Corrigé du brevet de maths 2000 : Académie de Rennes

L’énoncé complet se trouve sur la page Sujet du brevet de maths 2000 : Académie de Rennes. Traite chaque exercice sur ton brouillon avant de lire sa correction.

Vue d’ensemble du corrigé corrigé Rennes 2000

Comme l’énoncé, le corrigé corrigé Rennes 2000 est découpé en 8 blocs, chacun relié au sommaire ci-dessus. Tout d’abord, la correction reprend « Calculs de fractions » (exercice 1). Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Racines carrées » (exercice 2). Puis tu trouves la solution rédigée de « Programme de calcul » (exercice 3). Par ailleurs, le corrigé explique « Thalès en papillon » (exercice 1 de géométrie). En outre, la correction reprend « Trigonométrie et hauteur » (exercice 2 de géométrie).

Ensuite, tu lis la démarche complète pour « Hexagone et transformations » (exercice 3 de géométrie). Puis tu trouves la solution rédigée de « Pyramide du Louvre » (partie A). Enfin, le corrigé explique « Lampe à huile » (partie B).

Ainsi, le corrigé corrigé Rennes 2000 te fait revoir les fractions, les racines carrées, le théorème de Thalès, la trigonométrie et les transformations du plan, avec à chaque fois la justification attendue le jour de l’examen.

Partie numérique

Corrigé de l’exercice 1 (Rennes 2000) : deux calculs de fractions

Calcul de A. Ensuite, on commence par la parenthèse, en mettant au dénominateur commun 15 :

\[\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{15}-\dfrac{3}{15}=\dfrac{2}{15}\]

Diviser par \(\dfrac{2}{5}\), c’est multiplier par son inverse \(\dfrac{5}{2}\) :

\[A=\dfrac{2}{15}\times\dfrac{5}{2}=\dfrac{2\times 5}{3\times 5\times 2}=\dfrac{1}{3}\]

Donc \(A=\dfrac{1}{3}\).

Calcul de B. La multiplication est prioritaire : \(\dfrac{1}{7}\times 53=\dfrac{53}{7}\).

\[B=\dfrac{4}{7}-\dfrac{53}{7}=\dfrac{4-53}{7}=\dfrac{-49}{7}=-7\]

Donc \(B=-7\) : la fraction se simplifie en un entier, puisque \(49=7\times 7\).

Corrigé de l’exercice 2 : racines carrées

1. Calcul de C. Puis on repère les carrés parfaits : \(27=9\times 3\) et \(108=36\times 3\). Donc \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\) et \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\).

\[C=3\times 3\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9\sqrt{3}-6\sqrt{3}=3\sqrt{3}\]

Donc \(C=3\sqrt{3}\).

Calcul de D. On calcule d’abord sous la racine : \(100-25=75\), et \(75=25\times 3\).

\[D=\sqrt{75}=\sqrt{25}\times\sqrt{3}=5\sqrt{3}\]

Donc \(D=5\sqrt{3}\). Attention : \(\sqrt{100-25}\) n’est pas égal à \(\sqrt{100}-\sqrt{25}=5\).

2. Alors on utilise \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) avec \(a=3\) et \(b=\sqrt{15}\) :

\[E=3^2-2\times 3\times\sqrt{15}+\left(\sqrt{15}\right)^2=9-6\sqrt{15}+15\]

Donc \(E=24-6\sqrt{15}\).

Corrigé de l’exercice 3 (Rennes 2000) : le programme de calcul d’Éric

1. D’abord, on suit les étapes avec \(x=5\) : le triple vaut 15 ; en ajoutant 1, on obtient 16 ; le carré vaut 256 ; en retranchant 4, on obtient 252. Zoé trouvera 252.

2. Avec un nombre \(x\) quelconque : le triple plus 1 s’écrit \(3x+1\) ; son carré s’écrit \((3x+1)^2\) (les parenthèses sont indispensables) ; on retranche 4. Le calcul correspond à l’expression \(C=(3x+1)^2-4\).

Les autres ne conviennent pas : \(A\) élève \(x+1\) au carré avant de tripler, \(B\) fait « 4 moins le carré » et \(D\) ajoute 3 au lieu de tripler. Contrôle avec \(x=5\) : \(C=16^2-4=252\).

