Corrigé du brevet de maths 2000 : Amérique du Nord
L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Amérique du Nord. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.
Vue d’ensemble du corrigé corrigé Amérique 2000
Pour t’y retrouver, le corrigé corrigé Amérique 2000 suit exactement l’ordre de l’énoncé, en 9 blocs accessibles depuis le sommaire. Tout d’abord, le corrigé explique « Fractions et puissances de 10 » (exercice 1). Ensuite, la correction reprend « Calcul littéral astucieux » (exercice 2). Puis tu lis la démarche complète pour « Équipes et PGCD » (exercice 3). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Tremplin de skateboard » (exercice 1 de géométrie). En outre, le corrigé explique « Bateau et transformations » (exercice 2 de géométrie).
Ensuite, la correction reprend « Hauteur d’un arbre » (exercice 3 de géométrie). Puis tu lis la démarche complète pour « Deux fonctions » (partie A). Par ailleurs, tu trouves la solution rédigée de « Tarifs des petits pains » (partie B). Enfin, le corrigé explique « Tableau des ventes » (partie C).
En somme, les notions travaillées dans le corrigé corrigé Amérique 2000 sont les fractions, les puissances de 10, les diviseurs communs, le théorème de Pythagore et la trigonométrie, rédigées comme sur une copie.
Activités numériques
Corrigé de l’exercice 1 (Amérique 2000) : fractions et écriture scientifique
1. Calcul de A. Le produit est prioritaire. Avant de multiplier, tu simplifies : \(\dfrac{5}{21}\times\dfrac{9}{25}=\dfrac{5\times 3\times 3}{3\times 7\times 5\times 5}=\dfrac{3}{35}\).
\[A=\dfrac{5}{7}+\dfrac{3}{35}=\dfrac{25}{35}+\dfrac{3}{35}=\dfrac{28}{35}=\dfrac{7\times 4}{7\times 5}\]
Donc \(A=\dfrac{4}{5}\).
Calcul de B. Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse. La division passe avant la soustraction.
\[\dfrac{25}{17}:\dfrac{15}{24}=\dfrac{25}{17}\times\dfrac{24}{15}=\dfrac{5\times 5\times 3\times 8}{17\times 3\times 5}=\dfrac{40}{17}\]
Le dénominateur commun de 17 et 3 est 51 :
\[B=\dfrac{40}{17}-\dfrac{11}{3}=\dfrac{120}{51}-\dfrac{187}{51}=-\dfrac{67}{51}\]
Donc \(B=-\dfrac{67}{51}\), irréductible car \(67\) est premier et ne divise pas \(51=3\times 17\).
2. Ensuite, on traite séparément les nombres « ordinaires » et les puissances de 10. D’abord \((10^{-2})^4=10^{-8}\) et \(6\times 105=630\), puis \(630\div 15=42\).
\[C=\dfrac{630}{15}\times\dfrac{10^{-8}}{10^{2}}=42\times 10^{-8-2}=42\times 10^{-10}=4{,}2\times 10^{1}\times 10^{-10}\]
Donc \(C=4{,}2\times 10^{-9}\).
Corrigé de l’exercice 2 : une expression qui cache une astuce
1. D’abord, on calcule colonne par colonne.
| \(x\) | \(x-2\) | \((x-2)^2\) | \(x-1\) | \(x-4\) | \((x-1)(x-4)\) | \(A(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 8 | 64 | 9 | 6 | 54 | 10 |
| 100 | 98 | 9 604 | 99 | 96 | 9 504 | 100 |
Puis on remarque que \(A(10)=10\) et \(A(100)=100\) : on dirait que \(A(x)=x\).
2. Tu développes chaque terme puis tu réduis (attention au signe moins devant le produit).
\[(x-2)^2=x^2-4x+4\qquad (x-1)(x-4)=x^2-4x-x+4=x^2-5x+4\]
\[A(x)=x^2-4x+4-x^2+5x-4\]
Donc \(A(x)=x\), ce qui confirme l’observation du tableau.
3. Il faut reconnaître \(1\,234^2-1\,235\times 1\,232\) comme \((x-2)^2-(x-1)(x-4)\). Si \(x-2=1\,234\), alors \(x=1\,236\), et on vérifie : \(x-1=1\,235\) et \(x-4=1\,232\). Tout concorde.
Avec \(x=1\,236\) : \(1\,234^2-1\,235\times 1\,232=A(1\,236)=1\,236\). Donc \(x=1\,236\) et le résultat vaut 1 236 (la calculatrice confirme : \(1\,522\,756-1\,521\,520=1\,236\)).
Corrigé de l’exercice 3 (Amérique 2000) : les équipes sportives
Le nombre d’équipes doit diviser à la fois 294 et 210 (les garçons et les filles sont répartis également). Alors on cherche le plus grand : c’est le PGCD de 294 et 210.
| Division euclidienne | Reste |
|---|---|
| \(294=210\times 1+84\) | 84 |
| \(210=84\times 2+42\) | 42 |
| \(84=42\times 2+0\) | 0 |
Le dernier reste non nul est 42, donc PGCD(294 ; 210) = 42. On peut aussi le voir avec les décompositions \(294=2\times 3\times 7^2\) et \(210=2\times 3\times 5\times 7\), dont la partie commune est \(2\times 3\times 7=42\).
