QCM : Compacité séquentielle et connexité en L3 de maths

Réponse A.

Un nombre fini de ces intervalles a pour réunion \(]1/N,2[\), qui manque les points proches de 0. Donc aucun sous-recouvrement fini n’existe, et la propriété de Borel-Lebesgue échoue. Le caractère borné ne suffit pas : il faut aussi être fermé. Par ailleurs, \([0,1]\) n’est pas ouvert et pourtant il est compact, ce qui écarte le dernier argument.

Réponse B.

Toute suite de \(\{0\}\cup\{1/n\}\) prend une valeur une infinité de fois, ou bien contient des termes \(1/n\) avec \(n\) arbitrairement grand ; dans les deux cas, une sous-suite converge dans l’ensemble. En revanche, sans le point 0, la suite \(1/n\) n’a plus de valeur d’adhérence dans la partie. De même, \(\mathbb{N}\) n’est pas borné, et \([0,1[\) perd la limite 1.

Réponse A.

En espace métrique, compacité au sens des recouvrements et compacité séquentielle coïncident ; c’est le théorème d’équivalence du cours. Cependant, « fermé et borné » ne suffit qu’en dimension finie : la boule unité de \(\ell^1\) en est un contre-exemple. De même, la complétude ne suffit pas, puisque \(\mathbb{R}\) est complet sans être compact. Enfin, une suite bornée peut osciller sans converger.

Réponse D.

En dimension finie, les compacts sont exactement les fermés bornés. La première partie est fermée, comme image réciproque d’un fermé par une fonction continue, et bornée, car \(|x|\leq 1\) et \(|y|\leq 1\). En revanche, l’hyperbole est fermée mais non bornée. De plus, le disque ouvert n’est pas fermé, et le graphe de \(\sin(1/x)\) n’est pas fermé non plus : il lui manque un segment de l’axe vertical.

Réponse B.

L’arctangente est strictement croissante, de borne supérieure \(\pi/2\), jamais atteinte. En revanche, \(x\,e^{-x}\) atteint son maximum \(1/e\) en \(x=1\), même si son domaine n’est pas compact. Ainsi la compacité est suffisante mais pas nécessaire. Par ailleurs, le sinus vaut 1 en \(\pi/2\), et le troisième cas relève directement du théorème des bornes atteintes, avec un maximum \(1/4\).

Réponse C.

L’application \(y\mapsto d(x,y)\) est continue sur le compact \(K\), donc elle atteint son minimum, qui vaut \(d(x,K)\). Cependant, l’unicité est fausse : le centre d’un cercle est à égale distance de tous ses points. De plus, \(d(x,K)\) est nulle dès que \(x\in K\). Par conséquent, aucune structure vectorielle n’est nécessaire, seule la compacité compte.

Réponse D.

Heine donne la continuité uniforme, et rien de plus. En effet, \(x\mapsto\sqrt{x}\) est continue sur le compact \([0,1]\), donc uniformément continue, mais elle n’est pas lipschitzienne près de 0. Le piège classique est de confondre ces deux propriétés. Par ailleurs, une fonction constante est continue sur un compact sans être injective, et \(x\mapsto 2x\) sur \([0,1]\) n’est pas contractante.

Réponse C.

Les connexes de \(\mathbb{R}\) sont exactement les intervalles. Or \(2-t^2\geq 0\) décrit le segment \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\), donc cette partie est connexe. En revanche, \([0,1]\cup[2,3]\) et \(\mathbb{R}^{*}\) contiennent deux points sans contenir un point situé entre eux. De même, \(\mathbb{Q}\) contient 0 et 2 sans contenir \(\sqrt{2}\) : la densité ne remplace pas la connexité.

Réponse C.

L’image continue d’un connexe est connexe. Or le déterminant est continu et surjectif de \(GL_n(\mathbb{R})\) sur \(\mathbb{R}^{*}\), qui n’est pas un intervalle. Donc \(GL_n(\mathbb{R})\) n’est pas connexe. Les trois autres propriétés sont vraies, mais elles ne disent rien de la connexité : par exemple, une boule ouverte est ouverte, non fermée, et pourtant connexe.

Réponse B.

Le graphe \(\Gamma\) est connexe, comme image continue d’un intervalle, et l’adhérence d’un connexe reste connexe. Cependant, aucun chemin continu ne relie le point \((0,0)\) au point \((1,\sin 1)\), car la courbe oscille trop près de l’axe vertical. Ainsi la connexité n’entraîne pas la connexité par arcs. Enfin, « connexe par arcs, mais pas connexe » est impossible, puisque connexe par arcs implique connexe.

Réponse D.

On pose \(g(x)=f(x)-x\). Alors \(g(0)\geq 0\) et \(g(1)\leq 0\). Par conséquent, le théorème des valeurs intermédiaires fournit un zéro de \(g\), c’est-à-dire un point fixe de \(f\). En revanche, l’identité montre que l’unicité est fausse. De plus, aucune monotonie n’est requise : seuls comptent la connexité de \([0,1]\) et le fait que \(f\) envoie le segment dans lui-même.

Réponse A.

Un homéomorphisme \(h\) de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}\) induirait un homéomorphisme entre \(\mathbb{R}^2\) privé d’un point et \(\mathbb{R}\) privé de son image. Or le premier est connexe par arcs, tandis que le second est réunion de deux demi-droites disjointes. Les autres arguments sont faux : \(\mathbb{R}^2\) est complet et connexe par arcs, et les deux ensembles ont le même cardinal.