3. a. Ensuite, on reconnaît \(a^2-b^2\) avec \(a=3x+1\) et \(b=2\), puisque \(4=2^2\) :

\[C=(3x+1-2)(3x+1+2)=(3x-1)(3x+3)\]

Donc \(C=(3x-1)(3x+3)\).

b. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.

\(3x-1=0\) donne \(x=\dfrac{1}{3}\) ; \(3x+3=0\) donne \(3x=-3\), soit \(x=-1\).

Les solutions sont \(\dfrac{1}{3}\) et \(-1\).

c. Trouver zéro, c’est résoudre \(C=0\), c’est-à-dire l’équation de la question b. La seule solution négative est \(-1\) : Zoé a choisi \(-1\).

Vérification : le triple de \(-1\) est \(-3\) ; \(-3+1=-2\) ; \((-2)^2=4\) ; \(4-4=0\). On trouve bien zéro.

Partie géométrique

Corrigé de l’exercice 1 : Thalès en configuration papillon

Les points C, O, A sont alignés, ainsi que D, O, B, et les droites (CD) et (AB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles OCD et OAB :

\[\dfrac{\text{OC}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{OD}}{\text{OB}}=\dfrac{\text{CD}}{\text{AB}}\quad\text{soit}\quad\dfrac{2}{8}=\dfrac{\text{OD}}{10}=\dfrac{1{,}5}{\text{AB}}\]

1. Avec \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{1{,}5}{\text{AB}}\), le produit en croix donne

\[\text{AB}=\dfrac{8\times 1{,}5}{2}=\dfrac{12}{2}=6\]

Donc AB = 6 cm.

2. Avec \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{\text{OD}}{10}\) :

\[\text{OD}=\dfrac{2\times 10}{8}=\dfrac{20}{8}=2{,}5\]

Donc OD = 2,5 cm.

Contrôle : le petit triangle est une réduction de rapport \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\) du grand, et \(1{,}5\times 4=6\), \(2{,}5\times 4=10\).

Corrigé de l’exercice 2 : trigonométrie autour d’une hauteur

[AH] est la hauteur issue de A, donc les triangles AHB et AHC sont rectangles en H.

1. a. Dans le triangle AHB rectangle en H, [AB] est l’hypoténuse et [AH] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{HBA}}\) :

\[\sin\widehat{\text{HBA}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}=\dfrac{5}{8}=0{,}625\]

À la calculatrice, \(\widehat{\text{HBA}}=\sin^{-1}(0{,}625)\approx 38{,}68^\circ\), donc \(\widehat{\text{HBA}}\approx 38{,}7^\circ\).

b. Si ABC était rectangle en A, la somme des angles donnerait \(\widehat{\text{ABC}}=180^\circ-90^\circ-51^\circ=39^\circ\). Or \(\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{HBA}}\approx 38{,}7^\circ\), qui n’est pas égal à 39°.

Autrement dit, \(\widehat{\text{BAC}}=180^\circ-51^\circ-38{,}68^\circ\approx 90{,}3^\circ\). Le triangle ABC n’est pas rectangle en A, même si l’angle en A en est très proche.

2. Dans le triangle AHB rectangle en H, le théorème de Pythagore donne

\[\text{HB}^2=\text{AB}^2-\text{AH}^2=64-25=39\quad\text{donc}\quad\text{HB}=\sqrt{39}\approx 6{,}245\]

Donc HB ≈ 6,2 cm au millimètre près. (Autre méthode : \(\text{HB}=8\times\cos 38{,}68^\circ\approx 6{,}245\).)

3. Dans le triangle AHC rectangle en H, [AH] est le côté opposé à l’angle de 51° et [CH] le côté adjacent :

\[\tan\widehat{\text{ACH}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{CH}}\quad\text{donc}\quad\text{CH}=\dfrac{5}{\tan 51^\circ}\approx\dfrac{5}{1{,}2349}\approx 4{,}049\]

Donc CH ≈ 4,0 cm au millimètre près.