Ensuite, on peut composer 42 équipes au maximum. Chacune compte \(294\div 42=7\) garçons et \(210\div 42=5\) filles : 7 garçons et 5 filles par équipe.
Activités géométriques
Corrigé de l’exercice 1 : le tremplin
1. À l’échelle \(\dfrac{1}{100}\), 1 m devient 1 cm : on trace [AH] de 5 cm, la perpendiculaire en H, on y place B à 2 cm de H, puis on trace [AB].
2. Le triangle ABH est rectangle en H, d’hypoténuse [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[AB^2=AH^2+BH^2=5^2+2^2=25+4=29\quad\text{donc}\quad AB=\sqrt{29}\approx 5{,}385\]
La planche mesure environ 5,39 m (soit 5 m 39 cm).
3. L’angle avec le sol est \(\widehat{BAH}\). Dans le triangle rectangle ABH, on connaît le côté opposé BH et le côté adjacent AH : on utilise la tangente, qui évite de réutiliser une valeur arrondie.
\[\tan\widehat{BAH}=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{2}{5}=0{,}4\quad\text{donc}\quad\widehat{BAH}\approx 21{,}8^\circ\]
La planche fait avec le sol un angle d’environ 22°. Contrôle avec le sinus : \(\sin\widehat{BAH}=\dfrac{2}{\sqrt{29}}\approx 0{,}371\), ce qui redonne 21,8°.
Corrigé de l’exercice 2 (Amérique 2000) : le bateau et son reflet
1. Chaque point du reflet est à la même distance de la droite \((xx^{\prime})\) que le point correspondant du bateau, de l’autre côté, sur une perpendiculaire à \((xx^{\prime})\). Le reflet est donc obtenu par la symétrie axiale d’axe \((xx^{\prime})\).
2. Sur le quadrillage, pour aller de A à D, on se déplace de 9 carreaux vers la droite, sans monter ni descendre. La translation de vecteur \(\overrightarrow{AD}\) fait glisser tout le bateau de 9 carreaux vers la droite : A vient en D, et chaque sommet (haut du mât, pied du mât, extrémités de la coque) avance aussi de 9 carreaux.
3. Appelle (M) un point, (M_1) son symétrique par rapport à A, puis (M_2) le symétrique de (M_1) par rapport à D. Dans le triangle \(MM_1M_2\), A est le milieu de \([MM_1]\) et D celui de \([M_1M_2]\). D’après le théorème des milieux, \(\overrightarrow{MM_2}=2\overrightarrow{AD}\), quel que soit (M).
La symétrie \(s\) suivie de \(s^{\prime}\) peut donc être remplacée par la translation de vecteur \(2\overrightarrow{AD}\) : ici un déplacement de 18 carreaux vers la droite. Exemple : A reste A par \(s\), puis son symétrique par rapport à D se trouve 9 carreaux après D, donc 18 carreaux après A.
Corrigé de l’exercice 3 : la hauteur de l’arbre
1. L’angle \(\widehat{AHO}\) est droit, donc (OH) est perpendiculaire à (AB). L’angle \(\widehat{ABD}\) est droit, donc (BD) est aussi perpendiculaire à (AB). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : (OH) et (BD) sont parallèles.
2. H est entre A et B, donc \(AB=AH+HB=1+5=6\) m. Dans le triangle ABD, H est sur [AB], O est sur [AD] et (OH) est parallèle à (BD). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AO}{AD}=\dfrac{OH}{BD}\quad\text{soit}\quad\dfrac{1}{6}=\dfrac{0{,}9}{BD}\]
\[BD=6\times 0{,}9=5{,}4\]
L’arbre mesure 5,4 m. Vérification par proportionnalité : le poteau est 6 fois plus près de A que l’arbre, donc l’arbre est 6 fois plus haut que 0,9 m.
Problème
Corrigé de la partie A (Amérique 2000) : deux droites et leur intersection
1. \(p\) est une fonction linéaire : sa droite passe par l’origine. Avec \(p(40)=100\), on trace la droite passant par (0 ; 0) et (40 ; 100). \(p^{\prime}\) est une fonction affine : \(p^{\prime}(0)=20\) et \(p^{\prime}(60)=140\), on trace la droite passant par (0 ; 20) et (60 ; 140).
2. En suivant les pointillés depuis le point d’intersection jusqu’aux axes, on lit A(40 ; 100).
3. Au point A, les deux fonctions prennent la même valeur :
\[2{,}5x=20+2x\quad\text{soit}\quad 0{,}5x=20\quad\text{donc}\quad x=40\]
Puis \(p(40)=2{,}5\times 40=100\), et aussi \(p^{\prime}(40)=20+80=100\). Le calcul confirme A(40 ; 100).
