{,}25x^2\times(12-x)=3x^2-0{,}25x^3\]

Puis on retrouve bien \(V(x)=3x^2-0{,}25x^3\).

2. Calculs : \(V(4)=3\times 16-0{,}25\times 64=48-16=32\) ; \(V(7)=3\times 49-0{,}25\times 343=147-85{,}75=61{,}25\) ; \(V(10)=300-250=50\).

\(x\)	4	7	10
\(V(x)\)	32	61,25	50

3. Les lectures sont repérées sur le graphique suivant :

a. Alors on trace la droite horizontale d’ordonnée 32 : elle coupe la courbe en deux points. Le premier a pour abscisse 4 (valeur du tableau), le second environ 10,9. Les deux valeurs sont \(x=4\) et \(x\approx 10{,}9\).

b. La droite d’ordonnée 50 coupe la courbe en \(x=10\) (valeur du tableau) et en \(x\approx 5{,}6\). Les deux valeurs sont \(x\approx 5{,}6\) et \(x=10\).

c. Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse environ 8 et pour ordonnée environ 64. Le volume maximum vaut environ 64 cm³, obtenu pour \(a\approx 8\).

Contrôle par le calcul : \(V(8)=3\times 64-0{,}25\times 512=192-128=64\), et par exemple \(V(7{,}9)\approx 63{,}98\) et \(V(8{,}1)\approx 63{,}98\) sont plus petits.

À retenir : pour résoudre graphiquement \(V(x)=k\), on trace la droite horizontale d’ordonnée \(k\) et on lit les abscisses des points d’intersection ; le maximum se lit au sommet de la courbe.

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Bien réviser avec le corrigé corrigé Orléans 2000

Travaille en deux temps : d’abord la recherche sans aide, ensuite la lecture attentive de la solution. Note dans un coin de ton cahier les réflexes signalés dans les encadrés « À retenir », car ce sont eux qui reviennent d’une année à l’autre. Enfin, refais quelques jours plus tard les questions que tu avais ratées.

Pour la médiane et les statistiques, compte l’effectif total avant tout, car c’est lui qui donne le rang de la médiane. En ce qui concerne les diviseurs communs, décompose chaque nombre en facteurs premiers, puis garde les facteurs communs. Quant aux angles inscrits, trace l’arc commun en couleur, ainsi tu vois tout de suite quels angles sont égaux. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de médiane, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Orléans 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Orléans 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Orléans 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement la médiane et les statistiques, les diviseurs communs, les angles inscrits et les transformations du plan. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Orléans 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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