4. H est entre C et B, donc CB = CH + HB ≈ 4,049 + 6,245 ≈ 10,29 cm. L’aire d’un triangle est \(\dfrac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2}\) :

\[\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{CB}\times\text{AH}}{2}\approx\dfrac{10{,}29\times 5}{2}\approx 25{,}7\]

L’aire du triangle ABC vaut environ 25,7 cm². Si tu utilises les valeurs arrondies 6,2 et 4,0, tu trouves \(\dfrac{10{,}2\times 5}{2}=25{,}5\) cm², valeur approchée également correcte.

Corrigé de l’exercice 3 (Rennes 2000) : transformations dans un hexagone régulier

Dans un hexagone régulier de centre O, les six triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA sont équilatéraux, et chaque côté est vu du centre sous un angle de \(360^\circ\div 6=60^\circ\).

1. La symétrie cherchée doit échanger A et D, B et C, et laisser O fixe. L’axe \((\Delta)\) est donc la médiatrice du segment [BC] : \((\Delta)\) est la droite qui passe par O et par le milieu de [BC] (elle passe aussi par le milieu de [EF]). Comme [AD] est parallèle à [BC] et a pour milieu O, cette droite est aussi la médiatrice de [AD] : A a bien pour image D, B a pour image C, et O, situé sur l’axe, reste fixe.

2. Puis on veut envoyer E sur A et F sur B en gardant O fixe : c’est une rotation de centre O. De E à A, on passe par F, soit deux côtés : \(2\times 60^\circ=120^\circ\). Le triangle ABO est l’image du triangle EFO dans la rotation de centre O, d’angle 120°, dans le sens E → F → A, c’est-à-dire le sens inverse des aiguilles d’une montre sur la figure.

3. Dans l’hexagone régulier, les segments [CD], [BO], [AF] et [OE] sont parallèles, de même longueur et orientés dans le même sens : \(\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{BO}}=\overrightarrow{\text{OE}}\). La translation qui transforme C en D envoie donc A sur F, B sur O et O sur E. L’image du triangle ABO est le triangle FOE.

4. D’après la relation de Chasles, \(\overrightarrow{\text{EO}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{EC}}\).

De même, \(\overrightarrow{\text{OF}}+\overrightarrow{\text{FE}}=\overrightarrow{\text{OE}}\), donc \(\overrightarrow{\text{OF}}+\overrightarrow{\text{FE}}=\overrightarrow{\text{OE}}\). Comme \(\overrightarrow{\text{FE}}=\overrightarrow{\text{AO}}=\overrightarrow{\text{OD}}=\overrightarrow{\text{BC}}\), on peut aussi écrire \(\overrightarrow{\text{OF}}+\overrightarrow{\text{OD}}=\overrightarrow{\text{OE}}\) : OFED est un losange, et la règle du parallélogramme le confirme.

Problème

Corrigé de la partie A : la pyramide du Louvre

1. La diagonale [AC] partage le carré en deux triangles rectangles isocèles. Dans le triangle ABC rectangle en B, le théorème de Pythagore donne

\[\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2=35^2+35^2=2\,450\quad\text{donc}\quad\text{AC}=\sqrt{2\,450}=35\sqrt{2}\approx 49{,}5\]

La diagonale mesure environ 49 m au mètre près (49,497… m).

2. O est le centre du carré, donc le milieu de [AC] : \(\text{AO}=\dfrac{35\sqrt{2}}{2}\approx 24{,}75\) m, et \(\text{AO}^2=\dfrac{2\,450}{4}=612{,}5\).

[SO] est la hauteur de la pyramide, donc le triangle SOA est rectangle en O. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{SA}^2=\text{SO}^2+\text{AO}^2=22^2+612{,}5=484+612{,}5=1\,096{,}5\]

\[\text{SA}=\sqrt{1\,096{,}5}\approx 33{,}1\]

L’arête [SA] mesure environ 33 m au mètre près.

3. À l’échelle 1/1 000, 1 m devient 1 mm, donc 35 m deviennent 3,5 cm et 33,1 m deviennent environ 3,3 cm.

Construction : trace un carré de 3,5 cm de côté (la base). Sur chacun de ses quatre côtés, construis vers l’extérieur un triangle isocèle dont les deux autres côtés mesurent 3,3 cm : pique le compas successivement aux deux extrémités du côté avec un écartement de 3,3 cm, le point d’intersection des arcs est le sommet S. Les quatre faces latérales sont identiques puisque la pyramide est régulière.