Corrigé de la partie B : choisir le bon tarif
1. Avec le 1er tarif, l’élève paie \(2{,}5x\) F, c’est \(p(x)\). Avec le 2e tarif, il paie la cotisation plus 2 F par petit pain : \(20+2x\) F, c’est \(p^{\prime}(x)\).
2. Sur le graphique, la droite orange (2e tarif) est au-dessus de la bleue avant A, et en dessous après A. Pour 40 petits pains, les deux tarifs coûtent 100 F. Le 2e tarif devient donc le moins cher à partir de 41 petits pains.
Contrôle : pour 41 petits pains, \(2{,}5\times 41=102{,}50\) F contre \(20+82=102\) F.
Corrigé de la partie C : le tableau des ventes
1. Chaque case vide se trouve par une soustraction ou une addition sur sa ligne ou sa colonne :
- Semaine 1, total : \(120+150+80+150+120=620\).
- Semaine 2, mercredi : \(625-(125+150+145+130)=625-550=75\).
- De même, semaine 3, vendredi : \(620-(130+145+90+135)=620-500=120\).
- Semaine 4, lundi : \(495-(120+125+130)=495-375=120\).
- Semaine 4, mercredi : \(330-(80+75+90)=330-245=85\).
- De même, semaine 4, total : \(120+150+85+160+120=635\).
| Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi | Total | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Semaine n° 1 | 120 | 150 | 80 | 150 | 120 | 620 |
| Semaine n° 2 | 125 | 150 | 75 | 145 | 130 | 625 |
| Semaine n° 3 | 130 | 145 | 90 | 135 | 120 | 620 |
| Semaine n° 4 | 120 | 150 | 85 | 160 | 120 | 635 |
| Total | 495 | 595 | 330 | 590 | 490 | 2 500 |
Contrôle du total général par les deux sens : \(620+625+620+635=2\,500\) et \(495+595+330+590+490=2\,500\).
2. Sur chaque petit pain, le bénéfice est \(2{,}30-2=0{,}30\) F. La première semaine, 620 petits pains ont été vendus :
\[620\times 0{,}30=186\]
Le bénéfice de la première semaine est de 186 F.
3. Sur 30 semaines, il faut gagner 7 200 F, soit \(7\,200\div 30=240\) F par semaine. Chaque petit pain rapporte 0,30 F :
\[240\div 0{,}30=800\]
Ils doivent vendre 800 petits pains par semaine en moyenne. Autre calcul : \(7\,200\div 0{,}30=24\,000\) petits pains en tout, et \(24\,000\div 30=800\).
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Méthode pour exploiter le corrigé corrigé Amérique 2000
Le plus efficace consiste d’abord à chercher seul chaque exercice, puis à ouvrir la correction correspondante grâce au sommaire. Lorsque ta réponse diffère, repère l’étape exacte où ton raisonnement bifurque. Ainsi, tu transformes chaque erreur en une règle à retenir pour le jour de l’épreuve.
En ce qui concerne les fractions, respecte les priorités opératoires, car la multiplication passe avant l’addition. Quant aux puissances de 10, traite séparément les nombres décimaux et les puissances de 10, ainsi les erreurs de virgule disparaissent. Dans les questions sur les diviseurs communs, cherche le plus grand diviseur commun, car c’est lui qui donne le nombre maximal de lots identiques. Au besoin, la définition de la notion de fraction sur Wikipédia t’aidera aussi à reprendre les bases, avant de retenter l’exercice.
Une fois le corrigé corrigé Amérique 2000 parcouru, reprends à froid les exercices où tu t’es trompé. Ensuite, entraîne-toi sur un autre sujet de la même année pour vérifier que les méthodes sont acquises.
Questions fréquentes sur le corrigé corrigé Amérique 2000
Faut-il lire le corrigé corrigé Amérique 2000 en entier ?
Non, pas forcément. En effet, le sommaire permet d’ouvrir directement la correction d’un exercice précis, donc tu peux cibler les questions sur lesquelles tu as hésité.
Où se trouve le sujet original ?
Il se trouve sur sa propre page : énoncé du brevet 2000. Par conséquent, tu peux t’entraîner d’abord, puis revenir ici pour te corriger.
Quelles méthodes revoir après ce corrigé ?
Les solutions s’appuient surtout sur les fractions, les puissances de 10, les diviseurs communs et le théorème de Pythagore. Donc, si l’une de ces notions t’a posé problème, reprends la leçon correspondante avant de refaire l’exercice.
Comment est organisée l’épreuve écrite de maths ?
Elle fait partie des épreuves écrites du diplôme national du brevet, en fin de troisième. En outre, les correcteurs tiennent compte de la rédaction, donc chaque résultat doit être justifié.
D’autres annales à faire après le corrigé corrigé Amérique 2000
La liste qui suit regroupe les autres sujets de la même session. Traite-en un par semaine, puis compare avec sa correction : c’est la meilleure façon d’arriver serein au brevet.
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