Corrigé de la partie B : la lampe à huile qui se vide

1. Le volume d’une pyramide est \(\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}\). La base est un carré de 6 cm de côté, d’aire 36 cm² :

\[\mathcal{V}=\dfrac{36\times 4}{3}=\dfrac{144}{3}=48\]

Le réservoir a bien un volume de 48 cm³.

2. La lampe brûle 4 cm³ par heure, donc elle vide les 48 cm³ en \(48\div 4=12\) heures. Il ne restera plus d’huile au bout de 12 heures.

3. Après \(t\) heures, la lampe a brûlé \(4t\) cm³ d’huile. Il reste donc \(V=48-4t\), soit \(V=-4t+48\), avec \(0\leqslant t\leqslant 12\).

4. \(V\) est une fonction affine de \(t\), représentée par un segment de droite. Deux points suffisent : pour \(t=0\), \(V=48\) ; pour \(t=12\), \(V=0\). Avec les unités imposées, le point (0 ; 48) est à 9,6 cm au-dessus de l’origine et le point (12 ; 0) à 12 cm à sa droite.

5. Le réservoir est vide quand \(V=0\) : on lit l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses. La droite coupe l’axe des abscisses en \(t=12\), on retrouve les 12 heures.

6. a. On part de 10 sur l’axe des ordonnées, on trace l’horizontale jusqu’à la droite, puis on descend vers l’axe des abscisses : on lit \(t\approx 9{,}5\) heures.

b. Ensuite, on résout \(-4t+48=10\) :

\[-4t=10-48=-38\quad\text{donc}\quad t=\dfrac{38}{4}=9{,}5\]

Or 0,5 h = 30 min. Il ne reste que 10 cm³ d’huile au bout de 9 h 30 min.

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Comment utiliser le corrigé corrigé Rennes 2000

Avant de lire la moindre ligne de correction, rédige ta propre copie au brouillon. Ensuite, compare exercice par exercice : si ton résultat est juste mais que la justification manque, recopie la phrase clé du corrigé. En effet, au brevet, une partie des points récompense le raisonnement et la rédaction, pas seulement le résultat final.

Pour les fractions, simplifie avant de multiplier, puis réduis au même dénominateur pour additionner. En ce qui concerne les racines carrées, extrais les carrés parfaits sous la racine, puis regroupe les termes semblables. Quant au théorème de Thalès, cite d’abord les deux droites parallèles et les points alignés, ensuite seulement l’égalité des trois rapports. Enfin, si une notion te bloque, relis la page de Wikipédia consacrée à la notion de fraction, puis reviens à la question.

Après avoir lu le corrigé corrigé Rennes 2000, referme la page et refais de mémoire les questions qui t’ont posé problème. Puis, quelques jours plus tard, reprends le sujet entier en temps limité.

Tes questions sur le corrigé corrigé Rennes 2000

Faut-il lire le corrigé corrigé Rennes 2000 en entier ?

Pas nécessairement. Grâce au sommaire, tu peux aller directement à l’exercice qui t’intéresse, puis revenir au reste plus tard.

Où trouver l’énoncé de ce sujet ?

L’énoncé complet est publié sur une page séparée, le sujet du brevet de maths 2000. Ainsi, tu peux le traiter sans voir les réponses.

Quelles notions ce corrigé fait-il travailler ?

On y retrouve principalement les fractions, les racines carrées, le théorème de Thalès et la trigonométrie. Par conséquent, ces chapitres sont les premiers à réviser si une correction t’a surpris.

Comment se déroule l’épreuve de maths du brevet ?

C’est une épreuve écrite du diplôme national du brevet, passée à la fin de la classe de troisième. Par ailleurs, la clarté de la rédaction et la justification des réponses comptent dans la note.

Continuer l’entraînement après le corrigé corrigé Rennes 2000

Pour prolonger ton entraînement, choisis ensuite un autre sujet de la même année dans la liste ci-dessous. Ainsi, tu vérifies que les méthodes tiennent sur des énoncés différents.

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